高等數學第1頁課程相關教材及相關輔導用書《高等數學》第一版，肖筱南主編,林建華等編著,北京大學出版社.8.《高等數學精品課程下冊》第一版，林建華等編著,廈門大學出版社,.7.

《高等數學》第七版,同濟大學數學教研室主編，高等教育出版社,.7.

《高等數學學習輔導與習題選解》（同濟第七版上下合訂本）同濟大學應用數學系編高等教育出版社,.8.第2頁第九章多元函數微分學

9.1多元函數基本概念9.2偏導數

9.3全微分

9.4多元復合函數求導法則

9.5

隱函數求導公式

9.6多元函數微分學幾何應用

9.7

方向導數與梯度9.8多元函數極值9.9綜合例題第3頁41.空間曲線切線與法平面切線方程法平面方程

參數式情況.空間光滑曲線切向量內容回顧第4頁5空間光滑曲面曲面

在點法線方程1)隱式情況：法向量切平面方程2.曲面切平面與法線第5頁6空間光滑曲面切平面方程法線方程2)顯式情況：法線方向余弦法向量第6頁

第九章第七節一、方向導數

二、梯度方向導數與梯度三、數量場和向量場第7頁第七節方向導數與梯度一.方向導數

偏導數反應是函數沿坐標軸方向改變率,但許多物理現象告訴我們,除了考慮函數沿坐標軸方向變化率外,還應該考慮其它方向改變率.現在我們研究函數沿任一指定方向改變率問題.

xyP0(x0,y0)elP(x,y)Lαβ第8頁一、方向導數定義

討論函數在一點P沿某一方向改變率問題．第9頁當沿著趨于時，是否存在？第10頁記為方向導數幾何意義第11頁LCM0TP0PMl上式極限存在就意味曲線C在點P0

有唯一切線它關于方向斜率就是方向導數第12頁證實因為函數可微，則增量可表示為兩邊同除以得到第13頁故有方向導數第14頁解第15頁解由方向導數計算公式知第16頁故第17頁推廣可得三元函數方向導數定義第18頁解令故方向余弦為第19頁故第20頁二、梯度其中稱為向量微分算子或Nabla算子.第21頁所以梯度向量是使函數在一點方向導數到達最大值方向第22頁第23頁第24頁在幾何上表示一個曲面曲面被平面所截得所得曲線在xoy面上投影如圖2梯度幾何解釋第25頁所得曲線在xoy面上投影為平面曲線稱為函數等值線方程兩邊微分：或者說：梯度方向就是等值線在這點法線方向。第26頁等值線梯度為等值線上法向量第27頁

類似于二元函數，此梯度也是一個向量，其方向與取得最大方向導數方向一致，其模為方向導數最大值.梯度概念能夠推廣到三元函數第28頁三元函數梯度幾何解釋：三元函數等值面：由切平面討論，知梯度是等值面Σ在點(x,y,z)處法向量。故梯度向量在任何點都垂直于函數等值面，而且從函數值較小等值面指向函數值較大等值面。第29頁梯度運算律類似于導數運算律其中C為常數。第30頁解由梯度計算公式得故第31頁例5.設函數解:(1)點P處切平面法向量為在點P(1,1,1)處切平面方程.故所求切平面方程為即(2)求函數f在點P(1,1,1)沿增加最快方向方向導數.求等值面(2)函數f在點P處增加最快方向為沿此方向方向導數為注意:

對三元函數,與垂直方向有沒有窮多第32頁向量場VectorFields第33頁第34頁第35頁第36頁1、方向導數概念（注意方向導數與普通所說偏導數區分）三、小結?

三元函數在點沿方向l

(方向角方向導數為?二元函數在點方向導數為沿方向l

(方向角為第37頁2、梯度概念（注意梯度是一個向量）?三元函數在點處梯度為?

二元函數在點處梯度為方向:

f改變率最大方向模:

f最大改變率之值?

梯度特點第38頁3、方向導數與梯度關系方向導數存在偏導數存在?

可微