大招15對(duì)數(shù)平均不等式大招總結(jié)基本不等式鏈:已知a>0,b>0,21a+1b對(duì)數(shù)平均不等式:對(duì)于正數(shù)a,b,且a≠b,定義a?bln?a?ln?b為a,b的對(duì)數(shù)平均值,且若證明：證法1(比值代換)令t=a?t證法2(主元法)不妨設(shè)a>記f(a)=ln?a?ln?b?ab證法3(構(gòu)造函數(shù)法)先證:ab要證ab<a?bln?a?ln?b,只需證ln?a?ln?b=a?bab?ln?再證:a要證a?bln?a?ln?b<a+b2,只需證a?ba+b<∴常見等價(jià)變形:ln?用對(duì)數(shù)平均數(shù)求證極值點(diǎn)偏移問題的步驟:(1)根據(jù)fx(2)等量關(guān)系中如果含有參數(shù),可考慮消參;如果含有指數(shù)式,可考慮兩邊取對(duì)數(shù);(3)通過恒等變形轉(zhuǎn)化出對(duì)數(shù)平均數(shù),代人對(duì)數(shù)平均不等式求解.典型例題【題型1】證明極值點(diǎn)偏移問題例1.)已知函數(shù)f(x)=xe?x解證明:即x1e?x1=x2e?x例2.已知函數(shù)f(x)=xln?x的圖像與直線解證明:由x1ln?x1=x2ln?x2=例3.設(shè)函數(shù)f(x)=ln?x?解證明:由題意得ln?x1?ax12+(2?a)x1例4.設(shè)函數(shù)f(x)=ex?ax解；證明:f'x1x2<0.證明:f(x)=0即ex=a(x?1)a①+②得x1+x2=2ln?a【題型2】b>例5.設(shè)函數(shù)f(x)=ln?(1+x),g(x)=xf'(解：因?yàn)間(x)=x1+x,所以g(1)+g(2)+?+g(n)=12+23+?+nn+1=n?12+13+?+1n+1【說明】本題是高考試題的壓軸題,難度較大,我們這里應(yīng)用對(duì)數(shù)平均數(shù)不等式鏈來證明,思路簡(jiǎn)捷,別具新意,易于學(xué)生理解、掌握,也可以利用之前講的數(shù)列不等式.當(dāng)b>a>0時(shí),b?aln?b?ln?a例6.已知函數(shù)f(x)=解證明:易求a=1,待證不等式等價(jià)于23+25+27+?+22n?1<ln?(2n+1),根據(jù)2【題型3】a2例7.設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)an=1n(n解證明:根據(jù)b>a>0時(shí),a2+b22>b?【題型4】a+例8.設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)an=1+解證明:根據(jù)時(shí),a+b2>b?aln?b?ln?a【題型5】b?例9.已知函數(shù)f(x)=ax+證明:1+解證明:當(dāng)b>a>0時(shí),b令a=n,所以ln?2?ln?1<1ln?(n+1)?ln?nln?(n即ln?(n+1)<1+1故1+1【題型6】b?例10.已知f(求證:24×12解證明:根據(jù)時(shí),.即.令,則,變形可得:將以上各不等式左右兩邊相加得:對(duì)一切正整數(shù)均成立.自我檢測(cè)1.已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),則下列說法錯(cuò)誤的是A. B. C. D.有極小值點(diǎn),且解析：函數(shù)導(dǎo)函數(shù):,有極值點(diǎn),而極值正確;有兩個(gè)零點(diǎn):,即:(2)(1)-(2)得:,根據(jù)對(duì)數(shù)平均值不等式:,而正確,錯(cuò)誤,而(1)+得,即成立.2.設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)是,求證:證明:3.已知函數(shù)和,若存在兩個(gè)實(shí)數(shù)且,滿足,求證:證明:由得,則,得;.4.已知函數(shù)(1)若時(shí),,求的最小值;(2)設(shè)數(shù)列的通項(xiàng),證明:.解析：(1)易得,令,則,若,則當(dāng)時(shí),是增函數(shù),不符合題意;若,則當(dāng)時(shí),是增函數(shù),不符合題意;若,則當(dāng)時(shí),是減函數(shù),符合題意;綜上,的最小值是.(2)當(dāng)時(shí),,即,令,則,所以,,將以上各不等式左右兩邊分別相加得：即,故成套的課件成套