7.1.1數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念卡爾丹問題卡爾丹Cardano16世紀意大利

“將10分成兩部分，使兩者的乘積等于40，這兩部分分別是多少？”負實數(shù)到底能不能開平方？如何開平方？負實數(shù)開平方的意義是什么？卡爾丹認為把答案寫成：創(chuàng)設(shè)情境提出問題需要際實觀客數(shù)學(xué)內(nèi)部11？回顧歷史，尋求啟發(fā)

生活實踐中

自然數(shù)集加法乘法負整數(shù)整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集？加法乘法減法加法乘法減法除法(除數(shù)不為0）加法乘法減法除法（除數(shù)不為0）開方（正數(shù)）無理數(shù)分數(shù)？擴充的共同特點（1）引入新數(shù);（2）在新的數(shù)集中，原來的運算及其性質(zhì)仍然適用，同時解決某些運算在原來數(shù)集中不是總可以實施的矛盾.

人類認識數(shù)的范圍是一步一步擴大的，數(shù)系的每一次擴充，一方面是由于描述和解決問題的需要，另一方面也是基于解決數(shù)學(xué)自身矛盾的需要.

類比創(chuàng)造，構(gòu)建新知探究我們知道，方程x2+1=0在實數(shù)集中無解.聯(lián)系從自然數(shù)集到實數(shù)集的擴充過程，你能給出一種方法，適當擴充實數(shù)集，使這個方程有解嗎?實數(shù)集的擴充就從引入平方等于-1的“新數(shù)”開始依照這種思想，為了解決x2＋1=0這樣的方程在實數(shù)系中無解的問題，我們設(shè)想引入一個新數(shù)i，使得x=i是方程

x2十1=0的解，即使得

i2=-1.

i是數(shù)學(xué)家歐拉(LeonhardEuler,1707-1783）最早引入的.它取自“imaginary”（想象的，假想的）一詞的詞頭.i2=i?i.

把新引進的數(shù)i添加到實數(shù)集中，我們希望數(shù)i和實數(shù)之間仍然能像實數(shù)那樣進行加法和乘法運算，并希望加法和乘法都滿足交換律、結(jié)合律，以及乘法對加法滿足分配律.那么,實數(shù)系經(jīng)過擴充后，得到的新數(shù)系由哪些數(shù)組成呢?（1）把實數(shù)b與i相乘，結(jié)果記作bi;（2）把實數(shù)a與bi相加，結(jié)果記作a+bi;

所有實數(shù)以及i都可寫成a+bi的形式，從而這些數(shù)都在擴充后的新數(shù)集中.復(fù)數(shù)的概念

我們把形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位.全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做復(fù)數(shù)集.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).其中a叫做復(fù)數(shù)z的實部，b叫做復(fù)數(shù)z的虛部.方程x2＋1=0在復(fù)數(shù)集C中就有解x=i.

在復(fù)數(shù)集C={a+bi|a,b∈R}中任取兩個數(shù)a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我們規(guī)定：a+bi和c+di相等，當且僅當a=c，b=d.即：a+bi=c+di?a=c，b=d.

我們判斷兩個復(fù)數(shù)是否相等，就要考慮它們的實部和虛部是否分別相等！復(fù)數(shù)相等【練習(xí)】已知x2－y2＋2xyi＝2i，則實數(shù)x，y的值分別為

．【解析】依題意，可得：x2－y2=0且2xy＝2，

即x=y=－1或x=y=1.復(fù)數(shù)的分類

當且僅當b=0時，它是實數(shù),當且僅當b≠0時，它叫做虛數(shù)；當且僅當a=0,b≠0時，它叫做純虛數(shù).當且僅當a=b=0時，它是實數(shù)0;

復(fù)數(shù)例1下列命題中，正確命題的個數(shù)是(

)①若x，y∈C則x＋yi＝1＋i的充要條件是x＝y(tǒng)＝1；②若a，b∈R且a>b，則a＋i>b＋i；③若x2＋y2＝0，則x＝y(tǒng)＝0；④一個復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的充要條件是這個復(fù)數(shù)的實部等于零；⑤－1沒有平方根；⑥若a∈R，則(a＋1)i是純虛數(shù)．A．0B．1C．2D．3四、典例分析、舉一反三四、典例分析、舉一反三例2、實數(shù)m分別取什么值時，復(fù)數(shù)z＝m+1＋(m-1)i是(1)實數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù)。

【解析】例3

已知，其中x、y【解析】由已知得解得R，求x與y的值。設(shè)計意圖：通過例題的講解，進一步鞏固學(xué)生對復(fù)數(shù)概念、復(fù)數(shù)相等及復(fù)數(shù)的分類的理解，提高學(xué)生解決與分析問題的能力。1．判斷正誤

(1)若a，b為實數(shù)，則z＝a＋bi為虛數(shù)．()

(2)復(fù)數(shù)i的實部不存在，虛部為0.()

(3)bi是純虛數(shù)．()

(4)如果兩個復(fù)數(shù)的實部的差和虛部的差都等于0，那么這兩個復(fù)數(shù)相等．()

五、雙基訓(xùn)練、鞏固概念2、已知M＝{2，m2－2m＋(m2＋m－2)i}，N＝{－1,2,4i}，若M∪N＝N，求實數(shù)m的值．練習(xí)：例3：根據(jù)下列條件，分別求實數(shù)x，y的值．

(1)x2－y2＋2xyi＝2i；

(2)(2x－1)＋i＝y(tǒng)－(3－y)i.

例4：實數(shù)m為何值時，z＝lg(m2＋2m＋1)＋(m2＋3m＋2)i是(1)實數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù)．五、雙基訓(xùn)練、鞏固概念設(shè)計意圖：通過練習(xí)鞏固學(xué)生對復(fù)數(shù)的相關(guān)知識的理解，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力。六、歸納小結(jié)、形成網(wǎng)絡(luò)讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)主要知識后師生共同歸納小結(jié)：一、數(shù)系的擴充；二、復(fù)數(shù)有關(guān)的概念：1、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式；復(fù)數(shù)的實部、虛部；虛數(shù)、純虛數(shù)；2、復(fù)數(shù)的相等；3、復(fù)數(shù)的分類設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)生的梳理歸納能力

（1）閱讀作業(yè)（自行查找資料了解復(fù)數(shù)的發(fā)展)（2）書面作業(yè)（p73習(xí)題7.1第2.3題)

（3）

彈性作業(yè)（能力培養(yǎng)測試相關(guān)練習(xí)）

作業(yè)分為三種形式，體現(xiàn)作業(yè)的鞏固性和發(fā)展性原則。閱讀作業(yè)是后續(xù)課堂的鋪墊，而彈性作業(yè)不作統(tǒng)一要求，供學(xué)有余力的學(xué)生課后研究。同時，它也是新課標里研究性學(xué)習(xí)的一部分。

作業(yè)布置：四、教法分析本節(jié)課的教學(xué)方法是：

討論發(fā)現(xiàn)法，問題探究法。

本節(jié)課設(shè)計的指導(dǎo)思想：現(xiàn)代認知心理學(xué)——建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論。本節(jié)課的設(shè)計理念:為了學(xué)生的一切.

在課堂學(xué)習(xí)中，學(xué)生通過對媒體創(chuàng)設(shè)的情境主動參與，思考探究，對所學(xué)知識經(jīng)歷一個“興趣——探索——發(fā)現(xiàn)——歸納的過程，整整一節(jié)課，學(xué)生懷著濃厚的興趣，在學(xué)習(xí)中學(xué)有所思，思有所得，練有所獲，真正讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)和學(xué)會學(xué)習(xí)，成為知識的探索者和發(fā)現(xiàn)者。

五、學(xué)法分析六、評價分析

課堂教學(xué)的設(shè)計強調(diào)從教學(xué)內(nèi)容的引入、展開、深刻揭示等方面出發(fā)，追求教學(xué)環(huán)節(jié)的完整性，構(gòu)建了概念課的探究式課堂教學(xué)模式，教學(xué)過程共進行了六個環(huán)節(jié)