大招6圓錐曲線硬解定理大招總結圓錐曲線與直線的聯立及弦長的計算,一般較為繁瑣,如果借用一些勇哥發明的口訣,可以快速寫出答案,當然一些應該有的過程還是要裝一下樣子的.1.口訣:兩家(加)小兩口方偶方站門外方單身狗如果寫出了這個式子,韋達定理就可以快速寫出兩根之和、兩根之積.2.弦長公式也有口訣可以速算. 口訣:小倍積,大方和成對去見(減)單身方。見完回到分母上3.判別式.只需要記住“成對去見單身方”即可。直線與橢圓相切直線與橢圓相交直線與橢圓相離4麻花公式口訣:大倍積小方積典型例題例1.過橢圓的右焦點作直線與橢圓交于兩點,弦長,則直線的斜率為解方法1:橢圓的,右焦點為,設直線的方程為,代入橢圓方程可得，,即有,由橢圓的第二定義可得,. 解得.故答案為:.方法 設直線方程 由公式得:,所以例2.設橢圓的右焦點為,過的直線與橢圓相交于兩點,直線的傾斜角為,橢圓的離心率為.如果,求橢圓的方程.解方法1:由,得,則橢圓方程為,即∵直線過右焦點,且傾斜角為,∴直線的方程為,聯立,消去得:.設則∴,解得中∴橢圓方程為:.方法2: 設直線方程由公式得:,又,所以解得,橢圓方程為例3.已知橢圓,橢圓的右焦點為,求過點且斜率為1的直線被橢圓截得的弦長;(2)判斷點與橢圓的位置關系,并求以為中點的橢圓的弦所在的直線方程.解方法1:(1)由題意可得:過點且斜率為1的直線方程為,聯立直線與橢圓的方程可得:, 由弦長公式可得:.(2)設以為中點粗圓的弦與橢圓交于,∵為中點, 把分別代入橢圓,得?！唷唷唷嘁詾橹悬c的橢圓的弦所在的直線方程為:,整理,得.方法2: 直線方程 由公式得：例4.(2021秋-寧縣校級期末)已知橢圓的焦距為,短半軸的長為2,過點斜率為1的直線與橢圓交于點.(1)求橢圓的標準方程;(2)求弦的長.解(1)由已知可得:,聯立解得:.∴橢圓的標準方程為.(2)方法1:直線的方程為:,即.設聯立,化為:,, 方法2： 直線方程 由公式得:例5.(2010-山東)如圖,已知橢圓的離心率為,以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點為頂點的三角形的周長為,一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點,設為該雙曲線上異于頂點的任一點,直線和與橢圓的交點分別為和、.(I)求橢圓和雙曲線的標準方程; (II)設直線、的斜率分別為、,證明;(III)是否存在常數,使得恒成立?若存在,求的值;若不存在,請說明理由.解方法1:(I)由題意知,橢圓離心率為,得,又所以可解得,所以,所以橢圓的標準方程為;所以橢圓的焦點坐標為,因為雙曲線為等軸雙曲線,且頂點是該橢圓的焦點,所以該雙曲線的標準方程為.設點,則又點在雙曲線上,∴,即.(III)假設存在常數,使得得恒成立,則由知,∴設直線的方程為,則直線的方程為,由方程組消得:設,則由韋達定理得,, 同理可得,∵ ∴存在常數,使得恒成立.方法2:(II)根據雙曲線第三定義得:(III)假設存在常數,使得得恒成立,則由(II)知,∴設直線的方程為,則直線的方程為,化成一般式,聯立橢圓方程其中由公式得:同理可以得到 自我檢測已知:橢圓,直線,當為何值時,直線與橢圓相切?解：方法1:由得,當直線與橢圓相切時,,即,解得,即時直線與橢圓相切.方法2:改寫一下直線方程,其中時相切,得到2.已知橢圓及點,過與橢圓相切的直線交軸的負半軸于點為橢圓的右焦點,則A. B. C. D. 2.方法1：如圖,設過的直線方程為，聯立,得.由,得.由題意取,則直線方程為,取,得.∴,在中,,∴.∴.故選B.方法2:改寫直線方程然后聯立根據相切得到:,那么,所以3.已知橢圓及圓,如圖過點與橢圓相切的直線交圓于點,若,則橢圓的離心率為()A. B. C. D.解：由,可得為等邊三角形,即,設直線的方程為,圓心到直線的距離為,弦長,解得,可得直線,代人橢圓方程,可得,由直線和橢圓相切,可得： 化簡可得,由,可得,即有故選4.已知橢圓及.(1)當為何值時,直線與橢圓有公共點?(2)若直線被橢圓截得的弦長為,求直線方程.解:(1)把直線代人得,(1)∴.方法1:設直線與橢圓交于,,兩點,由(1)得 ∴,解得.∴所求直線方程為.方法2： 直線方程 由公式得:所求直線方程為.5.已知橢圓以為左右焦點,且與直線相切于點.(1)求橢圓的方程及點的坐標;(2)若直線與橢圓交于兩點,且交于點(異于點),求證:線段長成等比數列.方法1：（1）由題意,設橢圓方程為,聯立橢圓和直線的方程消去得,所以,化簡得,由知,,所以橢圓方程為.將代回原方程組,解得切點的坐標為.方法2：,根據硬解定理相切的時候得到(2)聯立直線與的方程解得點為,又因為,由弦長公式得,所以.設,聯立橢圓與直線的方程,消去得,得則又因為, 所以,所以,又,所以線段長成等比數列.6.已知點是橢圓上一點,是橢圓的兩焦點,且滿足.(I)求橢圓的標準方程;(II)求過與橢圓相切的直線方程.解:(I)∵橢圓上的點滿足,解得橢圓的方程為,把代人得,解得,∴橢圓方程為.(II)方法1:過與軸垂直的直線與橢圓不相切,因此切線的斜率存在.設過的直線方程,由,消去得關于的方程:.令,解得,故所求的切線方程為:.方法2:改寫直線的方程為一般