第11章代數系統1離散數學及其應用代數系統代數系統由集合和定義在集合上的運算構成，計算科學的研究也離不開抽象代數的應用。代數系統在自動機理論和形式語言、編碼理論、軟件理論等方面有著重要的應用。2第11章代數系統11.1代數系統的概念和性質11.2代數系統的同態和同構11.3半群11.4群11.5循環群和置換群11.6環和域311.1代數系統的概念和性質11.1.1二元運算及其性質定義11.1.1設A為集合，函數f:A

A

A稱為A上的一個二元代數運算，簡稱二元運算。

由定義可知，A上的二元運算是一種特殊的函數，必須具有確定性和封閉性的特征，即A中元素的運算結果是唯一確定的且仍在A中。4二元運算例11.1.11）加法、乘法運算是正整數集上的二元運算，減法和除法不是。2）加法、減法、乘法運算是有理數集、實數集上的二元運算，除法不是。3）乘法和除法運算是非零實數集上的二元運算，而加法和減法運算不是。4）兩個集合的并運算和交運算都是集合A的冪集P(A)上的二元運算。5）所有3階實矩陣的全體組成的集合M對于矩陣的加法、減法、乘法都是M上的二元運算。5二元運算算符常用

、。、

、

、

等表示二元運算,稱為算符。例：設f:A

A

A是A上的一個二元運算，對任意的x、y

A，如果f(<x,y>)=z,可用算符

簡記為x

y=z，用前綴表示法可寫成

(x,y)=z。這些算符除特別說明外，泛指抽象意義上的運算。6例題例11.1.2（1） 設M是所有n階布爾矩陣的集合。對于A=,B=

M，定義A*B=,其中(i,j=1,…,n),則*運算為二元運算。（2） 設Z為整數集，對于任意a,b

Z，定義a*b=max{a,b},則*運算為二元運算。7二元運算的性質定義11.1.2設

是集合A上的二元運算，如果對于任意的x,y

A，都有

x

y=y

x，則稱

運算滿足交換律。

整數集Z上的加法運算和乘法運算滿足交換律，對任意的x,y

Z，都有x+y=y+x和x

y=y

x成立，而減法運算不滿足交換律。8二元運算的性質定義11.1.3設

是集合A上的二元運算，如果存在a

A，使得a

a=a，則稱a是A中關于

運算的冪等元。如果對于任意的x

A，都有x

x=x，則稱

運算滿足冪等律。

整數集Z上，0+0=0，所以0是“+”運算的冪等元；對任意的x

Z，x+x

x，除非x=0，所以整數集上的加法運算不滿足冪等律。

集合的冪集上的“

”和“

”運算滿足冪等律。9二元運算的性質定義11.1.4設

是集合A上的二元運算，如果對于任意的x,y,z

A，都有x

(y

z)=(x

y)

z，則稱

運算滿足結合律。

整數集Z上的普通加法運算和普通乘法運算滿足結合律，對任意的x,y,z

Z，都有(x+y)+z=x+(y+z)和(x

y)

z=x

(y

z)成立，而減法運算不滿足結合律。

集合的“

”和“

”運算滿足結合律。10二元運算的性質定義11.1.5設

是集合A上的二元運算，若存在a

A,對于任意的x,y

A，如果a*x=a*y，那么x=y，則稱a在A中關于*運算是左可消去元。類似地，若存在a

A，對于任意的x,y

A，如果x*a=y*a，那么x=y，則稱a在A中關于*運算是右可消去元。如果a既是左可消去元，又是右可消去元，則稱a是A的可消去元。若A上的所有元素都是關于*運算的可消去元，則稱*運算滿足消去律。整數集Z上的普通加法運算滿足消去律，普通乘法運算不滿足消去律。11二元運算的性質定義11.1.6設*、

是集合A上的二元運算，如果對于任意的x,y,z

A，都有x*(y

z)=(x*y)

(x*z))，則稱*運算對

運算左可分配。如果對于任意的x,y,z

A，都有(y

z)*x=(y*x)

(z*x))，則稱*運算對

運算右可分配。如果*運算對

運算既左可分配，又右可分配，則稱*運算對

運算滿足分配律。整數集上的普通乘法對加法滿足分配律，加法對乘法不滿足分配律。集合上的并運算對交運算滿足分配律，交運算對并運算也滿足分配律。12二元運算的性質定義11.1.7設*、

是集合A上的二元運算，如果*和都可交換，并且對于任意的x,y

A，都有x*(y

z)=x和x

(x*y)=x，則稱*運算對

運算滿足吸收律。整數集上的普通乘法對加法，加法對乘法都不滿足吸收律。集合上的并運算對交運算，交運算對并運算滿足吸收律。13例題例11.1.4設

是集合A上的二元運算，其運算表如下：運算

滿足結合律、交換律、消去律、冪等律嗎？為什么？解：不滿足結合律、交換律、消去律

滿足冪等律14

a1a2a3a4

a1a2a3a4

a1a2a3a4

a2a2a1a2a3a1a3a4a4a3a4a411.1.2.代數系統和子系統代數系統定義11.1.8設A是非空集合，

1、

2、…

m是定義在A上的各種運算，稱集合A和定義在A上的各種運算

1、

2、…

m組成的系統為代數系統，記為<A,

1、

2、…

m>.

由定義可知,代數系統包括非空集合A，稱為代數系統的載體，以及A上的運算，這些運算可以是一元運算、二元運算或多元運算，并且要求這些運算關于A滿足封閉性。

15例題例11.1.5（1）對于設R表示實數集R，<R,+>，<R，

>和<R，+，

>都是代數系統，其中“+”、“

”分別為實數R上的普通加法、乘法運算。（2）對于集合A的冪集P(A)，<P(A),∪>，<P(A),∩>和<P(A),∪,∩,~>都是代數系統，其中“∪”、“∩”、“~”是集合的并、交、補運算。（3）設Zn={0，1，2，…，n-1},<Zn,+n>和<Zn,

n>都是代數系統，其中+n和

n分別表示模n加法和模n乘法，即x+n

y=(x+y)modn,x

n

y=(xy)modn.（4）對于全體n

n實數矩陣組成的集合M，<M,○>是代數系統，其中“○”為矩陣乘運算。16子代數系統定義11.1.9 設<A,

1、

2、…

m>是代數系統，,如果B

A，且B

，運算

1、

2、…

m對B封閉．則稱<B,

1、

2、…

m>也是一個代數系統，稱為代數系統<A,

1、

2、…

m>的子代數系統，或子代數（subalgebra）。如果B

A，則稱<B,

1、

2、…

m>是<A,

1、

2、…

m>的真子代數。對任何代數系統A，它的子代數一定存在，因為任何代數系統都是它自身的子代數。17例題例11.1.6對<R，＋>而言，<N，+>為其真子代數，+是普通加法運算。<N，?>，不是<R，?>的子代數，因為普通減法“?”對自然數集合N不滿足封閉性。

子代數是抽象代數中的一個重要概念。當原來代數系統的運算滿足某些運算律，在它的子代數中也滿足相同的運算律，也就是子代數和原來的代數系統是同種的代數系統。因此，可以通過研究子代數的結構和性質，得到原代數系統的某些性質。1811.1.3代數系統的性質

一些代數系統所規定的運算中，有些元素呈現出與其他元素很不同的性質，稱這些有特殊性質的元素為特異元素，這些特異元素又稱為代數系統的代數常數。特異元素的存在反映了代數系統的一些性質，。19幺元（單位元）定義11.1.10設<A,

>是代數系統，

是A上的二元運算，

如果存在el

A

，對任意元素x

S滿足

el

x=x

，則稱el為A中關于

運算的左幺元，或稱左單位元。

如果存在

er

A，對任意元素x

S滿足x

er=x，則稱er為A中關于

運算的右幺元，或稱右單位元。

如果存在

e

A，對任意元素x

S滿足x

e

=e

x=x，則稱e為A中關于

運算的幺元，或稱單位元。

顯然，幺元e既是左幺元又是右幺元。20例題（1）<R，+>中的數零0,<P(A),∪>中的

,以及<P(A),∩>中的集合A,分別是這三個代數系統的關于“+”，“∪”，“∩”運算的幺元，因為對任意x

R，x+0=0+x=x或S

ρ(A)),S∪

=

∪S=S,S∩A=A∩S=S21例題（2）設Zn={0，1，2，…，n-1},+n和

n分別表示模n加法和模n乘法，即x+ny=(x+y)modn,x

ny=(xy)modn。在<Zn,+n>中0是幺元，<Zn,

n>中1是幺元，因為對任意x

Zn，x+n0=0+n

x=x,x

n1=1

n

x=x（3）設A={a，b，c},A上運算*由運算表給出，那么a，c都是<A,*>的左幺元，它沒有右幺元和幺元。注意，左幺元、右幺元，幺元未必總是存在。22

abcabcabccababc代數系統的性質定理11.1.1.設<A,

>是代數系統，

是A上的二元運算，el和er為A中關于

運算的左幺元和右幺元。如果<A，

>有關于

運算的幺元e，則幺元是唯一的，而且er=el=e。證：設<A，

>有幺元e和e

,那么

e=e

e=e

故幺元是唯一的。設er，el

為<A，

>的左、右幺元,那么

er=el

er=el

因此er(el)即幺元e，即er=el=e。23零元定義11.1.11設<A,

>是代數系統，

是A上的二元運算，

如果存在θl

A

，對任意元素x

A滿足θl

x=θl

，則稱θl為A中關于

運算的左零元。

如果存在

θr

A，對任意元素x

A滿足x

θr=θr，則稱θr為A中關于

運算的右零元。

如果存在

θ

A，對任意元素x

A滿足x

θ

=θ

x=θ，則稱θ為A中關于

運算的零元。

顯然，零元θ既是左零元又是右零元。24例題（1）<R，

>（

為普通乘法運算）中的數0，<P(A),∪>中的集合A，<P(A),∩>中的

，分別是這三個代數系統的關于運算“

”,“∪”，“∩”的零元．（2）設Zn={0，1，2，…，n-1},+n和

n分別表示模n加法和模n乘法，即x+ny=(x+y)modn,x

ny=(xy)modn。在<Zn,+n

>中不存在零元，<Zn,

n>中0是零元。25零元定理11.1.2設<A,

>是代數系統，

是A上的二元運算，θl和θr為A中關于

運算的左零元和右零元。如果<A，

>有關于

運算的零元θ，則零元是唯一的，而且θr=θl=θ。26逆元定義11.1.12 設<A,*>是代數系統，*是A上的二元運算，e是A中關于*運算的幺元，對于一個元素a，b

A，（1） 如果a*b=e，則稱a是b的左逆元，b是a的右逆元。（2） 如果a*b=b*a=e，則稱a可逆，b是a的一個逆元，或稱b可逆，a是b的一個逆元.根據上述定義可知：a的逆元既是左逆元，又是右逆元。對于幺元e，有e*e=e*e=e,所以幺元的逆元就是它自身。通常a的逆元記為a-1。但當運算是普通加法運算“+”時，a的逆元可記為?a。27例題（1）代數系統<M,

>，其中M為所有階方陣組成的集合，“

”為普通矩陣的乘法運算，則階單位矩陣為幺元，只有所有可逆矩陣有逆元，不可逆矩陣都沒有逆元。（2）代數系統<Z，+，

>,其中Z為整數集，“+”為普通加法運算，“

”為普通乘法運算，Z的每個元素x對加法運算均有逆元-x，但除1以外的數對乘法運算都沒有逆元。（3）代數系統<Q，+，

>，其中Q為有理數集，“+”為普通加法運算，“

”為普通乘法運算，Q中每個元素x,對加法運算，Q中每個元素x，都有逆元-x，。對乘法運算，0無逆元，除0以外的每個元素x對乘法運算都有逆元x-1=1/x。28逆元定理11.1.3設<A,*>是代數系統，*是A上的二元運算，*滿足結合律，e為A中關于*運算的幺元。對于a

A，如果存在左逆元bl和右逆元br，則bl=br=b，b是逆元，而且是關于*運算的唯一逆元。證：如果存在左逆元bl和右逆元br，則有bl*a=e和a*br=e因為*滿足結合律，所以有bl=bl*e=bl*a*br=(bl*a)*br=e*br=br即bl*a=e=a*br=a*bl，所以bl=br=b。再證逆元是唯一的。對于a*A，存在逆元，假設b和b

都是a的逆元，則有：

a*b=b*a=e，

a*b

=b

*a=e由于*滿足結合律，所以有

b=e*b=(b

*a)*b=b

*(a*b)=b

*e=b

，即a的逆元是唯一的。29逆元定理11.1.4 <A,*>是代數系統，*運算滿足結合律,對于a

A，a有逆元，那么a是可消去元。證設a的逆元為a-1,那么由a*x=a*y可得

a-1*(a*x)=a-1*(a*y)由于*運算滿足結合律，所以有(

a-1*a)*x=(a-1*a)*y

,即e*x=e*y,可推得x=y。因此，a是可消去元。注意：當a是可消去元時，a不一定是可逆的。例如<N,+>中，任一非零元素a均是可消去元，但a無逆元。3011.1.4代數系統的分類定義11.1.13 設<A,

1、

2、…

m>和<B,

1、

2、…

k>是兩個代數系統，如果k=m，對應的運算

i

和*i都是ki元運算，i=1,2,…,k，而且兩個代數系統的代數常數也相同，則稱這兩個代數同類型。例如代數系統<R，+，

>和<P(A),∪,∩>是同類型的，它們都含有兩個二元運算。31代數系統的分類定義11.1.14設<A,

1、

2、…

m>和<B,

1、

2、…

m>是兩個同類型的代數系統，對應的運算

i

和*i

所規定的運算性質也相同，i=1,2,…,k，則稱這兩個代數同種。例如定義代數系統時規定：第一個二元運算滿足結合律和交換律，第二個二元運算滿足結合律，第二個二元運算對第一個二元運算滿足分配律，代數系統<R，+，

>和<P(A),∪,∩>是同種的。如果還規定第一個二元運算有幺元，而且每個元素都有逆元，那么代數系統<R，+，

>和<P(A),∪,∩>不是同種的，因為不是P（A）的元素對∪都可逆。3211.2代數系統的同態和同構定義11.2.1設<A,*>及<B,·>均為同類型的代數系統，f是A到B的映射，對任意的a,b

A，有f（a*b）＝f（a）·f（b），則稱函數f:A→B是從<A,*>到<B,·>的同態映射，或同態（homomorphism）。當同態f為單射時，又稱為單一同態；當f為滿射時，又稱為滿同態；當f為雙射時，又稱為同構映射，或同構（isomorphism）。當兩個代數系統間存在同態（或同構）映射時，也稱這兩個代數系統同態（或同構）。當f為<A,*>到<A,*>的同態（同構）時,稱f為A的自同態（自同構）。通常用<A,*>∽<B,·>表示<A,*>與<B,·>同態，用<A,*>≌<B,·>表示<A,*>與<B,·>同構。33例題（1）設f:R→R為f（x）=2x（R為實數集）那么,f為<R,+>到<R,·>的同態。因為對任意實數x，y，有

f（x+y）＝2x+y

=2x·2x=f（x）·f（y）由f的定義還可知f為單一同態。（2）設f:Z→E為f(x)=2x,其中Z為整數集，E為偶整數集。因為對任意實數x，y，

f（x+y）＝2（x+y）=2x+2y=f（x）+f（y）而且f是雙射函數，可知f為<Z,+>與<E,+>的同構映射。（3）設g:R→R為g(x)=kx（k為常實數），那么g為<R,+>到<R,+>的自同態，因為對任何實數x，y，

g（x+y）=k（x+y）＝kx+ky=g（x）+g（y）并且在k0時，g為自同構。34例題35例11.2.2證明代數結構<N,+>與<N,·>不同構。

證

反證法。設<N,+>與<N,·>同構，f為任一同構映射。

不失一般性，設有n，n≥2，f(n)為一質數p

。于是

p=f（n）=f(n+0)=f(n)·f(0)

（11.1）

p=f（n）=f(n?1+1)=f(n?1)·f(1)（11.2）據式（11.1）,f（n）=1或f（0）=1；據式（11.2），f（n?1）=1或f（1）=1。總之，至少在兩處f的值為1，這與f為同構映射（雙射）沖突．因此<N,+>與<N,·>不同構。同態的性質定理11.2.1

設f為代數系統<A,

>到<B,·>的滿同態，則若運算

可結合，則運算·也可結合。若運算

可交換，則運算·也可交換。若<A,

>有幺元e、零元θ和冪等元a，則f(e)、f(θ)和f(a)分別是<B,·>的幺元、零元和冪等元。若x-1是x在<A,

>上的逆元，則f(x-1)是f(x)在<B,·>上的逆元。36證明（1)證明：（1）對任意x,y,z

B，因為是滿射，所以存在a,b,c

A，使得f(a)=x，f(b)=y，f(c)=z，由于運算

可結合，則有(a

b)

c=a

(b

c),因而有（x·y）·z=(f(a)·f(b))·f(c)=(f(a

b))

f(c)=f((a

b)

c)=f(a

(b

c))=f(a)·(f(b)·f(c))=x·（y·z）所以，運算·滿足結合律。（2）證明方法類似（1），略。37證明（2）（3）對任意x，存在a

A，使得f(a)=x，若<A,

>有幺元e，則有e

a=a

e=a,因而有f(e)

·f(a)=f(e

a)

=f(a

e)=f(a)·f(e)=f(a),即f(e)·x=x·f(e)=x,所以f(e)是<B,·>的幺元。類似地可以證明，f(θ)和f(a)分別是<B,·>的零元和冪等元。（4）設<A,

>的幺元為e，根據（3）f(e)是<B,·>的幺元。因而有f(x-1)·f(x)=f(x-1

x)=f(e)f(x)·f(x-1)=f(x

x-1)=f(e)所以，f(x-1)是f(x)在<B,·>上的逆元。38同態像定義11.2.2

設f為代數系統<A,

>到<B,·>的同態映射，那么稱f（A）為同態象（image

under

homomorphism），其中f(A)={f(x)|x

A}。定理11.2.2

設f為代數系統<A,

>到<B,·>的同態，那么同態象f（A）與·構成<B,·>的一個子代數<f（A）,·>。證只要證f（A）非空，且對運算·封閉．因為A為非空集合，所以f（A）是B的非空子集是顯然的。設a，b為f（A）中任意兩個元素，則存在x,y

A,使得f（x）=a,f（y）=b．那么

x·y=f（a）·f（b）=f（a

b）

f（A）故f（A）對運算·封閉，<f（A）,·>為<B,·>的子代數。3911.3半群定義11.3.1在代數系統<S，

>中，如果二元運算

滿足結合律，則稱代數系統<S，

>為半群（semigroups）。當半群<S，

>含有關于

運算的幺元e，則稱它為含幺半群，或獨異點（monoid）．獨異點有時記做<S，

，e>。例如<Z，＋>，<N，＋>，<R，＋>都是半群，+是普通加法，因為+運算滿足結合律。它們都含有關于+運算的幺元，也是獨異點．40例題

例11.3.1設Zn={0，1，2，…，n-1},

n為模n乘法運算，即x

n

y=xy（mod

n）.證明：<Zn，

n>為含幺半群。

根據定義，代數系統是半群的充分必要條件是其上的運算是封閉的和可結合的。因此這里需要證明運算

n在Zn上是封閉的，可結合的，且幺元存在。41證明證明：（1）

x,y

Zn，令k=x

n

y=xy（mod

n）,則有0

k

n-1,即k

Zn，封閉性成立。（2）

x,y,z

Zn，假設u=x

n

y,v=y

n

z,有xy-u和yz-v都能被n整除，因而有uz-xv=x(yz-v)-(xy-u)z故uz-xv能被n整除，所以，u

nz=x

nv，即(x

n

y)

n

z=x

n(y

n

z)結合律成立。（3）

x

Zn，有x

n1=1

n

x=x1是幺元。所以<Zn，

n>為含幺半群。42半群定義11.3.2設代數系統<S，

>為半群，如果二元運算

滿足交換律，則稱代數系統<S，

>為可交換半群（semigroups）。當它含有關于

運算的幺元e，則稱為可交換含么半群，或可交換獨異點（monoid）。43例題設S是一個集合，P(S)是S的冪集，試證明：代數系統<P(S),∪>和<P(S),∩>都是可交換的含幺半群。證明：集合的“∪”,“∩”運算是可交換和可結合的，所以代數系統<P(S),∪>和<P(S),∩>都是可交換的半群。因為對任意集合A

P(S)，都有A∪

=A=

∪A，A∩S=A=S∩A，所以

是<P(S),∪>的幺元，S是<P(S),∩>的幺元。因此，代數系統<P(S),∪>和<P(S),∩>都是可交換的含幺半群。44定理11.3.1設<S，

>為一半群,若對于任意A

S，且A

，運算

對A封閉，則<A，

>是半群，稱為<S，

>的子半群．若<S，

>為獨異點，幺元e

A，則<A，

，e>是獨異點,稱為<S，

,e>的子獨異點．

半群<S，

>的任一子代數都是半群，獨異點<S，

，e>的子代數含有么元e，則它必為一獨異點．證明較簡單，不贅述．45半群及獨異點的性質半群在半群<S，

>中，因為*運算滿足結合律，對于元素a

S，可以定義a的冪：顯然an

S。如果<S，

>存在幺元，設幺元為e，則增加規定容易證明，對

m,n

N，冪運算滿足如下規則：46例題

例11.3.1設<S，

>是半群，對于元素a

S，由a的正整數冪構成的集合M={an|

n

Z+}，證明<M，

>是<S，

>的子半群。證明：因為a=a1

M,所以M是非空集合。根據元素的冪的定義，對于

n

Z+,an

S所以M是S的非空子集。對于其中，則因而故*運算對M是封閉的。所以<M，*>是<S，*>的子半群。47循環半群定義11.3.3若<S，

>是半群，如果存在一個元素a

S，使得對任意的x

S，有x=an,

其中n

Z+，則稱<S，

>是循環半群，并稱a為該循環半群的一個生成元，M={a|a

S

a是S的生成元}稱為該循環半群的生成集。如果知道循環半群<S，

>的生成元a，則S中的所有元素都可以用a的冪表示，即S={a1,a2,…an,…}，所以，可記循環半群<S，

>為<<a>，

>。48例題判斷<N，+>是否是一個循環含幺半群？解因為存在元素1

N，對任意的n

N，有n=（n-1）+1=1+1+1+…+1=1n，對幺元0，有0=10，因而1是生成元，所以<N，+>是一個循環含幺半群。4911.4群定義11.4.1設<G，

>為二元代數系統，如果

運算是可結合的二元運算，存在幺元e

G，對任意x

G，都有x的逆元x-1，則稱二元代數系統<G，

>為群（groups）。

根據定義，群是含幺半群，而且每個元素都是可逆的．通常用字母G表示群。5011.4群定義11.4.2在群<G，

>中，

（1）若

運算滿足交換律，則稱G為交換群或阿貝爾群（Abel

group）．

（2）G為有限集時，稱G為有限群（finite

group）,此時G的元素個數也稱G的階（order）；否則，稱G為無限群（infinite

group）．（3）只含幺元的群稱為平凡群。51例題11.4.152例題11.4.253

設Zn={0，1，2，…，n-1},+n為模n加法運算，即x+n

y

=x+y（mod

n）.證明：<Zn，+n>為一阿貝爾群。證明：需要證明+n運算在Zn上是封閉的，滿足結合律和交換律，幺元存在，G中每個元素的逆元都存在。（1）

x,y

Zn，令k=x+n

y=xy（mod

n）,則有0

k

n-1,即k

Zn，封閉性成立。（2）

x,y,z

Zn，假設p=x+n

y,q=y+n

z,有x+y-p和y+z-q都能被n整除，因而有(p+z)-(x+q)=(y+z-q)-(x+y-p)，故(p+z)-(x+q)能被n整除，所以，p+nz=x+nq，即

(x+n

y)+n

z=x+n(y+n

z)，所以結合律成立。（3）

x

Zn，有x+n0=0+n

x=x，所以0是幺元。

(4)

x

Zn，如果x

0有x+n(n-x)=0=(n-x)+n

x,即x的逆元是n-x；如果

x=0,x+n0=0+n

x=0。所以，Zn中的所有元素都是可逆的。（5）+n運算在Zn上顯然滿足交換律。因此，<Zn，+n>為一阿貝爾群。

元素的冪定義11.4.3 設<G，*>為群，對任意a

G，可以定義a的冪：

冪指數n在群中可以取負整數，例如在群<Z,+>中，有2-2=（2-1）2=(-2)+(-2)=-454元素的階定義11.4.4設<G，

>為群，a

G，如果an=e,且n為滿足此式的最小正整數，則稱a

的階(order)為n，或稱a

為n階元，若這樣的正整數n不存在時,稱a有無限階，或稱a

為無限階元。55例題例11.4.4

(1) 群<Z,+>的幺元為0，01=0，所以0是1階元，對于任意非0整數a,an=a+a+…+a=na

0，a是無限階元，所以除0外的其它整數都是無限階元。(2) 在群<Z4,+4>中，22=2+2（mod4）=0，所以2的階是2，可以求得：1的階是4，3的階是4，0的階是1。例11.4.5 計算群<G，

>中元素的階，G={1，-1，i，-i}，

是普通乘法。解1的階為1，-1的階為2，i，-i的階都為4。56注意(1)幺元的階為1，而且只有幺元的階為1；(2)元素的階總是正整數，0和負數不能作為元素的階；(3)a為n階元實際上是要同時滿足下面兩個條件：

1）存在正整數n,使得；

2）對于任何對群<G，*>的任意元素a，及任何整數m，n,有以下兩式成立：

（1）am

an

=am+n

（2）(am)

n

=amn57群的性質定理11.4.1 設<G，*>為群，有設<G，

>為群，有（1）對

a

G，(a-1)-1＝a（2）G的所有元素都是可消去的．

（3）幺元是G的唯一的等冪元素.

（4）對

a,b

G，

（5）當G

{e}時,G無零元．（6）對

a,b

G，關于x的方程a

x＝b，x

a＝b都有唯一解．（7）群<G，

>的運算表中任意一行（列）都沒有兩個相同的元素。

58子群定義11.4.5設<G，

>為群，如果<H，

>為<G，

>的子代數，且<H，

>為一群，則稱<H，

>為<G，

>的子群(subgroups)。若H

G，稱<H，

>為<G，

>的真子群。根據定義，<{e}，

>和<G，

>均為<G，

>的子群，稱為<G，

>的平凡子群。<G，

>的其它子群則稱為非平凡子群或真子群。59例題（l）<{0,3}

,+6>和<{0,2,4}

,+6>是群<Z6,+6>的真子群。

（2）<nZ,+>是<Z,+>的子群，n是自然數，當n≠1時是真子群。

對于群<G，

>，若H是G的非空子集，可以根據定義判斷H是否是子群，除此之外，還可以由以下的定理判斷子群．60定理11.4.2設<G，

>為群，H是G的非空子集，那么<H，

>為<G，

>的子群的充分必要條件是

（l）若a，b

H

，則a

b

H

．

（2）若a

H，則a-1

H．

證明先證必要性．若<H，

>為<G，

>的子群，

對H滿足封閉性，H中的每個元素都可逆，所以（1）（2）顯然成立。再證充分性.事實上滿足條件（1），（2）便可知

對H滿足封閉性，H中的每個元素都可逆。因為H是G的子集，

在G上滿足結合律，

在H上也滿足結合律。最后只需證明G的幺元e

H。若a

H，根據條件（2），a-1

H．再由條件（1）有a

a-1

H，而a

a-1=e為G的幺元，所以e

H。因而，<H，

>為<G，

>的子群。61定理11.4.362設<G，

>為群，H是G的非空子集，那么<H，>為<G，>的子群的充分必要條件是：對a，b

H

，都有a

b-1

H

．證明充分性：即證如果對a，b

H

，都有a

b-1

H，則<H，>為<G，>的子群。對a

H

，根據給定條件，有a

a-1

H，即幺元e=a

a-1

H。由e,a

H，則有e

a-1

H，因而a-1

H。對a，b

H，知b-1

H，根據給定條件，有a

(b-1)-1

H，即a

b

H。滿足定理11.4.2的兩個條件，<H，>為<G，>的子群。必要性：如果<H，>為<G，>的子群，根據定理11.4.2條件（2），則對a，bH，有b-1H，再根據條件（1）,有ab-1H。例題63例題例11.4.7設<G，

>是一個群，對任意的a

G，令S={an|n

Z，Z是整數集}，證明<S，

>是<G，

>的子群。證明

因為a

S，所以S是G的非空子集。對

x,y

S，則存在n,m

Z，則由n,m

Z，有n-m

Z，所以an-m

S，由定理11.4.3可知<S，

>是<G，

>的子群。6411.5循環群和置換群循環群定義11.5.1如果<G，

>為群，且G中存在元素g

G，使得對

a

G，都有a=gi

（i

Z,Z為整數集合），則稱<G，

>為循環群(cyclic

group)，記做G=<g>，并稱g為循環群G的生成元（generater），G的所有生成元的集合稱為G的生成集。

根據循環群的定義，判斷一個群是否是循環群，需要說明其生成元存在。65例題66循環群67定理68循環群的子群定理11.5.3對于循環群G=<g>，（1）循環群G的子群都是循環群．（2）若G=<g>是一個n階循環群，則由n的一切因子d都可對應產生一個且僅一個d階子群<gn/d>.69證明證明（1）設<G，

>為g生成的循環群，<H，

>為其子群．當然，H中元素均可表示為gr．

若H＝{e},顯然H為循環群．

若H

{e}，那么H中有gi(i

0)．由于H為子群，H中必還有g-i.因此，不失一般性，可設i為正整數，并且它是H中元素的最小正整數指數．現證明H為gi生成的循環群．

設gj為H中任一元素．令j＝mi+r，其中m為i除j的商，r為剩余，0≤r＜i．于是

gj

=gmi+r＝gmi

gr

gr=g-mi

gj由于gj,g-mi

H，（因gmi

H），故gr

H，根據i的最小性，r＝0，從而gj

=gmi=(gi)m，

H為循環群．

（2）的證明略。70置換群定義11.5.2設S為有限集合，|S|=n,S上的任何雙射函數

：S

S，稱為S上的一個n元置換．假設S={a1，a2，…，an}時，S上的n元置換

可表示為：71例題72一般地，S={a1，a2，…，an}時，S上有

n!個置換．

置換的復合運算定義11.5.3 設

1和

2是二個n元置換，

1和

2的復合

1o

2也是n元置換。例如上例中，

將n個元素的集合S上的置換全體記為Sn，對于置換的復合運算而言，n元置換的復合運算對Sn是封閉的，復合運算是可結合的，S上置換的全體中有幺元：恒等函數，又稱幺置換，且每一置換都有逆置換，因此<Sn,○>是一個群。73置換群定義11.5.4將n個元素的集合S上的全體置換記為Sn，那么稱群<Sn,○>為S上的n次對稱群（symmetric

group