24章圓24.4直線與圓的位置關系第2課時切線的性質和判定140°11521.5答案呈現溫馨提示：點擊進入講評23456DD789101190°或125°1．[2024·浙江]如圖，AB是⊙O的直徑，AC與⊙O相切，A為切點，連接BC.已知∠ACB＝50°，則∠B的度數為________．40°返回【點撥】∵AB是⊙O的直徑，AC與⊙O相切，A為切點，∴BA⊥AC.∴∠BAC＝90°.又∵∠ACB＝50°，∴∠B＝90°－50°＝40°.故答案為40°.115返回【點撥】如圖，連接OC.∵DC切⊙O于C，∴∠DCO＝90°.又∵∠D＝40°，∴∠COB＝∠D＋∠DCO＝130°.2返回4．[2024·合肥蜀山區二模]如圖，AB是⊙O的直徑，弦CE⊥AB，過點C作⊙O的切線交BA的延長線于點D，若AM＝1，BM＝5則AD＝________．1.5【點撥】如圖，連接CO.∵AM＝1，BM＝5，∴AB＝6.∴OA＝OB＝OC＝3.∵CD為⊙O的切線，CE⊥AB，∴∠DCO＝∠CMO＝90°.返回5．如圖，已知△POM，點M在⊙O上，點P在⊙O外，OP交⊙O于點N，以下條件不能判定PM是⊙O的切線是(

)A．∠O＋∠P＝90°B．∠O＋∠P＝∠OMPC．OM2＋PM2＝OP2D．點N是OP的中點【點撥】返回【答案】DA∵∠O＋∠P＋∠OMP＝180°，且∠O＋∠P＝90°，∴∠OMP＝90°.可知PM是⊙O的切線，故不符合題意B∵∠O＋∠P＋∠OMP＝180°，且∠O＋∠P＝∠OMP，∴∠OMP＝90°.可知PM是⊙O的切線，故不符合題意C∵OM2＋PM2＝OP2，∴△OMP是直角三角形，且∠OMP＝90°.可知PM是⊙O的切線，故不符合題意D點N是OP的中點不能得出∠OMP＝90°，即不能判定PM是⊙O的切線，故符合題意6.如圖，AB是△ABC外接圓的直徑，O為圓心，CH⊥AB，垂足為H，且∠PCA＝∠ACH，CD平分∠ACB，交⊙O于點D，連接BD，AP＝2.(1)判斷直線PC是否為⊙O的切線，并說明理由；【解】PC

是⊙O的切線.理由：如圖，連接OC.∵CH⊥AB，∴∠ACH＋∠OAC＝90°.又∵∠PCA＝∠ACH，∴∠PCA＋∠OAC＝90°.∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC.∴∠PCA＋∠OCA＝90°，即∠PCO＝90°.又∵OC為⊙O的半徑，∴PC

是⊙O的切線.(2)若∠P＝30°，求AC，BC，BD的長．返回7．如圖，AB是半圓O的直徑，點C在半圓上(不與A，B重合)，DE⊥AB于點D，DE交BC于點F，下列條件中能判定CE是切線的是(

)A．∠E＝∠CFEB．∠E＝∠ECFC．∠ECF＝∠EFCD．∠ECF＝60°【點撥】連接OC.∵DE⊥AB，∴∠BDF＝90°.∴∠B＋∠DFB＝90°.∵∠EFC＝∠BFD.∴∠B＋∠EFC＝90°.∵OC＝OB.∴∠OCB＝∠B.∵∠ECF＝∠EFC，∴∠OCB＋∠ECF＝90°，即∠OCE＝90°.∴OC⊥CE.又∵OC是⊙O的半徑，∴CE是⊙O的切線．故選C.【答案】C【點方法】圓的切線一定是垂直于經過切點的半徑的，故此題中要使CE是切線，第一步就要連接OC，構造過切點的半徑．對切線判定理解不夠透徹就不能夠正確作出輔助線．返回8.如圖①是我國明末《崇禎歷書》之《割圓勾股八線表》中所繪的割圓八線圖．如圖②，根據割圓八線圖，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，AC和BE都是⊙O的切線，點A和點B是切點，BE交OC于點E，OC交⊙O于點D，AD＝CD.若OA＝3，則CE的長為________．【點撥】∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.∵CD＝AD，∴∠C＝∠CAD.∴∠OAD＝∠ODA＝∠C＋∠CAD＝2∠CAD.∵AC是⊙O的切線，點A是切點，∴∠OAC＝90°，即3∠CAD＝90°.∴∠CAD＝30°.∴∠C＝30°.易得∠BOD＝30°.返回9．[2024·寧波一模]如圖，△ABC中，∠BAC＝35°，邊BC與以AB為直徑的⊙O相切于點B，將△ABC繞點A順時針旋轉，記旋轉角度為α(0°<α<180°)，旋轉過程中，△ABC的邊與⊙O相切時，α的值為________．90°或125°【點撥】當AB與⊙O相切時，如圖①，

旋轉角α的值為90°.當AC與⊙O相切時，如圖②，此時，旋轉角α的值為90°＋35°＝125°.故答案為90°或125°.返回10．[2024·鹽城]如圖，點C在以AB為直徑的⊙O上，過點C作⊙O的切線l，過點A作AD⊥l，垂足為D，連接AC，BC.(1)求證：△ABC∽△ACD；【證明】如圖，連接OC.∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAB.∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°.∵l是⊙O的切線，∴OC⊥l.∵AD⊥l，∴∠D＝90°，OC∥AD.∴∠CAD＝∠ACO＝∠CAB.又∵∠D＝∠ACB＝90°，∴△ABC∽△ACD.(2)若AC＝5，CD＝4，求⊙O的半徑．返回11.某種在同一平面進行轉動的機械裝置如圖①，圖②是它的示意圖，其工作原理是：滑塊Q在平直滑道l上可以左右滑動，在Q滑動的過程中，連桿PQ也隨之運動，并且PQ帶動連桿OP繞固定點O擺動．在擺動過程中，兩連桿的接點P在以OP為半徑的⊙O上運動．數學興趣小組為進一步研究其中所蘊含的數學知識，過點O作OH⊥l于點H，并測得OH＝4分米，PQ＝3分米，OP＝2分米．解決問題：(1)點Q與點O間的最小距離是________分米；點Q與點O間的最大距離是________分米；點Q在l上滑到最左端的位置與滑到最右端位置間的距離是________分米．456【點撥】∵點Q運動到點H時，點Q與點O間的距離最小，OH＝4分米，∴點Q與點O間的最小距離是4分米.∵點O，P，Q在一條直線上時，點Q與點O間的距離最大，∴最大距離是OP＋PQ＝2＋3＝5(分米).(2)如圖③，有同學說：“當點Q滑動到點H的位置時，PQ與⊙O是相切的．”你認為這個判斷對嗎？說明理由．【解】不對．理由如下：當Q，H重合時，OQ＝OH＝4分米.∵OP＝2分米，PQ＝3分米，42≠32＋22，即OQ2≠PQ2＋OP2，∴△QPO不是直角三角形.∴OP與PQ不垂直．∴PQ與⊙O不相切.(3)當OP繞點O左右擺動時，所掃過的區域為扇形，求這個扇形面積最大時圓心角的度數．【解】∵PQ＝3分米，只有PQ⊥l時，點P到直線l的距離最大，∴在⊙O上存在點P，P′到l的距離為3分米．此時，OP將不能再向下轉