河南省確山縣高中數學第二章空間向量與立體幾何2.4用向量討論垂直與平行（2）教學實錄北師大版選修2-1課題：科目：班級：課時：計劃1課時教師：單位：一、教材分析河南省確山縣高中數學第二章空間向量與立體幾何2.4用向量討論垂直與平行（2）教學實錄北師大版選修2-1，本節課主要圍繞空間向量與立體幾何中的垂直與平行關系展開，通過向量運算和幾何圖形的構建，引導學生深入理解向量在立體幾何中的應用，提高學生的空間想象能力和幾何思維能力。二、核心素養目標分析本節課旨在培養學生的數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象和數學運算等核心素養。通過向量方法解決立體幾何問題，學生能夠提升空間想象力和邏輯思維能力，學會將實際問題抽象為數學模型，并運用數學語言進行表達和運算，從而增強數學應用意識和解決問題的能力。三、學習者分析1.學生已經掌握了哪些相關知識：

學生在此階段已掌握平面幾何的基本概念和性質，如點、線、面、角、三角形等，以及向量的基本運算，如向量的加法、減法、數乘等。此外，學生還具備了解決平面幾何問題的能力，如證明線段平行、垂直等。

2.學生的學習興趣、能力和學習風格：

學生對空間幾何問題普遍感興趣，尤其是與實際生活相關的幾何問題。學生的能力方面，部分學生具備較強的空間想象力和邏輯思維能力，能夠快速理解并應用向量方法解決立體幾何問題。學習風格上，學生偏好通過圖形直觀理解問題，同時結合代數運算進行驗證。

3.學生可能遇到的困難和挑戰：

部分學生在理解空間幾何問題時，可能面臨空間想象能力不足的困難，難以將實際問題轉化為幾何模型。此外，學生在運用向量方法解決立體幾何問題時，可能會遇到向量運算復雜、難以確定向量關系等問題。針對這些困難，教師需引導學生通過實際操作、小組討論等方式，逐步提高空間想象能力和向量運算能力。四、教學資源準備1.教材：確保每位學生擁有北師大版選修2-1教材，以便隨時查閱相關知識點。

2.輔助材料：準備與教學內容相關的圖片、圖表、視頻等多媒體資源，如立體幾何圖形的動畫演示，以增強直觀理解。

3.實驗器材：準備幾何模型、向量板等實驗器材，供學生進行實際操作和驗證。

4.教室布置：設置分組討論區，以便學生進行合作學習，并確保實驗操作臺的安全性和整潔。五、教學實施過程1.課前自主探索

教師活動：

發布預習任務：通過在線平臺或班級微信群，發布預習資料（如PPT、視頻、文檔等），明確預習目標和要求，如讓學生預習空間向量的基本概念和性質。

設計預習問題：圍繞“用向量討論垂直與平行”課題，設計問題如“如何用向量表示兩直線垂直的條件？”和“向量平行的幾何意義是什么？”引導學生自主思考。

監控預習進度：利用平臺功能或學生反饋，監控學生的預習進度，確保預習效果。

學生活動：

自主閱讀預習資料：學生按照預習要求，閱讀相關資料，理解空間向量的基本概念和性質。

思考預習問題：學生針對預習問題進行獨立思考，記錄自己的理解和疑問。

教學方法/手段/資源：

自主學習法：通過引導學生自主預習，培養自主學習能力。

信息技術手段：利用在線平臺和微信群，實現預習資源的共享和監控。

作用與目的：

幫助學生提前了解“用向量討論垂直與平行”課題，為課堂學習做好準備。

培養學生的自主學習能力和獨立思考能力。

2.課中強化技能

教師活動：

導入新課：通過展示立體幾何圖形，引出“用向量討論垂直與平行”課題，激發學生的學習興趣。

講解知識點：詳細講解向量垂直與平行的條件，結合實例如正方體中的對角線與面對角線的關系。

組織課堂活動：設計小組討論，讓學生通過構建向量模型來驗證垂直與平行的條件。

學生活動：

聽講并思考：學生認真聽講，積極思考老師提出的問題。

參與課堂活動：學生積極參與小組討論，通過合作解決問題。

教學方法/手段/資源：

講授法：通過詳細講解，幫助學生理解向量垂直與平行的條件。

實踐活動法：通過小組討論和模型構建，讓學生在實踐中掌握技能。

作用與目的：

幫助學生深入理解向量垂直與平行的條件，掌握相關技能。

3.課后拓展應用

教師活動：

布置作業：布置練習題，讓學生應用向量方法解決立體幾何問題，如計算空間中兩點之間的距離。

提供拓展資源：提供與立體幾何相關的拓展資源，如在線幾何工具、立體幾何書籍等。

學生活動：

完成作業：學生認真完成作業，鞏固課堂所學。

拓展學習：學生利用拓展資源，進行進一步的學習和思考。

教學方法/手段/資源：

自主學習法：引導學生自主完成作業和拓展學習。

反思總結法：引導學生對自己的學習過程和成果進行反思和總結。

作用與目的：

鞏固學生在課堂上學到的知識點和技能。

通過反思總結，幫助學生發現自己的不足并提出改進建議，促進自我提升。六、教學資源拓展1.拓展資源：

-空間幾何的基本概念：介紹空間幾何中的點、線、面、體等基本概念，以及它們之間的關系和性質。

-向量在空間幾何中的應用：探討向量在空間幾何中的表示方法，如向量的坐標表示、向量與坐標軸的關系等。

-空間幾何的證明方法：介紹空間幾何中的證明方法，如線面垂直的判定定理、平行線公理等。

-空間幾何的實際應用：展示空間幾何在工程、建筑、物理等領域的實際應用案例。

2.拓展建議：

-學生可以通過閱讀相關書籍或教材的補充章節，深入了解空間幾何的基本概念和性質。

-利用在線教育平臺，觀看空間幾何相關的教學視頻，通過動畫演示和實例講解，加深對空間幾何的理解。

-通過幾何軟件或在線工具，如GeoGebra、Desmos等，進行空間幾何圖形的繪制和操作，直觀地感受空間幾何的性質。

-參與數學競賽或課外活動，如數學建模、幾何證明比賽等，提高空間幾何問題的解決能力。

-閱讀數學史相關資料，了解空間幾何的發展歷程和重要人物，激發對數學的興趣和探索精神。

-通過小組合作，共同研究和解決空間幾何問題，培養團隊合作和溝通能力。

-在日常生活中，關注空間幾何的應用，如建筑設計、城市規劃等，將所學知識應用于實際情境。

-閱讀與空間幾何相關的科普文章，了解空間幾何在科學研究和技術發展中的應用。

-參加學校或社區組織的數學講座或研討會，與專家和學者交流，拓寬視野，提高數學素養。七、教學反思與總結這節課的《用向量討論垂直與平行》結束了，我站在這里，心里有幾分激動，也有幾分感慨。首先，我想對自己這節課的教學進行一些反思。

教學反思：

首先，我在這節課中嘗試了小組討論的方式，讓同學們在合作中解決問題。我發現這種方法很有效，尤其是對于一些比較復雜的問題，同學們在討論中能相互啟發，共同找到解決問題的方法。但我也注意到，在討論過程中，一些學生可能會因為害怕犯錯而不敢發表意見，這就需要我在今后的教學中更加注重營造一個鼓勵表達、包容錯誤的課堂氛圍。

其次，我在講解向量垂直與平行的條件時，使用了大量的實例來幫助學生理解。這讓我意識到，舉例教學對于理解抽象的數學概念非常重要。但是，我也發現，有些學生對于抽象概念的掌握還是不夠扎實，這可能是由于他們對相關概念的基礎理解不夠牢固。因此，我在今后的教學中，需要加強對基礎知識的教學，讓學生在理解概念的同時，也能夠熟練掌握相關運算。

在課堂管理方面，我覺得自己做得還算不錯。我盡量讓學生在課堂上保持活躍，同時也注意到了課堂紀律。但也有一些地方可以改進，比如在課堂上的時間分配上，有時候會因為一些問題講解得詳細而導致后面的內容沒有充分展開。

教學總結：

從這節課的效果來看，學生在知識、技能和情感態度等方面都有所收獲。在知識方面，學生通過這節課的學習，對向量在空間幾何中的應用有了更深入的理解，能夠運用向量方法解決一些實際問題。在技能方面，學生通過小組討論和實例分析，提高了自己的空間想象能力和邏輯思維能力。在情感態度方面，學生們對空間幾何的學習興趣明顯提高，課堂氣氛活躍。

當然，這節課也存在一些不足。比如，在講解過程中，有些學生對向量運算的熟練程度還不夠，這需要在今后的教學中加以強化。另外，我在課堂上對學生的個別輔導還不夠，導致部分學生在課堂上遇到困難時得不到及時的解答。

針對這些問題，我提出以下改進措施和建議：

1.加強基礎知識的教學，確保學生對相關概念的理解牢固。

2.優化課堂時間分配，確保教學內容完整展開。

3.針對不同學生的學習情況，進行個別輔導，幫助他們在課堂上克服困難。

4.繼續采用小組討論的方式，培養學生的團隊合作和溝通能力。

5.注重課堂紀律，營造一個良好的學習氛圍。八、板書設計①空間向量基本概念

-向量的表示

-向量的坐標

-向量的運算（加法、減法、數乘）

②向量與直線的關系

-向量與直線的平行

-向量與直線的垂直

-向量與直線方程的關系

③向量與平面的關系

-向量與平面的平行

-向量與平面的垂直

-向量與平面方程的關系

④向量在立體幾何中的應用

-用向量表示空間點

-用向量表示空間線

-用向量表示空間面

⑤垂直與平行的判定條件

-向量垂直的判定條件

-向量平行的判定條件

-空間線面垂直的判定條件

⑥實例分析

-正方體中向量與面的關系

-空間中兩直線的關系

-空間中兩平面之間的關系典型例題講解例題1：

已知向量$\vec{a}=(1,2,3)$和$\vec{b}=(4,5,6)$，求向量$\vec{a}$與$\vec{b}$的點積。

解答：

$\vec{a}\cdot\vec{b}=1\times4+2\times5+3\times6=4+10+18=32$

例題2：

已知向量$\vec{a}=(1,2,3)$和$\vec{b}=(4,5,6)$，求向量$\vec{a}$與$\vec{b}$的叉積。

解答：

$\vec{a}\times\vec{b}=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\1&2&3\\4&5&6\end{vmatrix}=\mathbf{i}(2\times6-3\times5)-\mathbf{j}(1\times6-3\times4)+\mathbf{k}(1\times5-2\times4)=-3\mathbf{i}-6\mathbf{j}+3\mathbf{k}=(-3,-6,3)$

例題3：

已知點$A(1,2,3)$，點$B(4,5,6)$，求向量$\vec{AB}$。

解答：

$\vec{AB}=(4-1)\mathbf{i}+(5-2)\mathbf{j}+(6-3)\mathbf{k}=3\mathbf{i}+3\mathbf{j}+3\mathbf{k}=(3,3,3)$

例題4：

已知向量$\vec{a}=(1,2,3)$，向量$\vec{b}=(4,5,6)$，求向量$\vec{a}$在$\vec{b}$上的投影。

解答：

$\text{proj}_{\vec{b}}\vec{a}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vec{b}\cdot\vec{b}}\vec{b}=\frac{1\times4+2\times5+3\times6}{4^2+5^2+6^2}\vec{b}=\frac{32}{77}(4,5,6)=\left(\frac{128}{77},\frac{160}{77},\frac{192}{77}\right)$

例題5：

已知平面$\pi$的法向量$\vec{n}=(1,2,3)$，點$P(1,2,3)$，求點$P$到平面$\pi$的距離。

解答：

$d=\frac{|\vec{n}\cdot\vec{AP}|}{|\vec{n}|}=\frac{|1\times(1-1)+2\times(2-2)+3\times(3-3)|}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}}=\frac{0}{\sqrt{14}}=0$作業布置與反饋作業布置：

1.完成課本第XX頁至第XX頁的練習題，包括但不限于：

-利用向量方法解決立體幾何問題，如計算空間中兩點之間的距離、確定兩條直線的位置關系等。

-應用向量垂直和平行的判定條件，證明幾何關系，如證明兩直線平行、兩平面垂直等。

2.查閱資料，了解向量在現實生活中的應用，如工程設計、物理學中的力學分析等，并撰寫一篇短文，闡述向量的應用及其重要性。

3.選擇一道具有挑戰性的立體幾何問題，嘗試運用向量方法進行解答，并撰寫解題報告，包括解題思路、解題步驟和結果分析。

作業反饋：

1.作業批改時，關注學生對于向量運算的熟練程度，特別是向量點積和叉積的計算。

2.對于學生在解決立體幾何問題時出現的錯誤，如未能正確運用向量性質、解題步驟不清晰等，給出具體的反饋和糾正。

3.針對學生在應用向量解決實際問題時的表現，如問題分析不準確、計算