高考試題分類解析PAGE考點39拋物線一、選擇題1.(2017·全國乙卷理科·T10)已知F為拋物線C:y2=4x的焦點,過F作兩條互相垂直的直線l1,l2,直線l1與C交于A,B兩點,直線l2與C交于D,E兩點,則|AB|+|DE|的最小值為()A.16 B.14 C.12 D.10【命題意圖】考查拋物線的相關(guān)性質(zhì),并以拋物線為載體考查直線與拋物線位置關(guān)系問題.【解析】選A.方法一:設(shè)直線l1方程為y=k1(x-1),聯(lián)立方程QUOTEy2=4x,y=k1得QUOTEk12x2-2QUOTEk12x-4x+QUOTEk12=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4),所以x1+x2=-,同理直線l2與拋物線的交點滿足x3+x4=QUOTE2k22+4k2由拋物線定義可知|AB|+|DE|=x1+x2+x3+x4+2p=QUOTE2k12+4k12+QUOTE2k22+4k22+4=QUOTE4k12++8≥2QUOTE16k12k22當且僅當k1=-k2=1(或-1)時,取得等號.方法二:不妨設(shè)AB傾斜角為θQUOTE0<θ<π2.作AK1垂直于準線,垂足為K1,AK2垂直x軸,垂足為K2,準線交x軸于點G,易知QUOTEAF·cosθ+GF=A所以QUOTEAF·cosθ+p=QUOTEAF,同理QUOTEAF=QUOTEp1-cosθ,QUOTEBF=QUOTEp1+cosθ,所以QUOTEAB=QUOTE2p1-cos2θ=QUOTE2psin2θ,又DE與AB垂直,即DE的傾斜角為+θ,QUOTEDE=QUOTE2psin2π2+θ=,而y2=4x,即p=2.所以QUOTEAB+QUOTEDE=2pQUOTE1sin2θ+1cos2θ=4QUOTEsin2θ+cos2θsin2θcos2θ=QUOTE4sin2=QUOTE16sin22θ≥16,當θ=取等號,即QUOTEAB+QUOTEDEQUOTEDE最小值為16,故選A.二、簡答題2.(2017·浙江高考·T21)如圖,已知拋物線x2=y.點AQUOTE-12,14,BQUOTE32,94,拋物線上的點P(x,y)QUOTE-12<x<32,過點B作直線AP的垂線(1)求直線AP斜率的取值范圍.(2)求的最大值.【命題意圖】本題主要考查直線方程、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,同時考查解析幾何的基本思想方法和運算求解能力.【解析】(1)設(shè)直線AP的斜率為k,k=QUOTEx2-14x+12=x-QUOTE12,因為-QUOTE12<x<QUOTE32,所以直線AP斜率的取值范圍是(-1,1).(2)聯(lián)立直線AP與BQ的方程解得點Q的橫坐標是xQ=QUOTE-k2+4k+32(k2因為|PA|=QUOTE1+k2x+12=QUOTE1+k2(k+1|PQ|=QUOTE1+k2(xQ-x)=-QUOTE(k-1)(k+1)2k2+1所以|PA|·|PQ|=-(k-1)(k+1)3,令f(k)=-(k-1)(k+1)3,因為f'(k)=-(4k-2)(k+1)2,所以f(k)在區(qū)間QUOTE-1,12上單調(diào)遞增,QUOTE12,1上單調(diào)遞減,因此當k=QUOTE12時,|PA|·|PQ|取得最大值.3.(2017·北京高考理科·T18)已知拋物線C:y2=2px過點P(1,1).過點作直線l與拋物線C交于不同的兩點M,N,過點M作x軸的垂線分別與直線OP,ON交于點A,B,其中O為原點.(1)求拋物線C的方程,并求其焦點坐標和準線方程.(2)求證:A為線段BM的中點.【命題意圖】本題主要考查拋物線的性質(zhì),意在培養(yǎng)學生運算能力與分析問題解決問題的能力.【解析】(1)把P(1,1)代入y2=2px得p=QUOTE12,所以C:y2=x,所以焦點坐標QUOTE14,0,準線:x=-.(2)設(shè)l:y=kx+,M(x1,y1),N(x2,y2),OP:y=x,ON:y=x,由題知A(x1,x1),BQUOTEx1,x1y2由QUOTEy=kx+12,y消去y得k2x2+(k-1)x+=0,所以x1+x2=QUOTE1-kk2,x1·x2=.所以y1+QUOTEx1y2x2=kx1++=2