專題10圖形的變化42題（相似、銳角三角比）（16區二模新題速遞）（解析版）

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一、單選題

1.（2024?上海浦東新?二模）如圖，在中，ZACB=90°,AC=4,8C=3.點。在邊人8上，且變=1,

AD3

。石〃BC交邊4c于點七，那么以E為圓心，EC為半徑的一七和以D為圓心，8。為半徑的。的位置關系是（）

4

A.外離B.外切C.相交D.內含

【答案】B

【分析】本題考查的是兩圓的位置關系，相似三角形的判定與性質，勾股定理的應用，先求解/m=5,

再證明求解8。=；,CE=AC-A￡=l,再結合兩圓的位置關系可得答案.

【詳解】解：VZ4CB=90°,AC=4,BC=3,

??AB=ylAC2+BC2=5?

..BD1

.而二3'

???坦一，BD=>,

AB44

?:DE〃BC,

???AADE^>/\ABC,

?.?DE=-3=AE,

344

9

：.DE=-fAE=3,

CE=AC-AE=\,

59

CE+BD=l+—=-=DE,

44

???以E為圓心，EC為半徑的〔E和以。為圓心，8。為半徑的。的位置關系是外切.

故選B

2.（23-24九年級下?上海寶山?期中）如圖，ABC中，ZC=90°,AB=5,tan^=l如果以點。為圓心，半徑

為欠的M與線段八3有兩個交點，那么M的半徑R的取值范圍是（）

c

A.2<R<yf5B.2<R<>/5

C.>/5</?<2>/5D.0<R<45

【答案】A

【分析】此題主要考查了直線與圓的位置關系.根據直線與圓的位置關系得出相切時只有一交點，經過點A時有兩

個交點，再結合圖形即可得出答案.

【詳解】解：???tanB=；,

.ACI

??---=—,

BC2

設AC=a,則8C=2a,

由勾股定理得AC2+BC2=AB2,即爐+（2。）’=52,

解得a=書>

:?AC=&BC=2加,

?…ACxBCx/5x25/5今

??CD=-------=--------------=2,

AB5

,如果以點C為圓心，半徑為R的。與線段AB有兩個交點，那么。的半徑式的取值范圍是2<RV石，

故選：A.

3.（2024?上海黃浦?二模）小明在研究楞形的相似分割問題，即如何用一條直線將一個梯形分割成兩個相似的圖形.他

先從等接梯形開始進行探究，得到下面兩個結論.結論1：存在與上、下底邊相交的直線，能將等腰梯形分割成兩

個相似的圖形：結論2：不存在與兩腰相交的直線，能將等腰梯形分割成兩個相似的圖形.對這兩個結論，你認為

()

A.結論1、結論2都正確B.結論1正確、結論2不正確:

C.結論1不正確、結論2正確D.結論1、結論2都不正確.

【答案】B

【分析】本題主要考查圖形的相似和垂直平分線的性質，分別作上下底的垂直平分線即可判定結論1正確；連接兩

腰與其垂直平分線的交點即可判定結論2錯誤.

【詳解】解：如圖，存在與上、下底邊相交的直線，將等腰梯形分割成兩個相似的圖形，則結論1正確;

如圖，存在與兩腰相交的直線，將等腰梯形分割成兩個相似的圖形，則結論2不正確;

故選：B.

4.（2024?上海普陀?二模）如圖，在.ABC中，ZACB=90°,G是ABC的重心，點。在邊8c上，DG1GC,如

那么累的值是（

果8。=5,CD=3,）

A&V2

DB.----

23"TD?乎

【答案】D

FGFF1

【分析】本題考查了三角形重心的性質,相似三角形的性質與判定，余弦的定義：根據題意得出黑二三=：,

COAC2

設EG=。，則CG=2a,CE=3a,進而根據85/。。6=85/改尸得出〃=0,即可求解.

【詳解】解：如圖所不，延長CG交/歸十點E,連接AG交C8于點F,

???G是A8C的重心，點。在邊8c上,

/.AE=EB,BF=FC=；BC=；（BD+CD）=4,

:.EF//AC

/.GEF^GAC

.EGEF\

^CG~AC~2

設EG=a,則CG=2a,CE=3a,

VEF//AC,ZACB=90°

J.EF1BC,

cosZ.DCG=cos乙ECF，即——=—

CGEC

?.3?---3-a-

2a4

解得：a=g（負值舍去）

:.CG=2a=2厄

.CG2yf2y/2

??--=----=---,

BC84

故選：D.

5.（2024?上海嘉定?二模）在中，AB=AC=S,cosZB=以點C為圓心，半徑為6的圓記作圓C,那么

4

下列說法正確的是（）

A.點A在圓C外，點/?在圓C上；B.點A在圓C上，點4在圓C內；

C.點A在圓C外，點“在圓。內；D.點A、A都在圓C外.

【答案】C

【分析】本題考查了解直角三角形，點與圓的位置關系，等腰三角形的性質，掌握解直角三角形和會判斷點與圓的

位置關系是解決問題的關鍵.由解直用三角形求出m=2,由等腰二角形的性質求出3c=4,即可判斷出點6和點

A與CC的位置關系，即可得出答案.

【詳解】解：如圖，過點A作AO_Z.BC廣點。，如圖所示：

VAB=AC=S,cosZB=-,

4

/.HD=ABxcosB=Sx-=2

4t

VAB=AC,ADJ.BC,

???BC=2BD=4,

???C的半徑為6,

V4<6<8,

，點A在圓。外，點8在圓C內；

故選：C.

6.（2024?上海青浦?二模）如圖，在平行四邊形A8C。中，對角線AC、40相交于點O,過。作AC的垂線交4。于

點瓦EC與BD相交于點凡且NECD=NDBC,那么下列結論錯誤的是（）

A.EA=ECB./DOC=NDCOC.BD=4DFD.—=—

CEB卜

【答案】D

【分析】由題意可知，。月垂直平分AC，則E4="，可判斷A的正誤；由ZDAO=ZEC4,ZAIX)=/DBC=/ECD,

ZDOC=ZDAO4-ZADO,4DCO=4ECA+4ECD,可得ND0C=NDC0,可判斷B的正誤；證明一/DCs.cDB,

—BD

則蕓=皆，即名一二。，可得加＞=4。「，進而可判斷C的正誤；證明Q/SEC"可得￡|=與二段，

CDBD]BDBDCECDBF

2

進而可判斷D的正誤.

【詳解】解：???平行四邊形A8CO,

：.OA=OC,OB=OD」BD,AD〃BC,

2

又TOESAC,

???OE垂直平分AC,

EA=EC,A正確，故不符合要求；

/.ZDAO=ZECA,

■:AD//BC.

：,ZAI)O=NDBC=NECD,

/.NDOC=ZDAO+ZADO,

又,:/DCO=/ECA+/ECD,

：,ZD0C=ZDC(),B正確，故不符合要求：

：.CD=OD=-BD

2t

,/ZFCD-ZCBD,NFDC-NCDB,

??...FDCsCDB,

二空烏即產上上BD，

CDBD1BD

—DQUn

2

解得，BD=4DF,C正確，故不符合要求;

,?AD〃BC,

/.ZBCF=ZCED,

又,:4CBF=/ECD,

EFsECD.

.BCBFCD_...

..—=—*D錯誤，故符合要求P；

CECDBF

故選：D.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，垂直平分線的性質，三角形外角的性質，等角對等邊，相似三角形的判定

與性質,熟練掌握平行四邊形的性質，垂直平分線的性質，三角形外角的性質，等角對等邊，相似三角形的判定與

性質是解題的關鍵.

二、填空題

7.（2024?上海徐匯?二模）小杰沿著坡比i=l:2.4的斜坡，從坡底向上步行了130米，那么他上升的高度是米.

【答案】50

【分析】本題考查了解直角三角形的應用，解題的關鍵是掌握坡比的定義.設坡度的高為x米，根據勾股定理列方

程求解.

【詳解】解：設坡度的高為x米，則水平距離為2.4x米，

.?V+(2.4x『=130,

解得：x=50,

故答案為：50.

8.（2024?上海青浦?二模）如圖，熱氣球的探測器顯示，從熱氣球4處看一橋樓頂部8的仰角為。，看這株樓底部

C的俯第為熱氣球A處與樓的水平距離為加米，那么這棟樓8C的高度為米.（用含。、￡、〃?的式子表

示）

【答案】w(tana+tan/?)

【分析】本題考查了解直角三角形的仰角俯角問題，首先過點A作于點。，根據題意得=

“AC=。,AO=利米，然后利用三角函數求解即可求得答案.

【詳解】解：首先過點A作A。/8c于點D,如下圖所示，

則N84D=a,4DAC=0,=米，

在RtAABD中，BD=AO?tana=〃”tana米，

在RtAACD中，DC=AO?tan[i=//Man。'米,

/.BC=BD+DC="Mana+nf!(man米.

故答案為：“（lana+um/）

9.（2024.上海長寧?二模）如圖，正方形438中，點E在對角線比＞上，點尸在邊CO上（點尸不與點C重合）,

CF

且NE4/=45。，那么大的值為.

【答案】叵

【分析】本題主要考查了正方形的性質、勾股定理及相似三角形的判定及性質，熟練掌握相似三角形的判定及性質

是解題的關鍵.根據正方形的性質及勾股定理得AC=NAB?+BC?=&AB，再證明/班》“〃，利用相似三角

形的性質即可得解.

【詳解】解：???四邊形A3CD是正方形，

：?NABE=NBAC=NACF=45。,AB=BC,/A4C=90°,

???AC=dAB'+BC?=垃AB，

■:ZE4F=45°,

ZEAC=^CAE+ZEAC=45°,

JZBAE=ZCAE,

:._ABEs_ACF,

,CFAC6ABr-

??==--------=7L，

BEABAB

故答案為：0.

10.(2024.上海靜安?二模)如圖，在平面直角坐標系中，已知直線4與直線〃交于點C(O,1),它們的夾角為90。.直

線4交x負半軸于點A,直線4與x正半軸交于點8(2,0),那么點A的坐標是.

【分析】本題考查了兩直線相交的問題，點的坐標，相似三角形的判定與性質.根據已知條件證得.ACOsC8O,

再根據相似三角形的性質即可求出A。的長，從而得出點A的坐標.

【詳解】解：ZACB=90°,

.-.ZGW+ZABC=9O°,

.“軸_Ly軸，

.?.NCOA=NCO8=90。，

.?.NC4S+NACO=90°,

/.ZABC=ZACO,

..△AC件△C8O,

.COAO

CO)

???點C(0,l),點5(2,0),

:.co=],BO=2,

.1AO

,5=T,

AO=-

2f

?點A在x軸的負半軸，

點A的坐標是(-5,o),

故答案為：(一；，0)

11.(2024?上海黃浦?二模)如圖，。、E分別是.ABC邊AB、AC上點，滿足AD=2BD,ZADE=NABC.記8A=a，

BC=b，那么向量BE=(用向量。、力表示).

【分析】本題主要考查了平行線的判定，相似三角形的判定以及性質，向量的知識.由=判定出

2

DE//BC,由平行線的得出AE=§AC,再根據向量得知識即可得出8E.

【詳解】解：?：NADE=NABC,

：.DE//BC,

：.△ADEABC,

,:AD=2BD,

,AE=2EC,

9

AE=-AC,

3

0O1o

，I3E=BA+AE=BA+-AC=BA+-（A13+BC}=-BA+-BCt

33、f33

*.*BA=aBC=b

\2

BE=—￡7-1—b,

33

12

故答案為：+

33

BE2

12.（2024?上海普陀?二模）如圖，梯形ABCD中，AO〃8C,過點A作AE〃OC分別交、8C于點八E,康二§,

設AQ=a，AB=b，那么向量所用向量a、〃表示為.

【答案】+4+$2

【分析】本題考查了平行四邊形的判定，相似三角形的性質與判定，平面向量的線性運算，先證明四邊形A￡C。是

REBF22

平行四邊形，根據已知得出笠=笠=;,進而證明，EATSEEB得出8/=彳8。，BE=2AD,進而根據三角形

ECAD13

法則，進行計算即可求解.

【詳解】解：???AD〃BC,AE//DC

???四邊形AECO是平行四邊形，

EC=AD,

BE2

BC=3

BEBE2

~EC~~AD~~\

AD/7BC,

二FAD^FEB,

BFRF2

——=——=2,則/"'=—BD,BE=2AD

DFAD3

AD=a，AB=b，

BF=-/3D=-[l3A+AD)=-[-b+(i),BE=2a

333

FE=BE-BF=2a--(-b+a\=-a+-b

3、J33

4-2■

故答案為：鏟+小

4

13.（2024?上海虹口?二模）如圖，在YA8CQ中，AB=7,8c=8,sinB;點尸在邊AB上，AP=2,以點尸為

圓心，”為半徑作OP.點Q在邊AC上，以點。為圓心，CQ為半徑作CQ.如果CP和Q外切，那么C。的長

【分析】本題考查的是圓和圓的位置關系、解貪角三角形的知識，作P”_L8C于點”，連接P。，先求出

PH=4BH=3,設。。=〃，在R3QPH中，根據勾股定理列方程即可解決.

【詳解】解：作P〃_LBC于點〃，連接

AB=1,AP=2,

4

在RtBPH中,sin5=-,

、PH4

\---=—,

55

\PH=4,?H=x/52-42=3?

設CQ=a,

QeP和。外切，。半徑為2,

\FQ=u+2,

在RSQP〃中，PH=4,HQ=3-3-a=5-a,

/.42+（5-?）2=（d+2）2,

解得：〃二337，

14

37

故答案為：fy.

14

14.（2024?上海奉賢?二模）如圖，正方形A8CO的邊長為1,點P在4）延長線上（PO<C。），連接PRPC,如果

△COP與相似，那么tan/8B4=.

----------f

【答案】或」

2

【分析】本題考查了相似三角形的性質，三角函數，設0P=x,利用兩似三角形的性質可得與二坐，即：=—二，

ABPA1x+1

求出X,得到。尸=在里，再根據正切的定義計算即可求解，利用用似三角形的性質求得OP是解題的關鍵.

【詳解】解:設OP=x,貝lJP4=x+l

???PDvCD,△COP與，以B相似,

.DPCD

ABPA

T=7id

"+1=0,

解得菁=士且，々=士且（不合，舍去）,

故答案為：避二L

2

15.（2024.上海嘉定?二模）定義：如果三角形有兩個內角的差為90。，那么這樣的三角形叫做準直角三角形.已知

在直角AACB中，NC=90。，AC=4,A8=12,如圖4,如果點。在邊4c上，且,4）8是準直角三角形，那么CZ）=—

A

【答案】血或2上.

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質，銳角三角函數，勾股定理，利用分類討論思想解決問題是本題的關

犍.分兩種情況討論，由相似三角形的性質和銳角三角函數可求解

【詳解】當力A-/7MA=90。時，如圖，過點。作于凡

在Rl中，ZfiC4=90°,AC=4,AB=\2,

?'?I3C=^ABZ-AC2=V122-42=872?

VZADB-Z.DAB=90°,ZADB=NDBC+NC=NDBC+90。,

JNDAB=/DBC,

又?:DH工BA,DCYAC,

???DH=DCt

...DHAC1

.sin8o===-,

BDAB3

???DH=-BD=DC,

3

:.DC=-BC=2y/2,

4

當NAO8-N8=90。時，

VZ4DB-ZB=90°,NAO8=ND4C+NC=ND4C+90°,

???NB=ZDAC,

又＜ZC=ZC,

???MCD^ABCA,

.ACCD

??---=-----，

BCAC

.4CD

**872-V*

ACD=V2，

綜上所述：CD=20或

16.（23-24九年級下?上海崇明?期中）如圖，點G是.58。的重心，8G的延長線交AC于點。，過點G作GE〃BC,

交AC干點E,貝IJ沁

【分析】此題主要考查二角形中線的性質和相似二角形的判定和性質的理解及運用.利用該定理時要注意建段之間

的對應關系.

由點G是ABC重心，得出是，ABC的4c邊上的中線，確定S皿=S=^S八.，襄=；,再由相似三角形

2HDJ

S1

的判定和性質得出產=6,即可求解.

?DBC,

【詳解】解：???點G是二A8C重心，

???3。是aABC的AC邊上的中線，整=],

BD3

SAD￡=SBDC=2ADC，

?:GE〃BC,

JDEGsDBC,

DG

.SDEG=(\2=BD-BG2=￡

(f

,,SDBC'BD)-BD~9

S^DGE_J.

S^ABD9

???故答案為：

AC

17.(2024?上海閔行?二模)如圖，在二48c中，BC、4c上的中線A￡、/比＞相交于點R如果NB4E=NC,那么旅

的值為.

【答案】也

3

An2

【分析】此題考查了相似三角形的判定和性質、平行線分線段成比例定理等知識，先證明弁7=3,再證明

AH3

ATAn9RRRAAF

.ADFS-AHE,則%=當=:，證明AABES/XCBA,則會=矍=等，設BE=CE=k,則BC=2R,得

AEAH3BABCAC

rAF_AF_2

至=（負值舍去），進一步得到AE=^AC,則冠二及二=5,即可得到答案.

2——AC

【詳解】解：過點￡作EH〃班）于點”,

AC3

故答案為：立

3

18.（23-24九年級下.上海崇明?期中）已知在矩形A8CO中，A4=6,BC=4,將矩形ABC。繞點口旋轉，A8的對

應邊AB與邊CD相交于點E,連接AC,當點E是CD中點時，tanZAZCD=.

【答案】I

【分析】本題考查了旋轉的性質，矩形的判定和性質，勾股定理，相似三角形的判定和性質，三角函數，過4作

4”_1。￡＞于〃，過點后作所_1_八9于尸，可得四邊形￡7由。為矩形,得到8/=8=3,四=8C=4,進而得8E=5,

f

vitFHAP47iQ

A￡=l,再證,得到筌=黑=蕓，可得A，=,EH=；,得到C”=”,最后根據正切的

EFBFBE555

定義即可求解，正確作出輔助線是解題的關鍵.

【詳解】解：如圖，過4'作A'AZICO于“，過點石作EFJ.AR于/，則/A印?=/所7?=90°,

???四邊形A8C。為矩形，

：?ZABC=/BCD=90。,AB=CD,AB//CD,

JZABC=/BCD=NEFB=90°,

.?.四邊形EABC為矩形，

:?BF=CE,EF=BC=4f

???點E是CD中點，

BF=CE=-CD=3

2

BE=」EF?+3尸2=14?+32=5，

又由旋轉可得，AfB=AB=6,

，A'E=A8-8石=6-5=1,

,/AB//CD,

???ZAEH=/EBF,

，^AEH^EBF,

.A!H_EHA!E

??百一而一旅，

即皿里J,

435

43

解得A77=q,EH",

JJ

2IR

:?CH=CE+EH=3+二=吆

55

4

???tanZArCD=—=4-=-,

C//189

5

故答案為：:.

4

19.（2024.上海普陀?二模）如圖，在.ABC中，AB=AC=5,cosB=-,分別以點B、C為圓心，1為半徑長作、

UC,/）為邊AC上一點，將△人AD和03沿著AA翻折得到和廣歸'，點A的時應點為點*,A*與邊AU相

交，如果"與SC外切，那么.

【答案】4-如或4+如

44

【分析】作AE_L8C,AF±irC,根據余弦的定義，勾股定理，等腰三角形三線合一的性質，在RtZMBE中，得

至U酩，AK的長，NBAE=NCAE,由折疊的性質得到44。=NHA。，ABf=AB=5,由*與。外切，得到

B'C=2,在RtZXABN中得到tan/3'AF=",

12

當A9在N84C內部時，DE=AE./DAE=旦,BD=BE-DE,當A*在N84C外部時，

4

DE=AEtanZDA￡=3x—=—,BD=BE+DE,

124

本題考查了，三角函數解直角三角形，等腰三角形三線合一，勾股定理，折疊的性質，圓與圓的位置關系，解題的

關鍵是：找到兩種情況，分別求解.

【詳解】解：過點A作交8C于點E,連接8'C,過點A作4產_L4'C,交B'C于點、F,

4

*.*AB=AC=5,cosB=-,

4______________

在RtAABf1中，BE=ABcosB=5x-=4,AEHAK-AE?=6-4。=3,

NBAE=NCAE,

由折疊的性質可得：ZBAD^ZB'AD,ABf=AB=5,

VAF^B'C,AB'=AC=5,

.\ZB,AF=ZCAF,B,F=-B,C

2

???夕與DC外切,

/.BfC=2,B,F=-B，C=-x2=\,

22

在Rt△麗中，Af2產=行，=2遙，噂=夫=率

當AZT在284。內部時,

ZB'AF=；ZB'AC=3(ZMC-NBA*)=J(2ZBAE-2ZBAD)=NBAE-Z13AD=/DAE,

/.tanZDAE=tanZB'AF=—,DE=AEtan/DAE=3x

12

，BD=BE-DE=4一旦,

4

當人9在284。外部時，

NB'A尸=g/8'AC=g(N8A&-8AC)=g(2NBAO_2N8AE)=N8AO—N8AE=NZM￡,

/.tanNDAE=tanNB'AF=—,DE=AEtan/DAE=3x—=—,

12124

???BD=BE+DE=4+—,

4

故答案為：4-如或4+如.

44

20.（23?24九年級下?上海寶山?期中）如圖，邊長分別為5,3,2的三個正方形拼接在一起，它們的一邊在同一直

線上，那么圖中陰影三角形①和②的面積之比率的比值為________

%

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質，平行線分線段成比例，正方形的性質等知識，證明.ABCS'EDC,

5143

可求出AC=,AE,利用平行線分線段成比例可求出4G=AK=-AE,進而求出CG=AC-4G=啟AE,

3

CK=AK-AC=—AE,然后證明一CK”S：CG/，根據相似三角形的性質求解即可.

【詳解】解:如圖,

根據題意，得AM=5,AN=8,AQ=10,DE=2,AB//FG//KH//DE,

丁AB//DE,

ABCsEDC?

.ACAB5

??----=-----=9

ECDE2

：.AC=-AECE=-AE

7f7f

■:MG"DE,

.AGAM1

9，~AE~~AD~2f

:.AG=-AE

2f

4

同理AK=-AE,

5

33

：.CG=AC-AG=—AE,CK=AK-AC=—AE,

1435

1AE

.CG_14_5

CK-3-2,

35

???FG/7KH,

:..CKHs-CGF,

??金=竺丫=信丫=色，

S2yCG)\5)25

4

故答案為：

4J

21.(2024?上海浦東新?二模)定義：四邊形A8C。中，點E在邊A5上，連接。石、EC,如果DEC的面積是四邊

形A8CO面積的一半，且，8EC的面積是VADE及△￡><芯面積的比例中項，我們稱點E是四邊形A8CD的邊AB上

的一個面積黃金分割點.

已知：如圖，四邊形ABC。是梯形，且AO〃8C,BOAD,如果點E是它的邊A8上的一個面積黃金分割點，那

/BC5/十日

么F的值是.

AD

【分析】設SM°E=S，S?DE=S\,SBEC=S”結合題意可得：S=S\+S”S”S，，可得§2=11黃卯如圖,

])K1

過七作EK〃A。交CD于K,過。作D"_L8C于〃，交EK于T,證明EM是ABN的中位線，同理可得：—=y,

證明￡K是梯形中位線，可得DT=77f,從而可得答案.

【詳解】解：設SM“E=S,S—=S\，SBEC=SZ,

???結合題意可得：S=S、+S”S；=SS「

???S；=S"S|+S2),

：.S^-StS2-S；=0t(s2>s.)

?cJ+逐cc_3+x/5

??%=---3］，3=---

如圖，過E作EK〃A。交CD于K,過。作OH_L8C于”，交EK于T,

??,AD/7BC,

/.AD/7EK//BC,DH1EK,

：,S=SDEK+SCEK=^EKx(DT+TH)=^EKxDH,

??S陽/mm=AO+BC)xDH=2S=EKxDH,

???AD+BC=2EK,

過A作AN〃C。交EK于M,

???四邊形ANCO,AMKD,MMTK是平行四邊形，

/.AD=MK=NC,

,AD+BC=BN+2CN=2EM+2MK,

：.BN=2EM,

■:EK//BC,

:..AEMs工ABN,

.AMAEEM1

，EM是;.AftV的中位線,

同理可得：—=7*

，EK是梯形中位線,

/.DT=TH,

.BCS1+石

>■---=--2=------

AD￡2

故答案為：匕1

2

【點睛】本題考查的是新定義的含義，三角形的中位線的判定與性質，相似三角形的判定與性質，一元二次方程的

解法，理解題意是解本題的關鍵.

三、解答題

22.（2024?上海黃浦?二模）如圖，D是.ABC邊AB上點,已知NBCO=NA,AD=5,BD=4.

（1）求邊3C的長；

（2）如果△ACDs^CBD（點人。、。對應點。、B、D）,求NAC8的度數.

【答案】（1）6

（2）90°

【分析】本撅主要考杏了相似三角形的判定以及性質，勾股定理的逆定理等知識點.

（1）記明△BCOS^BAC,由相似的性質可得出生二黑，然后計算出K4,代入求值即可.

BABC

（2）由△ACOs^cW）得出。斤二加，由勾股定理的逆定理得出/CD3=90。，進一步得出/的=90。,

ZA+ZDC4=900由等量代換即可求出^DCA+ZBCD=90P,即/ACB的度數.

【詳解】（1）解：???/8CQ=NA,ZB=ZB,

???4BCDs/\BAC,

,BCBD

??二g

BABC

BC2=BABD

VAD=5,80=4,

/.BA=AD+BD=9,

，BC?=BABD=9x4=36,

/.BC=6.

(2)'：AACDS^CBD,

.CDAD

??二9

BDCD

；?CD'A。=20，

V20+42=62,即8?+BD2=BC2

??.△BCD是直角三角形，且NC￡>8=90。，

JZCZM=90°,

/.ZA+ZDC4=90°,

VZBCD=Z4,

/./DC4+/BC￡>=90°,

即NACB=90。.

23.(2024.上海楊浦?一模)已知：如圖，在梯形A8CO中，AD//BC,AB=CD,BD=BC,的平分線交AO

延長線于點E,交C。于點F.

(1)求證：四邊形8CEO是菱形；

⑵連接AC交所于點G,如果求證：AB2=AGAC，

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)先證明。5=。￡,可得DE=BC,結合DE〃BC,可得四邊形。BCE是平行四邊形，從而可得結論,

(2)如圖，連接AC交M于點G,交BD于K,證明梯形A8CO是等腰梯形，證明NABG=NACB=45。，結合

ZBAG=ZCAB,可得△ABGs^ACB,再利用相似三角形的性質可得結論.

【詳解】(1)證明：???AO〃8C,

/.ZAEB=NCBE,

???-03。的平分線交A。延長線于點E,交。。于點F.

/DBE=NCBE,

，ZAEB=^DBE,

???DB=DE,

,:BD=BC,

/.DE=BC,而DE〃8C,

???四邊形OACE是平行四邊形，

,/DB=DE,

???四邊形OBCE是菱形；

（2）如圖，連接4C交M于點G,交BD于K,

???在梯形A8CD中，AD//BC,AB=CD,

??.梯形ABC。是等腰梯形，

:?ZABC=/DCB,AC=BD,

:菱形BCE。，

：,BD//CE,BD=CE=DE,ADBC=/DEC,

/.AC=CE,/EDC=/ECD,

ACLCE.

???NC4E=NCE4=45。，AC1BD,

/.ZDBC=/DEC=ZACB=45°,/EDC=NECD=67.5°,

ZACD=90°-67.5°=22.5°,

ZABD=ZABC-45°=/DCB-45°=22.5°,

?；BE平分NDBC,

：.ZDBF=ZCBF=22.5°f

/.ZAfiG=ZACB=45°,

,?NE4G=NC44,

???△ABGs^ACB,

,ABAG

??,

ACAB

/.AB-=AGAC.

【點睛】本題考查的是等腰梯形的判定與性質，菱形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，等腰三角形的判定

與性質，掌握基本幾何圖形的性質是解本題的關鍵.

24.（2024?上海浦東新?二模）已知：如圖，在菱形A5C。中，點石是邊0c上的任意一點（不與點D、C重合），AE

交勸角線8。于憶過點E作EG〃8C交80于點G.

（1）求證：DF?=FGBF；

⑵當8DOF=24?￡>￡時，求證：AE1DC.

【答案】（1）證明見解析

（2）證明見解析

【分析】本題主要考查了相似三角形的性質與判斷，菱形的性質;

⑴證明得至噂嘿，證明..―的得到/器，則可得黑嘴，即

DF2=FGBF：

（2）如圖所示，連接AC交B。于-O,由菱形的性質得到4CJ_3D30=28,ADB=/CDB,則ZA8=90°,

證明空二空，進而證明△尸￡>￡；,即可得到/尸￡D=NA°D=90。，即AE_LZX\

DFDE

【詳解】（1）證明：???四邊形A8C。是菱形，

AAD/7BC,ABCD,

,:EG〃BC,

ADEG,

/.AADF^/\EGF,

.AFDF

''~EF~~FG'

'：ABCD,

:?ABFs^EDF,

.AFBF

??而一而‘

.DFBF

??元一而‘

，DF,=FGBF；

（2）證明：如圖所示，連接4c交4D于O,

???四邊形A8C。是菱形，

/.ACLBD,BD=2OD,ZADB=4CDB,

ZAOD=90°,

,/BDDF=2ADDE,

/.2ODDF=2ADDE,

.ADOP

''~DF~~DE'

又,：NADO=NFDE,

/.△ADQsAFDE、

???/FED=/AOD=90。,

：.AE1DC.

25.(2024?上海奉賢?二模)如圖，在四邊形48CZ)中，AB//DC,/B=ZADC,點E、尸分別在邊人/、8c上,

且ZADE=NCDF.

(1)求證：CFCB=AEAB；

(2)連接AC.EF,如果所〃AC,求證：四邊形A8CD是菱形.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】⑴連接4C，先證明一得我嚼,再證明.CE,得條條從而得出真嚕

即可由比例的性質得出結論.

⑵由平行線分線段使得條會即三=票由⑴唬埸，從而得條第即可得出—C,

AE

再證明.AAg二AOC(AAS),得出AB=A￡>,BC=CD,從而得出A8=8C=CO=A。，可由菱形的判定得出結

論.

【詳解】(1)證明：連接AC,

AB//DC

*.ZBAC=ZDCA

??ZB=ZADC

??_ABCs..CDA

.ABBC

*15C~~AD

.ABDC

*fiC-AD

:AB//DC

\Zfi+ZBCD=180°,/班O+ZADC=180。，

??ZB-ZzADC

??NBAD=NBCD

：ZADE=ZCDF

??CDFSQADE

?CDCF

>4D=AE

.ABCF

?---=----

BCAE

??CFCB=AEAB.

(2)記明：如圖,

?/EF//AC

.AECF

.CFBC

'~AE~~AB

ABCF

由知左n獷

(1)~AE

.BC二AB

/.AB=BC

ZBAC=ZBCA

??????AB//DC

/.ZBAC=ZDCA

/.ZBC4=Z/9C4

在，ABC■與△AOC中,

NB=/ADC

ZBCA=ZDCA

AC=AC

：.一4A8.//?C（AAS）

AAB=AD,BC=CD,

，AB=BC=CD=AD

???四邊形A8CQ是菱形.

【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質，平行線的性質，平行線分線段成比例，等腰三角形的性質，全等三我

的判定與性質，菱形的判定.熟練掌握相似三角形的判定與性質、菱形的判定是解題的關鍵.

26.(2024?上海松江?二模)如圖，已知柜形A3。中，AB=\f8C=2,點尸是邊人。上一動點，過點P作尸E_L4C,

垂足為點E,連接BE,過點E作斯18E,交邊4。于點尸(點尸與點A不重合).

備用圖

(1)當尸是”的中點時，求證：BA=BE；

(2)當"的長度取不同值時，在！莊尸中是否存在長度保持不變的邊？如果存在，請指出并求其長度，如果不存在，

請說明理由；

(3)延長配交邊8c于點G,連接FG,EFG與aAE產能否相似，若能相似，求出此時AP的長；若不能相似，請

說明理由.

【答案】(1)證明見解析

(2)存在，丹邙勺長度不變，PF=g

(3)能相似,AP=—

【分析】本題考查了矩形的性質和判定，等腰三角形的性質及判定，相似三角形的性質和判定，銳角三角函數的比

值關系等知識點，靈活運用角的等最關系建立邊的比值關系是解題的關鍵.

（I）利用斜邊的中線是斜邊的一半的性質和矩形的性質，通過角的等量代換得到NME=4E4即可；

（2）通過角的等量代換和相似三角形的判定方法證出一即可根據比值關系求解：

（3）連接柘，過點。作PH1BC,垂足為，，通過角的等量代換和邊的比值關系判定出四邊形PEG”是矩形，

然后再利用角的等量代換證出NR4E=N"GP,當NAFE=NF￡G時（均為鈍角）時，可得到EbGs.j/4,從而

得到PE=PF=；,再利用勾股定理運算求解即可.

【詳解】（1）解：???P￡_LAC,/為AP的中點，

,AF=EF,

???"AE=NFEA,

??