【贏在中考·黃金8卷】備戰2025年中考數學模擬卷（江蘇常州專用）黃金卷（考試時間：120分鐘試卷滿分：120分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。3．回答填空題時，請將每小題的答案直接填寫在答題卡中對應橫線上。寫在本試卷上無效。4．回答解答題時，每題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應的位置上。寫在本試卷上無效。5．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一．選擇題（本大題共有8小題，每小題2分，共16分.在每小題給出的四個選項中，恰有?一項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應位置上）1．已知2a＝6，則2a﹣2是（）A．32 B．1 C．2 【分析】根據同底數冪相除，底數不變，指數相減將2a﹣2變形為2a÷22，然后計算即可．【解答】解：∵2a＝6，∴2a?2故選：A．【點評】本題考查了同底數冪的除法，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．2．若分式x+4x的值為0，則xA．4 B．﹣4 C．0 D．x≠0【分析】根據分式的值為0的條件（若分式AB=0，則A＝0且【解答】解：∵分式x+4x∴x≠0且x+4＝0．∴x＝﹣4．故選：B．【點評】本題主要考查分式的值為0的條件，熟練掌握分式的值為0的條件是解決本題的關鍵．3．從正面觀察如圖所示的幾何體，看到的形狀圖是（）A． B． C． D．【分析】根據觀察方向即可求解．【解答】解：從正面看，下方長方體看到的是長方形，上方圓柱看到的也是長方形，且兩個長方形在左側位置對齊，故選：A．【點評】本題考查幾何體的三視圖，解題的關鍵是具有一定的空間觀念．4．下列數的大小比較中，正確的是（）A．0＜﹣2 B．﹣1＜﹣2 C．π＜3.14 D．﹣5＜﹣（﹣3）【分析】直接利用實數比較大小的方法得出答案．【解答】解：A、0＞﹣2，故此選項錯誤；B、﹣1＞﹣2，故此選項錯誤；C、π＞3.14，故此選項錯誤；D、﹣5＜﹣（﹣3）＝3，故此選項正確．故選：D．【點評】此題主要考查了實數比較大小，正確掌握實數比較大小的方法是解題關鍵．5．5G是第五代移動通信技術的簡稱，是最新一代蜂窩移動通信技術，它將帶領人類進入新智能時代.5G網絡以每秒1048576KB以上的速度傳輸數據，將數據“1048576”用科學記數法表示為（）A．10.48576×105 B．1.048576×105 C．1.048576×106 D．1.048576×107【分析】根據科學記數法的特征求解．【解答】解：1048576＝1.048576×106，故選：C．【點評】本題考查了科學記數法﹣表示較大的數，掌握科學記數法的特征是解題的關鍵．6．若點A（m，n）與點B（2，﹣3）關于y軸對稱，則3m+5等于（）A．﹣1 B．0 C．1 D．11【分析】關于y軸對稱的點的橫坐標互為相反數，縱坐標相等，由此可得m的值，進而可得答案．【解答】解：∵點A（m，n）與點B（2，﹣3）關于y軸對稱，∴m＝﹣2，∴3m+5＝﹣6+5＝﹣1．故選：A．【點評】本題考查關于x軸、y軸對稱的點的坐標，熟練掌握關于y軸對稱的點的坐標特征是解答本題的關鍵．7．小明按照以下步驟畫線段AB的三等分點：畫法圖形（1）以A為端點畫一條射線；（2）用圓規在射線上依次截取3條等長線段AC、CD、DE，連接BE；（3）過點C、D分別畫BE的平行線，交線段AB于點M、N．M、N就是線段AB的三等分點．這一畫圖過程體現的數學依據是（）A．兩直線平行，同位角相等 B．兩條平行線之間的距離處處相等 C．在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行 D．兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例【分析】根據平行線分線段成比例定理解答即可．【解答】解：∵CM∥DN∥BE，∴AC：CD：DE＝AM：MN：NB，∵AC＝CD＝DE，∴AM＝MN＝NB，∴這一畫圖過程體現的數學依據是兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例，故選：D．【點評】本題考查的是平行線分線段成比例定理，尺規作圖，掌握平行線分線段成比例定理是解題的關鍵．8．體內的血藥濃度能反映藥品的療效，血藥濃度過高會導致藥物中毒，血藥濃度過低又無療效．如圖，這是甲、乙、丙三種藥物在體內的血藥濃度隨時間變化的曲線圖，根據圖象對甲、乙、丙三種藥物進行分析判斷，則下列說法錯誤的是（）A．藥物甲、乙、丙在體內的血藥濃度都是先升高后降低的 B．存在某時間段，藥物甲、乙在體內的血藥濃度在降低，藥物丙在體內的血藥濃度在升高 C．藥物甲在體內的血藥濃度達到最大值用時最短 D．藥物丙的治療效果最好【分析】根據函數的圖象分別分析即可．【解答】解：A、藥物甲、乙、丙在體內的血藥濃度都是先升高后降低的，故不符合題意；B、存在某時間段，藥物甲、乙在體內的血藥濃度在降低，藥物丙在體內的血藥濃度在升高，故不符合題意；C、藥物甲在體內的血藥濃度達到最大值用時最短，故不符合題意；D、藥物丙的血藥濃度過低且無療效，故符合題意．故選：D．【點評】主要考查了函數圖象的讀圖能力．要能根據函數圖象的性質和圖象上的數據分析得出函數的類型和所需要的條件，結合實際情況采用排除法求解．二．填空題（本大題共有10小題，每小題2分，共20分.不需寫出解答過程，請把答案直接寫在答題卡相應位置上）9．若a=22，則1a值為【分析】根據題意列式計算即可．【解答】解：若a=2則1a故答案為：2．【點評】本題考查算術平方根，熟練掌握其定義是解題的關鍵．10．因式分解：12m2n﹣12mn+3n＝3n（2m﹣1）2．【分析】先提取公因式，再由完全平方公式因式分解即可．【解答】解：12m2n﹣12mn+3n＝3n（4m2﹣4m+1）＝3n（2m﹣1）2，故答案為：3n（2m﹣1）2．【點評】本題考查因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關鍵．11．計算：(?2)0【分析】根據有理數的加減運算法則，以及負整數指數冪的混合運算法則直接求解即可．【解答】解：(?故答案為：6．【點評】此題考查有理數的混合運算，解題關鍵是零次冪的計算公式為a0＝1（a≠0），負整數指數冪的計算公式為a?n12．在對物體做功一定的情況下，力F（N）與此物體在力的方向上移動的距離s（m）成反比例函數關系，其圖象如圖所示，點P（4，3）在圖象上，則當力達到10N時，物體在力的方向上移動的距離是1.2m．【分析】利用點P的坐標求出F=12s，當F＝10時，即F=12【解答】解：設函數的表達式F=k將點P的坐標代入上式得：3=k4，解得則反比例函數表達式為F=12當F＝10時，即F=12解得s＝1.2（m），故答案為：1.2．【點評】本題考查反比例函數系數k的幾何意義，過雙曲線上的任意一點分別向兩條坐標軸作垂線，與坐標軸圍成的矩形面積就等于|k|．本知識點是中考的重要考點，同學們應高度關注．13．如圖，一塊長為為acm，寬為bcm的矩形硬紙板，在其四個角各剪去1個邊長為2cm的正方形，然后將四周的部分折起，可制成一個無蓋長方體盒子，則所得長方體盒子的側面積為（4a+4b﹣32）cm2（用含a，b代數式表示）．【分析】側面積等于四個小長方形的面積的和．【解答】解：2×（a﹣4）×2+2×（b﹣4）×2＝4a﹣16+4b﹣16＝4a+4b﹣32（cm2），∴所得長方體盒子的側面積為（4a+4b﹣32）cm2．故答案為：（4a+4b﹣32）cm2．【點評】本題考查了認識立體圖形，關鍵是表示出各個邊的長度．14．在一個不透明的盒子里裝有5個分別寫有數字0，1，2，3，4的小球，它們除數字不同外其全部相同．現從盒子里隨機摸出一個小球（不放回），設該小球上的數字為m，再從盒子中摸出個小球，設該小球上的數字為n，點P的坐標為P（m，n2﹣1），則點P落在拋物線y＝﹣x2+4x與x軸所圍成的區域內（含邊界）的概率是310【分析】畫出拋物線圖象，確定各點橫坐標所對應的縱坐標，與P點縱坐標比較即可．【解答】解：拋物線y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，頂點坐標為（2，4），與x軸的交點坐標為（0，0）和（4，0），且過點（1，3）、（3，3），其圖象如圖所示：當n＝0、1、2、3、4時，n2﹣1＝﹣1、0、3、8、15，所有點P（m，n2﹣1），所有可能出現的情況如下：共有20種可能出現的情況，其中點P落在拋物線y＝﹣x2+4x與x軸所圍成的區域內（含邊界）的有6種，∴P點P落在拋物線y＝﹣x2+4x與x軸所圍成的區域內（含邊界）=6故答案為：310【點評】此題考查了幾何概率，二次函數的圖象與性質，綜合性很強，不僅要求學生掌握概率公式，更要求學生熟悉二次函數的圖象及性質．利用數形結合是解題的關鍵．15．如圖所示的網格是正方形網格，點A，B，P是網格線交點，則tan∠PAB+tan∠PBA＝56【分析】由銳角的正切定義，可求解．【解答】解：設小正方形的邊長是a，∵tan∠PAB=PCtan∠PBA=PC∴tan∠PAB+tan∠PBA=1【點評】本題考查了銳角的正切定義，關鍵是熟練掌握銳角三角函數的定義．16．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，已知∠OAB＝25°，則∠ACB的大小為65°．【分析】由OA＝OB，可求得∠OBA＝∠OAB＝25°，繼而求得∠AOB的度數，然后由圓周角定理，求得答案．【解答】解：∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝25°，∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝130°，∴∠ACB=12∠故答案為：65°．【點評】本題考查了圓周角定理以及等腰三角形的性質．此題難度不大，解決本題的關鍵是注意數形結合思想的應用．17．邊長為a，b的長方形如圖所示，若它的周長為2+25，面積為5，則a2b+ab2的值為5+5【分析】根據長方形的面積和周長得出ab=5，a+b=1+5，再利用因式分解將原式化為ab（a+【解答】解：∵邊長為a，b的長方形周長為2+25，面積為5∴ab=5，a+b=1+∴a2b+ab2＝ab（a+b）=5=5+5故答案為：5+5．【點評】此題考查了因式分解﹣提公因式法，二次根式的應用，解題的關鍵是正確將a2b+ab2因式分解．18．如圖，在Rt△ABC和Rt△EBC中，∠BAC＝∠BEC＝90°，AB＝AC＝4，以AC、EC為鄰邊作?ACEF，連接CF，則線段CF的最小值為210?2【分析】過點A作AG∥BC，取AG＝BC，連接FG，取AG的中點H，連接FH，CH，過點C作CM⊥AG于點MH=22+22=42CH=MH2+CM2=(42)2+(22)2=210，證明△AGF≌△CBE，得出∠AFG＝∠CEB＝90°，根據直角三角形性質得出FH=【解答】解：過點A作AG∥BC，取AG＝BC，連接FG，取AG的中點H，連接FH，CH，過點C作CM⊥AG于點M，如圖所示：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，∴BC=42+42∴AG=BC=42∴AH=GH=1∵AG∥BC，∴∠CAM＝∠ACB＝45°，∵CM⊥AG，∴△ACM為等腰直角三角形，AM=CM=AC∴MH=22∴CH=M∵四邊形ACEF為平行四邊形，∴AF＝CE，AF∥CE，∴∠CAF+∠ACE＝180°，即∠CAF+∠ACB+∠BCE＝180°，∴∠CAF+∠BCE＝180°﹣∠ACB＝135°，∵∠GAF+∠CAF＝180°﹣∠CAM＝135°，∴∠GAF＝∠BCE，∵AG＝BC，AF＝CE，∴△AGF≌△CBE（SAS），∴∠AFG＝∠CEB＝90°，∴FH=1∵CF≥CH﹣FH，且當C、F、H三點共線時，等號成立，當C、F、H三點共線時，CF最大，且最大值為210故答案為：210【點評】本題主要考查了平行四邊形的性質，三角形全等的判定和性質，等腰直角三角形的性質，勾股定理，直角三角形的性質，平行線的性質三．解答題（本大題共有10小題，共84分.請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）19．（6分）先化簡，再求值：（x﹣y）（x+y）﹣（x﹣y）2，其中x＝2，y＝﹣1．【分析】利用完全平方公式，平方差公式進行計算，然后把x和y的值代入化簡后的式子進行計算，即可解答．【解答】解：（x﹣y）（x+y）﹣（x﹣y）2＝x2﹣y2﹣（x2﹣2xy+y2）＝x2﹣y2﹣x2+2xy﹣y2＝2xy﹣2y2，當x＝2，y＝﹣1時，原式＝2×2×（﹣1）﹣2×（﹣1）2＝﹣6．【點評】本題考查了整式的混合運算﹣化簡求值，完全平方公式，平方差公式，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．20．（8分）解不等式組：5?【分析】先分別解兩個不等式得到x≤3和x＞﹣1，再利用“大小小大中間找”確定不等式組的解集，接著在數軸上表示其解集，然后寫出它的整數解．【解答】解：解不等式①得x≤3，解不等式②得x＞﹣1，所以不等式組的解集為﹣1＜x≤3，解集在數軸上表示為：不等式組的整數解為0，1，2，3．【點評】本題考查了解一元一次不等式組：解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，利用數軸可以直觀地表示不等式組的解集．也考查了在數軸上表示不等式組的解集．21．（8分）3月23日下午，“天宮課堂”第二課在中國空間站開講，神舟十三號乘組航天員翟志剛、王亞平、葉光富相互配合進行授課，這是中國空間站的第二次太空授課，被許多中小學生稱為“最牛網課”．某中學為了解學生對“航空航天知識”的掌握情況，隨機抽取50名學生進行測試，并對成績（百分制）進行整理，信息如下：a．成績頻數分布表：成績x（分）50≤x＜6060≤x＜7070≤x＜8080≤x＜9090≤x≤100頻數7912a6b．成績在70≤x＜80這一組的是（單位：分）：70，71，72，72，74，77，78，78，78，79，79，79，根據以上信息，回答下列問題：（1）表中a的值為16；（2）在這次測試中，成績的中位數是78.5分，成績不低于80分的人數占測試人數的百分比為44%；（3）這次測試成績的平均數是76.4分，甲的測試成績是77分．乙說：“甲的成績高于平均數，所以甲的成績高于一半學生的成績．”你認為乙的說法正確嗎？請說明理由．【分析】（1）用眾數減去其它四組的頻數可得a的值；（2）根據中位數的定義求解即可，用不低于80分的人數除以被測試人數即可；（3）根據中位數的意義求解即可．【解答】解：（1）a＝50﹣7﹣9﹣12﹣6＝16；故答案為：16；（2）這次測試中，成績中的中位數是第25、26個數據的平均數，∴中位數為78+792成績不低于80分的人數占測試人數的百分比為16+650故答案為：78.5，44%；（3）不正確，理由如下：∵甲的成績77分低于中位數分78.5，∴甲的成績不高于一半學生的成績．【點評】本題考查了中位數，頻數分布表等知識，掌握中位數的定義及其意義是解決問題的關鍵．22．（8分）在一個不透明的盒子里放有三張卡片，每張卡片上有一個實數，分別是4，3，3+（1）從盒子中隨機抽取一張卡片，請直接寫出卡片上的實數是無理數的概率．（2）先從盒子中隨機抽取一張卡片，將卡片上的實數作為被減數，卡片不放回；再隨機抽取一張卡片，將卡片上的實數作為減數，請你用列表法或者樹形圖法，求出兩次抽取的卡片上的實數之差恰好為有理數的概率．【分析】（1）直接關鍵概率公式解答即可；（2）用列表法或用畫樹狀圖法解答即可．【解答】解（1）抽出一張卡片是無理數的概率是23理由：∵三張卡片，其中卡片上的實數是無理數有2張，∴抽出一張卡片是無理數的概率是23（2）列表得被減數433+減數33+43+43差4?﹣1?3?﹣53+5∵一共有6種等可能的結果，其中兩次抽取的卡片上的實數之差恰好為有理數有2種可能的結果，∴P（差為有理數）=2【點評】本題考查概率公式，用列表法和畫樹狀圖法求等可能事件的概率，實數的運算，掌握用列表法和畫樹狀圖法求等可能事件的概率的方法是解題的關鍵．23．（8分）如圖，在一塊長為a米，寬為b米的長方形草地上，有一條橫向的彎曲小路（小路任何地方的垂直寬度都是1個單位長度），有一條縱向的彎曲小路（小路任何地方的水平寬度都是2個單位長度）．（1）請你用含a、b的式子表示綠地面積；（2）當a＝30，b＝26時，綠地面積是多少平方米？【分析】（1）結合圖形，根據平移的性質可知綠地面積看作是以（a﹣2）米為長，（b﹣1）米為寬的長方形的面積；（2）把a＝30，b＝26代入求值即可．【解答】解：（1）綠地面積＝（a﹣2）（b﹣1）＝（ab﹣a﹣2b+2）平方米；（2）當a＝30，b＝26時，綠地面積＝（30﹣2）（26﹣1）＝700（平方米）；答：綠地面積是700平方米．【點評】本題結合圖形的平移考查有關面積的問題．需要注意的是：平移前后圖形的大小、形狀都不改變．24．（8分）在復習菱形的判定方法時，某同學進行了畫圖探究，其作法和圖形如下：①畫線段AB；②分別以點A，B為圓心，大于AB長的一半為半徑作弧，兩弧相交于M、N兩點，作直線MN交AB于點O；③在直線MN上取一點C（不與點O重合），連接AC、BC；④過點A作平行于BC的直線AD，交直線MN于點D，連接BD．（1）根據以上作法，證明四邊形ADBC是菱形；（2）該同學在圖形上繼續探究，他以點O為圓心作四邊形ADBC的內切圓，構成如圖所示的陰影部分，若AB＝23，∠BAD＝30°，求圖中陰影部分的面積．【分析】（1）根據作法可得AC＝BC，證明△ADO≌△BCO，根據對角線垂直平分的四邊形ADBC是菱形即可證明結論；（2）結合（1）四邊形ADBC是菱形，根據AB＝23，∠BAD＝30°，先求出圓O的半徑，進而可以求圖中陰影部分的面積．【解答】（1）證明：根據作法可知：直線MN是AB的垂直平分線，∴AC＝BC，OA＝OB，MN⊥AB，∵AD∥BC，∴∠ADO＝∠BCO，在△ADO和△BCO中，∠ADO=∠BCO∠AOD=∠BOC∴△ADO≌△BCO（AAS），∴OD＝OC，∵OA＝OB，MN⊥AB，∴四邊形ADBC是菱形；（2）∵四邊形ADBC是菱形，∴OA=12AB=1∵∠BAD＝30°，設圓O切AD于點H，連接OH，則OH⊥AD，∴OH=12OA∴S圓O＝OH2×π=34在Rt△AOD中，∠DAO＝30°，OA=3∴OD＝OA×tan30°=3∴CD＝2OD＝2，∴S菱形ADBC=12×AB?CD=12∴圖中陰影部分的面積＝S菱形ADBC﹣S圓O＝23?3【點評】本題考查了作圖﹣復雜作圖，菱形的判定與性質，三角形內切圓與內心，切線的性質，圓的面積計算，解決本題的關鍵是證明四邊形ADBC是菱形．25．（8分）如圖，反比例函數y=kx(x＜0)與一次函數y＝mx+1的圖象交于點A（﹣2，3），點B是反比例函數圖象上一點，BC⊥x軸于點C，交一次函數的圖象于點D（1）求反比例函數y=kx與一次函數y＝（2）當OC＝4時，求△ABD的面積．【分析】（1）分別將點A坐標代入兩個函數解析式求出m、k值即可得到兩個函數解析式；（2）將x＝4分別代入兩個函數解析式得到點B、D的坐標求出BD長，根據三角形面積公式計算即可．【解答】解：（1）∵兩函數的圖象交于點A（﹣2，3），∴3=k?2，3＝﹣2∴k＝﹣6，m＝﹣1，∴反比例函數為：y=?6x，一次函數的解析式為：y（2）由條件可知：C（﹣4，0），∵BC⊥x軸于點C，交一次函數的圖象于點D，∴點B的橫坐標為﹣4，點D的橫坐標為﹣4，∴yB=?6?4∴B(?4，3∴BD=5?32=7∴S△ABD【點評】本題考查了一次函數與反比例函數的交點問題，交點坐標滿足兩個函數解析式是關鍵．26．（10分）定義：如圖1，在四邊形ABCD中，把對角線BD沿AB翻折后得到BE，把另一條對角線AC繞點A逆時針旋轉90°后得到AF，連接EF，CF，則稱四邊形EBCF為原四邊形ABCD的“翻轉四邊形”．特例感知：（1）若四邊形ABCD為正方形，如圖2，延長DA至點E，延長CD至點F，使AE＝DF＝AD，連接BE，EF．①四邊形EBCF是否是正方形ABCD的“翻轉四邊形“？答：是（填“是”或“不是”）．②若EF=5，則AB＝1（2）若四邊形ABCD為矩形，且AB＝2，BC＝3，四邊形EBCF為矩形ABCD的“翻轉四邊形”，如圖3，求EF的長．類比探究：（3）在四邊形ABCD中，∠BAD＝135°，如圖4，四邊形EBCF為四邊形ABCD的“翻轉四邊形”，且EF2+BC2＝BE2，求證：EF∥BC．【分析】（1）①可推出BD沿AB翻折后是BE，AC繞點A逆時針旋轉90°后是AF，從而得出結果；②可推出AE＝AD＝DF＝AB，從而AF2＝DF2+DE2＝AB2+（2AB）2，進一步得出結果；（2）延長FA，交BE于G，設AC，BD交于點O，可得出AC，sin∠BAC，cos∠BAC的值，可推出BE∥AC，從而∠AGB＝∠CAF＝90°，進而依次計算出AG，BG，EG，FG的值，進一步得出結果；（3）連接AE，延長CD交AF于T，交EF于G，可推出∠EAF＝∠DAC，進而推出△AEF≌△ADC，從而EF＝CD，∠AFE＝∠ACD，從而得出∠FGT＝∠CAF＝90°，CD2+BC2＝BD2，從而∠BCD＝90°，進一步得出結論．【解答】（1）解：①∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADC＝∠BAD＝90°，AD＝CD，∠CAD＝45°，∵AE＝DF＝AD，∴AE＝AD，DE＝CD，∴BE＝BD，∠EAB＝∠BAD＝90°，AF＝AC，∠FAD＝∠CAD＝45°，∴BD沿AB翻折后是BE，AC繞點A逆時針旋轉90°后是AF，∴四邊形EBCF是正方形ABCD的“翻轉四邊形“，故答案為：是；②∵∠EFD＝90°，AE＝AD＝DF＝AB，∴AF2＝DF2+DE2＝AB2+（2AB）2，∴5AB2＝（5）2，∴AB＝1，故答案為：1；（2）解：如圖1，延長FA，交BE于G，設AC，BD交于點O，∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA=12AC，OB=12∴OA＝OB，AC=A∴∠OAB＝∠OBA，sin∠BAC=BCAC=3由對稱可知：∠OBA＝∠ABE，∴∠OAB＝∠ABE，∴BE∥AC，∴∠AGB＝∠CAF＝90°，∴AG＝AB?sin∠ABE＝AB?sin∠OAB＝2×3BG＝AB?cos∠ABE＝2×2∴EG＝BE﹣BG＝BD﹣BG=13FG＝AF+AG＝AC+AG=13∴EF=E（3）證明：如圖2，連接AE，延長CD交AF于T，交EF于G，∵對角線BD沿AB翻折后得到BE，∴∠AEB＝∠BAD＝135°，AE＝AD，BD＝BE，∵∠CAF＝90°，∴∠EAF+∠BAC＝360°﹣∠BAE﹣∠CAB﹣∠BAD＝135°，∵∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝135°，∴∠EAF＝∠DAC，∵AF＝AC，∴△AEF≌△ADC（SAS），∴EF＝CD，∠AFE＝∠ACD，∵∠ATC＝∠FTG，∴∠FGT＝∠CAF＝90°，∵EF2+BC2＝BE2，∴CD2+BC2＝BD2，∴∠BCD＝90°，∴∠BCD＝∠FGT，∴EF∥BC．【點評】本題考查了新定義的理解能力，全等三角形的判定和性質，軸對稱的性質，矩形的性質，解直角三角形等知識，解決問題的關鍵是根據條件推導出全等三角形．27．（10分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，點A的坐標為（﹣1，0），拋物線頂點D的坐標為（1，﹣4），直線BC與對稱軸相交于點E．（1）求拋物線的解析式；（2）點M為直線x＝1右方拋物線上的一點（點M不與點B重合），設點M的橫坐標為m，記A、B、C、M四點所構成的四邊形面積為S，若S＝3S△BCD，請求出m的值；（3）點P是線段BD上的動點，將△DEP沿邊EP翻折得到△D'EP，是否存在點P，使得△D'EP與△BEP的重疊部分圖形為直角三角形？若存在，請直接寫出BP的長，若不存在，請說明理由．【分析】（1）根據拋物線頂點D的坐標為（1，﹣4），寫出拋物線的頂點式，再將A（﹣1，0）代入解析式，求得a的值，則可得拋物線的解析式；（2）設M（m，m2﹣2m﹣3），先求得直線BC的解析式為y＝x﹣3，再得出點E的坐標，然后由S△BCD＝S△CDE+S△BDE求得S△BCD，進而根據S＝3S△BCD，得出S的值，再分類討論：①當點M在x軸上方時，m＞3，②當點M在x軸下方時，1＜m＜3，分別得出關于m的方程，求解即可；（3）存在點P，使得△D'EP與△BEP的重疊部分圖形為直角三角形．設拋物線的對稱軸交x軸于點F，利用勾股定理求得BD，再分類討論：①如圖3，EP⊥DB于P，△DEP沿著EP邊翻折得到△D'EP，判定△EPD∽△BFD，從而得比例式，求得DP的值，再根據BP＝BD﹣DP可得BP的值；②如圖4，當ED'⊥BD于點H時，與①同理可得△DEH∽△DBF，從而可得比例式，求得DH和EH的值，再設PH＝x，用含x的式子表示出D'P、D'H，由勾股定理可得關于x的方程，解得x，則可得出BP的值；③如圖5，當D'P⊥BC于點G時，作EI⊥BD于點I，由①②的結論可得EI和BI的值，再由勾股定理得出BE，進而得出BG；判定△BPG∽△BEI，從而得比例式，求得BP的值，則問題得解．【解答】解：（1）∵拋物線頂點D的坐標為（1，﹣4），∴設拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2﹣4，把A（﹣1，0）代入得0＝a（﹣1﹣1）2﹣4，解得a＝1，∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3；（2）設M（m，m2﹣2m﹣3），∵y＝x2﹣2x﹣3，∴當x＝0時，y＝﹣3，∴C（0，﹣3）；∵A（﹣1，0），對稱軸為直線x＝1，∴B（3，0），∴直線BC的解析式為y＝x﹣3，∴當x＝1時，y＝x﹣3＝﹣2，∴E（1，﹣2）；∴DE＝2，∴S△BCD＝S△CDE+S△BDE=12DE×（xB﹣x=1＝3，∴S＝3S△BCD＝9，分兩種情況：①當點M在x軸上方時，m＞3，如圖1，S＝S△ACB+S△ABM=12AB×OC+12=12×4×3+12×＝2m2﹣4m＝9，解得m1=2+222，m∴m=2+②當點M在x軸下方時，1＜m＜3，如圖2，連接OM，∴S＝S△AOC+S△OCM+S△OBM=12OA×OC+12OC×xM+1=12×1×3+12×3m+=?32m2解得m1＝1（舍去），m2＝2，∴m＝2．綜上所述，S＝3S△BCD時，m的值為2+22（3）存在點P，使得△D'EP與△BEP的重疊部分圖形為直角三角形．設拋物線的對稱軸交x軸于點F，BD=22+①如圖3，EP⊥DB于P，△DEP沿著EP邊翻折得到△D'EP，∵∠EDP＝∠BDF，∠EPD＝∠BFD＝90°，∴△EPD∽△BFD，∴DPDF=DE解得DP=4∴BP＝BD﹣DP＝25=6②當ED'⊥BD于點H時，如圖4，與①同理可得△DEH∽△DBF，∴DHDF=DE解得DH=455，在Rt△PHD'中，設PH＝x，則D'P＝DP＝DH﹣HP=455?x，D'H＝D'E﹣EH＝DE﹣∴x2+(2?解得x＝1?5∴BP＝BD﹣DP＝BD﹣（DH﹣HP）＝BD﹣DH+HP＝25?4=5③如圖5，當D'P⊥BC于點G時，作EI⊥BD于點I，由①②可知，EI=255，由翻折的性質可知∠EPI＝∠EPG，∴EG＝EI=2∵BE=BF2∴BG＝BE﹣EG＝22?∵∠GBP＝∠IBE，∠BGP＝∠BIE，∴△BPG∽△BEI，∴BPBE=BG∴BP=4綜上所述，當△D'EP與△BEP的重疊部分圖形為直角三角形時，BP的長為655或5+【點評】本題屬于二次函數綜合題，考查了待定系數法求函數的解析式、二次函數圖象上的點的坐標特點、多邊形的面積、相似三角形的判定與性質及勾股定理等知識點，數形結合、分類討論、熟練掌握相關性質及定理是解題的關鍵．28．（10分）（1）發現：如圖1，正方形ABCD中，點E在CD邊上，將△ADE沿AE對折得到△AFE，延長EF交BC邊于點G，連接AG．證明：BG+DE＝EG．（2）探究：如圖2，矩形ABCD中AD＞AB，O是對角線的交點，過O任作一直線分別交BC、AD于點M、N，四邊形AMNE是由四邊形CMND沿MN翻折得到的，連接CN，若△CDN的面積與△CMN的面積比為1：3，求MNDN（3）拓展：如圖3，在菱形ABCD中，AB＝6，E為CD邊上的三等分點，∠D＝60°．將△ADE沿AE翻折得到△AFE，直線EF交BC于點P，求PC的長．【分析】（1）由正方形的性質得∠D＝∠B＝90°，AD＝AB，再由翻折的性質得AD＝AF，DE＝EF，∠AFE＝∠D＝90°，則AB＝AF，∠B＝∠AFG，然后證Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），得BG＝GF，即可得出結論；（2）由翻折的性質得到AM＝CM，AE＝CD，∠E＝∠D，∠AMN＝∠CMN，證△ANE≌△CND（AAS），得AN＝CN，再由矩形的性質得∠ANM＝∠CMN，證得AM＝AN＝CM＝CN，根據已知條件和三角形的面積公式得到DN：CM＝1：3，設DN＝k，則CN＝CM＝3k，過N作NG⊥MC于點G，則CG＝DN＝k，MG＝2k，求出NG＝22k，MN＝23k，即可得出答案；（3）①當DE=13DC＝2時，延長FE交AD于點Q，過點Q作QH⊥CD于點H，過點E作EM⊥AQ于點M，作EN⊥AF于點N，過點A作AR⊥FQ于點R，設DQ＝x，QE＝y，則AQ＝6﹣x，再證△CPE∽△DQE，推出CP＝2DQ＝2x，由翻折的性質得EF＝DE＝2，AF＝AD＝6，∠QAE＝∠FAE，然后由面積法證得AQAF=QEEF，得出y＝2?13x，求出HE＝2?12x，HQ=32x，由勾股定理得（2?12x）2+（32x）2＝y2，解出x的值，即可得出答案；②當CE=13DC＝2時，延長FE交AD于點Q′，過點Q′作Q′H′⊥CD于點H′，則DE＝