2019屆高三上學期第一次月考數學（理）試題一、單選題1．已知集合，，則的子集個數為（

）A．2B．4C．7D．8【答案】D【解析】【分析】先求出集合元素的個數，再根據求子集的公式求得子集個數。【詳解】因為集合，所以所以子集個數為個所以選D【點睛】本題考查了集合交集的運算，集合子集個數的求解，屬于基礎題。2．設為向量，則“”是“”()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】先討論充分性：由得所以“”是“”的充分條件.再討論必要性：因為，所以，所以“”是“”的必要條件.故選C.3．已知集合，，，則（）A．或B．或C．或D．或【答案】A【解析】【分析】根據集合并集運算與集合互異性原則，可求得m的值。【詳解】因為所以m=3或=，即m=1（舍）或m=0所以選A【點睛】本題考查了集合的并集運算，集合互異性原則的應用，屬于基礎題。4．曲線在點處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為（）A．2B．C．D．1【答案】D【解析】由題,,切線方程為,即,與坐標軸的交點為(0.2)和(1,0)所以與坐標軸圍成的三角形的面積為,故選D.5．已知=,則=A．B．C．D．【答案】C【解析】因為=,所以.點睛：本題考查分段函數的求值問題。對于求分段函數的函數值，要首先確定要求值的自變量屬于區間，所以，此時然后代入這一段的解析式根據指數及對數的運算性質求值，另外注意當出現f(f(a))的形式時，應從內到外依次求值．6．已知函數與，它們的圖像有一個橫坐標為的交點，則的一個可能的取值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根據題意將點坐標代入得到交點為，代入得到，進而得到角.【詳解】由題意，將交點的橫坐標代入得到交點為，再代入得到，所以或，所以一個可能的取值為，故選A.【點睛】這個題目考查了函數y=Asin（ωx+φ）的圖像和性質，在研究函數的單調性和最值時，一般采用的是整體思想，將ωx+φ看做一個整體，地位等同于sinx中的x。7．設，分別是定義在上的奇函數和偶函數，當時，，且，則不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】構造函數F(x)=f（x）g（x），由題意可判斷F(x)是R上的奇函數，且在（-∞，0）上是增函數；從而解不等式即可【詳解】構造函數F(x)=f（x）g（x）因為當時，，即當時F(x)為單調遞增函數且，分別是定義在上的奇函數和偶函數，所以F(x)為奇函數F（3）==0所以的解集是所以選B【點睛】本題考查了導數與單調性的綜合應用，通過結合構造函數法判斷函數的單調區間并解不等式，屬于中檔題。8．在中，內角的對邊分別為，若的面積為，且，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】利用三角形面積公式表示出，再利用余弦定理表示出，變形后代入已知等式，進而求出，最后得出的值【詳解】，，代入已知等式可得：，故選【點睛】本題主要考查了余弦定理和同角三角函數間的基本關系，運用三角形面積公式代入化簡，屬于基礎題9．若，設，，，則，，的大小關系為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根據定義域，分別判斷a、b、c的大小即可。【詳解】因為所以所以選D【點睛】本題考查了不等式大小比較，對數的化簡應用，屬于中檔題。10．下列幾個命題：①是不等式的解集為的充要條件；②設函數的定義域為，則函數與的圖象關于軸對稱；③若函數為奇函數，則；④已知，則的最小值為；其中不正確的有（）A．0個B．1個C．2個D．3個【答案】C【解析】【分析】利用二次函數的性質及充分必要條件的概念可判斷①正確；通過反例y=sinx可判斷②錯誤；根據奇函數性質f（0）=0可判斷③正確；由基本不等式等號成立條件，可知④錯誤。【詳解】①是一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集為R的充要條件，所以①正確；②，如函數y=sinx；因為y=sinx與y=sin（-x）的定義域均為R，但兩個函數的圖象關于x軸對稱，故②錯誤③若函數為奇函數，則當x=0時=0，所以正確，所以③正確④，此時，所以不成立所以④錯誤綜上，正確個數為2個，所以選C【點睛】本題綜合考查了二次函數恒成立條件和充分必要性的判定，奇偶函數的性質及圖像，基本不等式成立的條件等，綜合性強，屬于中檔題。11．已知函數，則函數的零點的個數為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】分析：根據題目所給分段函數的解析式，畫出函數圖像，通過圖像分析函數零點的個數。詳解：畫出函數的圖像，如圖所示，令，因為則由圖像可知，有四個解，分別為由圖像可知，當時，有兩個根，即有2個零點；由圖像可知，當時，有一個根，即有1個零點；由圖像可知，當時，有三個根，即即有3個零點；由圖像可知，當時，有兩個根，即即有2個零點；綜上所述，有8個零點所以選C點睛：本題主要考查了復合函數、分段函數零點的求法。通過換元法得到關于t的函數，再對t的取值情況進行分類討論即可求解，本題屬于綜合型題目，難度較大。12．已知點是曲線上任意一點，記直線（為坐標原點）的斜率為，則（）A．存在點使得B．對于任意點都有C．對于任意點都有D．至少存在兩個點使得【答案】B【解析】分析：任取正實數，則直線的斜率為，利用的性質，逐一判定，即可求解.詳解：任取正實數，則直線的斜率為，因為，又由成立，因為和中兩個個等號成立條件不一樣，所以恒成立，即恒成立，排除A；當時，，則，排除C；對于D選項，至少存在兩個點使得，即至少存在兩解，即至少有兩解，又因為恒成立，所以至多有一個解，排除D，綜上所述，選項B是正確的，故選B.點睛：本題主要考查了函數性質的綜合應用，以及直線的斜率公式，導數在函數中的應用，其中解答中根據題意構造函數，利用函數的單調性和最值求解是解答的關鍵，著重考查了轉化思想和推理、論證能力.二、填空題13．已知為第二象限角，，則________【答案】【解析】【分析】先根據誘導公式，求得，再由α是第二象限角，結合同角三角函數關系式，求得cosα的值，再由倍角公式求得sin2α。【詳解】因為所以因為為第二象限角，所以所以【點睛】本題考查了誘導公式、同角三角函數關系式及二倍角公式的綜合應用，屬于基礎題。14．如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側一山頂D在西偏北的方向上，行駛600m后到達B處，測得此山頂在西偏北的方向上，仰角為，則此山的高度______【答案】【解析】【分析】先根據已知條件得，在中利用正弦定理計算，再由為等腰直角三角形，即可求出結果.【詳解】由題意可知，，，為等腰直角三角形，在中，，由正弦定理.故答案為.【點睛】本題考查解三角形的實際應用，從實際問題中抽象出三角形是解決問題的關鍵.15．已知函數,如果函數恰有兩個零點，那么實數的取值范圍為_____．【答案】【解析】【分析】通過討論m的取值情況，分析零點的個數。【詳解】若m＜-2，則f（x）在（-∞，m]上無零點，在（m，+∞）上有1個零點x=4，不符合題意；若-2≤m＜0，則f（x）在（-∞，m]上有1個零點x=-2，在（m，+∞）上有1個零點x=4，符合題意；若0≤m＜4，則f（x）在（-∞，m]上有2個零點x=-2，x=0，在（m，+∞）上有1個零點x=4，不符合題意；若m≥4，則f（x）在（-∞，m]上有2個零點x=-2，x=0，在（m，+∞）上無零點，符合題意；綜上所述，-2≤m＜0或m≥4，即實數的取值范圍為【點睛】本題考查了分類討論在解不等式中的應用，屬于難題。16．已知定義在實數集的函數滿足，且導函數，則不等式的解集為__________。【答案】【解析】【分析】構造函數，求函數導函數，判斷函數單調性即可得到結論。【詳解】設t=lnx，則不等式f（lnx）＞3lnx+1等價為f（t）＞3t+1，設g（x）=f（x）-3x-1，則g′（x）=f′（x）-3，∵f（x）的導函數f′（x）＜3，∴g′（x）=f′（x）-3＜0，此時函數單調遞減，∵f（2）=7，∴g（2）=f（2）-6-1=0，則當x＜2時，g（x）＞g（2）=0，即g（x）>0，則此時g（x）=f（x）-3x-1＞0，即不等式f（x）＞3x+1的解為x＜2，即f（t）＞3t+1的解為t＜2，由lnx＜2，解得0＜x＜e2，即不等式f（lnx）＞3lnx+1的解集為（0，e2），【點睛】本題主要考查不等式的解法，并根據條件構造函數，利用函數的導數與單調性之間的關系是解決本題的關鍵，屬于中檔題．三、解答題17．已知命題p:曲線y=1與x軸沒有交點；命題q:函數f(x)=是減函數.若p或q為真命題,p且q為假命題,則實數m的取值范圍.【答案】【解析】【分析】分別求出p，q為真時的m的范圍，通過討論p真q假和p假q真，求出m的范圍即可．【詳解】由y=1與x軸沒有交點，知＜0，∴m＜；由q：f（x）=﹣（5﹣2m）x在R上是減函數，知5﹣2m＞1，∴m＜2由題意p，q一真一假，若p真q假，m．若p假q真，m綜上所述，m的取值范圍為【點睛】“”，“”“”等形式命題真假的判斷步驟：（1）確定命題的構成形式；（2）判斷其中命題的真假；（3）確定“”，“”“”等形式命題的真假.18．函數f(x)=Asin(ωx+φ)的部分圖象如圖所示.(1)求f(x)的最小正周期及解析式;(2)設函數g(x)=f(x)-cos2x,求g(x)在區間上的最小值.【答案】（1）T=π,f(x)=sin；（2）.【解析】【分析】由圖象可得，，從而可求，再由圖象經過點可以求得，代入即可寫出函數的解析式求出，以為整體求值即可【詳解】(1)由圖可得A=1,,所以T=π,因此ω=2.當x=時,由f(x)=1,可得sin=1,即+φ=kπ+,k∈Z,又|φ|<,所以φ=,故f(x)=sin.(2)由(1)知g(x)=f(x)-cos2x=sin-cos2x=sin2x+cos2x-cos2x=sin2x-cos2x=sin,因為x∈,所以-≤2x-,故當2x-=-,即x=0時,函數g(x)取最小值.【點睛】本題主要考查了的部分圖象確定其解析式，只要結合圖形代入點坐標計算就可以得到答案，還考查了三角函數的最值，屬于基礎題。19．在中，三個內角所對的邊分別為，且滿足．求角C的大小；若的面積為，求邊c的長．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理得和，代入已知條件，即可求出角C的大小；（2）利用三角形面積公式得，再利用余弦定理，即可求出邊c的長．【詳解】解：由余弦定理可得：，，又，又，，【點睛】本題考查了余弦定理，三角形面積公式，特殊角函數值的應用，屬于基礎知識考查.解三角形問題，需要根據三角形邊角關系和正、余弦定理，結合已知條件靈活轉化和化簡已知條件，從而達到解決問題的目的．基本步驟是：（1）觀察已知條件和所求問題，確定轉化的方向；（2）根據已知條件與所求的關系選擇適當的工具，轉化問題；（3）求結果20．已知為二次函數，且，（1）求的表達式；（2）設，其中，為常數且，求函數的最小值.【答案】（1）；（2）見解析.【解析】【分析】因為f（x+1）+f（x﹣1）=2x2﹣4x，所以a（x+1）2+b（x+1）+c+a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c=2x2﹣4x所以2ax2+2bx+2a+2c=（1）用待定系數法，設出的解析式，代中，求出系數即可．（2）設即可得到再分類討論，根據二次函數的性質即可求出最小值．【詳解】（1）設f（x）=ax2+bx+c2x2﹣4x故有即，所以f（x）=x2﹣2x﹣1;,綜上所述：【點睛】本題考查了求二次函數的解析式的問題，以及二次函數的性質，屬于中檔題．21．已知函數（且）是定義在上的奇函數.（1）求的值；（2）求函數的值域；（3）當時，恒成立，求實數的取值范圍.【答案】(1)；(2)；(3).【解析】【分析】(1)根據奇函數定義，代入求得a的值。(2)通過分離常數，得到，進而通過函數單調性求得值域。(3)通過分離參數，得到，進而利用換元法并結合基本不等式求得m的取值范圍。【詳解】(1)∵是上的奇函數，∴，即.整理可得．（注：本題也可由解得，但要進行驗證）(2)由（1）可得，∴函數在上單調遞增，又，∴，∴．∴函數的值域為．(3)當時，．由題意得在時恒成立，∴在時恒成立．令，則有，∵當時函數為增函數，∴.∴.故實數的取值范圍為．【點睛】本題綜合考查了函數的奇偶性與單調性，分離常數法與分離參數法在函數中的應用，基本不等式求最值，綜合性強，屬于難題。22．已知為自然對數的底數.（1）當時，若函數存在與直線平行的切線，求實數的取值范圍；（2）當時，，若的最小值是，求的最小值.【答案】（1）；（2）的最小值為.【解析】【分析】（1）求出導函數，則有實數解，由此可得的范圍；（2）考慮到的表達式，題意說明在上恒成立，且“＝”可取，這樣問題又可轉化為即恒成立，且可取.，即的最小值是0．，為求的零點，由得，再由導數求得