專題拓展課一小船過河與速度關聯模型問題【學習目標要求】1.通過實例分析進一步理解運動的合成與分解的原理。2.會用運動合成與分解的思想分析小船過河問題。3.會分析實際運動中的兩類速度關聯模型問題。拓展點1小船過河問題1.認識兩個分運動(1)船相對地的運動(即船在靜水中的運動)，它的方向與船頭的指向相同。(2)船隨水漂流的運動，它的方向與河岸平行。2.區別三個速度：水流速度v水、船在靜水中的速度v船、船的實際速度(即船的合速度)v合。3.兩類最值問題(1)渡河時間最短問題由于水流速度始終沿河岸方向，不能提供指向河對岸的分速度。因此若要渡河時間最短，只要使船頭垂直于河岸航行即可。由圖甲可知，t短＝eq\f(d,v船)，此時船渡河的位移x＝eq\f(d,sinθ)，位移方向滿足tanθ＝eq\f(v船,v水)。甲(2)渡河位移最短問題①v水＜v船最短的位移為河寬d，此時渡河所用時間t＝eq\f(d,v船sinθ)，船頭與上游河岸夾角θ滿足cosθ＝eq\f(v水,v船)，如圖乙所示。乙②若v水>v船，如圖丙所示，從出發點A開始作矢量v水，再以v水末端為圓心，以v船的大小為半徑畫圓弧，自出發點A向圓弧作切線即為船位移最小時的合運動的方向。這時船頭與上游河岸夾角θ滿足cosθ＝eq\f(v船,v水)，最短位移x短＝eq\f(d,cosθ)，而渡河所用時間仍用t＝eq\f(d,v船sinθ)計算。丙【例1】(2021·山東濟南市高一期末)小船橫渡一條河，船頭方向始終與河岸垂直。若小船相對水的速度大小不變時，小船的運動軌跡如圖所示，則()A.由M到N水流速度一直增大B.由M到N水流速度一直減小C.由M到N水流速度先增大后減小D.由M到N水流速度先減小后增大答案B解析從軌跡曲線的彎曲形狀可知，加速度的方向水平向左，知由M到N水流速度減小，即越靠近對岸水速越小。故選項B正確?！纠?】已知某船在靜水中的速度為v1＝5m/s，現讓船渡過某條河，假設這條河的兩岸是理想的平行線，河寬為d＝100m，水流速度為v2＝3m/s，方向與河岸平行，(1)欲使船以最短時間渡河，渡河所用時間是多少？位移的大小是多少；(2)欲使船以最小位移渡河，渡河所用時間是多少？(3)若水流速度為v2′＝6m/s，船在靜水中的速度為v1＝5m/s不變，船能否垂直河岸渡河？答案(1)20s20eq\r(34)m(2)25s(3)不能解析(1)由題意知，當船在垂直于河岸方向上的分速度最大時，渡河所用時間最短，河水流速平行于河岸，不影響渡河時間，所以當船頭垂直于河岸渡河時，所用時間最短，最短時間為t＝eq\f(d,v1)＝eq\f(100,5)s＝20s。如圖甲所示，當船到達對岸時，船沿平行于河岸方向也發生了位移，由幾何知識可得，船的位移為l＝eq\r(d2＋x2)，由題意可得x＝v2t＝3×20m＝60m，代入得l＝20eq\r(34)m。(2)船在靜水中的速度為v1＝5m/s，大于水流速度v2＝3m/s，故當船的實際速度方向垂直于河岸時，船的位移最小，如圖乙所示，設船斜指向上游河對岸，且與河岸所成夾角為θ，則有cosθ＝eq\f(v2,v1)＝0.6，則船的實際速度v＝v1sinθ＝5×0.8m/s＝4m/s，所用的時間為t＝eq\f(d,v)＝eq\f(100,4)s＝25s。(3)當水流速度v2′＝6m/s時，則水流速度大于船在靜水中的速度v1＝5m/s，不論v1方向如何，其合速度方向總是偏向下游，故不能垂直河岸渡河?！踞槍τ柧?】(2021·江蘇泰州市高一月考)小船勻速橫渡一條流速穩定的河流，第一次船頭垂直對岸方向航行時，在出發后20s到達對岸下游60m處；第二次船頭保持與河岸成53°角向上游航行時，小船能垂直河岸到達正對岸，則第二次過河的時間為()A.10s B.20sC.25s D.50s答案C解析第一次船頭垂直對岸方向航行時，出發后20s到達對岸下游60m處，則有水流速度的大小v1＝eq\f(x,t0)＝eq\f(60,20)m/s＝3m/s第二次船頭保持與河岸成θ＝53°角向上游航行時，如圖所示依據三角函數，則有v2＝eq\f(v1,cos53°)＝eq\f(3,0.6)m/s＝5m/s根據第一次渡河，河寬d＝v2t0＝5×20m＝100m則第二次過河時間t1＝eq\f(d,v2sin53°)代入數據，解得第二次過河的時間為t1＝eq\f(100,5×0.8)s＝25s。拓展點2兩類速度關聯模型1.速度關聯概述速度關聯問題一般是指物拉繩(或桿)和繩(或桿)拉物問題。高中階段研究的繩都是不可伸長的，桿都是不可伸長且不可壓縮的，即繩或桿的長度不會改變。繩、桿等連接的兩個物體在運動過程中，其速度通常是不一樣的，但兩個物體沿繩或桿方向的速度大小相等，我們稱之為速度關聯。2.兩種模型介紹(1)繩牽聯模型單個物體的繩子末端速度分解：如圖甲所示，將物體實際運動的速度v物正交分解在垂直于繩子方向的分速度v⊥和沿繩方向的分速度v∥，注意切勿將繩子速度分解。甲乙兩個物體的繩子末端速度分解：如圖乙所示，兩個物體的速度都需要正交分解，其中兩個物體的速度沿著繩子方向的分速度是相等的，即vA∥＝vB∥。如圖丙所示，將圓環的速度分解成沿繩方向和垂直于繩方向的分速度，B的速度與A沿繩方向的分速度相等，即vA∥＝vB。丙丁(2)桿牽聯模型如圖丁所示，將桿的兩個端點的速度沿桿和垂直于桿的方向正交分解，則沿桿方向的分速度大小相等，即vA∥＝vB∥。3.基本解題思路第一步：先確定合運動，即物體的實際運動。第二步：確定合運動的兩個實際作用效果，一是沿繩(或桿)方向的平動效果；二是沿垂直于繩(或桿)方向的轉動效果。即將實際速度正交分解為垂直于繩(或桿)和平行于繩(或桿)方向的兩個分量并作出運動矢量圖。第三步：根據沿繩(或桿)方向的速度相等列方程求解?！纠?】(2021·南昌市新建一中期中)如圖所示，物體A以速度v沿桿勻速下滑，A用細繩通過定滑輪拉物體B，當繩與水平夾角為θ時，B的速度為()A.vsinθ B.vcosθC.eq\f(v,cosθ) D.eq\f(v,sinθ)答案A解析將A物體的速度按圖示兩個方向分解，如圖所示可得繩子速率v繩＝vsinθ，而繩子速率等于物體B的速率，則有物體B的速度大小為vB＝v繩＝vsinθ，故A正確，B、C、D錯誤?！踞槍τ柧?】如圖所示，一根長直輕桿AB靠在墻角沿豎直墻和水平地面向下滑動。當AB桿和墻的夾角為θ時，桿的A端沿墻下滑的速度大小為v1，B端沿地面滑動的速度大小為v2，則v1、v2的關系是()A.v1＝v2 B.v1＝v2cosθC.v1＝v2tanθ D.v1＝v2sinθ答案C解析將桿的A、B兩端的速度分解為沿AB桿方向和垂直于AB桿方向，由于AB不可伸長，A、B兩端沿AB桿方向的速度分量相同，則有v1cosθ＝v2sinθ，即v1＝v2tanθ，故C正確，A、B、D錯誤?！舅季S建構】【動態圖解】類比于只有一個力方向發生變化的動態平衡問題，可應用動態矢量三角形解決問題。1.固定水速矢量箭頭不動，將船速矢量箭頭繞水速矢量箭頭的末端轉動，如圖所示，則船速矢量箭頭的末端在一個圓周上移動，根據三角形定則，合速度矢量的末端也就在這個圓周上移動。2.當合速度v⊥v船時，合速度v與河岸夾角最大，位移最小。【題目示例】(多選)小明、小美、園園和小紅去劃船，碰到一條寬90m的河，他們在靜水中劃船的速度為3m/s，現在他們觀察到河水的流速為5m/s，關于渡河的運動，他們有各自的看法，其中正確的是()A.小紅說：要想到達正對岸就得船頭正對河岸劃船B.小美說：不論怎樣調整船頭方向都不能垂直到達正對岸C.小明說：渡過這條河的最短距離是150mD.園園說：以最短位移渡河時，需要用時30s【規范分析】答案BC解析如圖(1)所示，船頭正對對岸劃船，合速度方向傾斜，無法到達正對岸，選項A錯誤；如圖(2)若要垂直到達正對岸，需要滿足v船>v水，該題中v水>v船，所以不論怎樣調整船頭方向都不能垂直到達正對岸，選項B正確；如圖(3)所示，當v⊥v船時，合速度v與河岸夾角最大，位移最小。根據三角形相似eq\f(d,s)＝eq\f(v船,v水)，解得s＝150m，選項C正確；以最短位移渡河時，所需時間t＝eq\f(s,\r(veq\o\al(2,水)－veq\o\al(2,船)))＝37.5s，選項D錯誤。【方法感悟】所有矢量運算都滿足平行四邊形定則和三角形定則。當碰到一個矢量大小方向不變，另一個矢量要么大小不變，要么方向不變，求解第三個矢量時，我們就可以大膽嘗試用這種動態圖解法畫圖，往往垂直“出”最小。1.(小船過河問題)(2021·高臺縣一中高一期中)小船過河時，船頭偏向上游與水流方向成α角，船相對靜水的速度為v，其航線恰好垂直于河岸?，F水流速度稍有增大，為保持航線不變，且準時到達對岸，下列措施中可行的是()A.增大α角，增大船速vB.減小α角，增大船速vC.減小α角，保持船速v不變D.增大α角，保持船速v不變答案A解析由題意可知，船相對靜水的速度為v，其航線恰好垂直于河岸。因為合速度方向指向河岸且大小不變，如圖所示，可得當水流速度增大時，可增大船速v，同時增大α角，故A符合題意，B、C、D不符合題意。2.(繩牽聯模型)(2021·山東濰坊七中高一檢測)如圖，在一棵大樹下有張石凳子，上面水平擺放著一排香蕉。小猴子為了一次拿到更多的香蕉，它緊抓住軟藤擺下，同時樹上的老猴子向上拉動軟藤的另一端，使得小猴子到達石凳子時保持身體水平向右方向運動。已知老猴子以恒定大小的速率v拉動軟藤，當軟藤與豎直方向成θ角時，小猴子的水平運動速度大小為()A.vcosθ B.vsinθC.eq\f(v,cosθ) D.eq\f(v,sinθ)答案D解析由題意知，小猴子沿繩子方向的速度等于老猴子拉繩子的速度，如圖所示，小猴子沿水平方向的速度為v′，即v＝v′sinθ，所以小猴子沿水平方向的運動速度v′＝eq\f(v,sinθ)，D正確。3.(桿牽聯模型)如圖所示，一輕桿兩端分別固定質量為mA和mB的兩個小球A和B(可視為質點)，將其放在一個直角光滑槽中。已知當輕桿與槽左壁成α角時，A球沿槽下滑的速度大小為vA，求此時B球的速度vB的大小。答案eq\f(vA,tanα)解析A球以vA的速度沿斜槽滑下時，可分解為一個使桿壓縮的分運動，設其速度為vA1，另一個使桿轉動的分運動，設其速度為vA2。而B球沿斜槽上滑的運動可分解為一個使桿伸長的分運動，設其速度為vB1，vB1＝vA1，另一個使桿轉動的分運動，設其速度為vB2。由圖可知vA1＝vAcosα，vB1＝vBsinα，故vB＝eq\f(vA,tanα)。課時定時訓練(限時30分鐘)題組一小船過河問題1.一小船船頭垂直河岸渡河，從出發到河中間劃行速度逐漸增大，然后劃行速度逐漸減小到達對岸。假設河水流速保持不變，則小船運動的全過程中軌跡可能是下列圖中的()答案C解析水流速保持不變，船的速度先增大，當過河中間后開始減速運動，根據曲線運動的條件，運動軌跡偏向加速度方向，故C正確，A、B、D錯誤。2.(2021·泰安一中高一期中)已知河水的流速為v1，小船在靜水中的速度為v2，且v2＞v1，圖中用小箭頭表示小船及船頭的指向，則能正確反映小船在最短時間內渡河、最短位移渡河的情景圖依次是()A.①② B.①⑤C.④⑤ D.②③答案C解析小船渡河類問題，若要小船在最短時間內渡河，則船頭垂直河岸，且位移偏向下游，④對；已知v2＞v1，小船速度與水流速度的合速度垂直河岸時，小船以最短位移渡河，此時船頭指向上游，⑤對，故C正確。3.(多選)(2021·昆山陸家高級中學高一期末)一小船在靜水中的速度為3m/s，它在一條河寬150m，流速為4m/s的河流中渡河，則下列說法正確的是()A.小船能夠到達正對岸B.小船渡河時間不少于50sC.小船以最短時間渡河時，它沿水流方向的位移大小為200mD.小船以最短位移渡河時，位移大小為150m答案BC解析因為船在靜水中的速度小于河水的流速，由平行四邊形定則求合速度不可能垂直河岸，小船不可能垂直河岸到達正對岸，最短位移不可能為河寬150m，故A、D錯誤；當船在靜水中的速度垂直河岸時，渡河時間最短tmin＝eq\f(d,v船)＝50s，故B正確；船以最短時間渡河時，它沿水流方向的位移大小x＝v水tmin＝200m，故C正確。題組二兩類速度關聯模型4.如圖所示，重物M沿豎直桿下滑，并通過繞過定滑輪的繩子帶動小車m沿斜面上升。則當滑輪右側的繩子與豎直方向成θ角且重物下滑的速度為v時，小車的速度為()A.vcosθ B.vsinθC.eq\f(v,cosθ) D.vtanθ答案A解析將重物M的速度沿繩方向和垂直繩方向分解，得沿繩方向的速度為v繩＝vcosθ，即小車m的速度，故A正確。5.如圖所示，一輕桿兩端分別固定質量為mA和mB的小球A和B(A、B均可視為質點)。將其放在一個光滑球形容器中從位置1開始下滑，當輕桿到達位置2時球A與球形容器球心等高，其速度大小為v1，已知此時輕桿與水平面成θ＝30°角，球B的速度大小為v2，則()A.v2＝eq\f(1,2)v1 B.v2＝2v1C.v2＝v1 D.v2＝eq\r(3)v1答案C解析小球A與球形容器球心等高，速度v1方向豎直向下，速度分解如圖所示，有v11＝v1sin30°＝eq\f(1,2)v1，由幾何關系可知小球B此時速度方向與桿成α＝60°角，因此v21＝v2cos60°＝eq\f(1,2)v2，兩球沿桿方向的速度相等，即v21＝v11，解得v2＝v1，C正確。6.如圖所示，做勻速直線運動的汽車A通過一根繞過定滑輪的長繩吊起一重物B，設重物和汽車的速度大小分別為vB、vA，則()A.vA＝vBB.vA<vBC.繩子對B的拉力大于B的重力D.繩子對B的拉力等于B的重力答案C解析根據運動的分解原理，沿繩方向的速度分量相等，設A端繩與水平方向夾角為θ，則vAcosθ＝vB，vA>vB，故A、B錯誤；A向左運動，θ減小，vB增加，加速度方向向上，繩子對B的拉力大于B的重力，故C正確，D錯誤。7.如圖所示，有兩條位于同一豎直平面內的水平軌道，軌道上有兩個物體A和B，它們通過一根繞過定滑輪O的不可伸長的輕繩相連接，物體A以速度vA＝20m/s勻速向右運動，在繩子與水平軌道成α＝30°角時，物體B的速度大小vB為()A.10eq\r(3)m/s B.eq\f(40\r(3),3)m/sC.40m/s D.10m/s答案B解析將B的速度沿繩方向和垂直繩方向分解，如圖所示，則有vA＝v2＝vBcos30°，解得vB＝eq\f(vA,cos30°)＝eq\f(40\r(3),3)m/s，故B正確。8.(多選)(2020·廣州實驗學校高一月考)在一條寬度d＝16m的河流中，水流速度v水＝5m/s，船在靜水中的速度v靜＝4m/s，小船從A碼頭出發，取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，則下列