/山西省部分高中2024?2025學(xué)年高三下學(xué)期2月開學(xué)摸底數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．若復(fù)數(shù)是方程的一個根，則（

）A．2 B．3 C．5 D．73．若直線，，則下列向量可以作為直線的方向向量的是（

）A． B． C． D．4．已知曲線在處的切線的傾斜角為，則（

）A． B．2 C．3 D．05．已知某圓臺的側(cè)面展開圖如圖所示，，，，則該圓臺的體積為（

）A． B． C． D．6．函數(shù)在上單調(diào)遞增的充要條件是（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式有解，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．已知雙曲線的左，右焦點分別為，，為軸上一點，線段交于點，，的內(nèi)切圓半徑為，，則的離心率是（

）A． B．2 C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）A．B．為奇函數(shù)C．在上單調(diào)遞增D．將圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)的圖象10．已知函數(shù)，則（

）A． B．有極小值C．當(dāng)時， D．當(dāng)時，有4個零點11．在直三棱柱中，，，，分別為棱，的動點且，點在平面上的射影為點，的中點為，則（

）A．存在一半徑為的球，使得三棱柱的所有頂點都在該球面上B．存在一半徑為2的球與三棱柱的所有側(cè)棱相切，與上、下底面也相切C．的中點在以為球心，半徑為的球面上D．點的軌跡長為三、填空題（本大題共3小題）12．已知某同學(xué)10次數(shù)學(xué)測試多項選擇題得分如下：8，12，10，13，9，12，15，11，14，16，則這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為．13．已知，且，則的二項展開式中含項的二項式系數(shù)為．14．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且，則實數(shù)的取值范圍是．四、解答題（本大題共5小題）15．已知的內(nèi)角A，，所對的邊分別為，，，，且，，成等比數(shù)列．(1)求；(2)若點滿足，的外接圓半徑為，求的內(nèi)切圓半徑．16．如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，，平面平面，點，分別是棱，的中點．(1)求平面與平面夾角的余弦值；(2)已知點在棱上，且，平面平面，求三棱錐的體積．17．對于，若數(shù)列滿足（，為常數(shù)）；則稱這個數(shù)列為“數(shù)列”．已知數(shù)列是“數(shù)列”，數(shù)列是“數(shù)列”，且．(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)記，判斷數(shù)列是否是“數(shù)列”.若是，求出，的值，反之說明理由．18．衛(wèi)生檢疫部門在進行病毒檢疫時常采用“逐一檢測”或“混采檢測”（隨機地按人一組平均分成組，然后將各組個人的血樣混合再化驗．如果混管血樣呈陰性，說明這個人全部陰性；如果混管血樣呈陽性，說明其中至少有一人的血樣呈陽性，就需要對每個人再分別化驗一次）．已知某種病毒性疾病在某地的患病率（患病率）為．(1)當(dāng)時，已知某組混管血樣呈陽性，且這5人中只有1人患病．（i）將該組每個人的血液逐個化驗，直到查出患病人員為止．用表示所需化驗次數(shù)，求的期望；（ii）先從該組中取3人的血液混在一起化驗，若呈陽性，則對這3人的血液再逐個化驗，直到查出患病人員；若不呈陽性，則對剩下的2人再逐個化驗，直到查出患病人員．用表示所需化驗次數(shù)，求的期望；(2)已知某次“混采檢測”的血樣總數(shù)為20000，，，記檢驗總次數(shù)為，當(dāng)時，求的最大值．（參考公式及數(shù)據(jù)：，，，，，，）19．已知點為圓上一動點，過點作軸的垂線，垂足為，，記點的軌跡為曲線．(1)求的方程；(2)已知橢圓在變換下保持位置關(guān)系不變性，即點在上，在變換下直線也在上；直線與相切，在變換下直線與也相切．用上述結(jié)論證明：在點處的切線的方程為；(3)已知點為上的動點，點是曲線上的動點，求的最小值．

參考答案1．【答案】C【詳解】由題意得，，，∴，即.故選：C．2．【答案】B【詳解】∵是方程的一個根，則也是該方程的一個根，∴，則，所以．故選：B3．【答案】B【詳解】取上兩點，，則可以作為的一個方向向量．設(shè)為的方向向量，∵，∴，故，即，B選項正確．故選：B.4．【答案】A【詳解】∵，∴曲線在處的切線的斜率為2，即．又∵，故選：A5．【答案】B【詳解】設(shè)圓臺的上，下底面半徑分別為，，則，解得，所以圓臺的上，下底面半徑分別為．如圖1，因為，所以，又由，得到，由，得到，所以圓臺的母線，設(shè)圓臺的高為，如圖2，易知，所以圓臺的體積，故選：B．6．【答案】A【詳解】∵函數(shù)在單調(diào)遞增，∴，即在上恒成立．令，由，得，∴在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，∴是函數(shù)在單調(diào)遞增的充要條件．故選：A7．【答案】A【詳解】設(shè)，由在上單調(diào)遞增，可知，在上單調(diào)遞增，又奇函數(shù)，所以由，可得，∴，，∴在上有解，設(shè)，，易知時，，時，，∴在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，即，∴，故選：A8．【答案】D【詳解】如圖，，，，因為，，可得，即，則，可得，即，所以，．因為在直角中有，即，整理可得，所以的離心率．故選：D.9．【答案】AB【詳解】對于A，由圖像可得，∵，，∴，又，∴，（且），∴即．故A正確；對于B，由A可得為奇函數(shù)，故B正確；對于C，，，當(dāng)時，，C錯誤；對于D，將圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)，故D錯誤．故選：AB.10．【答案】ACD【詳解】A.∵函數(shù)為，，∴且是偶函數(shù)，A正確．B.當(dāng)時，，∵函數(shù)對稱軸為直線，在上單調(diào)遞減，函數(shù)對稱軸為直線，在上單調(diào)遞增，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，無極小值，B錯誤．C.當(dāng)時，①．當(dāng)時，，由得，令，則，由得，由得，∴在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，∴，即②．當(dāng)時，，令，則，由得，，同理可得③，綜合①②③知，若，則，C正確．D.當(dāng)時，由得，.由選項C得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴當(dāng)，時，直線與函數(shù)的圖象有2個交點，即有2個零點，∵，是偶函數(shù)，∴當(dāng)時，有4個零點，D正確．故選：ACD.11．【答案】BC【詳解】對于A，在直三棱柱中，，則，的外接圓半徑為，三棱柱的外接球半徑，A錯誤；對于B，分別是的中點，則以的中點為球心，2為半徑的球，球心到三條側(cè)棱的距離都等于2，且到上下底面距離也都為2，滿足題意，B正確；對于C，，令的中點為，在直角中，，即的中點在以為球心，半徑為的球面上，C正確；對于D，平面，則平面，而平面，則，且點在上，則，，，在直角中，，則點在以為圓心，半徑為的圓上，當(dāng)點與重合時，點與重合，點為的中點；當(dāng)點與重合時，點為中點，而四邊形為正方形，則，因此點的軌跡所對圓角為，軌跡長為，D錯誤．故選：BC12．【答案】14【詳解】將這10次成績從小到大的順序排列如下：8，9，10，11，12，12，13，14，15，16，∵∴該組成績的上四分位數(shù)為排序后的第8個數(shù)字14．故答案為：1413．【答案】20【詳解】由題意得，當(dāng)為偶數(shù)且時，，當(dāng)為奇數(shù)且時，，令得，，∴，∴的二項展開式通項為，由得，故，∴的二項展開式中含項的二項式系數(shù)為．故答案為：20.14．【答案】【詳解】令，,，設(shè)，則，∵，∴，，∴在上單調(diào)遞減，∴．當(dāng)即時，，此時在上單調(diào)遞增，則，又，則，即當(dāng)時滿足題意；當(dāng)即時，，當(dāng)時，，∴，使得．即存在使得，且滿足在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，不滿足題意．綜上所述滿足題意的實數(shù)的取值范圍是．故答案為：15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）∵，∴，即．∵在中由正弦定理得，，，為外接圓半徑．∴①．又∵，，成等比數(shù)列，∴②．由①②得，則，∵，∴；（2）由（1）得．∵，∴，∴．∴在中，，，，∴．∴．設(shè)的內(nèi)心為，內(nèi)接圓半徑為，如圖則，即．∴，．16．【答案】(1)(2)【詳解】（1）如圖，連接，，連接，∵四邊形為菱形，∴，為，的中點．∵，∴，為等邊三角形，∴，∵，∴，∴.∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，以為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，∴，，，．設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，即平面的一個法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，即令，則，，即平面的一個法向量為，∴，∴平面與平面的夾角的余弦值為．（2）由（1）得，，，∴，故，∴，．∵平面平面，∴，即，∴，即．∴，∵，∴三棱錐的體積為．17．【答案】(1)，(2)不是，理由見解析【詳解】（1）由題知，即，∴數(shù)列是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，∴．∵，即，∴數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，∴．（2），，，由①，得②，①-②得，∴，．假設(shè)存在，使得，即，∴無實數(shù)解，即假設(shè)不成立．∴數(shù)列不是“數(shù)列”18．【答案】(1)（i）；（ii）(2)20．【詳解】（1）（i）根據(jù)題意知可以取的值有1，2，3，4，∴，，，，∴．（ii）根據(jù)題意知可以取的值有2，3，∵當(dāng)時可以分兩類，第一類：混檢的3人中有一人患病，并且在第2次就檢測出患病人員；第二類：混檢3人均沒有患病，并且在第2次就檢測出患病人員或未患病人員：∴，，∴．（2）由題知將20000份血樣隨機地按份一組平均分成組，則的可能取值為，，，?，，其中每一組檢測結(jié)果為陰性的概率為，檢測結(jié)果為陽性的概率為，∵，∴，又∵，∴，∴，可得，兩邊取自然對數(shù)，化簡得，不妨設(shè)，則，令，，∴在單調(diào)遞增，，∴在單調(diào)遞增．由題知是20000的正因數(shù)且，，∵，，∴的最大值為20．19．【答案】(1)(2)證明見解析(3)【詳解】（1）設(shè)，，則，，因為，可得，解得，，即，又因為，則，即，所以的方程為：.（2）因為橢圓，點，通過變換，得到，，，則曲線在點處的切線為，當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r，，切線方程為，，，，又因為，則，即切線方程為①，當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r，，，即也滿足方程①．所以在點處的切線的方程為：．（3）設(shè)與，的一個交點分別為，，不妨取，，由（2）知曲線在點處的切線，其斜率，曲線在點處的切線，其斜率，因為，且，可知②，聯(lián)立方程，可得，當(dāng)時，；當(dāng)，曲線與曲線相切時，方程只有一個