2024學年第一學期八年級期末試卷數學（滿分：120分考試時間：120分鐘）溫馨提示：本卷分試題卷和答題卷兩部分，答案一律做在答題卷上，做在試題卷上無效．一、選擇題（本題有10小題，每小題3分，共30分．請選出各題中一個符合題意的正確選項，不選、多選、錯選，均不給分）1.壯麗祖國，一山一水皆是畫卷；秀美江山，一草一木皆是詩篇，一個符號一座城．下列四個省份的徽標中，是軸對稱圖形的是（）A B. C. D.2.“納米機器人”是機器人工程學的一種新興科技，我國首創的一款溶栓納米機器人的體積極小，長度約為，將數據0.00000117用科學記數法表示為（）A. B. C. D.3.下列計算正確是（）．A B. C. D.4.工人師傅準備把一根長為的木條截成三段，圍成一個等腰三角形支架，若第一段木條的長為，則第二段木條的長是（）A. B. C. D.5.下列式子從左到右運算正確的是（）A. B. C. D.6.如圖1是路橋博物館中的鋪首紋青釉點彩盤口壺，其示意圖如圖2所示，為了測量其底部內徑，考古學家將兩根細木條的中點固定在一起，量出兩點之間的距離，即可得到的長度，其依據的數學基本事實是（）A.三邊分別相等的兩個三角形全等B.兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等C.兩角和它們的夾邊分別相等的兩個三角形全等D.兩點之間，線段最短7.如圖，正八邊形和正六邊形的一邊重合，則的度數為（）A. B. C. D.8.四張全等的梯形硬紙板可拼成平行四邊形（如圖1），也可拼成正方形（如圖2），根據兩個圖形中陰影部分面積的關系，可以得到一個關于的等式為（）A. B.C. D.9.如圖，是的邊上的一點，點關于的對稱點恰好落在上，若，，則的度數為（）A. B. C. D.10.如圖，在中，為上一點，，為上一點，，若要求和的周長之差，則只需要知道（）A.的值 B.的值 C.的值 D.的值二、填空題（本題有6小題，每小題3分，共18分）11.因式分解：______．12.使分式等于0的的值是______．13.如圖中的兩個三角形全等，則的度數為______．14.如圖，在中，，，是的平分線，若的面積為12，則的長為______．15.如圖，在中，，，垂足為點，若，，則和的面積之比為______．16.如圖，在中，，，，是的中點，是上一動點，若以為邊在其右側作等邊三角形，連接，則的最小值為______．三、解答題（本題有8小題，第17～21題每題8分，第22，23題每題10分，第24題12分，共72分）17.計算：（1）；（2）．18.先化簡，再求值：，其中．19.如圖，在正方形網格中，的頂點均在格點上．（1）點關于軸對稱的點的坐標為______；（2）作出與關于軸對稱的．20.如圖，點B，F，C，E在一條直線上，，，．（1）求證：；（2）求證：．21.觀察下列兩位數相乘的運算規律：，，，……設其中一個兩位數的十位上的數字為，另一個兩位數的十位上的數字為（均為小于10的正整數）．（1）請用含的等式表示上述運算規律：______；（2）請證明上述運算規律．22.尺規作圖問題：已知：，求作：的平分線．小聰的作法：如圖1，以點為圓心，任意長為半徑畫弧，交于點，再以點為圓心，大于長為半徑畫弧，交于點．連接，交于點，畫射線，則射線即為所求．小慧的作法：如圖2，以點為圓心，任意長為半徑畫弧，交于點，在上任取一點，再以點為圓心，長為半徑畫弧，交于點，連接，交于點，畫射線，則射線即為所求．老師的觀點：小聰的作法是正確的，小慧的作法不一定是正確的．（1）如圖1，證明平分；（2）如圖2，說明小慧的作法中可能存在的問題．23.某農場將800千克的葡萄平均分給甲、乙兩家水果店銷售，甲店不分類直接銷售，乙店分為小、中、大果進行銷售，其中小果免費品嘗，大果的售價是中果的倍，兩家水果店的銷售信息如表所示．已知用60元錢在乙店購買中果的質量比購買大果的質量多0.5千克，當甲、乙兩家水果店的葡萄全部售完時，乙店的總售價比甲店多260元．水果店銷售方式質量單價甲不分類400千克25元／千克乙小果免費中果240千克大果（1）乙店大果和中果的售價各是多少元／千克？（2）求乙店小果的質量；（3）若甲店先以元／千克的批發價售賣千克的葡萄，再以元／千克的零售價賣完剩下的葡萄，總售價恰好與乙店相等，若均為正整數，求的值．24.【概念呈現】有一組角互補，另一組角相等，且相等兩個角對邊也相等的兩個三角形稱為“和合”三角形．如圖1，在與中，若，，，則與是“和合”三角形．【性質探究】（1）如圖2，線段交于點，，，容易知道與是“和合”三角形．愛思考的小濤發現，在該組“和合”三角形中可構造出全等三角形，他的作法如下：過點作，交于點．請證明；【拓展應用】（2）如圖3，是等邊三角形的邊上的一動點，在的延長線上，，連接交于點，連接．①若，求的度數；②當值為多少時，與是“和合”三角形．

2024學年第一學期八年級期末試卷數學（滿分：120分考試時間：120分鐘）溫馨提示：本卷分試題卷和答題卷兩部分，答案一律做在答題卷上，做在試題卷上無效．一、選擇題（本題有10小題，每小題3分，共30分．請選出各題中一個符合題意的正確選項，不選、多選、錯選，均不給分）1.壯麗祖國，一山一水皆是畫卷；秀美江山，一草一木皆是詩篇，一個符號一座城．下列四個省份的徽標中，是軸對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了軸對稱圖形．熟練掌握軸對稱圖形的概念，是解決問題的關鍵．如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形．根據軸對稱圖形的概念逐一判斷，即得．【詳解】A、不是軸對稱圖形，不合題意；B、不是軸對稱圖形，不合題意；C、是軸對稱圖形，符合題意；D、不是軸對稱圖形，不合題意．故選：C．2.“納米機器人”是機器人工程學的一種新興科技，我國首創的一款溶栓納米機器人的體積極小，長度約為，將數據0.00000117用科學記數法表示為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】此題主要考查了用科學記數法表示絕對值較小的數，一般形式為，其中，n為由原數左邊起第一個不為零的數字前面的個數所決定．確定a與n的值是解題的關鍵．這里的．【詳解】解：．故選：A．3.下列計算正確的是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分別根據合并同類項，同底數冪的乘法，同底數冪的除法運算，積的乘方運算法則逐一分析判斷即可．【詳解】解：，故A不符合題意；，故B不符合題意；，故C符合題意；，故D不符合題意；故選C．【點睛】本題考查的是合并同類項，同底數冪的乘法運算，同底數冪的除法運算，積的乘方運算，掌握基礎的運算法則是解本題的關鍵．4.工人師傅準備把一根長為的木條截成三段，圍成一個等腰三角形支架，若第一段木條的長為，則第二段木條的長是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了等腰三角形的判定，也考查了三角形三邊的關系，掌握等腰三角形的性質是解題的關鍵．分兩種情況：當邊長為的邊為底邊時；當邊長為的邊為腰長時，分別進行求解即可得到答案．【詳解】解：當邊長為的邊為底邊時，兩腰長，此時三角形另兩邊長分別為，，能組成三角形；當邊長為的邊為腰長時，另一腰長，則底邊長，不滿足三角形任意兩邊之和大于第三邊，故不能組成三角形；綜上所述，三角形另邊長分別為，．故選D．5.下列式子從左到右運算正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了分式的性質，以及分式的加減，根據分式的性質可判斷A，B，C，根據分式的加減可判斷D．【詳解】解：A．，故不正確；B．，故不正確；C．，正確；D．，故不正確；故選C．6.如圖1是路橋博物館中的鋪首紋青釉點彩盤口壺，其示意圖如圖2所示，為了測量其底部內徑，考古學家將兩根細木條的中點固定在一起，量出兩點之間的距離，即可得到的長度，其依據的數學基本事實是（）A.三邊分別相等兩個三角形全等B.兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等C.兩角和它們的夾邊分別相等的兩個三角形全等D.兩點之間，線段最短【答案】B【解析】【分析】本題考查了三角形全等的判定與性質．先根據中點的定義，得出，，再根據對頂角相等得到，從而證得即可．正確運用三角形全等的判定定理是解題的關鍵．【詳解】解：如圖，連接，設兩根細木條的中點為，點O為、的中點，，，由對頂角相等得，在和中，，（兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等），，即只要量出的長度，就可以知道底部內徑的長度，故選：B．7.如圖，正八邊形和正六邊形的一邊重合，則的度數為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據正多邊形的內角和公式，可得正八邊形的內角、正六邊形的內角，根據角的和差，可得答案．本題考查了正多邊形和圓，利用正多邊形的內角公式得出相應正多邊形的內角是解題關鍵．【詳解】解：依題意，正八邊形的內角，正六邊形的內角，故．故選：B．8.四張全等的梯形硬紙板可拼成平行四邊形（如圖1），也可拼成正方形（如圖2），根據兩個圖形中陰影部分面積的關系，可以得到一個關于的等式為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了平方差公式的應用，解題關鍵是熟練掌握平行四邊形和正方形面積公式表示出陰影部分的面積．根據平行四邊形面積公式求出第一個圖形的面積，根據正方形面積公式求出第二個圖形陰影的面積．即可求出答案．【詳解】解：由第二個圖形看出，第一個圖形的高為，面積是，第二個圖形陰影的面積是，∵兩個圖形陰影部分的面積相等，∴，故選：A．9.如圖，是的邊上的一點，點關于的對稱點恰好落在上，若，，則的度數為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了三角形折疊．熟練掌握軸對稱性質，三角形外角性質，平角性質，是解題的關鍵．根據軸對稱知，由三角形外角性質得，由軸對稱得，由平角性質即得．【詳解】解：由軸對稱知，，∵，∴，∵，∴．故選：B．10.如圖，在中，為上一點，，為上一點，，若要求和的周長之差，則只需要知道（）A.的值 B.的值 C.的值 D.的值【答案】A【解析】【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，等邊對等角，先在上取一點，使得，證明，則，結合的周長為，的周長為，且。列式計算化簡，即可作答．【詳解】解：在上取一點，使得，∴∴∴，∵，，∴∵∴∴，∵的周長為，的周長為，且∴；∴和的周長之差為的值，故選：A．二、填空題（本題有6小題，每小題3分，共18分）11.因式分解：______．【答案】【解析】【詳解】12.使分式等于0的的值是______．【答案】【解析】【分析】本題考查了分式的值為0，即分子為0，分母不為0，進行列式計算，即可作答．【詳解】解：∵分式等于0，∴，解得，故答案為：13.如圖中的兩個三角形全等，則的度數為______．【答案】##度【解析】【分析】本題考查了全等三角形的性質定理、三角形內角和定理，由全等三角形的性質可得，，再由三角形內角和定理計算即可得解．【詳解】解：如圖，∵，∴，，∴，故答案為：．14.如圖，在中，，，是的平分線，若的面積為12，則的長為______．【答案】4【解析】【分析】本題考查了角平分線的性質定理、三角形的面積公式，熟練掌握角平分線的性質定理是解題的關鍵．過點D作點于E，根據的面積求出，根據角平分線的性質定理可得．【詳解】解：過D作于E，∵，，∴，∵是角平分線，，∴．故答案為：4．15.如圖，在中，，，垂足為點，若，，則和的面積之比為______．【答案】【解析】【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，中線與面積的關系，等腰三角形的判定與性質，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．運用等腰三角形的性質，且通過證明，，因為，再類比中線與面積的關系，推出，即可作答．【詳解】解：∵，，∴，，∴∵∴∴∵∴∴∴，∴∴和的面積之比為故答案為：16.如圖，在中，，，，是的中點，是上一動點，若以為邊在其右側作等邊三角形，連接，則的最小值為______．【答案】##【解析】【分析】此題主要考查含30度的直角三角形，熟練掌握含30度的直角三角形性質，等邊三角形的判定和性質，全等三角形的判定與性質，垂線段最短，添加輔助線段，是解題關鍵．在上取點G，使，過點G作于點H，連接，則是等邊三角形，由是等邊三角形，證明，得，有最小值，，得的最小值為．【詳解】解：∵在中，，，，∴，∵是的中點，∴，在上取點G，使，過點G作于點H，連接，則是等邊三角形，

∴，∴，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，∴（或），∴，∴，∴，當點E與點H重合時，有最小值，為，∴的最小值為．故答案為：．三、解答題（本題有8小題，第17～21題每題8分，第22，23題每題10分，第24題12分，共72分）17.計算：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查了單項式乘多項式，多項式乘多項式等內容，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．（1）根據單項式乘多項式的法則進行計算，即可作答．（2）根據多項式乘多項式的法則進行計算，即可作答．【小問1詳解】解：；【小問2詳解】解：．18.先化簡，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】本題考查了分式的化簡求值，先把除法轉化為乘法，然后約分化簡，再把代入計算．【詳解】解：，當時，原式．19.如圖，在正方形網格中，的頂點均在格點上．（1）點關于軸對稱的點的坐標為______；（2）作出與關于軸對稱的．【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】（1）根據“關于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數”解答；（2）根據“關于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數”描點連線．【小問1詳解】解：∵，∴點關于軸對稱的點的坐標為故答案為：【小問2詳解】解：∵，∴，作出與關于軸對稱的．20.如圖，點B，F，C，E在一條直線上，，，．（1）求證：；（2）求證：．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是利用已知條件證明三角形全等，再根據全等三角形的性質得出對應邊相等．（1）先由推出，再結合已知的另外兩組相等邊，根據判定定理證明；（2）根據（1）中得到的全等三角形得出對應角相等，再利用判定定理證明，進而得到．【小問1詳解】證明：，，，在和中，，；【小問2詳解】證明：在和中21.觀察下列兩位數相乘的運算規律：，，，……設其中一個兩位數的十位上的數字為，另一個兩位數的十位上的數字為（均為小于10的正整數）．（1）請用含的等式表示上述運算規律：______；（2）請證明上述運算規律．【答案】（1）（2）見詳解【解析】【分析】本題考查了多項式乘多項式，數字規律，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．（1）根據題干的信息，得，即可作答．（2）先運用多項式乘多項式法則展開等式左邊，合并同類項，則等式的左邊等于等式的右邊，即可作答．【小問1詳解】解：∵，，，……設其中一個兩位數的十位上的數字為，另一個兩位數的十位上的數字為∴，故答案為：；小問2詳解】解：由（1）得，故等式的左邊等于等式的右邊，即，∴此等式成立．22.尺規作圖問題：已知：，求作：的平分線．小聰的作法：如圖1，以點為圓心，任意長為半徑畫弧，交于點，再以點為圓心，大于長為半徑畫弧，交于點．連接，交于點，畫射線，則射線即為所求．小慧的作法：如圖2，以點為圓心，任意長為半徑畫弧，交于點，在上任取一點，再以點為圓心，長為半徑畫弧，交于點，連接，交于點，畫射線，則射線即為所求．老師的觀點：小聰的作法是正確的，小慧的作法不一定是正確的．（1）如圖1，證明平分；（2）如圖2，說明小慧的作法中可能存在的問題．【答案】（1）見詳解（2）見詳解【解析】【分析】本題考查了作角平分線，全等三角形的判定與性質，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．（1）根據作圖過程，先證明，然后結合，，證明，然后運用證明，即可作答．（2）認真分析題干小慧的作法，得出以點C為圓心，長為半徑畫弧，交于點F，可能有兩個交點F，，得到的或，即可作答．【小問1詳解】解：由作圖步驟可知，，∵∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴∴，∴平分；【小問2詳解】解：如圖所示：依題意，小慧的作法中，以點C為圓心，長為半徑畫弧，交于點F，可能有兩個交點F，，得到的或，故不能證明．23.某農場將800千克的葡萄平均分給甲、乙兩家水果店銷售，甲店不分類直接銷售，乙店分為小、中、大果進行銷售，其中小果免費品嘗，大果的售價是中果的倍，兩家水果店的銷售信息如表所示．已知用60元錢在乙店購買中果的質量比購買大果的質量多0.5千克，當甲、乙兩家水果店的葡萄全部售完時，乙店的總售價比甲店多260元．水果店銷售方式質量單價甲不分類400千克25元／千克乙小果免費中果240千克大果（1）乙店大果和中果的售價各是多少元／千克？（2）求乙店小果的質量；（3）若甲店先以元／千克的批發價售賣千克的葡萄，再以元／千克的零售價賣完剩下的葡萄，總售價恰好與乙店相等，若均為正整數，求的值．【答案】（1）乙店中的大果的售價為元/千克，中果的售價為元/千克；（2）乙店小果的質量為千克；（3）【解析】【分析】此題考查了分式方程的應用、一元一次方程的應用、二元一次方程的應用，根據題意正確列出方程是解題的關鍵．（1）設乙店中的中果的售價為元/千克，則大果的售價為元/千克，用60元錢在乙店購買中果的質量比購買大果的質量多0.5千克，據此列方程，解方程并檢驗即可；（2）設乙店的大果有千克，乙店的總售價比甲店多260元．據此列