關于線性方程組的迭代法第1頁，共35頁，星期日，2025年，2月5日引言直接法是通過有限步運算后得到線性方程組的解,解線性方程組還有另一種解法，稱為迭代法,它的基本思想是將線性方程組Ax=b化為

x=Bx+f

再由此構造向量序列{x(k)}:

x(k+1)=Bx(k)+f若{x(k)}收斂至某個向量x*,則可得向量x*就是所求方程組AX=b的準確解.線性方程組的迭代法主要有Jocobi迭代法、Seidel迭代法和超松弛(Sor)迭代法.第2頁，共35頁，星期日，2025年，2月5日迭代法的特點

若在求解過程中xk

x*(k)，由xk+1=(xk)產生的迭代xk向x*的逼近，在數次迭代求解之后，由于機器跳動產生的xk值誤差或是有效數字產生的舍入誤差，都會在第k+1次迭代計算中自動彌補過來或逐步糾正過來。因此，在迭代求解過程中產生的各種誤差是可以忽略的，即迭代求解無累積誤差，實際上，xk只是解的一個近似，機器的舍入誤差并不改變它的此性質。

迭代過程中經常要遇到向量范數，矩陣范數以及序列極限的概念。為此，下面先介紹這方面的知識和有關概念。

單擊此處即可第3頁，共35頁，星期日，2025年，2月5日幾個基本概念及性質1.向量范數：

對任一向量X，按一定規則確定一個實數與其相對應，該實數記為||X||，若||X||滿足下面三個性質：（1）||X||

0，||X||=0當且僅當X=0。（2）對任意實數

，||

X||=|

|||X||。（3）對任意向量YRn，||X+Y||

||X||+||Y||。則稱該實數||X||為向量X的范數2.矩陣范數：設A是NN階矩陣，定義||A||=Max

（||AX||/||X||）=Max||AX||x0,xRn

||x||=1,xRn

為矩陣A的(算子）范數。

||Ax||

||A||||x||第4頁，共35頁，星期日，2025年，2月5日三種常用的向量范數：例：設x=(1,-4,0,2)T求它的向量范數第5頁，共35頁，星期日，2025年，2月5日三種常用的矩陣范數：例：設A，求它的矩陣范數第6頁，共35頁，星期日，2025年，2月5日矩陣范數的性質：（1）對任意非零矩陣A,有||A||恒為正數，當且僅當A=0，||A||=0.（2）||aA||=|a|||A||（a為任意實數）（3）對于任意兩個階相同的矩陣A，B恒有||A+B||

||A||+||B||.（4）對于與矩陣A有相同維數的向量X，恒有||AX||

||A||

||X||.（5）對于同階矩陣A，B恒有||AB||

.||A||

||B||譜半徑：

設nn階矩陣A的特征值為

i(i=1,2,3……n),則稱

(A)=MAX|

i|

為矩陣A的譜半徑.

1

in矩陣范數與譜半徑之間的關系為:

(A)

||A||.單擊此處試做例題第7頁，共35頁，星期日，2025年，2月5日5幾個定理及定義設{x(k)}為Rn中的向量序列,x(*)為Rn中的向量對矩陣也有類似的結論

下一頁第8頁，共35頁，星期日，2025年，2月5日

如果矩陣A=(aij)滿足 n|aii|>

|aij|i=1,2,……n,

j=1,ji

則稱方陣A是嚴格(行)對角占優的.

a11a12a13…a1n

a21

a22

a23…a2n

A=……………=L+D+U

an1an3an4…ann-421例矩陣A=1-972-610ULD第9頁，共35頁，星期日，2025年，2月5日Jacobi迭代一：設有方程組

a11x1+a12x2+····+a1nxn=b1a21x1+a22x2+····+a2nxn=b2

.....................

an1x1+an2x2+····+annxn=bn用矩陣表示：Ax=b（A為系數矩陣，非奇異；b為右端，x為解向量）}

上一頁第10頁，共35頁，星期日，2025年，2月5日假設aii0令cij=-aij/aii(ij)

gi=bi/aij,i=1,2,3,n

則

x1(k+1)=c12x2(k)+c13x3(k)++c1nxn(k)+g1

x2(k+1)=c21x1(k)+c23x3(k)++c2nxn(k)+g2。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

xn(k+1)=cn1x1(k)+cn2x2(k)++cn(n-1)xn-1(k)

+gn

Jacobi迭代格式若令

0c12c13…c1n

x1c210c23…c2n

x2BJ=……………x=..cn1cn3cn4…0xn

a11

g1

a22

g=g2易看出：BJ=D-1(D-A)=I-D-1,D=....

anngn

把方程組寫成容易迭代的形式：{第11頁，共35頁，星期日，2025年，2月5日Jacobi迭代公式第12頁，共35頁，星期日，2025年，2月5日Seidel迭代法為了加快收斂速度，同時為了節省計算機的內存，我們作如下的改進：每算出一個分量的近似值，立即用到下一個分量的計算中去，即用迭代格式：這樣所得的迭代法就稱為Gauss-Seidel迭代法，也稱為“異步迭代法”，簡稱為GS迭代法．利用Ax=b及A=L+D+U,其中D為對角矩陣,L,U分別為嚴格下，上三角矩陣．則有，GS迭代法的矩陣形式為:

第13頁，共35頁，星期日，2025年，2月5日Seidel迭代法的具體形式Seidel迭代格式x1(k+1)=c12x2(k)+c13x3(k)++c1nxn(k)+g1

x2(k+1)=c21x1(k+1)+c23x3(k)++c2nxn(k)+g2。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

xn(k+1)=cn1x1(k+1)+cn2x2(k+1)++cn(n-1)xn-1(k+1)

+gn

假設aii0令cij=-aij/aii(ij)

gi=bi/aij,i=1,2,3,n

第14頁，共35頁，星期日，2025年，2月5日．收斂性及誤差估計Jacobi迭代和GS迭代格式可表述為統一形式:對于其收斂性，我們有如下定理：定理１：對任意初始向量x(0)及任意右段向量g，由此產生的迭代向量序列{x(k)}收斂的充要條件是證明：必要性：設｛x(k)｝收斂，其極限為x*，則第15頁，共35頁，星期日，2025年，2月5日因上式對任意均成立，故Bk0(k

),(B)<1

充分性：設

(B)<1,則I－B為非奇異陣,且=0,所以有唯一解,記為則

定理２：若||B||<1,則迭代法收斂.推論１若滿足下列條件之一：（１）第16頁，共35頁，星期日，2025年，2月5日(2)(3)

則迭代法收斂。

推論2：如果A為嚴格對角占優陣，則其Jacobi迭代和Seidel迭代對任何初始向量x(0)都收斂。

推論3：如果A為對稱正定陣，則其Seidel迭代對任何初始向量x(0)都收斂。

第17頁，共35頁，星期日，2025年，2月5日下面給出

迭代法的誤差估計定理３：若，則對迭代法有實用的第18頁，共35頁，星期日，2025年，2月5日證明:第19頁，共35頁，星期日，2025年，2月5日三．例題及求解例：用迭代法解方程組AX=b,其中[已知該方程的解為]

解：本題分別用簡單迭代法（Jacobi迭代法）和GS迭代法來解(1)簡單迭代法

第20頁，共35頁，星期日，2025年，2月5日表１第21頁，共35頁，星期日，2025年，2月5日第22頁，共35頁，星期日，2025年，2月5日表2返回第23頁，共35頁，星期日，2025年，2月5日四.相關程序設計原始數據（A,b)可用一個二維數組存儲，也可將A用一個二維數組，b用一個一維數組分別存儲，存儲需要一個一維數組．程序中應方便地對迭代方法和終止條件的選擇以及對初始向量和值的設置．在迭代過程中，為反映迭代情況，可設置一些中間數據的輸出，如迭帶次數，迭代向量，迭代殘向量等．當然不需要每迭代一次都作輸出．這可作為收斂情況或不收斂情況的分析．作為不收斂的判定，可設置一個大的整數，當迭帶次數超過該數時作為不收斂處理．GS迭代法的計算公式為：第24頁，共35頁，星期日，2025年，2月5日開始TFTFT第25頁，共35頁，星期日，2025年，2月5日下面給出一個應用BASIC程序解方程組的例子：程序如下運行：5REMGAUSS-SELDEL10INPUTN,E,M20DIMA(N,N),B(N),X(N),Y(N)30FORI=1,TON40FORJ=1,TON50READA(I,J)第26頁，共35頁，星期日，2025年，2月5日

60NEXTJ70READB(I)80NEXTI90FORI=1TON100READX(I)110NEXTI120FORK=1TOM130R=0140FORI=1TON150S=0160T=X(I)170FORJ=1TON

第27頁，共35頁，星期日，2025年，2月5日180IFJ=1THEN210190P=A(I,J)*X(S)200S=STP210NEXTJ220X(I)=(B(I)-S)/A(I,I)230IFABS(X(I0-T)>RTHENR=ABS(S(I)-T)240NEXTI250PRINTK;”-”;:FORI=1TON:PRINT“X(‘;I;”)=“;INT((X(I)*100000+0.5)/100000;:NEXTI:PRINT255IFR<1THEN280260NEXTK..:第28頁，共35頁，星期日，2025年，2月5日270PRINT“DREDAISHBAI”280 END290 DATA10,-1,-2,7.2300 DATA-1,10,-2,8.3310 DATA-1,-1,5,4.2320 DATA0,0,0 RUN ?3,10E-6,20返回第29頁，共35頁，星期日，2025年，2月5日五.方法優缺點討論

由以上例題的求解過程可明顯看出GS迭代法的收斂速度比簡