/山西省部分學校2025屆高三下學期2月開學聯考考試數學試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知全集，，則（

）A． B． C． D．2．一次演講比賽，位評委給某位選手打出了個原始分，去掉一個最高分和一個最低分后得到個有效分，則這個有效分與個原始分相比，下列一定成立的是（

）A．平均分變小 B．極差變小 C．中位數不變 D．方差變小3．若，則（

）A． B． C． D．4．已知向量和滿足，，，則（

）A． B．2 C．1 D．5．某高中對高三年級的1000名學生進行了一次數學成績測試，得到各同學的數學成績（滿分150分）近似服從正態分布，則得分在區間內的學生大約有（參考數據：若，則，）（

）A．324人 B．90人 C．130人 D．45人6．橢圓的左、右焦點分別為，點為橢圓上一動點，延長到點，使得為線段的中點，則的最小值為（

）A．1 B．2 C． D．47．已知函數，則的最小值為（

）A．1 B．2 C． D．48．若函數有個零點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知函數，函數，則（

）A．與的對稱中心相同B．與有相同的周期C．與在上有1個交點D．函數在（）的值域為10．已知可導函數的導函數為，則（

）A．有2個極值點B．有3個零點C．只可能在或者時取得最小值D．對，恒成立11．已知圓，拋物線的焦點為，直線與從上到下依次交于兩點，與從上到下依次交于兩點，則（

）A．若，則的斜率為B．的最小值為4C．為定值D．可以構成等差數列三、填空題（本大題共3小題）12．數列的前項和滿足，則．13．正方體的棱長為2，則以的中點為球心，為半徑的球與側面相交，則交線（在正方形內部）的長度為．14．甲、乙進行發球比賽，他們實力相當，每次發球命中3分或者命中2分或者未命中，三種情況的概率均為．規則如下：甲、乙輪流發球，一方發完球后交給另一方發球，此時叫做一輪發球，現在甲先發球，乙后發球，經過2輪發球后，甲得分比乙得分高的概率為．四、解答題（本大題共5小題）15．在銳角中，角所對的邊分別為，，．(1)求；(2)記為的中點，求的取值范圍．16．如圖，三棱柱中，平面平面，，．(1)證明：；(2)若，，直線與平面所成的角的正弦值為，求平面與平面夾角的余弦值．17．已知函數．(1)當時，討論的單調性；(2)記函數，已知只有1個零點，求正整數的最小值．18．已知雙曲線的離心率為，分別為的左、右焦點，分別為的左、右頂點，為右支上異于頂點的兩點，點關于坐標原點的對稱點為，當時，，直線與軸分別交于，直線與軸分別交于．(1)求的標準方程；(2)求證：；(3)若為定值，探究直線是否過定點，若是，求出該定點坐標；若不是，說明理由．19．正四面體某個頂點處有一粒子，粒子的運動規律如下：粒子每經過一個時間單位，有的概率仍停留在原頂點，也有可能沿著棱從原頂點移動到另外的頂點，而且移動到另外三個頂點的任何一個都是等可能的．已知在時刻時，粒子在頂點處，若在時刻時，粒子在頂點處記為事件，記此時事件發生的概率為．(1)求；(2)求，并判斷數列的單調性；(3)記，求證：．

參考答案1．【答案】C【詳解】當時，；當時，；當時，；當時，.所以，，又因為，因此，.故選：C.2．【答案】C【詳解】設個原始分分數為，去掉一個最高分和一個最低分后得到個有效分為，對于選項A，原始分的平均數為，有效分的平均數為，則，又具體值不知，所以選項A不一定成立，故選項A錯誤，對于選項B，原始分的極差為，有效分的極差為，則，所以極差不變或變小，故選項B錯誤，對于選項C，原始分的中位數為，有效分的中位數為，所以中位數不變，故選項C正確，對于選項D，若，則原始分與有效分的方差相等，均為，所以選項D錯誤，故選：C.3．【答案】A【詳解】，故．故選：A．4．【答案】A【詳解】由，，，得，，．則．故選：A．5．【答案】C【詳解】由題意，，，則，得分在區間內的學生大約有．故選：C．6．【答案】B【詳解】由題意得，記點，則，即為線段的中點，為線段的中點，則在中，，，則，所以動點的軌跡為以，為焦點的橢圓，其焦距為，長軸長為，短半軸長為，可得的最小值為2．故選：B.7．【答案】D【詳解】，，所以，設，由，可得：，則，所以，，則，當且僅當，即，即時等號成立．故選：D．8．【答案】B【詳解】函數的定義域為，且，所以為偶函數，因為有個零點，所以在上有兩個零點，即與在上有兩個交點，函數與均過點，顯然為兩函數的一個交點，由，則，則，所以函數在處的切線的斜率為，所以或，即實數的取值范圍為．故選：B．9．【答案】CD【詳解】對于A，令，得，令，得，的對稱中心為，的對稱中心為，故與的對稱中心不相同，A錯誤；的最小正周期為，不是的周期，故與的周期不相同，B錯誤；畫出與的圖象可得兩函數在有1個交點，C正確；，且，令，即，在內單調遞減，故，D正確．故選：CD．10．【答案】ACD【詳解】由，易知為奇函數，令，當時，，，故在上單調遞增，，顯然函數在上存在唯一零點，易知函數在上存在唯一零點，由在區間上，，在上，，故在上單調遞減，在上單調遞增，同理可得在上單調遞減，在上單調遞增，由，則易知定義域為，所以可導函數的定義域為，所以函數存在個極值點：，由函數為奇函數，則存在個零點：，故A正確，B錯誤，C正確，D正確．故選：ACD．11．【答案】CD【詳解】拋物線的焦點，直線過點，設，由，得，，，對于A，，，解得，，則，直線的斜率為，A錯誤；對于B，，，，當且僅當時取等號，而直線不垂直于軸，即，B錯誤；對于C，，C正確；對于D，，則，又，于是等式可以成立，即可以構成等差數列，D正確．故選：CD12．【答案】【詳解】，則，，即，故為等比數列，且公比為2，時，，故．故答案為：．13．【答案】/【詳解】如圖：作，垂足為E，則平面，設為球心，為半徑的球與相交于，則，即以的中點為球心，為半徑的球與側面相交，交線為以E為圓心，2為半徑的圓弧（如圖示），在中，，同理，則，所以交線的長度．故答案為：．14．【答案】【詳解】兩輪發球后，甲、乙可能的得分有0，2，3，4，5，6，甲得分比乙得分高的情況有如下可能，乙得分甲得分概率02，3，4，5，623，4，5，634，5，645，656總和所以甲得分比乙得分高的概率為.故答案為：．15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，由正弦定理可得，由，則，，則，整理得，且，，故，又，故．（2）在中，由余弦定理可得，又，因為為銳角三角形，所以，解得．所以，所以．故的取值范圍為．16．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）作于點，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因為平面，所以，．連接，，取中點，因為，所以，，，平面，所以平面，平面，所以．又，，所以為的中點，所以平面為矩形，所以，又，，平面．所以平面，在平面內，所以．（2）由（1）可得與平面所成的角為，故，則，則．以所在直線為軸．所在直線為軸，過作垂直于于點，以所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，，，，，，，，，，設平面的一個法向量為，則，則，設平面的一個法向量為，，則，設平面與平面的夾角為，則．故平面與平面夾角的余弦值為．17．【答案】(1)在區間上單調遞減，上單調遞增(2)【詳解】（1）當時，，，則，當時，；當時，．故在區間上單調遞減，上單調遞增．（2），，因為，令，則或．當時，由，可得或，由，可得：所以在上單調遞增，上單調遞減，上單調遞增，當時，，，，又，因只有1個零點，需使．令，求導得：，又，，易得可知在上單調遞減；又時，，，即存在，使得，因，，又因，故．18．【答案】(1)(2)證明見解析(3)過定點或．【詳解】（1）因為，且與關于原點對稱，所以與互相平分，所以為矩形，在中，，，即，所以，，又，則．所以，故的標準方程為．（2）設，，則，，，同理，，．所以，，．故得證．（3）由（2）可得，設與聯立得到，則代入得到：，解得或，所以直線過定點或．19．【答案】(1)(2)，數列單調遞減(3)證明見解析【詳解】（1）由題意知，在時刻時，粒子在頂點處。經過一個時間單位，粒子有的概率仍留在點，有的概率移動到其他頂點.若要在時刻時粒子仍在頂點處，有兩種情況．第一種情況：時粒子在點，則概率為，且在時粒子仍然停留在點，則概率也為，這種情況的概率為.第二種