/四川省德陽市高中2024?2025學年高三下學期質量監(jiān)測考試（二）數學試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．2．若，則函數的最小值為（

）A．8 B．9 C．10 D．113．已知函數，現將函數的圖象橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標不變得到函數，則值為（

）A． B． C． D．4．已知，則在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．5．已知的展開式中的系數為17．則實數的值為（

）A． B． C．1 D．26．已知在平面直角坐標系中，，動點滿足，點為拋物線上一動點，且點在直線上的投影為，則的最小值為（

）A． B． C． D．7．在三棱錐中，平面平面為等腰三角形，且，，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．8．已知對任意的，都有恒成立，則實數的值為（

）A． B．1 C．0 D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知是復數，i為虛數單位，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．C．是的充要條件 D．若，則中至少有一個為010．已知函數的導函數為（

）A．若有三個零點，則 B．C．是的極小值點 D．當時，則11．如圖，點是棱長為3的正方體的表面上一個動點，是線段的中點，則（

）A．若點滿足，則動點的軌跡長度為B．當直線與所成的角為時，點的軌跡長度為C．三棱錐體積的最大值為D．當在底面上運動，且滿足平面時，線段長度最大值為三、單選題（本大題共1小題）12．若隨機變量服從正態(tài)分布，且，則．四、填空題（本大題共2小題）13．數列中，滿足，，則．14．若關于的方程在區(qū)間上有且僅有一個實數解，則實數．五、解答題（本大題共5小題）15．2024年7月26日，第33屆夏季奧林匹克運動會在法國巴黎開幕，足球作為其中的一項團隊運動項目，風?世界，深受大眾喜歡，為了解喜愛足球運動是否與性別有關，隨機抽取了男性和女性觀眾各100名進行調查，得到如下列聯(lián)表．喜愛足球運動不喜愛足球運動合計男性6040100女性3070100合計90110200(1)判斷是否有的把握認為喜愛足球運動與性別有關；(2)用樣本分布的頻率估計總體分布的概率，若現在從喜愛足球運動的觀眾中隨機抽取3名，記男性的人數為，求事件的分布列和數學期望；0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828附：．16．在中，內角所對的邊分別為，且(1)判斷的形狀；(2)若，且是邊的中點，求的面積最大值．17．如圖，在四棱錐中，，底面是邊長為的菱形，．(1)證明：平面平面；(2)若直線與平面所成角的正切值為，求二面角夾角的余弦值．18．已知橢圓過點，右焦點為為上頂點，以點為圓心且過的圓恰好與直線相切．(1)求C的方程；(2)過的直線與橢圓交于兩點（不與橢圓的左，右頂點重合），設直線的斜率分別為，求證：為定值；(3)點在上，且為垂足，，求的最大值．19．已知數列前項和為，滿足，且(1)求數列的通項公式；(2)令，討論與的大小關系；(3)對任意正整數恒成立，求正整數的最小值．

參考答案1．【答案】D【詳解】由，得，解得，所以，由，得，解得，所以，所以.故選：D2．【答案】C【詳解】若，則，所以函數，當且僅當即時等號成立.故選：C.3．【答案】B【詳解】將函數的圖象橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，可得：，所以，故選：B4．【答案】B【詳解】依題意，，由，得，則，所以在方向上的投影向量為.故選：B5．【答案】A【詳解】根據題意，的展開式通項為，所以的展開式中為：，則，解得.故選：A6．【答案】C【詳解】因為，動點滿足，設，則，兩邊同時平方整理得：，即點P的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓；因為點在直線上的投影為，又拋物線上的點到焦點的距離與到準線的距離相等，故,故當且僅當四點共線時，取得最小值，最小值為,故，故選：C7．【答案】A【詳解】如圖取的中點，的中點，連接，則，因為為等腰三角形，所以,因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，因為平面，所以，因為為直角三角形，且，所以為的外心，設三棱錐的外接球的球心為，則平面，所以‖，在等腰中，，，則，的外心在外，所以，在中，，則，所以設三棱錐的外接球的半徑為，則，過作交延長線于點，則，在中，，則，解得，所以三棱錐的外接球的表面積為.故選：A.8．【答案】B【解析】通過構造函數，把問題轉化為，進而轉化為對任意的恒成立，然后，對進行分類討論，進而可得解【詳解】解析：∵，∴，∴.設，問題轉化為對任意的，恒成立，則有時為對任意的，仍然成立，則問題轉化為對任意的恒成立，當時，顯然成立；當時，，所以；當時，，.綜上.故選：B9．【答案】BD【詳解】若，則可以為，故A錯；設，，，則，，所以，，故B正確；當，時，為虛數，不能比較大小，故C錯；，則，解得或，故D正確.故選：BD.10．【答案】ABD【詳解】因為函數，所以，令，解得，或，當，或，，當，，所以在，上單調遞增，在上單調遞減，，，對于A，由得，即，，因為在上單調遞減，所以在上只有一個零點，因為，在上單調遞增，可得在上只有一個零點，因為，在上單調遞增，可得在上只有一個零點，綜上，有三個零點，故A正確；對于B，，，所以，故B正確；對于C，是的極大值點，故C錯誤；

對于D，當時，則，解得，故D正確.故選：ABD.11．【答案】BD【詳解】選項A：因為在正方體中，平面，又平面，所以動點的軌跡為矩形，動點的軌跡長度為矩形的周長，即為，A說法錯誤；選項B：連接，以為圓心，為半徑畫弧，如圖所示，當點在弧上時，因為直角三角形中，所以與所成的角為，則當點在線段和弧上時，直線與所成的角為，又，，，所以點的軌跡長度為，B說法正確；選項C：當點在平面時，，易知此時面積最大值為，所以此時三棱錐體積的最大值為，C說法錯誤；選項D：取的中點分別為，連接，如圖所示，因為，平面，平面，所以平面，，平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，又因為，，，所以平面和平面是同一個平面，則點的軌跡為線段，在中，，，則，所以是以為直角的直角三角形，所以，即線段長度最大值為，D說法正確；故選：BD12．【答案】/【詳解】因為，且，所以.所以.故答案為：13．【答案】/【詳解】因為，所以.所以，，，…，（）.各式相乘，可得：，顯然滿足上式，則，所以數列的前項和為，所以.故答案為：.14．【答案】【詳解】由，所以，整理得，所以，而，則，故，結合對勾函數的性質，在上單調遞增且值域為，在上單調遞減且值域為，要使在區(qū)間上有且僅有一個實數解，只需時，此時.故答案為：.15．【答案】(1)有的把握認為喜愛足球運動與性別有關(2)分布列見解析，2【詳解】（1）零假設：喜愛足球運動與性別無關．由題，根據小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立．即有的把握認為喜愛足球運動與性別有關．（2）由題童可得從喜愛足球運動的觀眾中隨機抽取一人．其為男性的概率為，故，012316．【答案】(1)等腰三角形(2)6【詳解】（1）由題意可得，則，故.，則，，，結合為三角形內角，，所以，故，故為等腰三角形.（2），則，設，又為的中點，，在中，以為軸，中垂線為軸，建立直角坐標系，設，，由，，即且，所以當時，取最大值為，故的最大值為6.17．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）連接交于點，連接，因為是菱形，所以，又因為為的中點，所以又面，且，所以平面又平面，所以平面平面（2）過作交于點，面面，面面，面，所以面，則即為直線與平面所成角因為面，所以面，又面，所以，所以為的交點，為等邊三角形，所以H為的重心，所以，，在中，解得，以為原點，所在直線為軸建立如圖坐標系，則，設平面和平面的法向量分別為和，則，即，令，可得：即，又平面，則設平面和平面的夾角為，則18．【答案】(1)(2)證明見解析(3)【詳解】（1）由題得：，又，所以，則的方程為：.（2）由題意得，直線的斜率不為0，設直線的方程為：，，，聯(lián)立得：則則.（3）由題得：，即，設，則㈠如圖：直線的斜率存在時，設直線的方程為：聯(lián)立得：，又……①又……②……③㈠由①②③得：即即又直線不過，則，即則直線的方程為：，過定點㈡直線的斜率不存在時，設，則又，則（舍），，此時直線過定點點P在橢圓內部則的最大值為.19．【答案】(1)；(