陜西省西安市高新第二中學(xué)高二下學(xué)期2024-2025學(xué)年第一次月考一、單選題1.已知是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B.C. D.2.已知兩個(gè)非零的平面向量，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.既不充分也不必要條件 D.充分必要條件3.有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務(wù)，則恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)選擇種數(shù)為（）A.120 B.60 C.40 D.304.數(shù)學(xué)活動(dòng)小組由12名同學(xué)組成，現(xiàn)將12名同學(xué)平均分成四組分別研究四個(gè)不同課題，且每組只研究一個(gè)課題，并要求每組選出一名組長，則不同的分配方案的種數(shù)為A. B. C. D.5.由0，2，4組成可重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)，按從小到大的順序排成的數(shù)列記為，即，若，則（）A34 B.33 C.32 D.306.如圖，用4種不同顏色對(duì)圖中5個(gè)區(qū)域涂色(4種顏色全部使用)，要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色種數(shù)有A.72 B.96C.108 D.1207.在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為（）A.-50 B.-30 C.30 D.508.已知，若，那么自然數(shù)（）A.3 B.4 C.5 D.6二、多選題9.已知，則（）A. B.C. D.的最大值為10.在體育課上，某項(xiàng)體育測(cè)試需要對(duì)，，在內(nèi)的名同學(xué)依次進(jìn)行測(cè)試，下列說法正確的是（）A.同學(xué)在最先或最后進(jìn)行測(cè)試，安排方法一共有種B.，，三名同學(xué)需要相鄰，安排方法一共有種C.，，三名同學(xué)都不相鄰，安排方法一共有種D.，兩名同學(xué)既不在最先也不在最后進(jìn)行測(cè)試，安排方法一共有種11.下列說法正確的是（）A已知，，，則B.若正數(shù)，滿足，則的最小值為C.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為D.三、填空題12.已知的面積為，，則=____．13.函數(shù)的最小值為______．14.已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，M為橢圓C上任意一點(diǎn)，N為圓E：上任意一點(diǎn)，則的最小值為___________．四、解答題15.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對(duì)任意正整數(shù)n，有.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和為.16.在四棱錐中，底面是正方形，若．（1）證明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值．17.設(shè)雙曲線C：（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，漸近線分別為l1，l2，過F2作漸近線的垂線，垂足為P，且△OPF1的面積為．（1）求雙曲線C的離心率；（2）動(dòng)直線l分別交直線l1，l2于A，B兩點(diǎn)（A，B分別在第一、四象限），且△OAB的面積恒為8，是否存在總與直線l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線C，若存在，求出雙曲線C的方程；若不存在，說明理由．18已知函數(shù)．（I）若是的極值點(diǎn)，求的單調(diào)區(qū)間；（II）求a的范圍，使得恒成立．19.（1）一組學(xué)生共有5人，從中選出3人參加一項(xiàng)活動(dòng)，共有多少種選法？（2）有4名學(xué)生參加爭奪數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競賽冠軍，有多少種不同結(jié)果?（3）書架上某層有6本書，新買3本插進(jìn)去，要保持原有6本書的順序，有多少種不同的方法？（4）一組學(xué)生共有6人，其中3名男生和3名女生，從中選出男生2人，女生2人，參加三項(xiàng)不同的活動(dòng)，要求每人參加一項(xiàng)且每項(xiàng)活動(dòng)都有人參加的選法有多少種？（5）3位男生和3位女生共6位同學(xué)站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，有多少種不同的方法？

陜西省西安市高新第二中學(xué)高二下學(xué)期2024-2025學(xué)年第一次月考一、單選題1.已知是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等、共軛復(fù)數(shù)的知識(shí)求得正確答案.【詳解】依題意，即，即，所以，所以.故選：C2.已知兩個(gè)非零的平面向量，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.既不充分也不必要條件 D.充分必要條件【答案】D【解析】【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷．【詳解】由向量的數(shù)量積，知．故選：D．3.有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務(wù)，則恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)選擇種數(shù)為（）A.120 B.60 C.40 D.30【答案】B【解析】【分析】選出一個(gè)志愿者連續(xù)參加兩天社區(qū)服務(wù)，再從剩余的4人抽取2人參加這兩天的活動(dòng)，計(jì)算結(jié)果即可.【詳解】不妨記五名志愿者為，假設(shè)連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)，再從剩余的4人抽取2人各參加星期六與星期天的社區(qū)服務(wù)，共有種方法，同理：連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)，也各有種方法，所以恰有1人連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)的選擇種數(shù)有種.故選：B.4.數(shù)學(xué)活動(dòng)小組由12名同學(xué)組成，現(xiàn)將12名同學(xué)平均分成四組分別研究四個(gè)不同課題，且每組只研究一個(gè)課題，并要求每組選出一名組長，則不同的分配方案的種數(shù)為A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】將這12名同學(xué)平均分成四組分別研究四個(gè)不同課題,且每組只研究一個(gè)課題只需每個(gè)課題依次選三個(gè)人即可，共有中選法，最后選一名組長各有3種，故不同的分配方案為：，故選A.5.由0，2，4組成可重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)，按從小到大的順序排成的數(shù)列記為，即，若，則（）A.34 B.33 C.32 D.30【答案】B【解析】【分析】由題意可知一位自然數(shù)有3個(gè)，兩位自然數(shù)有6個(gè)，三位自然數(shù)有18個(gè)，利用列舉法列出符合題意得自然數(shù)，即可求解.【詳解】由0,2,4組成可重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)，按從小到大的順序排成數(shù)列，則一位自然數(shù)有3個(gè)，兩位自然數(shù)有個(gè)，三位自然數(shù)有個(gè)，四位自然數(shù)有個(gè)，又四位自然數(shù)為2024為四位自然數(shù)中的第6個(gè)，所以.故選：B6.如圖，用4種不同顏色對(duì)圖中5個(gè)區(qū)域涂色(4種顏色全部使用)，要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色種數(shù)有A.72 B.96C.108 D.120【答案】B【解析】【詳解】若1,3不同色，則1,2,3,4必不同色，有3＝72種涂色法；若1,3同色，有＝24種涂色法．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可知，共有72＋24＝96種涂色法．7.在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為（）A.-50 B.-30 C.30 D.50【答案】C【解析】【分析】根據(jù)多項(xiàng)式展開式確定含的項(xiàng)組成情況，再根據(jù)乘法計(jì)數(shù)原理與加法計(jì)數(shù)原理求結(jié)果.【詳解】表示5個(gè)因式的乘積，在這5個(gè)因式中，有2個(gè)因式都選，其余的3個(gè)因式都選1，相乘可得含的項(xiàng)；或者有3個(gè)因式選，有1個(gè)因式選，1個(gè)因式選1，相乘可得含的項(xiàng)，故項(xiàng)的系數(shù)為，故選:C．8.已知，若，那么自然數(shù)（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】令等式中的求出展開式的各項(xiàng)系數(shù)和，令求出展開式的常數(shù)項(xiàng)，利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出，列出方程求出.【詳解】解：令得：，即，；令得：，，，，解得.故選：B.二、多選題9.已知，則（）A. B.C. D.的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)求解，BC選項(xiàng)根據(jù)賦值法解決，D選項(xiàng)根據(jù)不等式法結(jié)合組合數(shù)性質(zhì)確定系數(shù)的最大項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，取代入等式，得到，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，取代入等式，得到，結(jié)合B選項(xiàng)，兩式相加得，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，，令，即，解得，又，故，即最大，D選項(xiàng)正確故選：ABD10.在體育課上，某項(xiàng)體育測(cè)試需要對(duì)，，在內(nèi)的名同學(xué)依次進(jìn)行測(cè)試，下列說法正確的是（）A.同學(xué)在最先或最后進(jìn)行測(cè)試，安排方法一共有種B.，，三名同學(xué)需要相鄰，安排方法一共有種C.，，三名同學(xué)都不相鄰，安排方法一共有種D.，兩名同學(xué)既不在最先也不在最后進(jìn)行測(cè)試，安排方法一共有種【答案】AC【解析】【分析】對(duì)于A，利用特殊元素優(yōu)先考慮，即可求解；對(duì)于B，利用捆綁法，即可求解；對(duì)于C，采有插入法，即可求解；對(duì)于D，直接求出安排方法數(shù)，再進(jìn)行判斷，即可求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)橥瑢W(xué)在最先或最后進(jìn)行測(cè)試，安排方法一共有種，所以選項(xiàng)A正確，對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)椋瑢W(xué)需要相鄰，先將，，三名同學(xué)當(dāng)成一個(gè)整體與剩余人進(jìn)行全排，有種排法，再對(duì)，，三名同學(xué)進(jìn)行全排，有種排法，由分步計(jì)數(shù)原理知，安排方法一共有，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)C，，，三名同學(xué)都不相鄰，先排其余人，有種排法，再將，，三名同學(xué)三人插入個(gè)空中，有種排法，由分步計(jì)數(shù)原理知，安排方法一共有種，所以選項(xiàng)C正確，對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)椋瑑擅瑢W(xué)既不在最先也不在最后進(jìn)行測(cè)試，安排方法一共有，又，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：AC.11.下列說法正確的是（）A.已知，，，則B.若正數(shù)，滿足，則的最小值為C.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為D.【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A，根據(jù)條件，構(gòu)造函數(shù)，再結(jié)合條件，利用函數(shù)的奇偶性，即可求解；對(duì)于B，根據(jù)條件，利用基本不等式，即可求解；對(duì)于C，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的求法，直接求出的增區(qū)間，從而得，即可求解；對(duì)于D，利用倍角公及輔助角公式，即可求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)椋睿字亩x域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，所以為奇函數(shù)，所以，又，所以，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)檎龜?shù)，滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，由，得到，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，又為減函數(shù)，所以的增區(qū)間為，所以，解得，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)椋赃x項(xiàng)D正確，故選：ABD.三、填空題12.已知的面積為，，則=____．【答案】【解析】【分析】利用面積公式求得a的值，利用余弦定理求得b的值，進(jìn)而利用正弦定理得到角的正弦的比值等于對(duì)應(yīng)變得比值，從而求得答案.【詳解】,，解得,所以，∴,∴,故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查正余弦定理和三角形的面積公式的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵在于正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化.13.函數(shù)的最小值為______．【答案】1【解析】【分析】先確定定義域，再利用導(dǎo)函數(shù)確定的單調(diào)性，即可求最小值.【詳解】由題意，的定義域?yàn)椋睿茫獾茫?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以時(shí)，函數(shù)有極小值，此時(shí)極小值也是最小值，因此，的最小值為.故答案為：1.14.已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，M為橢圓C上任意一點(diǎn)，N為圓E：上任意一點(diǎn)，則的最小值為___________．【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)橢圓的定義將的最小值轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)（當(dāng)且僅當(dāng)M、N、E共線時(shí)取等號(hào)），最后根據(jù)求得的最小值.【詳解】解：如圖，M為橢圓C上任意一點(diǎn)，N為圓E：上任意一點(diǎn)，則（當(dāng)且僅當(dāng)M、N、E共線時(shí)取等號(hào)），∴，當(dāng)且僅當(dāng)M、N、E、共線時(shí)等號(hào)成立.∵，則，∴的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查與橢圓與圓上動(dòng)點(diǎn)相關(guān)的最值問題，主要根據(jù)橢圓的定義將目標(biāo)等價(jià)轉(zhuǎn)化為能夠通過數(shù)形結(jié)合解題的類型，在平時(shí)備考中要注意多總結(jié).四、解答題15.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對(duì)任意正整數(shù)n，有.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和為.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)求出的通項(xiàng)公式；（2）求出，利用錯(cuò)位相減法求和.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，故，①，當(dāng)時(shí)，②，兩式相減得，故，又當(dāng)時(shí)，，滿足要求，綜上，；【小問2詳解】，，，兩式相減得，，故16.在四棱錐中，底面是正方形，若．（1）證明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)為，連接，可證平面，從而得到面面.（2）在平面內(nèi)，過作，交于，則，建如圖所示的空間坐標(biāo)系，求出平面、平面的法向量后可求二面角的余弦值.【詳解】（1）取的中點(diǎn)為，連接.因?yàn)椋瑒t，而，故.在正方形中，因?yàn)椋剩剩驗(yàn)椋剩蕿橹苯侨切吻遥驗(yàn)椋势矫妫驗(yàn)槠矫妫势矫嫫矫?（2）在平面內(nèi)，過作，交于，則，結(jié)合（1）中的平面，故可建如圖所示的空間坐標(biāo)系.則，故設(shè)平面的法向量，則即，取，則，故.而平面的法向量為，故.二面角的平面角為銳角，故其余弦值為.17.設(shè)雙曲線C：（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，漸近線分別為l1，l2，過F2作漸近線的垂線，垂足為P，且△OPF1的面積為．（1）求雙曲線C的離心率；（2）動(dòng)直線l分別交直線l1，l2于A，B兩點(diǎn)（A，B分別在第一、四象限），且△OAB的面積恒為8，是否存在總與直線l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線C，若存在，求出雙曲線C的方程；若不存在，說明理由．【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）由△OPF1的面積為，可得a，b的比值，再求離心率即可，（2）先求得A，B的坐標(biāo)，及△OAB的面積恒為8，得直線l的方程，再聯(lián)立雙曲線的方程，得△＝0，即可求得雙曲線的方程．【小問1詳解】，雙曲線漸近線方程為，由雙曲線的對(duì)稱性不妨取漸近線，則點(diǎn)到其的距離為，則，得，解得，所以雙曲線C的離心率．【小問2詳解】由（1）得漸近線l1：y＝2x，l2：y＝?2x，設(shè)雙曲線得方程為，依題意得直線l斜率不為零，因此設(shè)直線l的方程為，設(shè)直線l交x軸于點(diǎn)C（t，0），A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立得，同理得．由△OAB的面積，得，即t2＝4|1?4m2|＝4（1?4m2）＞0，聯(lián)立得（4m2?1）y2+8mty+4（t2?a2）＝0，，因?yàn)椋裕本€l與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)Δ＝0，即，化簡得，將（1）式代入可得，解得，因此雙曲線的方程為，因此，存在總與直線l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線，雙曲線C的方程為．18.已知函數(shù)．（I）若是的極值點(diǎn)，求的單調(diào)區(qū)間；（II）求a的范圍，使得恒成立．【答案】（I）的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為；（II）【解析】【分析】（I）根據(jù)題意得出，求出a，進(jìn)而由求得增區(qū)間，由求得減區(qū)間；（II）根據(jù)題意將問題轉(zhuǎn)化為時(shí)恒成立，設(shè)，求出，分類討論參數(shù)a，得到，即可得到a的范圍.【詳解】（I）函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)槭堑臉O值點(diǎn)，所以，解得a=3，當(dāng)a=3時(shí)，，令，得或；令，得，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為.（II）要使得恒成立，即時(shí)恒成立，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，由得單調(diào)減區(qū)間為，由得單調(diào)增區(qū)間為，故，得；當(dāng)時(shí)，由得單調(diào)減區(qū)間為，由得單調(diào)增區(qū)間為，；此時(shí)，不合題意；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，不合題意；當(dāng)時(shí)，由得單調(diào)減區(qū)間為，由得單調(diào)增區(qū)間為，，此時(shí)，不合題意；綜上所述：時(shí)，恒成立.19.（1）一組學(xué)生共有5人，從中選出3人參加一項(xiàng)活動(dòng)，共有多少種選法？（2）有4名學(xué)生參加爭奪數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競