電工學第1章電路及其分析方法1.2電路模型1.3電壓和電流的參考方向1.4電源有載工作、開路與短路1.6電阻的串聯與并聯1.5基爾霍夫定律1.11電路中電位的計算1.9電壓源與電流源及其等效變換1.7支路電流法1.8疊加定理1.10戴維寧定理1.12電路的暫態分析1.1電路的作用與組成部分第1章電路及其分析方法電路的基本概念及其分析方法是電工技術和電子技術的基礎。本章首先討論電路的基本概念和基本定律，如電路模型、電壓和電流的參考方向、基爾霍夫定律、電源的工作狀態以及電路中電位的計算等。這些內容是分析與計算電路的基礎。然后介紹幾種常用的電路分析方法，有支路電流法、疊加定理、電壓源模型與電流源模型的等效變換和戴維寧定理。最后討論電路的暫態分析。介紹用經典法和三要素法分析暫態過程。1.1電路的作用與組成部分

電路是電流的通路，是為了某種需要由電工設備或電路元器件按一定方式組合而成的。(1)

實現電能的傳輸、分配與轉換(2)實現信號的傳遞與處理放大器揚聲器話筒1．電路的作用發電機升壓變壓器降壓變壓器電燈電動機電爐...輸電線2．電路的組成部分電源：提供電能的裝置負載：取用電能的裝置中間環節：傳遞、分配和控制電能的作用發電機升壓變壓器降壓變壓器電燈電動機電爐...輸電線直流電源直流電源:

提供能源負載信號源:

提供信息2．電路的組成部分放大器揚聲器話筒電源或信號源的電壓或電流稱為激勵，它推動電路工作；由激勵所產生的電壓和電流稱為響應。信號處理：放大、調諧、檢波等1.2電路模型i實際的電路是由一些按需要起不同作用的元件或器件所組成，如發電機、變壓器、電動機、電池、電阻器等，它們的電磁性質是很復雜的。例如：一個白熾燈在有電流通過時RR消耗電能(電阻性)產生磁場儲存磁場能量(電感性)忽略L為了便于分析與計算實際電路，在一定條件下常忽略實際部件的次要因素而突出其主要電磁性質，把它看成理想電路元件。L電源負載連接導線電路實體電路模型1.2電路模型用理想電路元件組成的電路，稱為實際電路的電路模型。SER–

+R0開關1.3電壓和電流的參考方向對電路進行分析計算時，不僅要算出電壓、電流、功率值的大小，還要確定這些量在電路中的實際方向。但是，在電路中各處電位的高低、電流的方向等很難事先判斷出來。因此電路中各處電壓、電流的實際方向也就不能確定。為此引入參考方向的規定。習慣上規定電壓的實際方向為：由高電位端指向低電位端；電流的實際方向為：正電荷運動的方向或負電荷運動的反方向；電動勢的實際方向為：由低電位端指向高電位端。1.3電壓和電流的參考方向電壓、電流的參考方向：當電壓、電流參考方向與實際方向相同時，其值為正，反之則為負值。R–

+R0IE例如：圖中若I=3A，則表明電流的實際方向與參考方向相同；反之，若I=–3A，則表明電流的實際方與參考方向相反。在電路圖中所標電壓、電流、電動勢的方向，一般均為參考方向。電流的參考方向用箭頭表示；電壓的參考方向除用極性“+”、“–”外，還用雙下標或箭頭表示。任意假定。歐姆定律：通過電阻的電流與電壓成正比。表達式

=RUIU、I參考方向相同U=–IRU、I參考方向相反圖B中若I=–2A，R=3

，則U=–(–2)

3V=6V電流的參考方向與實際方向相反–圖A或圖BRUI+–IRU+–+–圖CRUI電壓與電流參考方向相反–1.4

電源有載工作、開路與短路

1.4.1電源有載工作EIU1．電壓與電流R0RabcdR+R0I=

EER0I電源的外特性曲線當R0<<R時，則U

E說明電源帶負載能力強IUO+_+_UU=RI或U=E–R0I

1.4.1電源有載工作1.4.1電源有載工作1．電壓與電流U=RIU=E–R0I2．功率與功率平衡UI=EI–R0I2

P=PE–

P電源產生功率內阻消耗功率電源輸出功率功率的單位：瓦[特](W)

或千瓦(kW)電源產生功率=負載取用功率+內阻消耗功率功率平衡式EIUR0Rabcd+_+_R+R0I=

E1.4.1電源有載工作3．電源與負載的判別根據電壓、電流的實際方向判別，若U和I的實際方向相反，則是電源，發出功率；U和I的實際方向相同，是負載，取用功率。根據電壓、電流的參考方向判別P=UI為負值，是電源，發出功率；若電壓、電流的參考方向相同P=UI為正值，負載，取用功率。1.4.1電源有載工作3．電源與負載的判別[例1]已知：圖中UAB=3V，I=–2A[解]

P=UI=

(–2)

3W=–6W求：N的功率，并說明它是電源還是負載因為此例中電壓、電流的參考方向相同而P為負值，所以N發出功率，是電源。想一想，若根據電壓電流的實際方向應如何分析？NABI1.4.1電源有載工作4．額定值與實際值U電源+–IP電源輸出的電流和功率由負載的大小決定額定值是為電氣設備在給定條件下正常運行而規定的允許值。電氣設備不在額定條件下運行的危害：不能充分利用設備的能力；降低設備的使用壽命甚至損壞設備。S1S2S31.4電源有載工作、開路與短路1.4.2電源開路電源開路時的特征I=0U=U0=EP=0當開關斷開時，電源則處于開路(空載)狀態。EIU0R0Rabcd+_+_1.4.3電源短路UIS電流過大，將燒毀電源！U=0I=IS=E/R0P=0

PE=

P=R0IS2

ER0Rbcd+_電源短路時的特征a當電源兩端由于某種原因連在一起時，電源則被短路。為防止事故發生，需在電路中接入熔斷器或自動斷路器，用以保護電路。U=0I視電路而定有源電路1.4電源有載工作、開路與短路1.4.3電源短路由于某種需要將電路的某一段短路，稱為短接。UIER0R+_R11.5基爾霍夫定律結點

電路中三條或三條以上支路連接的點支路

電路中的每一分支回路

由一條或多條支路組成的閉合路徑如acbabadb如abcaadbaadbca如ab+_R1E1+_E2R2R3I1I2I3cadb1.5.1基爾霍夫電流定律(KCL)(直流電路中)

I=0

i=0(對任意波形的電流)在任一瞬間，流向某一結點電流的代數和等于零。基爾霍夫電流定律是用來確定連接在同一結點上的各支路電流之間的關系。

根據電流連續性原理，電荷在任何一點均不能堆積(包括結點)。故有數學表達式為1.5.1基爾霍夫電流定律(KCL)若以流向結點的電流為負，背向結點的電流為正，則根據KCL，結點a

可以寫出I1I2I3I4aI1–I2+I3+I4=0[例]

上圖中若I1=9A，I2=–2A，I4=8A，求I3。9–(–2)+I3+8=0[解]把已知數據代入結點a的KCL方程式，有式中的正負號由KCL根據電流方向確定由電流的參考方向與實際方向是否相同確定

I3

電流為負值，是由于電流參考方向與實際方向相反所致。I3=–19AIAIBIABIBCICAKCL推廣應用即

I=0ICIA+IB+IC=0可見，在任一瞬間通過任一封閉面的電流的代數和也恒等于零。ABC對A、B、C三個結點應用KCL可列出：IA=IAB–ICAIB=IBC–IABIC=ICA–IBC上列三式相加，便得1.5.2基爾霍夫電壓定律(KVL)基爾霍夫電壓定律用來確定回路中各段電壓之間的關系。

由于電路中任意一點的瞬時電位具有單值性，故有在任一瞬間，沿任一回路循行方向，回路中各段電壓的代數和恒等于零。即

U=0或

E=U=

RI1.5.2基爾霍夫電壓定律(KVL)I2左圖中，各電壓參考方向均已標出，沿虛線所示循行方向，列出回路cbdacKVL方程式。U1–

U2+U4–U3=0上式也可改寫為U4–

U3=E2–E1根據電壓參考方向，回路cbdacKVL方程式，為+_R1E1+_E2R2U2I1U1cadb+_U3+U4_即

U=0即

U=E或I2R2–

I1R1=E2–E1即

IR=EKVL推廣應用于假想的閉合回路E

IR

U=0U=E

IR或根據KVL可列出EIUR+_+_ABCUA+_UAB+_UB+_根據

U=0UAB=UA

UB

UA

UB

UAB=0U1+U2–U3–U4+U5=0U4+–U1U2abced++––+–U5U3+–R4

[例1]

圖中若U1=–2V，U2=8V，U3=5V，U5=–

3V，R4=2

，求電阻R4兩端的電壓及流過它的電流。

[解]

設電阻R4

兩端電壓的極性及流過它的電流I的參考方向如圖所示。(–2)+8–5–U4+(–3)=0U4=–2VI=1AI沿順時針方向列寫回路的KVL方程式，有代入數據，有U4=–

IR41.6

電阻的串聯與并聯

1.6.1電阻的串聯1.6.1電阻的串聯電路中兩個或更多個電阻一個接一個地順序相連，并且在這些電阻中通過同一電流，則這樣的連接方法稱為電阻的串聯。分壓公式等效電阻R=R1+R2RUI+–R1R2UIU2U1+–+–+–U2=———UR1+R2R21.6.2電阻的并聯分流公式I1=———IR1+R2R2電路中兩個或更多個電阻連接在兩個公共的結點之間，則這樣的連接法稱為電阻的并聯。在各個并聯支路(電阻)上受到同一電壓。I2=———IR1+R2R1IR2R1I1I2U+–UR+–I+R=R1R2R1R2等效電阻[例1]

圖示為變阻器調節負載電阻RL兩端電壓的分壓電路。RL=50

，U=220V。中間環節是變阻器，其規格是100、3A。今把它平分為四段，在圖上用a,b,c,d,e點標出。求滑動點分別在a,c,d,e時，負載和變阻器各段所通過的電流及負載電壓，并就流過變阻器的電流與其額定電流比較說明使用時的安全問題。[解]UL=0IL=0(1)在a點：RLULILU+–abcde+–RLULILU+–abcde+–[解](2)在c點：等效電阻R

為Rca

與RL

并聯，再與Rec串聯，即UL=RLIL=501.47V=73.5V注意，這時滑動觸點雖在變阻器的中點，但是輸出電壓不等于電源電壓的一半，而是73.5V。RLULILU+–abcde+–[解](3)在d點：注意：因Ied=4A3A，ed段有被燒毀的可能。RLULILU+–abcde+–[解](4)在e點：1.7支路電流法支路電流法是以支路電流(電壓)為求解對象，直接應用KCL和KVL列出所需方程組，而后解出各支路電流(電壓)。它是計算復雜電路最基本的方法。凡不能用電阻串并聯等效化簡的電路，稱為復雜電路。支路電流法求解電路的步驟AI2I1I3R1+–R2R3+–E2E1

1．確定支路數b

，假定各支路電流的參考方向；

2．應用KCL對結點A列方程

I1+I2–I3=

0

對于有n個結點的電路，只能列出(n–1)個獨立的KCL方程式。1．確定支路數b

，假定各支路電流的參考方向；1.7支路電流法2．應用KCL對結點A列方程

I1+I2–I3=

0

對于有n個結點的電路，只能列出(n–1)個獨立的KCL方程式。3．應用KVL列出余下的b–(n–1)方程；4．解方程組，求解出各支路電流。支路電流法求解電路的步驟AI2I1I3R1+–R2R3+–E2E1E1

–

E2

=I1R1–I2R2E2

=I2R2+I3R31.8疊加定理在多個電源共同作用的線性電路中，某一支路的電壓(電流)等于每個電源單獨作用，在該支路上所產生的電壓(電流)的代數和。IR1+–R2ISE1=I

R1+–R2E1

I

R1R2ISE1+I=I+I

當電壓源不作用時應視其短路，而電流源不作用時則應視其開路。計算功率時不能應用疊加定理。注意[例1]I1I2R1R2I3R3+

_

_

+

E1

E2

用疊加定理計算下圖中的各個電流。其中E1=140

V

E2

=90V

R1

=20

R2

=5

R3

=6

[解]

把原圖拆分成由E1

和E2

單獨作用兩個電路。I3

R1R2R3+

_

E1I2

I1

E2R1R2R3_+I3

R1R2R3+

_

E1I2

I1

E2R1R2R3_+所以[例2]求圖示電路中5

電阻的電壓U及功率P。+–10A5

15

20V+–U2

4

[解]

先計算20V電壓源單獨作用在5

電阻上所產生的電壓

U

20V+–5

15

+–U

2

4

電流源不作用應相當于開路[例2]

求圖示電路中5

電阻的電壓U及功率P。+–10A5

15

20V+–U2

4

[解]

再計算10A電流源單獨作用在5

電阻上所產生的電壓U

電壓源不作用應相當于短路5

15

+–U

2

4

10A[例2]

求圖示電路中5

電阻的電壓U及功率P。+–10A5

15

20V+–U2

4

[解]

根據疊加定理，20V電壓源和5A電流源作用在5

電阻上所產生的電壓U等于U=U

+U

=(5

37.5)V=

32.5V5

電阻的功率為P=5

(–32.5)2W=221.25W若用疊加定理計算功率將有用疊加定理計算功率是錯誤的。想一想，為什么？1.9電壓源與電流源及其等效變換

1.9.1電壓源外特性曲線U0=EIs=O

I/AU/V一個電源可以用兩種模型來表示。用電壓的形式表示稱為電壓源，用電流的形式表示稱為電流源。1.9.1電壓源U=E–R0I理想電壓源電壓源

R0E理想電壓源電路IbEUR0RL+_+_aERLIbU+_+_a當R0

=0時，U=E，是一定值，則I是任意的,由負載電阻和U確定，這樣的電源稱為理想電壓源或恒壓源。1.9.2電流源外特性曲線U0

=ISR0IS

O

I/AU/V理想電流源電流源將式U=E–R0I

兩邊邊同除以R0，則得

R0U

R0E=–I=IS–I

R0U即IS=

+I當R0

=

時，I

恒等于

IS是一定值，而其兩端電壓U是任意的，由負載電阻和IS

確定，這樣的電源稱為理想電流源或恒流源。理想電流源電路R0IURL+–IS

R0U1.9.3電源模型的等效變換電壓源的外特性和電流源的外特性是相同的。因此兩種模型相互間可以等效變換。IbEUR0RL+_+_aE=ISR0內阻改并聯IURLR0+–IS

R0UU0=ISR0IS

O

I/AU/V電流源IS=

ER0內阻改串聯

U0

=EO

I/AU/V電壓源1.9.3電源模型的等效變換IbEUR0RL+_+_aE=ISR0內阻改并聯IURLR0+–IS

R0UIS=

ER0內阻改串聯電壓源與電流源模型的等效變換關系僅對外電路而言，至于電源內部則是不相等的。注意

[例

1]

1.1.9用電源等效變換方法求圖示電路中I3。+_+_I390V140V20

5

6

[解]4

I36

25A4

I36

20

7A5

18A1.10戴維寧定理無源二端網絡N對于R，有源二端網絡N

相當一個電源故它可以用電源模型來等效代替。用電壓源模型(電動勢與電阻串聯的電路)等效代替稱為戴維寧定理。二端網絡是指具有兩個出線端部分的電路，若網絡內部不含電源，則稱為無源二端網絡；若網絡內部含有電源，則稱為有源二端網絡；E–+RR3R2R1IS有源二端網絡N任意線性有源二端網絡N，可以用一個恒壓源與電阻串聯的支路等效代替。其中恒壓源的電動勢等于有源二端網絡的開路電壓，串聯電阻等于有源二端網絡所有獨立源都不作用時由端鈕看進去的等效電阻。1.10戴維寧定理1.10戴維寧定理UI線性有源二端網絡Nab–+RbEUR0R+_+_aIN除去獨立源：恒壓源短路恒流源開路R0N0ab

E=U0Nab–+其中E

為有源二端網絡的開路電壓R0

為有源二端網絡所有電源都不作用，從a、b兩點看進去的等效電阻。[例1]

用戴維寧定理求圖示電路中電流I3。其中E1=140V，E2

=90V，R1

=20

，R2

=5

，R3

=6

。I1I2R1R2I3R3+__+E1E2ab

[解]

上圖可以化為右圖所示的等效電路。Eba+

R0I3R3等效電源的電動勢E可由圖a求得：R1R2+__+E1E2ab+_U0I(a)于是

E=U0=E1

R1I=(140202)V=100V或

E=U0=E2

+R2I=(90+52)V=100V等效電源的內阻R0

可由圖(b)求得R1R2ab(b)則1.11電路中電位的計算電路中某一點的電位是指由這一點到參考點的電壓電路的參考點可以任意選取通常認為參考點的電位為零Va=E1Vc=–E2Vb=I3R3若以d為參考點，則：+E1–E2簡化電路+_R1E1+_E2R2R3I3abcddabcR1R2R3

[例1]

電路如圖所示,分別以A、B為參考點計算C和D點的電位及C和D兩點之間的電壓。2

10V+–5V+–3

BCD[解]以A為參考點II=10+53+2A=3AVC=3×3V=9VVD=–3×2V=–6V以B為參考點VD=–5VVC=10V小結：電路中某一點的電位等于該點到參考點的電壓；電路中各點的電位隨參考點選的不同而改變，但是任意兩點間的電壓不變。VCD=VC–VD=15VA1.12電路的暫態分析1.12.1電阻元件、電感元件和電容元件1.12.2儲能元件和換路定則1.12.3

RC

電路的暫態分析1.12.4

RL

電路的暫態分析1.12電路的暫態分析前面討論的是電阻性電路，當接通電源或斷開電源時電路立即進入穩定狀態(穩態)。所謂穩態是指電路的結構和參數一定時，電路中電壓、電流不變。但是，當電路中含有儲能元件(電感或電容)時，由于物質所具有的能量不能躍變，所以在發生換路時(指電路接通、斷開或結構和參數發生變化)，電路從一個穩定狀態變化到另一個穩定狀態一般需要經過過渡狀態才能到達。由于過渡狀態所經歷的時間往往很短，故又稱暫態過程。本節先討論R、L、C的特征和暫態過程產生的原因，而后討論暫態過程中電壓、電流隨時間變化的規律。上式表明電阻將全部電能消耗掉，轉換成熱能。1．電阻元件iu+_R圖中參考電壓和電流方向一致，根據歐姆定律得出u=RiR=ui電阻元件的參數電阻對電流有阻礙作用將u=Ri兩邊同乘以i

，并積分之，則得

R是耗能元件1.12.1電阻元件、電感元件和電容元件i(安)A韋伯(Wb)亨利(H)N電感+–u

2．電感元件

L=iN

在圖示u、i、e假定參考方向的前提下，當通過線圈的磁通或i發生變化時，線圈中產生感應電動勢為

L稱為電感或自感。線圈的匝數越多，其電感越大；線圈單位電流中產生的磁通越大，電感也越大。L+–ui–eL+電壓電流關系L+–ui–eL+根據KVL可寫出u+eL=0或在直流穩態時，電感相當于短路。瞬時功率p>0，L把電能轉換為磁場能，吸收功率。p<0，L把磁場能轉換為電能，放出功率。儲存的磁場能

L

是儲能元件(伏)V庫侖(C)法拉(F)3．電容元件電容元件的參數iu+–C1

F=106F

1pF=1012F當通過電容的電荷量或電壓發生變化時，則在電容中引起電流在直流穩態時，I=0，電容隔直流。儲存的電場能

C

是儲能元件1.12.2儲能元件和換路定則電路中含有儲能元件(電感或電容)，在換路瞬間儲能元件的能量不能躍變，即換路引起電路工作狀態變化的各種因素。如：電路接通、斷開或結構和參數發生變化等。電感元件的儲能不能躍變電容元件的儲能不能躍變iL(0+)=iL(0–)uC(0+)=uC(0–)設

t=0為換路瞬間，而以t=0–

表示換路前的終了瞬間，t=0+

表示換路后的初始瞬間。換路定則用公式表示為：否則將使功率達到無窮大[例1]4

R3+

U6Vt=02

SR1R24

uCC+－+—iCiL

t=0-iLuL

確定電路中各電流與電壓的初始值。設開關

S

閉合前

L

元件和

C

元件均未儲能。[解]

由t=0

的電路uC(0

)=0iL(0

)=0因此

uC(0+)=0iL(0+)=0+

UR1i+

uLiLR2

R3uC+

iCt=0+在t=0+

的電路中電容元件短路，電感元件開路，求出各初始值uL(0+)=R2iC(0+)=41V=4V1.12.3RC

電路的暫態分析1．零狀態響應所謂RC電路的零狀態，是指換路前電容元件未儲有能量，即uC(0

)=0。在此條件下，由電源激勵所產生的電路的響應，稱為零狀態響應。2．零輸入響應所謂RC

電路的零輸入，是指無電源激勵，輸入信號為零。在此條件下，由電容元件的初始狀態uC(0+)

所產生的電路的響應，稱為零輸入響應。3．全響應所謂RC

電路的全響應，是指電源激勵和電容元件的初始狀態uC(0+)

均不為零時電路的響應，也就是零狀態響應與零輸入響應兩者的疊加。USCRt=0–

+12–

+uR–

+uCi在t=0時將開關S合到1的位置根據KVL，t≥

0時電路的微分方程為

設：S在2位置時C已放電完畢1．零狀態響應上式的通解有兩個部分，特解和補函數特解取電路的穩態值，即補函數是齊次微分方程的通解，其形式為代入上式，得特征方程SCRt=0–

+U12–

+uR–

+uCi其根為通解由于換路前電容元件未儲能，即uC(0+)

=0，則

A

=–U，

于是得uC

零狀態響應表達式時間常數

物理意義當

t=

時令:單位:s時間常數

決定電路暫態過程變化的快慢uC=U(1e1)=U(10.368)=0.632UtuCUOu0.632U

零狀態響應曲線所以時間常數

等于電壓uC

增長到穩態值U

的63.2%

所需的時間。2．零輸入響應+–SRU21+–+–代入上式得換路前電路已處于穩態

t=0時開關S1，電容C經電阻R

放電一階線性常系數齊次微分方程列

KVL方程實質：RC電路的放電過程特征方程RCp+1=0由初始值確定積分常數AuC(0+)=

uC(0

)=U

uC(

)=0則A=U

零輸入響應表達式t≥0uC零輸入響應曲線OuUt時間常數

=RC當

t=

時，uC=

36.8%

U電容電壓

uC

從初始值按指數規律衰減，衰減的快慢由

RC

決定。

越大，曲線變化越慢，uC

達到穩態所需要的時間越長。0.368UUtOuC設

1<

2<

3暫態時間理論上認為t

、uC

0

電路達穩態工程上認為t=(3~5)

、uC

0電容放電基本結束。

t0.368U0.135U0.050U0.018U0.007U0.002U隨時間而衰減當t=5

時，過渡過程基本結束，uC

達到穩態值。3．全響應1．uC

的變化規律

全響應：電源激勵、儲能元件的初始能量均不為零時，電路中的響應。根據疊加定理全響應=零輸入響應+零狀態響應uC(0

)=U0SRU+_C+_iuC+_uRt≥0穩態分量零輸入響應零狀態響應暫態分量結論2：全響應=穩態分量+暫態分量全響應結論1：全響應=零輸入響應+零狀態響應穩態值初始值t≥0t≥0在直流電源激勵的情況下，一階線性電路微分方程解的通用表達式：式中，f(t)——一階電路中任一電壓、電流函數；f(0+)——初始值；f(

)——穩態值；

——時間常數。(三要素)

利用求三要素的方法求解暫態過程，稱為三要素法。一階電路都可以應用三要素法求解，在求得f(0+)、f(

)和

的基礎上，可直接寫出電路的響應(電壓或電流)。一階電路暫態過程的求解方法一階電路僅含一個儲能元件或可等效為一個儲能元件的線性電路,且由一階微分方程描述，稱為一階線性電路。求解方法

1．經典法：根據激勵(電源電壓或電流)，通過求解電路的微分方程得出電路的響應(電壓和電流)。2．三要素法初始值穩態值時間常數求(三要素)三要素法求解暫態過程的要點(1)求初始值、穩態值、時間常數；(3)畫出暫態電路電壓、電流隨時間變化的曲線。(2)將求得的三要素結果代入暫態過程通用表達式；終點f(

)起點f(0+)tf(t)O

求換路后電路中的電壓和電流，其中電容C視為開路,電感L視為短路，即求解直流電阻性電路中的電壓和電流。 (1)穩態值f(

)的計算響應中“三要素”的確定例：uC+

t=0C10V5k

1

FS5k

+

t=03

6

6

6mAS1H(2)

初始值f(0+)的計算

1)

由t=0

電路求uC(0

)、iL(0

)2)

根據換路定則求出3)

由t=0+

時的電路，求所需其他各量的u(0+)或i(0+)注意：在換路瞬間t=(0+)的等效電路中

(1)若uC(0

)=U00，電容元件用恒壓源代替，其值等于U0；若uC(0

)=0，電容元件視為短路。

(2)若iL(0

)=I00電感元件用恒流源代替，其值等于I0；若iL(0

)=0，電感元件視為開路。若不畫t=(0+)的等效電路，則在所列t=0+

時的方程中應有uC=uC(0+)、iL=iL(0+)。(3)

時間常數

的計算對于一階RC電路對于一階RL電路注意：

1)

對于簡單的一階電路，R0=R;

2)

對于較復雜的一階電路，R0

為換路后的電路除去電源和儲能元件后，在儲能元件兩端所求得的無源二端網絡的等效電阻。R0U0+

CR0

R0

的計算類似于應用戴維寧定理解題時計算電路等效電阻的方法。即從儲能元件兩端看進去的等效電阻，如圖所示。R1R2R3R1U+

t=0CR2R3SR2R1–

U1C–

+1+uCU2–

+2t=0S

[例2]在下圖中，已知U1=3V，U2=+6V，R1=1k

，R2=2k，C=3F，t<0時電路已處于穩態。用三要素法求t≥0時的uC(t)，并畫出其變化曲線。

[解]

先確定uC(0+)、uC(

)和時間常數

t<0時電路已處于穩態，意味著電容相當于開路。

[例2]

在下圖中，已知U1=3V，U2=+6V，R1=1k，R2=2k

，C=3F，t<0時電路已處于穩態。用三要素法求t≥0時的uC(t)，并畫出其變化曲線。R2–

U1C–

+1+uCU2–

+2t=0SR1

[解]

先確定uC(0+)

uC(

)和時間常數

uC=42e500tVt

≥0

[例2]

在下圖中，已知U1=3V，U2=6V，R1=1k，R2=2k

，C=3F，t<0時電路已處于穩態。用三要素法求t≥0時的uC(t)，并畫出其變化曲線。[解]–

U1C–

+1+uCU2–

+2t=0SR1uC(0+)=2VuC()=4V

=2msuC=42e500tVt

≥0R2t/suC

/V402uC(t)變化曲線1.12.4RL電路的暫態分析Rt=0–

+12–

+uR–

+uLiLSU在t=0時將開關S合到1的位置上式的通解為根據KVL，t≥

0時電路的微分方程為

在t=0+時，初始值i(0+)=0，則。于是得式中

也具有時間的量綱，是RL電路的時間常數。這種電感無初始儲能，電路響應僅由外加電源引起，稱為RL電路的零狀態響應。1.12.4RL電路的暫態分析Rt=0–

+U2–

+uR–

+uLiLS1若在t=0時將開關S由1合到2的位置，如右圖所示。這時電路中外加激勵為零，電路的響應是由電感的初始儲能引起的，故常稱為RL電路的零輸入響應。此時，通過電感的電流iL

由初始值I0

向穩態值零衰減，其隨時間變化表達式為tiOi時間常數

=L/R0.632U/R

零狀態響應曲線URi零輸入響應曲線OiI0t0.368I0

時間常數

=L/R當t=

時，。當t=

時，i=63.2%I0。

電路中

uR

和uL

可根據電阻和電感元件兩端的電壓電流關系確定。t=0–

+UiLR1R212

8

220V0.6H

[例3]

圖中，如在穩定狀態下R1

被短路，試問短路后經過多少時間電流才達到15A？

[解]

先應用三要素法求電流I。(1)確定i(0+)(2)確定i(

)(3)確定時間常數

[例3]

圖中，如在穩定狀態下R1

被短路，試問短路后經過多少時間電流才達到15A？[解]

i(0+)=11A

i(

)=18.3A

=0.05st=0–

+UiLR1R212

8

220V0.6H根據三要素法公式當電流到達15A時15=18.37.3e20t所經過的時間為t=0.039s第2章正弦交流電路第2章正弦交流電路2.1正弦電壓與電流2.2正弦量的相量表示法2.3單一參數的交流電路2.4

電阻、電感與電容元件串聯的交流電路2.5阻抗的串聯與并聯2.6電路中的諧振2.7功率因數的提高2.8三相電路2.9非正弦周期電壓和電流第2章正弦交流電路

在生產和生活中普遍應用正弦交流電，特別是三相電路應用更為廣泛。

正弦交流電路是指含有正弦電源(激勵)而且電路各部分所產生的電壓和電流(響應)均按正弦規律變化的電路。

本章將介紹交流電路的一些基本概念、基本理論和基本分析方法，為后面學習交流電機、電器及電子技術打下基礎。

本章還將討論三相交流電路和非正弦周期電壓和電流。

交流電路具有用直流電路的概念無法理解和無法分析的物理現象，因此在學習時注意建立交流的概念，以免引起錯誤。2.1正弦電壓與電流

直流電路在穩定狀態下電流、電壓的大小和方向是不隨時間變化的，如右上圖所示。

正弦電壓和電流是按正弦規律周期性變化的，其波形如右下圖所示。

tuiO–

+uiR–

+uiR正半周負半周

電路圖上所標的方向是指它們的參考方向，即代表正半周的方向。

負半周時，由于參考方向與實際方向相反，所以為負值。+

實際方向表征正弦量的三要素有幅值初相位頻率

t

OU,I2.1.1頻率與周期T周期T：正弦量變化一周所需要的時間；角頻率

:

t2

［例］我國和大多數國家的電力標準頻率是50Hz，試求其周期和角頻率。［解］Im

t

i0ＴT/2頻率f：正弦量每秒內變化的次數；–Im

=2

f=23.1450rad/s=314rad/s2.1.2幅值與有效值

瞬時值是交流電任一時刻的值。用小寫字母表示。如i、u、e分別表示電流、電壓、電動勢的瞬時值。

t2

Im

t

i0ＴT/2–Im同理可得根據上述定義，有得當電流為正弦量時:最大值是交流電的幅值。用大寫字母加下標表示。如

Im、Um、Em。

有效值是從電流的熱效應來規定的。交流電流通過一個電阻時在一個周期內消耗的電能與某直流電流在同一電阻相同時間內消耗的電能相等，這一直流電流的數值定義為交流電的有效值。2.1.3初相位

tiO

正弦量所取計時起點不同，其初始值(t=0時的值)及到達幅值或某一特定值所需時間就不同。i

tO例如:不等于零t=0時，t=0時的相位角稱為初相位角或初相位。

t和(t+

)稱為正弦量的相位角或相位。它表明正弦量的進程。若所取計時時刻不同，則正弦量初相位不同。2.1.3初相位0

tiu同頻率正弦量的相位角之差或是初相角之差，稱為相位差，用

表示。u和i的相位差為當兩個同頻率的正弦量計時起點改變時，它們的初相位角改變，但初相位角之差不變。iu

2

1

圖中，u

超前i

角或稱i

滯后u

角

tiOi1i2i3i1

與i3

反相i1與i2同相

在一個交流電路中，電壓、電流頻率相同，而初相位常常不相同，如左上圖所示2.2正弦量的相量表示法aAO

b+1+jr模輻角代數式三角式指數式極坐標式正弦量具有幅值、頻率和初相位三個要素，它們除用三角函數式和正弦波形表示外，還可以用相量來表示。正弦量的相量表示法就是用復數來表示正弦量。A=a+jb=r(cos

+jsin

)=rej

=r

設平面有一復數A復數A可有幾種式子表示復數在進行加減運算時應采用代數式，實部與實部相加減，虛部與虛部相加減。復數進行乘除運算時應采用指數式或極坐標式，模與模相乘除，輻角與輻角相加減。2.2正弦量的相量表示法由以上分析可知，一個復數由模和輻角兩個特征量確定。而正弦量具有幅值、頻率和初相位三個要素。但在分析線性電路時，電路中各部分電壓和電流都是與電源同頻率的正弦量，因此，頻率是已知的，可不必考慮。故一個正弦量可用幅值和初相角兩個特征量來確定。比照復數和正弦量，正弦量可用復數來表示。復數的模即為正弦量的幅值或有效值，復數的輻角即為正弦量的初相位角。

為與復數相區別，把表示正弦量的復數稱為相量。并在大寫字母上打一“

”。的相量式為上式中(有效值相量)相量是表示正弦交流電的復數，正弦交流電是時間的函數，兩者之間并不相等。按照正弦量的大小和相位關系畫出的若干個相量的圖形，稱為相量圖。注意只有正弦周期量才能用相量表示；只有同頻率的正弦量才能畫在同一相量圖上；想一想，正弦量有哪幾種表示方法，它們各適合在什么場合應用？相量圖1jO

i1

i2I1m?I2m?[例]若i1=I1msin(t+

i1)

i2=I2msin(t+

i2)，畫相量圖。設

i1=65

，

i1=30

。

[例1]

若已知i1=I1msin(t+

1)=100sin(t+30)A、

i2=I2msin(t+

2)=60

sin(t30)A，求i=i1

+

i2。[解]正弦電量(時間函數)所求正弦量變換相量(復數)相量結果反變換相量運算(復數運算)正弦電量的運算可按下列步驟進行，首先把于是得2.3單一參數的交流電路電路分析是確定電路中電壓與電流關系及能量的轉換問題。2.3.1電阻元件本節從電阻、電感、電容兩端電壓與電流一般關系式入手，介紹在正弦交流電路中這些單一參數的電壓、電流關系及能量轉換問題。為學習交流電路打下基礎。R–

+ui1．電壓電流關系設在電阻元件的交流電路中，電壓、電流參考方向如圖所示。根據歐姆定律設則式中或可見，R

等于電壓與電流有效值或最大值之比。電壓與電流同頻率、同相位；1．電壓電流關系電壓與電流大小關系iu波形圖U?I?電壓與電流相量表達式

tO相量圖+1+jO

R–

+ui2.3.1電阻元件的交流電路瞬時功率平均功率

2．功率u

tOipO

tP=UI轉換成的熱能R–

+ui2.3.2

電感元件的交流電路設在電感元件的交流電路中，電壓、電流取關聯參考方向。L–

+ui1．電壓電流關系設

由，有感抗XL=

LXL與f的關系OfXL感抗與頻率f和L成正比。因此，電感線圈對高頻電流的阻礙作用很大，而對直流可視為短路。

ui波形圖

tOU

?+1+jO1．電壓電流關系電壓超前電流90

；相量圖電壓與電流大小關系U=IXL

電壓與電流相量式–

+ui2.3.2電感元件的交流電路I?L2．功率瞬時功率iu

t0p

t0++––當u、I實際方向相同時(

i

增長)p>0，電感吸收功率；當u、I實際方向相反時(

i

減小)p<0，電感提供功率。波形圖i平均功率P=0無功功率電感與電源之間能量交換的規模稱為無功功率。其值為瞬時功率的最大值，單位為(var)

乏。電感不消耗功率，它是儲能元件。–

+uL2.3.3電容元件的交流電路OfXC容抗設1．電壓電流關系有i=CUmcost=Imsin(t+90)由C–

+uiXC

與f的關系設在電容元件的交流電路中，電壓、電流取關聯參考方向。式中

容抗與頻率f，電容C成反比。因此，電容元件對高頻電流所呈現的容抗很小，而對直流所呈現的容抗趨于無窮大，故可視為開路。

u波形圖

tOiU

?+1+jO電流超前電壓90

相量圖I?電壓與電流大小關系U=IXC

電壓與電流相量式1．電壓電流關系2.3.3電容元件的交流電路C–

+ui2．功率瞬時功率ui

tOp

tO++––當u、i實際方向相同時(

u

增長)p>0，電容吸收功率；當u、i實際方向相反時(

u

減小)p<0，電容提供功率。波形圖平均功率P=0無功功率電容與電源之間能量交換的規模稱為無功功率。其值為瞬時功率的最大值，單位為(var)

乏。電容不消耗功率，它是儲能元件。C–

+ui

[例

1]

下圖中電容C

=23.5F，接在電源電壓U

=220V、頻率為50Hz、初相位為零的交流電源上，求電路中的電流i、P

及Q。該電容的額定電壓最少應為多少伏？[解]

容抗C–

+uiP

=0Q=

UI=356.4var額定電壓≥311V2.4電阻、電感與電容元件串聯的交流電路根據KVL可列出1．電壓電流關系在R、L、C串聯交流電路中，電流電壓參考方向如圖所示。如用相量表示電壓與電流關系，可把電路模型改畫為相量模型。–jXCRjXL電路的阻抗，用Z

表示。

KVL相量表示式為–

+L–

+uCRiuLuCuR–

+–

+–

+–

+–

+–

+1．電壓電流關系2.4電阻、電感與電容元件串聯的交流電路上式中稱為阻抗模，即阻抗的單位是歐姆，對電流起阻礙作用；是阻抗的輻角，即為電流與電壓之間的相位差。1．電壓電流關系2.4電阻、電感與電容元件串聯的交流電路設電流i=Imsin

t

為參考正弦量當XL>XC，

為正，電路中電壓超前電流，電路呈電感性；當XL<XC，

為負，則電流超前電壓，電路呈電容性；當XL=XC，

=0，則電流與電壓同相，電路呈電阻性。

的大小和正負由電路參數決定。則電壓u=Umsin(

t+

)

為正時電路中電壓電流相量圖I

?U?UR?UL?

UC?UL?UC?阻抗三角形XL

XCR

Z2．功率2.4電阻、電感與電容元件串聯的交流電路瞬時功率整理可得平均功率為從R、L、C串聯電路相量圖可得出于是無功功率為電壓與電流的有效值之積，稱為電路的視在功率單位是(V·A)或(kV·A)[解](1)

[例2]

R、L、C串聯交流電路如圖所示。已知R=30、L=127mH、C=40

F，

。求：(1)電流

i及各部分電壓uR，uL，uC；(2)求功率P和Q。于是得–

+L–

+uCRiuLuCuR–

+–

+注意：(2)電容性(3)電流、電壓相量圖2.5阻抗串聯與并聯2.5.1阻抗的串聯–

+++–

–

Z2Z1(a)–

+Z(b)根據KVL可寫出圖(a)電壓的相量表示式圖(b)相量表示式若圖(b)是圖(a)的等效電路，兩電路電壓、電流的關系式應完全相同，由此可得一般若Z1=R1+jX1

Z2=R2+jX2則Z=R1+jX1+

R2+jX2=(R1+R2)+j(X1+

X2)–

+Z–

+Z1Z2(a)(b)根據KCL可寫出圖(a)電流的相量表示式圖(b)相量表示式若圖(b)是圖(a)的等效電路，兩電路電壓、電流的關系式應完全相同，由此可得或因為一般即所以2.5.2阻抗的并聯2.6

電路中的諧振在含有電感和電容的交流電路中，若調節電路的參數或電源的頻率，使電路中的電流與電源電壓同相位，稱這時電路中發生了諧振現象。按發生諧振電路的不同，諧振現象分為串聯諧振和并聯諧振。本節討論串聯諧振與并聯諧振的條件和特征。2.6.1串聯諧振在圖示電路中，當或時，則即u與i同相，這時電路中發生串聯諧振。諧振條件諧振頻率串聯諧振電路特征(1)其值最小。最大；(2)電路對電源呈電阻性，(3)電源電壓。–

+L–

+uCRiuLuCuR–

+–

+2.6.1串聯諧振串聯諧振時相量圖I

?U?UR?UL?UC?當XL=XC>R

時，UL

和UC

都高于電源電壓U。如果電壓過高，可能會擊穿線圈和電容的絕緣。因此，在電力系統中應避免發生串聯諧振。而在無線電工程中則用串聯諧振以獲得較高電壓。–

+L–

+uCRiuLuCuR–

+–

+發生諧振時的相量圖由相量圖可得由于U

??I1?ICI

?LuCR–

+ii1iC2.6.2并聯諧振2.6.2并聯諧振通常線圈電阻R很小，一般諧振時，U

??I1?ICI

?LuCR–

+ii1iC2

f0L>>

R于是簡化上式，得到諧振頻率并聯諧振具有下列特征：(1)由于故(2)電路對電源呈電阻性。(3)支路電流可能會大于總電流。所以并聯諧振又稱電流諧振。2.7功率因數的提高功率因數低引起的問題功率因數1．電源設備的容量將不能充分利用2．增加輸電線路和發電機繞組的功率損耗在P、U一定的情況下，cos

越低，I越大，損耗越大。有功功率P=UNIN

cos

在電源設備UN、IN

一定的情況下，cos

越低，P越小，設備得不到充分利用。P=UIcos

電壓與電流的相位差角(功率因數角)I

?IC

?I1

?U?

1

iiCC電路功率因數低的原因感性負載的存在提高功率因數的方法并聯電容后，電感性負載的工作狀態沒變，但電源電壓與電路中總電流的相位差角減小，即提高了電源或電網的功率因數。LuR–

+i1已知感性負載的功率及功率因數cos

1

，若要求把電路功率因數提高到cos

，則所并聯的電容C

可由相量圖求得又因所以由此得

[例1]有一電感性負載，P=10kW，功率因數cos

1

=0.6，接在電壓U=220V的電源上，電源頻率f=50Hz。(1)如果將功率因數提高到cos

=0.95，試求與負載并聯的電容器的電容值和電容并聯前后的線路電流。(2)如果將功率因數從0.95再提高到1，試問并聯電容器的電容值還需增加多少？[解]

(1)所需電容值為電容并聯前線路電流為電容并聯后線路電流為(2)若將功率因數從0.95再提高到1，所需并聯電容值為2.8三相電路三相電路在生產上應用最為廣泛。發電和輸配電一般都采用三相制。在用電方面，最主要的負載是三相電動機。本節主要討論負載在三相電路中的連接使用問題。2.8.1三相電壓

三相電壓是由三相發電機產生的頻率相同、幅值相等、相位互差120o的三相對稱正弦電壓，

若以u1

為參考正弦量則u1=Umsintu2=Umsin(t120)u3=Umsin(t240)=Umsin(t+120)也可用相量表示U1=U·0

U2=U·

120

U3=U·120

Um–Umu1u2u3

t02

以u1

為參考正弦量，則有2.8.1三相電壓對稱三相電壓的波形圖對稱三相電壓相量圖120

U1?U3?U2?120

120

三相交流電壓出現正幅值(或相應零值)的順序稱為相序。在此相序為u1

u2

u3

分析問題時一般都采用這種相序。2.8.1三相電壓三相電源的星形聯結–

+u31–

+u1N中性點或零點L1L2L3N–

+u12+–

u23u2–

+u3–

+相線中性線

兩始端間的電壓稱為線電壓。其有效值用U12、U23、U31

表示或一般用Ul

表示。

始端與末端之間的電壓稱為相電壓；其有效值用U1

、

U2、U3

表示或一般用Up

表示。線、相電壓之間的關系u12=u1

u2u23=u2

u3u31=u3

u12.8.1三相電壓三相電源的星形聯結線、相電壓之間的關系u12=u1

u2u23=u2

u3u31=u3

u1線、相電壓間相量關系式–

+u31–

+u1NL1L2L3N–

+u12+–

u23u2–

+u3–

+相量圖U1?U3?U2?30o30o30o三相負載對稱(三個相的復阻抗相等)不對稱(由多個單相負載組成)由三相電源供電的負載稱為三相負載三相四線制三角形聯結星形聯結三相負載采用何種連接方式由負載的額定電壓決定。當負載額定電壓等于電源線電壓時采用三角形聯結；當負載額定電壓等于電源相電壓時采用星形聯結。NL1L2L3Z3Z2Z1M3~2.8.2三相電路中負載的連接方法每相負載中的電流Ip

稱為相電流2.8.2三相電路中負載的連接方法1．星形聯結–

+u1Nu2–

+u3–

+i1N

i2i3iN電路及電壓和電流的參考方向如圖示每根相線中的電流Il

稱為線電流負載為星形聯結時，負載線、相電流相等即Ip=Il則有每相負載中的電流

1

120