第5章函數函數5.1函數的定義5.2特殊函數5.3復合函數5.4反函數5.5集合的基數

函數定義

設f是從集合A到B的一個二元關系，且對于任一x

A，都有唯一的y

B，使得(x，y)

f，則稱f為從A到B的函數或映射，記作：f：A

B。例

設集合A={a,b,c}，B={1,2,3,4,5}，如果f={(a,1),(b,3),(c,5)},判斷f是否是A到B的函數。解

是定義域和值域定義

如果f是從A到B的函數，則稱A是f的定義域，B是f的陪域。如果(x，y)

f，則可寫成y=f(x)，稱y為x的像，x為y的原像。A中元素的所有像元素構成的集合，稱為f的值域。

可以用domf表示f的定義域，ranf表示f的值域，所以有domf=A，ranf

B。例題例

設集合A={x1，x2}，B={y1，y2}，f={(x1，y1)，(x2，y2),，(x2，y1)}，g={(x1，y1)，(x2，y1)}，判斷f和g是否是A到B的函數。解

f不是，

g是f是從A到B的函數需滿足下列條件的關系：函數的定義域是A，不能是A的任一真子集。對集合A的任一元素，對應集合B中唯一的元素y。定義

設f、g均為集合A到集合B的函數。若對

x

A，都有f(x)=g(x)，則稱函數f和g相等，記作f=g。定義

設A、B為集合，所有從A到B的函數構成BA，讀作“B上A”，即BA={f|f：A

B}。例題例

集合A={0，1，2}，B={a，b}。寫出所有從A到B的函數。解

所有從A到B的函數為：f1={(0，a)，(1，a)，(2，a)}f2={(0，a)，(1，a)，(2，b)}f3={(0，a)，(1，b)，(2，a)}f4={(0，a)，(1，b)，(2，b)}f5={(0，b)，(1，a)，(2，a)}f6={(0，b)，(1，a)，(2，b)}f7={(0，b)，(1，b)，(2，a)}f8={(0，b)，(1，b)，(2，b)}因而BA={f1，f2，f3，f4，f5，f6，f7，f8}。

如果|A|=m，|B|=n，則|BA|=nm。因為

x

A，f(x)有n種取

法，

。4.8.2特殊函數定義

給定函數f：A

B若對于

x1，x2

A，x1

x2

，都有f(x1)

f(x2)，則稱f是單射函數(或一對一映射)。若對

y

B，都有x

A，使得f(x)=y，則稱f是滿射函數(或從A到B上的映射)。若f既是滿射又是單射,則稱f是雙射函數(或一一對應映射)。例題例

令f是從A={a，b，c，d}到B={1，2，3，4，5}的函數，f(a)=1，f(b)=2，f(c)=3，f(d)=5，f是單射、滿射還是雙射函數？解

f是單射函數。例題例

圖4.8.1定義了函數f，g，h，指出f，g，h哪些是單射，滿射和雙射。fgh

解

f是單射函數，g是滿射函數，h是雙射函數。常用的函數(1)設f:A→B,如果存在b∈B使得對所有的x∈A都有f(x)=b,則稱f:A→B是常函數。(2)設f:A→A,如果對所有的x∈A都有f(x)=x，稱f:A→A為A上的恒等函數。(3)設A為集合,對于任意的A'

A,A'

的特征函數

fA

':A→{0,1}定義為:常用的函數（續）(4)設R是A上的等價關系,令g:A→A/R，g(a)=[a]R,

a∈A

，稱g是從A到商集A/R的自然映射。(5)對有理數x，f(x)為大于或等于x的最小整數，稱f(x)為上取整函數，記為

(6)對有理數x，f(x)為小于或等于x的最大整數，稱f(x)為下取整函數，記為

4.8.3復合函數定義

設f是從集合A到集合B的函數，g是從集合B到集合C的函數，f和g的復合用gof表示為gof={(x，z)|x

A

z

C

y(y

B

(x，y)

f

(y，z)

g)gof是從A到C的函數，稱為f和g的復合函數。對任意x

A都有gof(x)=g(f(x))。注意，如果f的值域不是g的定義域的子集，就無法定義gof。例題例

令f和g為函數。f是從{a，b，c}到{1，2，3}的函數，f(a)=3，f(b)=2，f(c)=1。g是從{a，b，c}到它自己的函數，g(a)=b，g(b)=c，g(c)=a。求fog和gof。解由函數的復合定義有：fog(a)=f(g(a))=f(b)=2，fog(b)=f(g(b))=f(c)=1，

fog(c)=f(g(c))=f(a)=3。而gof沒有定義。定理

定理

設函數g：A

B，f：B

C，則:（1）fog是A到C的函數。（2）對任意的x

A，有fog(x)=f(g(x))。證明

（1）對任意的x

A，因為g：A

B是函數，則存在y

B使(x,y)

g。對y

B，因為f：BC是函數，則存在z

C使(y,z)

f。根據復合關系的定義，由(x,y)

g和(y,z)

f得(x,z)

fog，所以domfog=A對任意的x

A，xfogy1和xfogy2,則<x,y1>∈fog∧<x,y2>∈fog

t1(<x,t1>∈g∧<t1,y1>∈f)∧

t2(<x,t2>∈g∧<t2,y2>∈f)

t1

t2(t1=t2∧<t1,y1>∈f∧<t2,y2>∈f

（g為函數）

y1=y2

（f為函數）所以fog為函數.證明（續）(2)對任意的x

A，因為g：A

B是函數，有(x,g(x))

g且g(x)

B，又由f：BC是函數，得(g(x),f(g(x)))

f，于是（x,f(g(x)))

fog。又因fog是A到C的函數，則可寫成fog(x)=f(g(x))。例題設f和g是從整數集到整數集的函數。f(x)=x+2，g(x)=2x+1。求fog和gof。解由函數的復合定義有：fog(x)=f(g(x))=f(2x+1)=(2x+1)+2=2x+3

gof(x)=g(f(x))=g(x+2)=2(x+2)+1=2x+5由此可見，fog(x)

gof(x)。即函數的復合不滿足交換律。定理

定理

設f：A

B，g：B

C，h：C

D均為函數，則ho(gof)=(hog)of

。證明

因為f：A

B，g：B

C，h：C

D均為函數，由定理4.8.1知，ho(gof)和(hog)of

都是A到D的函數。對任意的x

A，有ho(gof)(x)=ho(gof(x))=h(g(f(x)))=(hog)of(x)，所以ho(gof)=(hog)of

。定理

定理

設f和g是函數，gof是f和g的復合函數，于是有：如果f和g都是滿射函數，則gof也是滿射函數。如果f和g都是單射函數，則gof也是單射函數。如果f和g都是雙射函數，則gof也是雙射函數。證明(1)若f：A

B，g：B

C，f和g都是滿射函數，則對任一z

C，由g是滿射函數，必存在y

B，使得g(y)=z。又由于f是滿射函數，必存在x

A，使得f(x)=y。因此，gof(x)=g(f(x))=g(y)=z。由z的任意性知gof的值域為C。所以gof是滿射函數。(2)由于f是單射函數，所以對任意的x1、x2

A且x1

x2，有f(x1)

f(x2)。又因為g是單射函數，則有g(f(x1))

g(f(x2))，即gof(x1)

gof(x2)。所以，gof是單射函數。(3)由(1)(2)可知，gof既是單射又是滿射，因而是雙射函數。定理

定理

設f和g是函數，gof是f和g的復合函數，于是有：如果gof是滿射函數，則g必定是滿射函數。如果gof是單射函數，則f必定是單射函數。如果gof是雙射函數，則g必定是滿射函數，f是單射函數。證明(1)若f：A

B，g：B

C，gof是A

C的滿射函數，則對任一z

C，都有gof(x)=z，即(x，z)

gof。因而必存在y使得(x，y)

f且(y，z)

g。也就是說，對任意z

C都有g(y)=z。因此，g是滿射函數。（2）f：A

B，g：B

C，gof是A

C的是單射函數，則對任意的x1、x2

A且x1

x2，有gof(x1)

go

f(x2)，即g(f(x1))

g(f(x2))。按照函數的定義，C中的兩個不同元素必定在B中有不同的原像，因而f(x1)

f(x2)。所以，f是單射函數。（3）gof是雙射函數，所以gof既是滿射函數，又是單射函數。由(1)(2)可知，g是滿射函數，f是單射函數。定理

設函數f：A

B，則f=foIA=IBof。證明：

反函數定義

設集合A和B，函數f：A

B是一個雙射函數，則稱f的逆關系叫做f的反函數(逆映射)，記做f-1，稱f是可逆的。例如，R是實數集合，f：R

R，f={(x，x+1)|x

R}。這是一個雙射函數，它的反函數為：f-1={(x+1，x)|x

R}定理定理

如果函數f是從A

到B的雙射函數，則f

-1是從B到A的雙射函數。定理

若f：A

B是雙射函數，則(f-1)-1=f證明:對任意(x，y)

f，由于f是雙射函數，所以(y，x)

f

-1。又由于f

-1是雙射函數，所以(x，y)

(f

-1)-1。因而有f

(f

-1)-1。同理可證(f

-1)-1

f。所以，(f

-1)-1=f。

定理

若f：A

B，g：B

C均為雙射函數，則(gof)-1=f

-1

og-1。

集合的基數定義

設A和B是兩個集合，如果存在一個雙射函數f：A

B，則稱A與B是等勢的（或等基數），記作A~B。等基數的兩個集合的基數相等，所以又記為|A|=|B|。定義

設A和B是兩個集合，如果存在一個單射函數f：A

B，則稱A的基數小于或等于B的基數，記作|A|

|B|。如果|A|

|B|且|A|≠|B|，則稱A的基數小于B的基數，記作|A|<|B|。定義

基數為自然數的集合稱為有限基數集合（有限集合），非有限集合稱為無限集合。定義

所有與自然數集合等勢的集合都稱為可數集合或可列集合。可數集合的基數為

0（阿列夫零）。例題驗證非負偶數集M是可列集合。證明

要驗證非負偶數集是可列集合，也就是驗證非負偶數集和自然數集是等勢的。在非負偶數集和自然數集之如下的對應關系：N：01234

n

M：02468

2n

顯然上述對應關系是一一對應。所以非負偶數集M是可列集合。定理定理有限集合不與它的任何真子集等勢。一個集合是無限集合當且僅當它與它的某個真子集等勢。如：非負偶數集是自然數集的真子集，即M