第24章圓24.5三角形的內切圓1CDA答案呈現溫馨提示：點擊進入講評23456AB789101112C49C13返回1．如圖，有一塊三角形材料(△ABC)，請你畫出

一個圓，使其與△ABC的各邊都相切．【解】如圖所示，⊙P即為所求作的圓.2.下列說法錯誤的是(

)A．三角形的內切圓與三角形的三邊都相切B．一個三角形一定有唯一一個內切圓C．一個圓一定有唯一一個外切三角形D．等邊三角形的內切圓與外接圓是同心圓返回【點撥】一個圓可以有無數個外切三角形，但一個三角形只有一個內切圓.返回【答案】C返回【點撥】∵點O到AB，BC，AC三邊的距離相等，∴點O是△ABC的內心，即點O是角平分線的交點．故選D.返回【答案】D4．如圖，⊙I是△ABC的內切圓，D，E，F為三個切點．若∠DEF＝52°，則∠A的度數為(

)A．76°B．68°C．52°D．38°返回【點撥】連接ID，IF.∵⊙I是△ABC的內切圓，D，F為⊙I的切點，∴ID⊥AB，IF⊥AC.∴∠IDA＝∠IFA＝90°.又∵⊙I中，∠DIF

＝2∠DEF＝104°，∴∠A＝360°－90°－90°－∠DIF＝76°.故選A.返回【答案】A5.《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有下列問題“今有勾八步，股十五步，問勾中容圓徑幾何？”其意思是：“今有直角三角形，勾(短直角邊)長為8步，股(長直角邊)長為15步，求該直角三角形能容納的圓(內切圓)的直徑”，則該圓的直徑為(

)A．6步

B．5步

C．4步

D．3步返回返回【答案】A返回返回【答案】B【點撥】根據點D是△ABC的內心，畫出△ABC的內切圓⊙D，如圖，過點D作DE⊥AB，DF⊥BC，DH⊥AC，垂足分別為點E，F，H，連接AD，CD.返回返回【答案】C8．[2024·濱州校級聯考]我國古代數學家趙爽的“弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形(如圖所示)．若直角三角形的內切圓半徑為2，大正方形的面積為169，則小正方形的面積為________．49返回返回【點撥】∵△ABC是等邊三角形，∴△ABC的內切圓和外接圓是同心圓.如圖，設圓心為O，連接AO并延長，交BC于點D.設AC與△ABC的內切圓切于點E，連接OE，則OD＝OE＝r，AO＝R，AD＝h，∴h＝R＋r，故A正確；返回【答案】C10．[2024·內江]如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，E是BC邊上一點，且BE＝2，點I是△ABC的內心，BI的延長線交AC于點D，P是BD上一動點，連接PE，PC，則PE＋PC的最小值為________．【點撥】如圖，在AB上取點F，使BF＝BE＝2，連接PF，CF，過點F作FH⊥BC于點H.∵I是△ABC的內心，∴BI平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.又∵BP＝BP，BF＝BE，∴△BFP≌△BEP(SAS)，∴PF＝PE，∴PE＋PC＝PF＋PC≥CF.返回(5，1)(8099，1)【點撥】如圖，作PD⊥OA于點D，PF⊥OB于點F，PE⊥AB于點E，連接AP，OP，PB，則PD＝PE＝PF.易知P1，P2，P3，…Pn的縱坐標均為1.設P1的橫坐標為x，根據切線長定理可得x－3＝3－1，解得x＝5，∴P1(5，1).易得P2的坐標為(3＋5＋4－1，1)，即(11，1)；P3的坐標為(3＋5＋4＋1，1)，即(13，1).返回∵每滾動3次為一個循環，2024÷3＝674……2，∴第2024次滾動后，Rt△OAB內切圓的圓心P2024的橫坐標是674×(3＋4＋5)＋11＝8099，∴P2024(8099，1).12．[2024·合肥蜀山區一模]如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓上不同于A，B的一點，I是△ABC的內心，AI的延長線交半圓O于點D，連接BI，BD，IO.(1)求證：DI＝DB；(2)若BD＝2，IO⊥BI，求AI的長．返回∵BD＝2，∴OE＝1.∵IO⊥BI，∴∠BIO＝90°，∴∠OIE＋∠BID＝90°，∴∠OIE＝45°，∴∠IOE＝45°＝∠OIE.∴IE＝OE＝1.∵DI＝DB＝2，∴AE＝DE＝3，∴AD＝6，∴AI＝AD－DI＝6－2＝4.13．如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，∠A＝60°，⊙O與邊AB，AC相切于點E，F