202X專題七圓周運動臨界問題的模型建構第四章曲線運動匯報人姓名匯報日期題型1水平面內圓周運動的臨界問題題型2豎直面內圓周運動的臨界問題題型3斜面上圓周運動的臨界問題練習幫練透好題精準分層添加標題01單擊此處添加文本添加標題02單擊此處添加文本Contents目錄核心考點五年考情命題分析預測水平面內圓周運動的臨界問題2023：福建T15；2022：山東T8；

2019：海南T6圓周運動的臨界問題是本章的難點，也是高考考查的熱點.水平面內的圓周運動的臨界問題一般與摩擦力有關，豎直面內的圓周運動的臨界問題一般與彈力有關，關鍵均在于找到臨界點，列出動力學方程.預計2025年高考可能會出現與生產生活聯系的圓周運動臨界問題，以選擇題或計算題形式出現.豎直面內圓周運動的臨界問題2022：全國甲T14；2021：浙江6月T20；2020：浙江1月T20斜面上圓周運動的臨界問題題型1水平面內圓周運動的臨界問題

1.運動特點(1)運動軌跡是水平面內的圓.(2)合力沿水平方向指向圓心，提供向心力，豎直方向合力為零，物體在水平面內

做勻速圓周運動.2.臨界問題分析(1)與摩擦力有關的臨界極值問題物體間恰好不發生相對滑動的臨界條件是物體間的靜摩擦力恰好達到最大靜摩擦力.(2)與彈力有關的臨界極值問題壓力、支持力的臨界條件是物體間的彈力恰好為零；繩上拉力的臨界條件是繩恰好

拉直且其上無彈力或繩上拉力恰好為最大承受力等.1.[與圓錐體結合的臨界]一根輕質細線一端系一小球(可視為質點)，另一端固定在

一光滑圓錐體頂上，如圖所示.設小球在水平面內做勻速圓周運動的角速度為ω，細

線的拉力為T，則下列T隨ω2變化的圖像可能正確的是(

C

)ABCCD[解析]對小球受力分析如圖，當角速度較小時，小球在光滑錐面上做勻速圓周運

動，根據牛頓第二定律和平衡條件可得

Tsinθ－Ncosθ＝mLsinθ·ω2，

Tcosθ＋N

sinθ＝mg，聯立解得T＝mgcosθ＋mLsin2

θ·ω2；當角速度較大時，小球離開光滑

錐面做勻速圓周運動，根據牛頓第二定律可得Tsinα＝mLsinα·ω2，則T＝mLω2.綜

上所述，只有C可能正確.2.[與繩子結合的臨界/多選]如圖所示，質量為m的小球由輕繩a和b分別系于一輕質

細桿的A點和B點，當輕桿繞軸OO'以角速度ω勻速轉動時，小球在水平面內做勻速圓

周運動，a繩與水平面成θ角，b繩水平且長為l，重力加速度為g，則下列說法正確

的是(

AC

)A.a繩一定受拉力作用B.a繩所受拉力隨角速度的增大而增大D.若b繩突然被剪斷，則a繩的彈力一定發生變化AC

3.[與圓盤結合的臨界/多選]如圖所示，兩個質量均為m的小木塊a和b(可視為質點)

放在水平圓盤上，a與轉軸OO'的距離為l，b與轉軸的距離為2l.木塊與圓盤間的最

大靜摩擦力為木塊所受重力的k倍，重力加速度大小為g.若圓盤從靜止開始繞轉軸

緩慢地加速轉動，用ω表示圓盤轉動的角速度，下列說法正確的是(

AC

)A.b一定比a先開始滑動B.a、b所受的摩擦力始終相等AC

命題拓展[條件拓展]如果兩木塊a、b之間用一輕繩連接，且繩子能承受的最大拉力為T＝

kmg，試分析繩子是否會發生斷裂.[答案]繩子不會發生斷裂

題型2豎直面內圓周運動的臨界問題

項目繩模型桿模型常見類型

最高點沒有支撐

最高點有支撐過最高點的臨界條件由mg＝[1]

得v臨＝

[2]

?由小球恰能做完整的圓周運動得v臨＝

[3]

?

0

項目繩模型桿模型討論分析＞

0

項目繩模型桿模型討論分析(3)不能過最高點時，小球在

到達最高點前已經脫離了圓

軌道

0

4.[輕繩模型]如圖甲所示，輕繩一端固定在O點，另一端固定一小球(可看成質點)，

讓小球在豎直平面內做圓周運動.改變小球通過最高點時的速度大小v，測得相應的

輕繩彈力大小F，得到F－v2圖像如圖乙所示，已知圖線的延長線與縱軸交點的坐標

為(0，－b).不計空氣阻力，重力加速度為g，則下列說法正確的是(

B

)A.該小球的質量為bgC.圖線與橫軸的交點處小球所受的合力為零D.當v2＝a時，小球的向心加速度為gB

命題拓展[輕繩→輕桿模型]若將輕繩換成輕桿，其F－v2圖像如圖所示.已知桿長為R，不計空

氣阻力，則(

D

)DC.當v2＝c時，桿對小球的彈力方向向上D.當v2＝2b時，小球受到的彈力與重力大小相等

5.[最高點“桿”的作用力方向可變/多選]如圖所示，豎直面內有一個半徑為R的光

滑圓管道，現給小球一個初速度，使小球在管道內做圓周運動，管道很細，則關于

小球在最高點時的速度v，下列敘述正確的是(

CD

)B.當v由零逐漸增大時，在最高點管道對小球的彈力也逐漸增大CD

6.[豎直面內圓周運動的實際應用]如圖所示是某游樂場中水上過山車的原理示意

圖.半徑為R＝8m的圓軌道豎直固定在離水面高h＝3.2m的水平平臺上，圓軌道與

水平平臺相切于A點，A、B分別為圓軌道的最低點和最高點.過山車(實際是一艘帶

輪子的氣墊小船，可視作質點)高速行駛，先后會通過多個圓軌道，然后從A點離開

圓軌道進入光滑的水平軌道AC，最后從C點水平飛出落入水中，整個過程刺激驚

險，受到很多年輕人的喜愛.已知水面寬度為s＝12m，不計空氣阻力，重力加速度

g取10m/s2.(結果可保留根號)(2)為使過山車安全落入水中，則過山車在C點的最大速度為多少？[答案]

15m/s

(1)若過山車恰好能通過圓軌道的最高點B，則其在B點的速度為多大？

(3)某次運動過程中乘客在圓軌道最低點A對座椅的壓力為自身重力的3倍，隨后進

入水平軌道AC并落入水中，求過山車落入水中時的速度大小.

題型3斜面上圓周運動的臨界問題

1.與豎直面內的圓周運動類似，斜面上的圓周運動也是集中分析物體在最高點和最

低點的受力情況，列牛頓運動定律方程來解題.物體在斜面上做圓周運動時，設斜面

的傾角為θ，重力垂直于斜面的分力與斜面對物體的支持力相平衡，解決此類問題

時，可以按以下操作(如圖)，把問題簡化.2.物體在斜面上做圓周運動，根據受力情況的不同，可分為以下三類：(1)物體在靜摩擦力作用下做圓周運動.(2)物體在繩的拉力作用下做圓周運動.(3)物體在桿的作用下做圓周運動.

C.1rad/sD.0.5rad/s[解析]當小物體轉到圓盤的最低點，所受的靜摩擦力沿斜面向上達到最大時，角

速度最大，由牛頓第二定律得μmgcos30°－mgsin30°＝mω2r，解得ω＝1rad/s，故

C正確.C命題拓展[設問拓展]結合上述題干信息，判斷下列說法的正誤.(1)小物體隨圓盤做勻速圓周運動時，一定始終受到三個力的作用.

(?)(2)小物體隨圓盤以不同的角速度ω做勻速圓周運動時，ω越大，小物體在最高點處

受到的摩擦力一定越大.

(?)(3)小物體受到的摩擦力可能背離圓心.

(

√

)??√8.[傾斜臨界＋輕桿模型]如圖所示，在傾角為α＝30°的光滑斜面上，有一根長為L

＝0.8m的輕桿，輕桿一端固定在O點，另一端系一質量為m＝0.2kg的小球，小球

沿斜面做圓周運動.取g＝10m/s2.若要小球能通過最高點A，則小球在最低點B的最

小速度為(

A

)A.4m/s

A

1.[水平面內的臨界問題/海南高考]如圖，一硬幣(可視為質點)置于水平圓盤上，

硬幣與豎直轉軸OO'的距離為r，已知硬幣與圓盤之間的動摩擦因數為μ(最大靜摩擦

力等于滑動摩擦力)，重力加速度大小為g.若硬幣與圓盤一起繞OO'軸勻速轉動，則

圓盤轉動的最大角速度為(

B

)

B12342.[水平面內的臨界問題/浙江高考]一質量為2.0×103kg的汽車在水平公路上行

駛，路面對輪胎的徑向最大靜摩擦力為1.4×104N，當汽車經過半徑為80m的彎道

時，下列判斷正確的是(

D

)A.汽車轉彎時所受的力有重力、彈力、摩擦力和向心力B.汽車轉彎的速度為20m/s時所需的向心力為1.4×104NC.汽車轉彎的速度為20m/s時汽車會發生側滑D.汽車能安全轉彎的向心加速度不超過7.0m/s2D1234

12343.[水平面內的臨界問題/2023福建]一種離心測速器的簡化工作原理如圖所示.細桿的

一端固定在豎直轉軸OO'上的O點，并可隨軸一起轉動.桿上套有一輕質彈簧，彈簧

一端固定于O點，另一端與套在桿上的圓環相連.當測速器穩定工作時，圓環將相對

細桿靜止，通過圓環的位置可以確定細桿勻速轉動的角速度.已知細桿長度l＝0.2

m，桿與豎直轉軸的夾角α始終為60°，彈簧原長x0＝0.1m，彈簧勁度系數k＝100

N/m，圓環質量m＝1kg；彈簧始終在彈性限度內，重力加速度大小取10m/s2，

摩

擦力可忽略不計.1234(1)若細桿和圓環處于靜止狀態，求圓環到O點的距離；[答案]

0.05m

[解析]圓環處于靜止狀態時，設彈簧壓縮量為x1，由平衡條件可得mgcosα＝kx1

1234(2)求彈簧處于原長時，細桿勻速轉動的角速度大??；

其中r1＝x0sinα

1234(3)求圓環處于細桿末端P時，細桿勻速轉動的角速度大小.[答案]

10rad/s

在豎直方向有kx2cosα＋mg＝N2sinα其中r2＝lsinα代入數據解得ω2＝10rad/s.12344.[豎直面內的臨界問題/2024廣東深圳階段練習]張同學設計了一個過山車軌道模

型，如圖所示，由傾角為α＝37°的直軌道AB、半徑為R的圓弧軌道BC、水平軌道

CD、豎直圓軌道以及足夠長的水平軌道DF組成.C點左側軌道和豎直圓軌道是光滑

的，水平軌道CD和DF是粗糙的.現將一小物塊由軌道上A點無初速度釋放，已知小

物塊的質量為m，與水平軌道CD和DF間的動摩擦因數均為μ＝0.2，AB＝6R，CD＝

2R，重力加速度為g，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，忽略軌道交錯的影響.求：1234(1)物塊第一次運動到B點時的速度大?。?/p>

[解析]在AB段，根據牛頓第二定律得mgsinα＝ma

1234(2)物塊第一次運動到C點時對軌道的壓力大小；[答案]

8.6mg

1234

(3)欲使物塊在豎直圓軌道上運動時，不脫離軌道，圓軌道的半徑R'應滿足什

么條件.[答案]

R'≤1.36R或R'≥3.4R1234

12341.[多選]如圖所示，用一端固定在O點且長為L的細繩拴著質量為m的小球在豎直平

面內做圓周運動，則下列說法正確的是(

CD

)A.小球在圓周最高點時所受的向心力一定為重力B.小球在最高點時繩子的拉力不可能為零C.小球過最低點時繩子的拉力一定大于小球重力CD123456789

1234567892.[2023山東臨沂檢測]無縫鋼管的制作原理如圖所示，豎直平面內，管狀模型置于

兩個支承輪上，支承輪轉動時通過摩擦力帶動管狀模型轉動，鐵水注入管狀模型

后，由于離心作用，緊緊地覆蓋在模型的內壁上，冷卻后就得到無縫鋼管.已知管狀

模型內壁半徑為R，則下列說法正確的是(

C

)A.鐵水是由于受到離心力的作用才覆蓋在模型內壁上B.模型各個方向上受到的鐵水的作用力相同C.若最上部的鐵水恰好不離開模型內壁，此時僅重力提供向心力C123456789

1234567893.[2024湖北宜城一中質檢/多選]一半徑為r的小球緊貼豎直放置的圓形管道內壁做圓

周運動，如圖甲所示.小球運動到最高點時管壁對小球的作用力大小為FN，小球的速

度大小為v，其FN－v2圖像如圖乙所示.已知重力加速度為g，規定豎直向下為正方

向，不計一切阻力.則下列說法正確的是(

ABD

)ABD123456789

1234567894.[創新圖像形式/2024湖南長沙雅禮中學?？?多選]如圖所示，水平圓盤上放置一

個質量為m的小物塊，物塊通過長為L的輕繩連接到豎直轉軸上的定點O，此時輕繩

恰好伸直，與轉軸成37°角.現使整個裝置繞轉軸緩慢加速轉動(輕繩不會繞到轉軸

上)，角速度ω從零開始緩慢增加，直到物塊剛好要脫離圓盤.已知物塊與圓盤間動

摩擦因數μ＝0.5，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為g，sin37°＝

0.6，cos37°＝0.8.則輕繩的彈力大小FT和物塊受到的摩擦力大小Ff隨ω2變化的圖

像正確的是(

AD

)AD123456789

1234567895.[多選]如圖所示，物體P用兩根長度相等且不可伸長的細線系于豎直桿上，并隨

桿轉動.若轉動角速度為ω，則(

ABC

)A.ω只有超過某一值時，細線AP才有拉力B.細線BP的拉力隨ω的增大而增大C.細線BP所受拉力一定大于細線AP所受拉力D.當ω增大到一定程度時，細線AP所受拉力大于BP所受拉力ABC123456789

123456789

6.[2022山東]無人配送小車某次性能測試路徑如圖所示，半徑為3m的半圓弧BC與

長8m的直線路徑AB相切于B點，與半徑為4m的半圓弧CD相切于C點.小車以最大速

度從A點駛入路徑，到適當位置調整速率運動到B點，然后保持速率不變依次經過BC

和CD.

為保證安全，小車速率最大為4m/s.在ABC段的加速度最大為2m/s2，CD段的

加速度最大為1m/s2.小車視為質點，小車從A到D所需最短時間t及在AB段做勻速直

線運動的最長距離l為(

B

)B123456789

1234567897.[多選]如圖所示，在勻速轉動的水平圓盤上，沿半徑方向放著用輕繩相連的質量

均為m的兩個物體A和B，它們分居圓心兩側，與圓心的距離分別為RA＝r、RB＝2r，

與圓盤間的動摩擦因數μ相同，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，當圓盤轉速緩慢增

大到兩物體剛好還未發生滑動時，下列說法正確的是(

ABC

)A.此時繩子所受拉力為T＝3μmgC.此時A所受摩擦力方向沿半徑指向圓盤外D.此時燒斷繩子，A仍相對盤靜止，B將做離心運動A