2023八年級數學下冊第17章一元二次方程17.3一元二次方程根的判別式教學實錄（新版）滬科版科目授課時間節次--年—月—日（星期——）第—節指導教師授課班級、授課課時授課題目（包括教材及章節名稱）2023八年級數學下冊第17章一元二次方程17.3一元二次方程根的判別式教學實錄（新版）滬科版教學內容本節課將圍繞滬科版八年級數學下冊第17章《一元二次方程》中的第17.3節《一元二次方程根的判別式》展開。主要內容包括：一元二次方程的根的判別式的概念，根的判別式的符號與方程根的關系，以及如何運用根的判別式判斷一元二次方程根的情況。核心素養目標本節課旨在培養學生的數學抽象、邏輯推理、數學建模和數學運算等核心素養。通過探究一元二次方程根的判別式，學生能夠理解數學符號語言的表達，提升邏輯推理能力；通過建立方程與幾何圖形的關系，增強數學建模意識；同時，通過計算和判斷，提高數學運算的準確性和效率。重點難點及解決辦法重點：

1.一元二次方程根的判別式的概念理解。

2.根的判別式與方程根的關系的掌握。

難點：

1.如何正確運用根的判別式判斷一元二次方程根的情況。

2.在復雜的一元二次方程中識別和計算判別式。

解決辦法與突破策略：

1.通過實例講解和互動討論，幫助學生理解判別式的概念，并建立直觀的認識。

2.通過逐步引導，讓學生在解決具體問題時，逐步掌握運用判別式的步驟和方法。

3.設計不同難度的練習題，讓學生在練習中鞏固知識，提高運用能力。

4.采用小組合作學習，讓學生在討論中互相啟發，共同突破難點。教學資源準備1.教材：確保每位學生擁有新版滬科版八年級數學下冊教材。

2.輔助材料：準備與一元二次方程根的判別式相關的圖表、動畫演示視頻，以幫助學生直觀理解概念。

3.教學工具：準備計算器、白板或投影儀，以便展示解題過程和計算結果。

4.教室布置：設置分組討論區，安排學生進行小組合作學習，并確保教學環境安靜、整潔。教學過程一、導入新課

（教師）：同學們，我們之前學習了如何解一元二次方程，今天我們來探究一個有趣的問題——一元二次方程的根的判別式。請大家拿出教材，翻到第17章《一元二次方程》的第17.3節，我們一起開始今天的探索之旅。

二、新課講授

1.引入概念

（教師）：首先，我們來回顧一下一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0）。接下來，我們要討論的是方程的根。大家知道，一個一元二次方程最多有兩個根。那么，如何判斷一個一元二次方程有幾個根呢？這就是我們今天要學習的重點。

（學生）：老師，一元二次方程的根有幾個，和方程的系數有什么關系呢？

（教師）：非常好，這是一個關鍵問題。接下來，我們就來探討這個問題。

2.根的判別式

（教師）：一元二次方程的根的判別式是b2-4ac。這個判別式可以幫助我們判斷一元二次方程根的情況。下面，我將通過幾個例子來講解這個判別式的應用。

（教師）：請看第一個例子：方程x2-5x+6=0。首先，我們要計算判別式b2-4ac。在這個方程中，a=1，b=-5，c=6。那么，判別式是多少呢？

（學生）：b2-4ac=(-5)2-4×1×6=25-24=1。

（教師）：很好，判別式是1。根據判別式的值，我們可以判斷方程的根的情況。如果判別式大于0，方程有兩個不相等的實數根；如果判別式等于0，方程有兩個相等的實數根；如果判別式小于0，方程沒有實數根。

（教師）：接下來，請同學們自己計算一下這個方程的根。

（學生）：x2-5x+6=0，根據求根公式，我們可以得到方程的兩個根：x?=2，x?=3。

（教師）：很好，同學們已經成功找到了這個方程的兩個實數根。現在，請看第二個例子：方程x2-2x+1=0。

（學生）：x2-2x+1=0，判別式b2-4ac=(-2)2-4×1×1=4-4=0。

（教師）：判別式等于0，這意味著方程有兩個相等的實數根。我們可以繼續使用求根公式來找到這個方程的根。

（學生）：x2-2x+1=0，根據求根公式，我們可以得到方程的兩個相等的實數根：x?=x?=1。

（教師）：很好，同學們已經成功找到了這個方程的兩個相等的實數根。現在，請看第三個例子：方程x2+2x+1=0。

（學生）：x2+2x+1=0，判別式b2-4ac=22-4×1×1=4-4=0。

（教師）：判別式等于0，這意味著方程有兩個相等的實數根。我們可以繼續使用求根公式來找到這個方程的根。

（學生）：x2+2x+1=0，根據求根公式，我們可以得到方程的兩個相等的實數根：x?=x?=-1。

（教師）：很好，同學們已經成功找到了這個方程的兩個相等的實數根。現在，請大家自己嘗試計算一下這個方程的根。

（學生）：x2+2x+1=0，根據求根公式，我們可以得到方程的兩個相等的實數根：x?=x?=-1。

（教師）：同學們做得很好。通過這三個例子，我們已經學會了如何運用判別式來判斷一元二次方程根的情況。接下來，我們再來討論一下一元二次方程沒有實數根的情況。

3.無實數根的情況

（教師）：請看第四個例子：方程x2+1=0。

（學生）：x2+1=0，判別式b2-4ac=02-4×1×1=0-4=-4。

（教師）：判別式小于0，這意味著方程沒有實數根。那么，這個方程的根是什么呢？

（學生）：這個方程沒有實數根，但是有兩個復數根。

（教師）：很好，同學們已經明白了。如果一個一元二次方程的判別式小于0，那么這個方程就沒有實數根，而是有兩個復數根。

4.總結

（教師）：通過本節課的學習，我們掌握了如何運用一元二次方程的根的判別式來判斷方程根的情況。現在，請同學們回顧一下我們學到的內容。

（學生）：老師，我們學到了一元二次方程的根的判別式是b2-4ac，如果判別式大于0，方程有兩個不相等的實數根；如果判別式等于0，方程有兩個相等的實數根；如果判別式小于0，方程沒有實數根。

（教師）：非常好，同學們已經成功掌握了本節課的重點內容。接下來，請大家完成課后作業，鞏固所學知識。

三、課堂練習

（教師）：為了檢驗大家對本節課內容的掌握程度，我將給出幾道練習題，請大家認真完成。

（學生）：好的，老師。

四、課堂小結

（教師）：同學們，今天我們學習了如何運用一元二次方程的根的判別式來判斷方程根的情況。希望大家通過本節課的學習，能夠更好地理解一元二次方程的根與系數之間的關系。

（學生）：謝謝老師，我們一定會努力學習的。

五、布置作業

（教師）：請大家完成以下作業：

1.回顧本節課所學內容，總結一元二次方程的根的判別式的應用。

2.完成教材第17章《一元二次方程》第17.3節的相關練習題。

3.思考：如何將一元二次方程的根的判別式應用于實際問題中？

（學生）：好的，老師。

六、課后反思

（教師）：本節課，我們通過實例講解、小組討論和課堂練習，幫助學生掌握了如何運用一元二次方程的根的判別式來判斷方程根的情況。在今后的教學中，我將更加注重培養學生的邏輯推理能力和數學建模意識，提高他們的數學運算能力。同時，我會根據學生的學習情況，適時調整教學策略，確保每位學生都能跟上教學進度。學生學習效果學生學習效果

在本節課的學習過程中，學生們通過一系列的實例講解、小組討論和課堂練習，取得了以下效果：

1.知識掌握：學生能夠準確理解并掌握一元二次方程根的判別式的概念，即判別式b2-4ac與方程根的關系。他們能夠識別和計算判別式的值，并能夠根據判別式的符號判斷一元二次方程根的情況。

2.技能提升：學生通過實際操作和練習，提高了運用判別式判斷一元二次方程根的能力。他們能夠熟練地應用判別式解決實際問題，如確定方程的根的數量和類型。

3.思維發展：學生在學習過程中，通過邏輯推理和數學建模，發展了數學思維能力。他們能夠運用數學符號語言進行表達，并能夠將實際問題轉化為數學模型進行求解。

4.學習興趣：通過本節課的學習，學生對一元二次方程的根的判別式產生了濃厚的興趣。他們對于數學知識的探索和應用有了更深的認識，激發了進一步學習數學的熱情。

5.團隊合作：在小組討論環節，學生能夠積極參與，與同伴共同解決問題。他們學會了傾聽、尊重和合作，提高了團隊協作能力。

6.問題解決能力：學生在面對復雜的一元二次方程時，能夠運用所學知識進行分析和判斷，從而找到合適的解題方法。他們的問題解決能力得到了顯著提升。

7.學習習慣：學生在本節課的學習過程中，養成了良好的學習習慣。他們能夠按時完成作業，認真復習課堂所學內容，為后續學習奠定了基礎。

8.自主學習能力：學生在本節課的學習中，逐漸培養了自主學習能力。他們能夠獨立思考、查找資料、解決問題，為終身學習打下了堅實基礎。典型例題講解1.例題1：給定一元二次方程2x2-4x+1=0，求方程的根。

解答：首先，我們需要計算判別式b2-4ac。在這個方程中，a=2，b=-4，c=1。那么，判別式是多少呢？

b2-4ac=(-4)2-4×2×1=16-8=8。

由于判別式大于0，方程有兩個不相等的實數根。接下來，我們可以使用求根公式來找到這兩個根：

x=[-b±√(b2-4ac)]/(2a)。

將a、b、c的值代入求根公式，我們得到：

x=[4±√8]/(2×2)。

化簡后，得到：

x?=(4+√8)/4=1+√2/2，

x?=(4-√8)/4=1-√2/2。

所以，方程的根為x?=1+√2/2和x?=1-√2/2。

2.例題2：給定一元二次方程x2-6x+9=0，求方程的根。

解答：計算判別式b2-4ac。在這個方程中，a=1，b=-6，c=9。

b2-4ac=(-6)2-4×1×9=36-36=0。

由于判別式等于0，方程有兩個相等的實數根。使用求根公式：

x=[-b±√(b2-4ac)]/(2a)。

代入a、b、c的值，得到：

x=[6±√0]/(2×1)。

化簡后，得到：

x?=x?=6/2=3。

所以，方程的根為x?=x?=3。

3.例題3：給定一元二次方程x2-3x+2=0，求方程的根。

解答：計算判別式b2-4ac。在這個方程中，a=1，b=-3，c=2。

b2-4ac=(-3)2-4×1×2=9-8=1。

由于判別式大于0，方程有兩個不相等的實數根。使用求根公式：

x=[-b±√(b2-4ac)]/(2a)。

代入a、b、c的值，得到：

x=[3±√1]/(2×1)。

化簡后，得到：

x?=2，

x?=1。

所以，方程的根為x?=2和x?=1。

4.例題4：給定一元二次方程x2+2x-3=0，求方程的根。

解答：計算判別式b2-4ac。在這個方程中，a=1，b=2，c=-3。

b2-4ac=22-4×1×(-3)=4+12=16。

由于判別式大于0，方程有兩個不相等的實數根。使用求根公式：

x=[-b±√(b2-4ac)]/(2a)。

代入a、b、c的值，得到：

x=[-2±√16]/(2×1)。

化簡后，得到：

x?=1，

x?=-3。

所以，方程的根為x?=1和x?=-3。

5.例題5：給定一元二次方程4x2-8x+3=0，求方程的根。

解答：計算判別式b2-4ac。在這個方程中，a=4，b=-8，c=3。

b2-4ac=(-8)2-4×4×3=64-48=16。

由于判別式大于0，方程有兩個不相等的實數根。使用求根公式：

x=[-b±√(b2-4ac)]/(2a)。

代入a、b、c的值，得到：

x=[8±√16]/(2×4)。

化簡后，得到：

x?=3/2，

x?=1/2。

所以，方程的根為x?=3/2和x?=1/2。內容邏輯關系①核心知識點：

-一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0）。

-根的判別式：b2-4ac。

-方程根的情況：有兩個不相等的實數根、有兩個相等的實數根、沒有實數根。

②關鍵詞：

-判別式

-不相等的實數根

-相等的實數根

-沒有實數根

-求根公式

③邏輯關系闡述：

①判別式的計算

-根據一元二次方程的一般形式，計算判別式b2-4ac的值。

②判別式的符號判斷

-如果判別式大于0，則方程有兩個不相等的實數根。

-如果判別式等于0，則方程有兩個相等的實數根。

-如果判別式小于0，則方程沒有實數根。

③根的情況與判別式的聯系

-根據判別式的符號，可以直接判斷一元二次方程根的情況。

-使用求根公式求解方程的根時，判別式的值決定了根的數量和類型。

④求根公式的應用

-當判別式大于0時，使用求根公式x=[-b±√(b2-4ac)]/(2a)求解兩個不相等的實數根。

-當判別式等于0時，求根公式簡化為x=-b/(2a)，求解兩個相等的實數根。

-當判別式小于0時，方程沒有實數根，需要使用復數根的概念來求解。反思改進措施反思改進措施（一）教學特色創新

1.案例教學：在講解一元二次方程根的判別式時，引入實際生活中的案例，如建筑工程、物理問題等，讓學生在具體情境中理解數學概念的應用，提高他們的實際操作能力。

2.互動式教學：通過小組討論、角色扮演等方式，激發學生的學習興趣，培養他們的合作精神和溝通能力。

反思改進措施（二）存在主要問題

1.學生對數學概念的理解不夠深入：部分學生在學習一元二次方程根的判別式時，對概念的理解停留在表面，缺乏對數學原理的深入探究。

2.教學方法單一：目前的教學方法主要以講授為主，缺乏多樣化的教學手段，導致學生的學習積極性不高。

3.評價方式單一：評價方式主要依賴于作業和考試，未能全面評估學生的實際能力和綜合素質。

反思改進措施（三）改進措施

1.深化概念教學：在講解一元二次方程根的判別式時，注重引導學生從多個角度理解概念，如通過圖形、實例等方式，幫助學生建立完整的知識體系。

2.豐富教學手段：結合多媒體技術，如動畫、視頻等，使教學內容更加生動形象，提高學生的學習興趣。同時，引入游戲化教學，讓學生在輕松愉快的氛圍中學習。

3.多元化評價方式：除了傳統的作業和考試，增加課堂表現、小組合作、實踐操作等評價方式，全面評估學生的能力和素質。

4.加強師生互動：在課堂上，鼓勵學生提問、發表觀點，教師要及時給予反饋和指導，營造良好的學習氛圍。

5.注重個性化教學：針對不同學生的