專題03平面向量奔馳定理與三角形四心問題七種考法一、方法講解1.奔馳定理：----解決面積比例問題，則、、的面積之比等于奔馳定理證明：如圖，令，即滿足，，，故．2.三角形四心與推論：（1）是的重心：．（2）是的內(nèi)心：．（3）是的外心：．（4）是的垂心：．3.常見結(jié)論（1）內(nèi)心：三角形的內(nèi)心在向量所在的直線上．為的內(nèi)心．（2）外心：為的外心．（3）垂心：為的垂心．（4）重心：為的重心．4.三角形的四心與奔馳定理的關(guān)系(1)O是△ABC的重心：.(2)O是△ABC的垂心：.(3)O是△ABC的內(nèi)心：.(4)O是△ABC的外心：.二、重難點例題及變式類型一、奔馳定理例．已知為內(nèi)一點，且滿足，若的面積與的面積的比值為，則的值為（

）A． B． C． D．2【答案】B【解析】由，得，如圖，分別是的中點，則，所以在線段上，且，得，設(shè)，則，所以，因為，，，所以，則，解得.故選：B【變式訓(xùn)練1】奔馳定理：已知O是△ABC內(nèi)的一點，△BOC，△AOC，△AOB的面積分別為SA，SB，SC，則SA?OA+SB?OB+SCA．25 B．12 C．1【答案】D【解析】∵O為三角形ABC內(nèi)一點，且滿足OA+2∴OA∵S∴S△AOB故選：D．類型二、重心問題例．（1）已知是所在平面內(nèi)一定點，動點滿足，則動點的軌跡一定過的.（選填：外心、內(nèi)心、垂心、重心）【答案】重心【解析】過作，垂足為，取中點為，連接，如下所示：則，則，則，，又為非負(fù)實數(shù)，故共線，也即三點共線，又為三角形中線，故的軌跡過三角形的重心.故答案為：重心.（2）在△ABC中，已知AB=1,AC=3，點G為△ABC的外心，點O為△ABC重心，則=．【答案】4【解析】設(shè)BC的中點為D，連接AD,GD，由點G為△ABC的外心，可得GD⊥BC，由點O為△ABC重心，可得OD=故OG===1

故答案為：43（3）設(shè)，過作直線分別交（不與端點重合）于，若，，若與的面積之比為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】連接并延長，則通過的中點，過，分別向所在直線作垂線，垂足分別為，，如圖所示與的面積之比為根據(jù)三角形相似可知，則即由平行四邊形法則得根據(jù)待定系數(shù)法有，則故選：D【變式訓(xùn)練1】已知點O是△ABC的重心，過點O的直線與邊AB,AC分別交于M,N兩點，D為邊BC的中點．若AD=xAM+yAN(x,y∈A．32 B．23 C．2【答案】A【解析】如圖所示，由三角形重心的性質(zhì)，可得AOAD=2所以32AO=x因為M,O,N三點共線，可得23x+2故選：A．

【變式訓(xùn)練2】點O,P是△ABC所在平面內(nèi)兩個不同的點，滿足OP=OA+OB+OC，則直線OPA．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心【答案】A【解析】設(shè)BC的中點為點D，所以O(shè)B+則OP-若A,P,O,D四點共線時，即點O,P都在中線AD上，所以O(shè)P經(jīng)過三角形的重心，若A,P,O,D四點不共線時，AP//OD，且AP=2OD，連結(jié)AD,OP，交于點G，如圖，AGGD=APOD=2，即點G綜上可知，OP經(jīng)過△ABC的重心.故選：A.【變式訓(xùn)練3】如圖所示，中為重心，過點，，，則．

【答案】3【解析】設(shè)根據(jù)題意，；，，，三點共線，則存在，使得，即，即，，整理得，所以；故答案為：3類型三、垂心問題例．（1）在△ABC中，若HA?HB=HB?HC=A．外心 B．重心 C．內(nèi)心 D．垂心【答案】D【解析】因為HA?HB=所以HB⊥CA，即點H在邊同理可得：HA⊥所以點H為△ABC的三條高線的交點，即點H是△ABC的垂心.故選：D（2）已知在中，，點為的垂心，則=（

）A．15 B．16 C．17 D．18【答案】D【解析】延長交于點，因為，點為的垂心，所以為的中點，，所以，故選：D【變式訓(xùn)練1】已知平面上四個點A,B,C,D，其中任意三個不共線．若AB?AD=AC?AD，則直線A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【答案】D【解析】因為AB?AD=所以AD⊥CB，即直線AD一定經(jīng)過三角形ABC的BC邊上的高，即直線AD一定經(jīng)過三角形ABC的垂心.故選：D.【變式訓(xùn)練2】已知的垂心為點，面積為15，且，則；若，則.【答案】305【解析】如圖，

是的邊上的高，則；設(shè)，因為，面積為15，所以，即；.由第一空可知，所以；所以，由可得，即；因為，所以，.故答案為：30;5.類型四、內(nèi)心問題例．在△ABC中，AB=2AC，動點M滿足AM?(BC+AC)=0，則直線AMA．垂心 B．內(nèi)心 C．外心 D．重心【答案】B【解析】延長AC，使得AC=CD，則BC+因為AM?(BC+因為AB=2AC，所以AB=AD，所以△ABD是等腰三角形，所以點M在BD的中垂線上，所以AM平分∠BAC，直線AM一定經(jīng)過△ABC的內(nèi)心.故選：B.【變式訓(xùn)練1】設(shè)的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，是所在平面上的一點，，則點是的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心【答案】C【解析】因為，所以，，即，，所以，．所以，，又，所以，，所以在的平分線上，在的平分線上，所以點是的內(nèi)心．故選：C．【變式訓(xùn)練2】設(shè)O為△ABC的內(nèi)心，AB=AC=13，BC=10，AO?=mAB?+nA．1336 B．1318 C．5【答案】B【解析】取BC的中點E，連AE，因為AB=AC=13，BC=10，所以AE⊥BC，AE=13所以△ABC的內(nèi)心O在線段AE上，OE為內(nèi)切圓的半徑，因為S△ABC所以12所以12×12×10=1所以AO=AE-OE=12-10所以AO=又AE=12又已知AO=mAB+n所以m+n=13故選：B.【變式訓(xùn)練3】已知△ABC所在的平面上的動點P滿足AP=|AB|AC+|AC|A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心【答案】C【解析】因為AP∴AP=|∴根據(jù)平行四邊形法則知1|AC|而向量AP與1|∴P點的軌跡過△ABC的內(nèi)心.故選：C．類型五、外心問題例．（1）已知點在所在平面內(nèi)，滿足，則點是的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．垂心 D．重心【答案】A【解析】因為，即點到的距離相等，所以點是的外心.故選：A（2）在中，，是的外心，為的中點，，是直線上異于、的任意一點，則（

）A．3 B．6 C．7 D．9【答案】B【解析】因為是的外心，為的中點，設(shè)的中點為，連接，所以，，設(shè)，則，又是的外心，所以，所以.故選：B【變式訓(xùn)練1】為所在平面內(nèi)一點，且滿足，則是的（

）A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心【答案】B【解析】依題意，，，，則，于是，所以是的外心.故選：B【變式訓(xùn)練2】已知O是△ABC的外心，AB+AC=2AO，OA=AB，則向量A．-14BC B．-2【答案】C【解析】由AB+AC=2AO，所以O(shè)是BC的中點，又則∠BAC=90°，再由OA=則△ABO為正三角形，∠ACB=30角度一：如圖，過點A作AD⊥BC，垂足為D，則BD=12BO=所以向量AC在向量BC上的投影向量等于DC=角度二：設(shè)BC=2，則AB=1，所以所以向量AC在向量BC上的投影向量等于AC?故選：C.【變式訓(xùn)練3】已知O為的外心，，則（

）A．8 B．10 C．12 D．1【答案】A【解析】如圖，O為的外心，過作于因為，所以則.故選：A.類型六、奔馳定理與四心問題例．（1）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知是內(nèi)一點，的面積分別為，且．以下命題錯誤的是（

）A．若，則為的重心B．若為的內(nèi)心，則C．若，為的外心，則D．若為的垂心，，則【答案】C【解析】對于A：取的中點D，連接，由，則，所以，所以A，M，D三點共線，且，設(shè)E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，同理可得，，所以為的重心，故A正確；對于B：由為的內(nèi)心，則可設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則有，所以，即，故B正確；對于C：由為的外心，則可設(shè)的外接圓半徑為，又，則有，所以，，，所以，故C錯誤；對于D：如圖，延長交于點D，延長交于點F，延長交于點E，由為的垂心，，則，又，則，，設(shè)，則，所以，即，所以，所以，故D正確．故選：C．（2）（多選）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知是內(nèi)的一點，，，的面積分別為，則有.設(shè)是銳角內(nèi)的一點，，，分別是的三個內(nèi)角，以下命題正確的有（

）A．若，則為的重心B．若，則C．若，，，則D．若為的垂心，則【答案】ABD【解析】對于A：如下圖所示，假設(shè)為的中點，連接，則，故共線，即在中線上，同理可得在另外兩邊的中線上，故O為的重心，即A正確；對于B：由奔馳定理O是內(nèi)的一點，的面積分別為，則有可知，若，可得，即B正確；對于C：由，可知，又，所以，由可得；所以，即C錯誤；對于D：由四邊形內(nèi)角和可知，，則，同理，因為O為的垂心，則，所以，同理得，，則，令，由，則，同理：，，綜上，，根據(jù)奔馳定理得，即D正確.故選：ABD.【變式訓(xùn)練1】如圖，已知O是△ABC的垂心，且OA+2OB+3OC=A．1:2:3B．1:2:4C．2:3:4 D．2:3:6【答案】A【解析】O是△ABC的垂心，延長CO，BO，AO分別交邊AB，AC，BC于點P，M，N，如圖，則CP⊥AB，BM⊥AC，AN⊥BC，∠BOP=∠BAC，∠AOP=∠ABC，因此，S△BOC同理S△BOC于是得tan∠BAC:又OA由“奔馳定理”有S即S△BOC:S故選：A.【變式訓(xùn)練2】在△ABC中，AB=2，AC=3，BC=4，O是△ABC的內(nèi)心，且AO=λABA．910 B．710 C．8【答案】D【解析】先證明：引理（“奔馳”定理）如圖1，O是△ABC內(nèi)的一點，△BOC，△AOC，△AOB的面積分別為SA，SB，SC證明

如圖3，延長AO，與BC邊相交于點D，則BDDC記BDDC=λ，則BD=λ所以-1+λ又OD=-ODOA從而SA接下來證明定理3

O是△ABC的內(nèi)心?aOA+bOB+cOC證明：設(shè)△ABC的內(nèi)切圓半徑為r，O是△ABC的內(nèi)心，則S△BOC根據(jù)引理得，O是△ABC的內(nèi)心?aOA由AO=λAB+μ即1-λOA因為O為△ABC的內(nèi)心，AB=2，AC=3，根據(jù)定理3，可知1-λ4=λ-μ3=μ2故選：D．【變式訓(xùn)練3】在平面上有及內(nèi)一點O滿足關(guān)系式：即稱為經(jīng)典的“奔馳定理”，若的三邊為a，b，c，現(xiàn)有則O為的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【答案】B【解析】記點O到AB、BC、CA的距離分別為，，，，因為，則，即，又因為，所以，所以點P是△ABC的內(nèi)心.故選：B【變式訓(xùn)練4】“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論.它的具體內(nèi)容是：已知M是△ABC內(nèi)一點，△BMC，△AMC，△AMB的面積分別為SA，SB，SC，且SA?MA?+SB?

A．-63 B．-66【答案】B【解析】

如圖，延長AM交BC于點D，延長BM交AC于點F，延長CM交AB于點E.由M為△ABC的垂心，3MA?+4得SA:S又S△ABC=SA+SB設(shè)MD=x，MF=y，則AM=3x，BM=2y，所以cos∠BMD=x2y=cos所以cos∠BMD=所以cos∠AMB=故選：B.三、能力測試練1．已知在△ABC中，G為△ABC的重心，D為邊BC中點，則（

）A．AB+ACC．AB?AC【答案】C【解析】在△ABC中，G為△ABC的重心，D為邊BC中點，對于A，因為AB+對于B，因為AD=對于C，因為在△ABC中，D為邊BC中點，則AB=所以AB?對于D，若AB?則AB-AC?AD=0又D為邊BC中點，故AB=AC，這不一定成立，故D錯誤.故選：C．2．在△ABC中，AB=4,AC=6，點D，E分別在線段AB，AC上，且D為AB中點，AE=12EC，若AP=AD+A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心【答案】A【解析】因為AB=4,AC=6，且D為AB中點，AE=則AD=又因為AP=AD+即AP為菱形ADPE的對角線，所以AP平分∠BAC，即直線AP經(jīng)過△ABC的內(nèi)心故選：A.3．已知平面向量OA，OB滿足OA=OB=2，OA?OB=-2，點D滿足DA=2OD，A．-163 B．-83【答案】B【解析】由題意，OA=∵OA?OB=∴兩向量夾角θ=2∵DA=2OD，以O(shè)為坐標(biāo)原點,OA,垂直于OA所在直線為x,y軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示,則O0,0,A2,0,B-1,3,設(shè)解得x=2∴D又E為△AOB的外心，∴∠AOE=12∠AOB=∴△AOE為等邊三角形,∴E1,∴ED=∴OB?故選：B.4．平面向量中有一個非常優(yōu)美的結(jié)論：已知O為△ABC內(nèi)的一點，△BOC，△AOC，△AOB的面積分別為SA，SB，SC，則SA?OA+SB?OB+SC?OC=0．因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志，所以稱為“奔馳定理”．已知O為A．23-8 B．-2 C．6【答案】A【解析】因為a=3，b=23，c=5所以cosB=因為O為△ABC的內(nèi)心，設(shè)∠1=∠OBC,∠2=∠OBA，由題意∠1=∠2，則SA同理可得S所以根據(jù)“奔馳定理”有aOA所以aBA即BO=所以BO?=5故選：A．5．（多選）在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,P為△ABC內(nèi)的一點，AP=xAB+yA．若P為△ABC的重心，則x+y=12 B．若P為△ABCC．若P為△ABC的垂心，則x+y=716 D．若P為△ABC【答案】BCD【解析】在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，P為△ABC內(nèi)的一點，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A(0,4)，B(-3,0)，C(3,0)，對于選項A：若P為△ABC的重心，則xP=0-3+33=0所以AP=(0,-若AP=xAB+y解得x=y=13，所以對于選項B：若P為△ABC的外心，其必在直線AO上，所以PB?對于選項C：若P為△ABC的垂心，其必在AO上，設(shè)P(0,m)，則CP?AB=(-3,m)?(-3,-4)=9-4m=0此時AP=(0,-若AP=xAB+y解得x=y=732，所以對于選項D：若P為△ABC的內(nèi)心，設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，則12×6×4=12×r×(5+5+6)此時AP=(0,-若AP=xAB+y解得x=y=516，所以故選：BCD．6.（多選）點O在△ABC所在的平面內(nèi)，則以下說法正確的有（

）A．若OA?OB=OB?B．若AO=λABABsinBC．若2OA+OB+3OC=0，S△AOCD．若OA?ABAB+CA【答案】BCD【解析】A選項，OA?OB-OB?OC=0同理可得OC⊥AB，OA⊥BC，則點O為△ABC的垂心，A錯誤；B選項，過點A作AE⊥BC于點E，取BC的中點F，連接AF，則ABsinB=AE則AO=λ故點O在中線AF上，故向量一定經(jīng)過△ABC的重心，B正確；C選項，如圖，F(xiàn),H分別為BC,AC的中點，2OA則4OH+2OF所以O(shè)H=1故S△AOCD選項，ABAB,CACA分別表示故ABABOA?ABAB+CA由三線合一可得，O在∠A的平分線上，同理可得，O在∠B,∠C的平分線上，則點O是△ABC的內(nèi)心，D正確.故選：BCD.7.已知△ABC中，點G,O分別是△ABC的重心和外心，且AG?AO=4,AG=2【答案】2【解析】延長AG交BC于點D，連接OD，作OH⊥AC于點H，則D,H分別為BC,CA的中點，如下圖所示：易知AC?同理可得AB?由重心性質(zhì)可知AG?所以AB2又AD=32AG=3所以AB+AC2因此BC2=AC故答案為：238．已知△ABC中，AO=λAB+(1-λ)AC，且O為△ABC的外心．若BA在BC上的投影向量為μBC，且cos【答案】2【解析】因為AO=λ則AO-AC=λ(AB-AC)，所以CO因為O為△ABC的外心，即有|OA所以△ABC為直角三角形，因此AB⊥AC，O為斜邊BC的中點．因為cos∠