高二數(shù)學(xué)考生注意：．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若，則（）A.B.C.1D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)瞬時(shí)變化率的定義即可求解.【詳解】根據(jù)題意，則．故選:D．2.已知機(jī)器中有7個(gè)娃娃，機(jī)器中有815，機(jī)器中分別抓取1個(gè)娃娃，則此人抓取娃娃的不同情況共有（）A.15種B.30種C.45種D.56種【答案】D【解析】【分析】運(yùn)用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算得到總的不同情況數(shù).【詳解】已知機(jī)器中有個(gè)娃娃，那么從機(jī)器中抓取個(gè)娃娃，就有種不同的情況.已知機(jī)器中有個(gè)娃娃，那么從機(jī)器中抓取個(gè)娃娃，就有種不同的情況.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，得到總的不同情況數(shù)為（種）.第1頁(yè)/共19頁(yè)故選：D3.若數(shù)列滿足，則稱為“對(duì)奇數(shù)列”．已知為“對(duì)奇數(shù)列”，且，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】是以3為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而可得通項(xiàng)公式.【詳解】為“對(duì)奇數(shù)列”，則，即，又，故是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，故，則.故選：C4.已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，動(dòng)點(diǎn)滿足，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，從而的最大值為，得到答案.【詳解】點(diǎn)的坐標(biāo)為，動(dòng)點(diǎn)滿足，故點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，圓的方程為，圓心與原點(diǎn)的距離為，則的最大值為.第2頁(yè)/共19頁(yè)故選：B5.從3名男生和2名女生中任選33）A.B.C.D.【答案】D【解析】人中選出方法數(shù)，計(jì)算比值即可求解.【詳解】從人中選人參加創(chuàng)新大賽共有種選法，所選人全是男生有選法，因?yàn)榕藬?shù)少于人，所以不可能所選人全是女生，所以選出的3人中既有男生又有女生的情況有種選法，所以選出的3人中既有男生又有女生的概率為.故選：D6.將4個(gè)相同的商品放在，，，4個(gè)空貨架上，則有且僅有2個(gè)貨架上有商品的放法有（）A.18種B.20種C.24種D.120種【答案】A【解析】【分析】先將4個(gè)相同的商品分成兩個(gè)組，再?gòu)?個(gè)貨架上選兩個(gè)放入這兩組商品，利用分步計(jì)數(shù)原理求解即可.【詳解】將4個(gè)相同的商品分成兩個(gè)組有兩種不同的分法，即1，3分組或2，2分組，當(dāng)1，3分組時(shí)，因?yàn)?個(gè)商品相同，只有一種分法，再?gòu)?個(gè)貨架上選兩個(gè)放入這兩組商品有，當(dāng)2，2分組時(shí)，因?yàn)?個(gè)商品相同，只有一種分法，再?gòu)?個(gè)貨架上選兩個(gè)放入這兩組商品有，故有且僅有2個(gè)貨架上有商品的放法有.故選：A.7.設(shè)，為橢圓上存在點(diǎn)的第3頁(yè)/共19頁(yè)離心率的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由題意，只需在左右頂點(diǎn)時(shí)，，據(jù)此計(jì)算即可求得的離心率的取值范圍.【詳解】由橢圓，可知焦點(diǎn)，在軸上，且，所以，在上存在點(diǎn)，滿足，在左右頂點(diǎn)時(shí)，取到最大值，只需在左右頂點(diǎn)時(shí)，，所以，所以，所以，解得，又橢圓的離心率小于1，所以的離心率的取值范圍為.故選：B.8.已知函數(shù)與的定義域均為，且與均為奇函數(shù)，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.D.【答案】D【解析】【分析】由題意有，即得，令得，即可求解，對(duì)求導(dǎo)有即可判斷B，由為偶函數(shù)，即可得的周期為2即可判斷CD.第4頁(yè)/共19頁(yè)【詳解】因?yàn)榕c均為奇函數(shù)，所以，，即，令有：，由，所以，故A正確；對(duì)求導(dǎo)有，即的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故B正確；由，對(duì)求導(dǎo)有，即為偶函數(shù)，即得，所以的周期為2，所以，故C正確；因?yàn)榈闹芷跒?，所以，所以，故D錯(cuò)誤.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說(shuō)法正確的是（）A.從書(shū)架上任取數(shù)學(xué)書(shū)、語(yǔ)文書(shū)各1本，求共有多少種取法的問(wèn)題是分步計(jì)數(shù)問(wèn)題B.分步乘法計(jì)數(shù)原理是指完成其中一步就完成了整件事情C.分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可用來(lái)求解完成一件事有若干類(lèi)方法這類(lèi)問(wèn)題D.求從甲地經(jīng)丙地到乙地共有多少條路線的問(wèn)題是分類(lèi)計(jì)數(shù)問(wèn)題【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理的知識(shí)判斷出正確答案.第5頁(yè)/共19頁(yè)【詳解】對(duì)于A，從書(shū)架上任取數(shù)學(xué)書(shū)、語(yǔ)文書(shū)各1本，求共有多少種取法的問(wèn)題是分步計(jì)數(shù)問(wèn)題，故A正確.對(duì)于B，分步乘法計(jì)數(shù)原理是指完成所有的步驟才是完成整件事情，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C，分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可用來(lái)求解完成一件事有若干類(lèi)方法這類(lèi)問(wèn)題，故C正確.對(duì)于D，求從甲地經(jīng)丙地到乙地共有多少條路線的問(wèn)題是分步計(jì)數(shù)問(wèn)題，故D錯(cuò)誤.故選：AC10.已知點(diǎn)，到直線的距離相等，且過(guò)點(diǎn)，則的方程可能是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】先利用幾何意義得到直線與平行或經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)．然后由點(diǎn)斜式和兩點(diǎn)式求直線方程.【詳解】由已知直線與平行或經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)．當(dāng)直線與AB平行時(shí)，由，可得直線的斜率為：，所以由點(diǎn)斜式直線的方程為：，整理得；由，可知其中點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)和點(diǎn)時(shí)，由兩點(diǎn)式可得直線方程：，整理得直線方程為．故選：BD．繞其頂點(diǎn)分別逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，，后所得的三條曲線及圍成的，若，則（）第6頁(yè)/共19頁(yè)A.開(kāi)口向上的拋物線的方程為B.四葉圖上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最大值為C.動(dòng)直線被第一象限的葉子所截得的弦長(zhǎng)的最大值為2D.四葉圖的面積小于32【答案】ABD【解析】【分析】由題意可得，可求得逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)拋物線方程判斷A；與的交點(diǎn)B與拋物線斜率為1的切線方程，再求出它們的距離即可判斷C；.求出拋物線在點(diǎn)處的切線，求出該切線與軸及直線所圍成三角形面積，再結(jié)合對(duì)稱性即可推理得證.【詳解】對(duì)于A，若，則拋物線，若拋物線繞其頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，可得拋物線方程為，即，開(kāi)口向上，故A正確；對(duì)于B，由拋物線的性質(zhì)，可得四葉草關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，關(guān)于，軸，軸對(duì)稱，可知與的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是四葉圖上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離最大的點(diǎn)，解方程組可求得的距離的最大值為B正確；對(duì)于C，設(shè)直線與拋物線相切于點(diǎn)，由，消去得，由，得，切點(diǎn)，第7頁(yè)/共19頁(yè)設(shè)直線與拋物線相切于點(diǎn)，由，消去得，由，得，切點(diǎn)，直線的斜率為，即直線與直線平行或重合，所以直線被第一象限封閉圖形截的弦長(zhǎng)最大值為，故C正確.對(duì)于D，拋物線，求導(dǎo)得，則拋物線在點(diǎn)處的切線斜率為，拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，即，該切線交軸于點(diǎn)，因此在第一象限的半個(gè)草葉的面積必小于，所以四葉圖的面積小于，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：理解題意，結(jié)合圖形對(duì)稱性特征，通過(guò)曲線方程聯(lián)立，計(jì)算判斷，并運(yùn)用函數(shù)的圖象單調(diào)性情況，有時(shí)還需要以直代曲的思想進(jìn)行估算、判斷求解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分．12.若，則________．第8頁(yè)/共19頁(yè)【答案】5【解析】【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)來(lái)求解的值.【詳解】已知，根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)可得或.當(dāng)時(shí)，可得.但因?yàn)椋崛ィ划?dāng)時(shí)，解得，則成立，也滿足的條件.故答案為：513.已知反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，則這個(gè)雙曲線的離心率為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】由題意可得雙曲線是等軸雙曲線，可求離心率.【詳解】由反比例函數(shù)的圖象是雙曲線且兩漸近線為軸，所以兩漸近線互相垂直，所以雙曲線為等軸雙曲線，所以雙曲線的離心率為.故答案為：.14.已知，若在函數(shù)，的圖象上存在4個(gè)點(diǎn)，，，構(gòu)成一個(gè)以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的平行四邊形，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【答案】【解析】關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)圖象與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，進(jìn)而可得有兩個(gè)不等的正實(shí)根，令，求導(dǎo)可得單調(diào)性，進(jìn)第9頁(yè)/共19頁(yè)而可得有兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)根，計(jì)算可求實(shí)數(shù)的取值范.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)圖象與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，又為奇函數(shù)，所以關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)為，即有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，所以有兩個(gè)不等的正實(shí)根，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以有兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)根，即有兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)根，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)圖象與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，可得有兩個(gè)不等的正實(shí)根，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性可求解.四、解答題：本題共5小題，共分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知數(shù)列通項(xiàng)公式為，是公比為的等比數(shù)列，且，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)與的公共項(xiàng)由小到大排列構(gòu)成新數(shù)列，求的前5項(xiàng)和．【答案】（1）（2）682【解析】第10頁(yè)/共19頁(yè)12）根據(jù)通項(xiàng)公式找到公共項(xiàng)，求和即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋裕獾盟裕拘?wèn)2詳解】設(shè)的第項(xiàng)與的第項(xiàng)相等，則，即，．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則．故．16.在如圖所示的幾何體中，四邊形為矩形，平面，，，，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析第11頁(yè)/共19頁(yè)（2）．【解析】1）作出輔助線，由中位線得到線線平行，得到線面平行；（2）由線面垂直得到線線垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面的法向量，利用線面角的向量夾角公式進(jìn)行求解.【小問(wèn)1詳解】如圖，連接，交于點(diǎn)，連接．因?yàn)樗倪呅螢榫匦危裕驗(yàn)椋謩e為和的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面．【小問(wèn)2詳解】因?yàn)槠矫妫矫妫裕驗(yàn)樗倪呅螢榫匦危裕詾樽鴺?biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，．設(shè)平面的法向量為，則，令，則，得．設(shè)直線與平面所成的角為，第12頁(yè)/共19頁(yè)則，所以直線與平面所成角的正弦值為．17.已知橢圓，，為的上頂點(diǎn)，的面積為2．（1）求的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作斜率為1的直線交于，兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)、關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)分別為、，當(dāng)四邊形的面積為時(shí)，求直線的方程．【答案】（1）（2）或．【解析】1）根據(jù)得，再由的面積為2得，結(jié)合求出，即可得解.（2）設(shè)，，聯(lián)立直線與橢圓的方程，韋達(dá)定理，由四邊形的面積得，將韋達(dá)定理代入求得，即可求解直線方程.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，，．由，可知．因?yàn)榈拿娣e為2，所以，由得，解得或，即或，所以或，結(jié)合，可得，所以的方程為.第13頁(yè)/共19頁(yè)【小問(wèn)2詳解】由題意得直線的方程為，設(shè)，．由，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)分別為，，構(gòu)成四邊形，可知點(diǎn)，位于軸同側(cè)，則四邊形的面積．將代入，化簡(jiǎn)得，則，，且，解得，所以，整理得，所以，解得，所以直線的方程為或．18.已知函數(shù)，，．（1）討論的單調(diào)性；（2）若當(dāng)時(shí)，與的單調(diào)性相同，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若當(dāng)時(shí)，有最小值，證明：．【答案】（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（2）（3）證明見(jiàn)解析第14頁(yè)/共19頁(yè)【解析】1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)即可判斷的單調(diào)性；（21）可知將單調(diào)性相同轉(zhuǎn)化為在時(shí)恒成立，求出，可得實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）對(duì)求導(dǎo)后構(gòu)造函數(shù)再求導(dǎo)，利用零點(diǎn)存在性定理可判段導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，求出其單調(diào)性可得最小值的表達(dá)式，再構(gòu)造函數(shù)求出其值域即可.【小問(wèn)1詳解】由題可知的定義域，，令，可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．【小問(wèn)2詳解】由（I）可知在上單調(diào)遞增，即在時(shí)恒成立，即在時(shí)恒成立．令，，則，可得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，又時(shí)，，所以，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．【小問(wèn)3詳解】第15頁(yè)/共19頁(yè)由題可知，，令，，則，因?yàn)椋裕栽谏蠁握{(diào)遞增．又，，所以存在唯一的，使得，即，即．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以．令，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，即，所以．19.已知函數(shù)的所有正零點(diǎn)從小到大排列組成數(shù)列．（1）求的通項(xiàng)公式．（2）從的前項(xiàng)中隨機(jī)選出不同的兩項(xiàng)相乘，所得結(jié)果為偶數(shù)的概率記為，問(wèn)：是否存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，恒有？若存在，求出的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）若，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．【答案】（1）（2）存在，的最小值為5（3）證明見(jiàn)解析【解析】第16頁(yè)/共19頁(yè)1）令，求得所有正零點(diǎn)，可求得的通項(xiàng)公式；（2）分為奇數(shù)和偶數(shù)兩類(lèi)討論求解.先求積為奇數(shù)的情況，再利用對(duì)立事件的