《數字電子技術基礎》（第六版）教學課件

清華大學

電子學教學組

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邏輯代數基礎2.1概述基本概念

邏輯：

事物的因果關系

邏輯運算的數學基礎：

邏輯代數

在二值邏輯中的變量取值：

0/12.2邏輯代數中的三種基本運算

與（AND）

或（OR）

非（NOT）以A=1表示開關A合上，A=0表示開關A斷開；

以Y=1表示燈亮，Y=0表示燈不亮；

三種電路的因果關系不同：與條件同時具備，結果發生Y=AANDB=A&B=A·B=ABABY0000100011或條件之一具備，結果發生Y=AORB=A+BABY0000110111非條件不具備，結果發生

AY0110幾種常用的復合邏輯運算與非

或非

與或非幾種常用的復合邏輯運算異或Y=A

BABY0000110110幾種常用的復合邏輯運算同或Y=A⊙BABY0010100011 2.3.1基本公式 2.3.2常用公式2.3邏輯代數的基本公式和常用公式2.3.1基本公式根據與、或、非的定義，得表2.3.1的布爾恒等式序號公

式序號公

式101′

=0;0′=110

A=0111+A=121A=A120+A=A3AA=A13A+A=A4AA′=014A+A′=15AB=BA15A+B=B+A6A(BC)=(AB)C16A+(B+C)=(A+B)+C7A(B+C)=AB+AC17A+BC=(A+B)(A+C)8(AB)′=A′+B′18(A+B)′=A′B′9(A′)′=A證明方法：推演

真值表公式（17）的證明（公式推演法）：公式（17）的證明（真值表法）：ABCBCA+BCA+BA+C（A+B）(A+C)00000000001000100100010001111111100011111010111111001111111111112.3.2若干常用公式序

號公

式21A+AB=A22A+A′B=A+B23AB+AB′=A24A(A+B)=A25AB+A′C+BC=AB+A′CAB＋A′C+BCD=AB+A′C26A(AB)′=AB′;A′(AB)′=A′2.4邏輯代數的基本定理2.4.1代入定理------在任何一個包含A的邏輯等式中，若以另外一個邏輯式代入式中A的位置，則等式依然成立。2.4.1代入定理應用舉例：

式（17）

A+BC=(A+B)(A+C) A+B(CD)=(A+B)(A+CD) =(A+B)(A+C)(A+D)2.4.1代入定理應用舉例：

式

（8）2.4邏輯代數的基本定理2.4.2反演定理-------對任一邏輯式

變換順序

先括號，然后乘，最后加

不屬于單個變量的上的反號保留不變2.4.2反演定理應用舉例：2.5.1邏輯函數Y=F(A,B,C,······)------若以邏輯變量為輸入，運算結果為輸出，則輸入變量值確定以后，輸出的取值也隨之而定。輸入/輸出之間是一種函數關系。

注：在二值邏輯中，

輸入/輸出都只有兩種取值0/1。2.5邏輯函數及其描述方法2.5.2邏輯函數的描述方法真值表邏輯式邏輯圖波形圖卡諾圖計算機軟件中的描述方式各種表示方法之間可以相互轉換真值表輸入變量ABC····輸出Y1Y2

····遍歷所有可能的輸入變量的取值組合輸出對應的取值邏輯式

將輸入/輸出之間的邏輯關系用與/或/非的運算式表示就得到邏輯式。邏輯圖

用邏輯圖形符號表示邏輯運算關系，與邏輯電路的實現相對應。波形圖

將輸入變量所有取值可能與對應輸出按時間順序排列起來畫成時間波形?？ㄖZ圖EDA中的描述方式HDL(HardwareDescriptionLanguage)

VHDL(VeryHighSpeedIntegratedCircuit…)VerilogHDL EDIF DTIF

。。。

舉例：舉重裁判電路ABCY00000010010001101000101111011111各種表現形式的相互轉換：真值表

邏輯式例：奇偶判別函數的真值表A=0,B=1,C=1使A′BC=1A=1,B=0,C=1使

AB′C=1A=1,B=1,C=0使ABC′=1這三種取值的任何一種都使Y=1,所以

Y=?ABCY00000010010001111000101111011110真值表

邏輯式：找出真值表中使

Y=1的輸入變量取值組合。每組輸入變量取值對應一個乘積項，其中取值為1的寫原變量，取值為0的寫反變量。將這些變量相加即得

Y。把輸入變量取值的所有組合逐個代入邏輯式中求出Y，列表邏輯式

邏輯圖1.用圖形符號代替邏輯式中的邏輯運算符。邏輯式

邏輯圖1.用圖形符號代替邏輯式中的邏輯運算符。2.從輸入到輸出逐級寫出每個圖形符號對應的邏輯運算式。

波形圖

真值表最小項

m：m是乘積項包含n個因子n個變量均以原變量和反變量的形式在m中出現一次對于n變量函數有2n個最小項2.5.3邏輯函數的兩種標準形式

最小項之和

最大項之積

最小項舉例：兩變量A,B的最小項三變量A,B,C的最小項最小項的編號：最小項取值對應編號ABC十進制數0000m00011m10102m20113m31004m41015m51106m61117m7最小項的性質在輸入變量任一取值下，有且僅有一個最小項的值為1。全體最小項之和為1。任何兩個最小項之積為0。兩個相鄰的最小項之和可以合并，消去一對因子，只留下公共因子。------相鄰：僅一個變量不同的最小項

如

邏輯函數最小項之和的形式：例：利用公式可將任何一個函數化為邏輯函數最小項之和的形式：例：利用公式可將任何一個函數化為邏輯函數最小項之和的形式：例：利用公式可將任何一個函數化為邏輯函數最小項之和的形式：例：邏輯函數最小項之和的形式：例：邏輯函數最小項之和的形式：例：邏輯函數最小項之和的形式：例：最大項：M是相加項；包含n個因子。n個變量均以原變量和反變量的形式在M中出現一次。如：兩變量A,B的最大項對于n變量函數2n個最大項的性質在輸入變量任一取值下，有且僅有一個最大項的值為0；全體最大項之積為0；任何兩個最大項之和為1；只有一個變量不同的最大項的乘積等于各相同變量之和。最大項的編號：最大項取值對應編號ABC十進制數1117M71106M61015M51004M40113M30102M20011M10000M02.6邏輯函數的化簡法邏輯函數的最簡形式

最簡與或------包含的乘積項已經最少，每個乘積項的因子也最少，稱為最簡的與-或邏輯式。2.6.1公式化簡法反復應用基本公式和常用公式，消去多余的乘積項和多余的因子。

例：

2.6.1公式化簡法反復應用基本公式和常用公式，消去多余的乘積項和多余的因子。

例：

2.6.1公式化簡法反復應用基本公式和常用公式，消去多余的乘積項和多余的因子。

例：

2.6.1公式化簡法反復應用基本公式和常用公式，消去多余的乘積項和多余的因子。

例：

2.6.1公式化簡法反復應用基本公式和常用公式，消去多余的乘積項和多余的因子。

例：

2.6.2卡諾圖化簡法

邏輯函數的卡諾圖表示法實質：將邏輯函數的最小項之和的以圖形的方式表示出來以2n個小方塊分別代表

n變量的所有最小項，并將它們排列成矩陣，而且使幾何位置相鄰的兩個最小項在邏輯上也是相鄰的（只有一個變量不同），就得到表示n變量全部最小項的卡諾圖。

表示最小項的卡諾圖二變量卡諾圖

三變量的卡諾圖4變量的卡諾圖表示最小項的卡諾圖二變量卡諾圖

三變量的卡諾圖4變量的卡諾圖表示最小項的卡諾圖二變量卡諾圖

三變量的卡諾圖4變量的卡諾圖五變量的卡諾圖用卡諾圖表示邏輯函數將函數表示為最小項之和的形式

。在卡諾圖上與這些最小項對應的位置上添入1，其余地方添0。用卡諾圖表示邏輯函數例：用卡諾圖表示邏輯函數

用卡諾圖化簡函數依據：具有相鄰性的最小項可合并，消去不同因子。

在卡諾圖中，最小項的相鄰性可以從圖形中直觀地反映出來。合并最小項的原則：兩個相鄰最小項可合并為一項，消去一對因子四個排成矩形的相鄰最小項可合并為一項，消去兩對因子八個相鄰最小項可合并為一項，消去三對因子兩個相鄰最小項可合并為一項，

消去一對因子化簡步驟：

------用卡諾圖表示邏輯函數------找出可合并的最小項------化簡后的乘積項相加

（項數最少，每項因子最少）

用卡諾圖化簡函數卡諾圖化簡的原則化簡后的乘積項應包含函數式的所有最小項，即覆蓋圖中所有的1。乘積項的數目最少，即圈成的矩形最少。每個乘積項因子最少，即圈成的矩形最大。例：0001111001ABC例：000111100011111101ABC例：000111100011111101ABC例：化

簡

結

果

不

唯

一例：0001111000011110ABCD例：00011110001001011001111111101111ABCD約束項任意項邏輯函數中的無關項：約束項和任意項可以寫入函數式，也可不包含在函數式中，因此統稱為無關項。在邏輯函數中，對輸入變量取值的限制，在這些取值下為1的最小項稱為約束項在輸入變量某些取值下，函數值為1或為0不影響邏輯電路的功能，在這些取值下為1的最小項稱為任意項