2024～2025學年第一學期高三年級期末學業診斷數學試卷（考試時間：上午8:0010:00）說明：本試卷為閉卷筆答，答題時間120分鐘，滿分150分.一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.設復數滿足，則共軛復數（）A. B. C. D.3.橢圓的焦距為（）A.2 B. C.4 D.4.已知向量，滿足，且，，則與的夾角為（）A.30° B.60° C.120° D.150°5.已知等比數列的公比為，且，則“”是“是遞減數列”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件6.已知甲袋里只有紅球，乙袋里只有白球，丙袋里只有黑球，丁袋里這三種球都有.現從這四個袋子中隨機抽取一個袋子，設事件為“所抽袋子里有紅球”，事件為“所抽袋子里有白球”，事件為“所抽袋子里有黑球”，則下列說法正確的是（）A事件與事件互斥 B.事件與事件相互獨立C.事件與事件相互對立 D.事件與事件相互獨立7.已知過拋物線的焦點的直線交該拋物線于，兩點，若，則（是坐標原點）的面積為（）A.2 B. C. D.8.已知函數對于任意實數，都有且，則下列結論正確的是（）A. B. C. D.二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.已知函數的圖象關于對稱，則下列結論正確的是（）A.的最小正周期 B.的圖象關于點對稱C.在上遞增 D.在上遞減10.棱長為2的正方體中，為棱的中點，為正方形內一個動點（包括邊界），且平面，則下列結論正確的是（）A.動點的軌跡的長度為B.的最小值為C.三棱錐體積的最小值為D.當三棱錐體積取最小值時，其外接球的表面積為11.已知曲線：（，），點，點是坐標原點，則下列結論正確的是（）A.當，時，曲線關于點對稱B.當，時，的最小值為1C.當，時，曲線圍成的面積大于D.當，時，的最大值是三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12已知，則__________.13.在正項數列中，，是的前項和，且滿足，若，則的前項和______.14.十六進制中分別用、、、、、、、、、、表示十進制中、、、、、、、、、、這十六個數字.現將、、、、、、、、、、這十六個數字全部填入右圖個空格中（只需補充未填數字），要求每行從左到右，每列從上到下，依次地增大，則所填空格的不同方法種數為（用數字作答）______.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，.（1）證明：；（2）若是銳角三角形，求的取值范圍.16.函數，.（1）求函數單調區間；（2）當時，若不等式恒成立，求的取值范圍.17.如圖，在四棱錐中，四邊形為等腰梯形，，，平面平面，.（1）若，，求證：平面；（2）若二面角的余弦值為，求平面與平面夾角的余弦值.18.如圖所示是豎直平面內的一個“通道游戲”，圖中豎直線段和斜線段都表示通道，豎直線段有一條的為第1層，有2條的為第2層，，依此類推，現有一個小球從第1層的通道里向下運動，在通道的分叉處，小球等可能地向左或向右落下，然后繼續下落.記小球落入第層第個豎直通道（從左向右）的概率為，.（1）求，，，的值，并寫出的表達式（只需寫出結果，不必寫過程）；（2）利用（1）的結論，證明：；（3）設小球落入第層第個豎直通道的得分為，其中，，證明：的數學期望.19.已知雙曲線：（，）的右焦點為，右頂點為，直線：與軸的交點為，且.