數學三-2020年全國碩士研究生入學考試《數學三》真題單選題（共8題，共8分）(1.)設奇函數（x）在（－∞，＋∞）上具有連續導數，則()。A.見圖AB.見圖BC.見圖CD.見圖D正確答案：A參考解析：因為（x）在（－∞，＋∞）上具有連續導數，且為奇函數，故′（x）為偶函數，又cos（x）也為偶函數，從而cos（t）＋′（t）為偶函數，進而是奇函數。故應選A項。(2.)設冪級數的收斂區間為（－2，6），則的收斂區間為()。A.（－2，6）B.（－3，1）C.（－5，3）D.（－17，15）正確答案：B參考解析：(3.)設4階矩陣A＝（aij）不可逆，元素a12對應的代數余子式A12≠0，a1，a2，a3，a4為矩陣A的列向量組，A*為A的伴隨矩陣，則A*x＝0的通解為()A.x＝k1a1＋k2a2＋k3a3，其中k1，k2，k3為任意常數B.x＝k1a1＋k2a2＋k3a4，其中k1，k2，k3為任意常數C.x＝k1a1＋k2a3＋k3a4，其中k1，k2，k3為任意常數D.x＝k1a2＋k2a3＋k3a4，其中k1，k2，k3為任意常數正確答案：C參考解析：由A不可逆知，r（A）＜4，又元素a12對應的代數余子式A12≠0，故r（A）≥3，從而r（A）＝3。由，可知r（A*）＝1。故A*x＝0的基礎解系含有3個解向量。因a1，a2，a3，a4為矩陣A的列向量組，則a1，a3，a4可看做作A12對應矩陣列向量組的延長組，故a1，a3，a4線性無關。又A*A＝A*（a1，a2，a3，a4）＝｜A｜E＝0，故a1，a3，a4均為A*x＝0的解。綜上，a1，a3，a4為A*x＝0的一個基礎解系，故A*x＝0得通解為x＝k1a1＋k2a3＋k3a4，其中k1，k2，k3為任意常數。(4.)設A為3階矩陣，a1，a2為A的屬于特征值1的線性無關的特征向量，a3為A的屬于特征值－1的特征向量，則滿足得可逆矩陣P為()A.（a1＋a3，a2，－a3）B.（a1＋a2，a2，－a3）C.（a1＋a3，－a3，a2）D.（a1＋a2，－a3，a2）正確答案：D參考解析：a1，a2是A屬于特征值1的線性無關的特征向量，即Aa1＝a1，Aa2＝a2，故A（a1＋a2）＝a1＋a2，即a1＋a2也是A屬于特征值1的特征向量。設k1（a1＋a2）＋k2a2＝0，即k1a1＋（k1＋k2）a2＝0，由于a1，a2線性無關，故k1＝k2＝0，即a1＋a2，a2線性無關。a3是A屬于特征值－1的特征向量，即Aa3＝－a3，因此A（－a3）＝－（－a3），即－a3也是A屬于特征值－1的特征向量可取P＝（a1＋a2，－a3，a2），則P是可逆矩陣，且滿足。故應選D項。(5.)若，則（x）第二類間斷點的個數為()A.1B.2C.3D.4正確答案：C參考解析：(6.)A.bsinaB.bcosaC.bsin（a）D.bcos（a）正確答案：B參考解析：由拉格朗日中值定理知，存在ξ介于a與（x）之間，使得sin（x）－sina＝cosξ·[（x）－a]。(7.)設A，B，C為三個隨機事件，且P（A）＝P（B）＝P（C）＝1/4，P（AB）＝0，P（AC）＝P（BC）＝1/12，則A，B，C恰有一個事件發生的概率為()A.3/4B.2/3C.1/2D.5/12正確答案：D參考解析：(8.)設隨機變量（X，Y）服從二維正態分布N（0，0；1，4；－1/2），下列隨機變量中服從標準正態分布且與X獨立的是()A.見圖AB.見圖BC.見圖CD.見圖D正確答案：C參考解析：填空題（共5題，共5分）(9.)設z＝arctan[xy＋sin（x＋y）]，則dz|（0，π）＝正確答案：（π－1）dx－dy(10.)正確答案：y＝x－1(11.)Q表示產量，成本C（Q）＝100＋13Q，單價為p，需求量Q（p）＝800/（p＋3）－2。則工廠取得利潤最大值時得產量正確答案：Q＝8(12.)設平面區域D＝{（x，y）｜x/2≤y≤1/（1＋x^2），0≤x≤1}，則D繞y周旋轉所成旋轉體體積為正確答案：πln2－π/3(13.)設隨機變量X的概率分布為P{X＝k}＝1/2^k（k＝1，2…），Y表示X除以3的余數，則EY＝正確答案：8/7問答題（共10題，共10分）(14.)行列式＝正確答案：參考解析：(15.)正確答案：參考解析：(16.)設A為2階矩陣，P＝（a，Aa），其中a是非零向量，且不是A的特征向量。（Ⅰ）證明P為可逆矩陣；（Ⅱ）若A2a＋Aa－6a＝0，求P^－1AP并判斷A是否相似于對角陣。正確答案：參考解析：(17.)設某種元件的使用壽命T的分布函數為：，其中θ，m為參數且大于零。（Ⅰ）求概率P{T＞t}與P{T＞s＋t｜T＞s}，其中s＞0，t＞0；（Ⅱ）任取n個這個元件做壽命試驗，測得它們的壽命分別為t1，t2，…tn，若m已知，求θ的最大似然估計值。正確答案：參考解析：（Ⅰ）（Ⅱ）由題意得，T的概率密度為似然函數當ti＞0時，令解之得θ的最大似然估計值為。(18.)已知（1＋1/n）^n－e與b/n^a為n→∞時的等價無窮小，求a，b。正確答案：參考解析：由題意有令1/n＝t，則從而a＋1＝2，－e/（2b）＝1，解之得。(19.)求（x，y）＝x^3＋8y^3－xy的極值。正確答案：參考解析：(20.)已知y＝（x）滿足y″＋2y′＋5（x）＝0，且有（0）＝1，′（0）＝－1。（Ⅰ）求（x）；（Ⅱ），求。正確答案：參考解析：(21.)正確答案：參考解析：(22.)設（x）在區間[0，2]上具有一階連續導數，且（0）＝（2）＝0，。證明：（Ⅰ）存在ξ∈（0，2，）使得｜′（ξ）｜≥M；（Ⅱ）若對任意x∈（0，2），｜′（x）｜≤M，則M＝0。正確答案：參考解析：(23.)已知因（X，Y）服從區域上的均勻分布，且求：（Ⅰ）（U，V）的聯合分布；（Ⅱ）ρUV。正確答案：參考解析：（Ⅰ）因（X，Y）服從區域上的均勻分布，故P{U＝0，V＝0}＝P{X＋Y≤0，X－Y≤0}＝1/4，P{U＝0，V＝1}＝P{X＋Y≤0，X－Y＞0}