大招3矩形大法大招總結矩形大法:已知為矩形所在平面內任意一點(即使在矩形外也成立,甚至在空間中),則有,我們可以用三種方法來證明:方法一:勾股定理如圖,是矩形里的一點,連接,過做兩條直線分別平行于.由勾股定理可知,,易知方法二:建立直角坐標系以所在的直線分別為軸建立平面直角坐標系,設,則:所以所以方法三:向量法如圖:在矩形中,所以又因為典型例題例1.(2020春-啟東市校級月考)已知圓,圓,定點,動點分別在圓和圓上,滿足,則線段的取值范圍________.解:方法1:設、,則設中點為,則,∴點的軌跡是以為圓心、半徑等于的圓,∴的取值范圍是,故,故的范圍為,故答案為:.方法2:構造矩形,根據矩形所滿足的性質可得,所以,即,所以點在以原點為圓心,半徑為的圓上運動,故,即,所以點在以原點為圓心,半徑為的圓上運動,故 又因為,所以 例2.(2018-青浦區一模)在平面直角坐標系中,已知兩圓和,又點A坐標為是.上的動點,為上的動點,則四邊形能構成矩形的個數為()A.0個B.2個C.4個D.無數個解：解方法1:如圖所示,任取圓上一點,以為直徑畫圓,交圓與、兩點,若,即可得出四邊形是矩形,由的任意性知,四邊形能構成無數個矩形方法2:取中點,聯結,既∵點的軌跡方程為,設點,∵為中點,∴,帶入點的軌跡方程,得,∴上的每個點都符合題意方法三:當四邊形構成矩形時,有,因為、是上的動點,為上的動點,則點坐標為,故,該等式成立,所以滿足該條件的矩形有無數個.故選D.例3.(2012-江西)在直角三角形中,點是斜邊的中點,點為線段的中點,則()A.2B.4C.5D.10解：解方法以為原點,所在直線為軸,建立如圖坐標系,∵是Rt的斜邊,∴以為直徑的圓必定經過點設,則∵點為線段的中點,∴可得又∵點為線段的中點,所以:，故選D.方法2:構造矩形,根據矩形的性質,有,又因為可得若平面向量滿足,且,則的最小值是（）A.1B.C.D.解：解方法1:由得,等式兩邊平方得:令,上式可化為:即∴,即∴,方法2:設,由,得,可以構造矩形,則有,可得,則,即故選B.運用"矩形大法“解向量模取值范圍問題例5.(2021-漳州模擬)已知,則的取值范圍是（）A.B.C.D.解:如圖1,作,則 以為兩鄰邊構造矩形,由矩形性質得,因為,代入上式得,,而即故的取值范圍是,于是選.自我檢測1.(2013-重慶)在平面上,.若,則的取值范圍是（）A.B.C.D.答案：方法1:根據條件知構成一個矩形,以所在直線為坐標軸建立直角坐標系,設,點的坐標為,則點的坐標為,由,得,則∵∴(1)∵,同理,∴∴由(1)(2)知,∵,故選D.方法構成一個矩形,根據矩形所滿足的性質,即,因為的取值范圍為,可知的取值范圍為2.(2012秋-霍邱縣校級月考)已知向量滿足,則的取值范圍為_____.答案：方法1:∵向量滿足,∴,∴,展開為,∴.∵.故的取值范圍為.故答案為.方法2:設,由,則;過點作平行于的直線,過點作平行于的直線,兩直線相交于點,則四邊形為矩形,根據矩形的性質,有,所以,,又因為,所以:(2015秋-溫州校級期中)已知圓,圓內有定點,圓周上有兩個動點,使,則矩形的頂點的軌跡方程為_____________.答案：方法1:設,又,則.由,得,即.整理得:,即(D)又∵點、在圓上,∴(2)再由,得,整理得:把(1)(2)代人(3)得:.∴矩形的頂點的軌跡方程為:.故答案為:.方法2:因為,那么當為矩形時,有,因為,所以的軌跡是以原點為中心,以為半徑的圓,則的軌跡方程為:(2017-南通一模)在平面直角坐標系中,已知為圓上兩點,點,且,則線段的長的取值范圍為_________.答案：方法1:在平面直角坐標系中,已知為圓上兩點,點,且,如圖所示當時,取得最小值或最大值.由,可得或,由,可得或,解得, 故答案為:.方法2:因為,則可以構造一個矩形,由矩形的性質可知,又因為,則,又因為點在圓內,所以:5.(2014-廣東考)已知橢圓的右焦點為,離心率為.(1)求橢圓的標準方程;(2)若動點為橢圓外一點,且點到橢圓的兩條切線相互垂直,求點的軌跡方程.答案：(1)依題意知,求得,∴橢圓的方程為.(2)方法1:(1)當兩條切線中有一條斜率不存在時,即、兩點分別位于橢圓長軸與短軸的端點,的坐標為,土2),(2)當兩條切線斜率均存在時,設過點的切線為,,整理得,∴,整理得, 把點代人亦成立,∴點的軌跡方程為:.方法2:過點、分別作兩條切線、的對稱點,分別交、于點,再連接、、、、,因為點是的中點且點是的中點,所以,同理可得,因為四邊形是矩形,所以,又因為,所以13,所以點是以原點為圓心,半徑為的圓,故點的軌跡方程為.6.(2021-龍巖期中)已知向量、、滿足:若的最大值和最小值分別為,則等于（）A.B.C.D.答案：如圖2,作,則,由,得,故.以為兩鄰邊構造矩形,由矩形性質得,因為,代人上式得.由得,則.由三角形中線長公式得,則,解得,雨,即,所以,故選D.已知向量:,則的取值范圍是__________.答案：解:由題意畫出大致圖形,可知,可知.在平面直角坐標系中,若動點到直線的距離分別為,且滿足,則的最大值為_____________.答案：由題意,(轉化為線性規劃問題).所以.過圓:外一點作兩條互相垂直的直線和,分別交圓于、和、兩點,則四邊形面積的最大值為____________.答案：由題意,過作圓的切線且切線長為1,根據圓的相交線定理,,理由矩形