工程力學

1桿件結構的變形計算

7.1軸向拉伸、壓縮時的變形及胡克定律7.2彎曲變形7.3用疊加法計算梁的變形7.4梁的剛度條件7.5能量法基礎7.6單位荷載法7.7圖乘法7.8靜定結構由于支座位移和溫度變化所引起的位移計算本章學習內容

7.1.1絕對變形7.1

軸向拉伸、壓縮時的變形及胡克定律①軸向絕對變形②橫向絕對變形當桿受軸向拉伸時，Δl為正值，Δd為負值；當桿受軸向壓縮時，則反之。7.1.2相對變形正應變單位長度的變形通常稱為線應變（簡稱應變）。當桿各部分為均勻伸長（縮短）時，定義其線應變（簡稱為應變）為縱向正應變ε橫向正應變ε’當桿受軸向拉伸時，ε為正值，

ε’為負值；當桿受軸向壓縮時，則反之。線應變無量綱。7.1

軸向拉伸、壓縮時的變形及胡克定律7.1.3胡克定律當應力不超過某一限度，桿件變形為彈性變形時，材料的橫向線應變ε’和縱向線應變ε之比的絕對值為一常數μ式中，為泊松比，無量綱，通常由試驗測得。7.1

軸向拉伸、壓縮時的變形及胡克定律7.1.3胡克定律只要應力不超過某一極限值時，桿的軸向變形與軸力成正比、與桿的長度成正比、與桿的橫截面面積成反比。∝引進比例常數E

，則有式中，E

為材料的彈性模量，常用單位GPa

。對同一材料，E為常數。→胡克定律由上式可知，受力和長度相同的桿件，絕對變形Δl和EA成反比，EA愈大，變形Δl就愈小。EA反映了桿件抵抗拉伸(壓縮)變形的能力，故稱為桿的抗拉(抗壓)剛度。7.1

軸向拉伸、壓縮時的變形及胡克定律7.1.3胡克定律當拉（壓）桿有兩個以上的外力作用時，或當拉（壓）桿的橫截面發生變化時，需要按下式分段計算各段的變形，各段變形的代數和即為桿的總伸長(縮短)量。如桿件軸力或橫截面的變化是連續的，則下式中的代數和應改為相應的積分計算。7.1

軸向拉伸、壓縮時的變形及胡克定律7.1.3胡克定律將、代入上式，得上式是胡克定律的又一表達形式：當應力在線彈性范圍內時，

應力與應變成正比。7.1

軸向拉伸、壓縮時的變形及胡克定律【例7-1】如圖所示桿件材料的彈性模量E=200GPa，桿各段的橫截面面積分別為AAB=ABC=2500mm2，ACD=1000mm2，桿各段的長度分別為lAB=lBC=300mm，lCD=400mm，試求：桿的總伸長量。7.1

軸向拉伸、壓縮時的變形及胡克定律【例7-2】一木柱受力如圖所示，柱的橫截面為邊長200mm的正方形，材料可認為服從胡克定律，其彈性模量E=10GPa，如不計柱的自重，試求木柱頂端A截面的位移。7.1

軸向拉伸、壓縮時的變形及胡克定律【例7-3】圖中的M12螺栓內徑d1=10.1mm，擰緊后在計算長度l=80mm內產生的總伸長為Δl=0.03mm，鋼的彈性模量E=210GPa，計算螺栓內的應力和螺栓的預緊力。7.1

軸向拉伸、壓縮時的變形及胡克定律7.2.1工程彎曲變形問題7.2

彎曲變形1、限制彎曲變形：例吊車梁若變形過大，將使梁上小車行走困難，出現爬坡現象等；2、利用彎曲變形：疊板彈簧應具有較大的變形，才可以更好地起到緩沖減振的作用。7.2.2梁彎曲后的撓曲線撓度與轉角彎曲變形所導致的梁橫截面的位移可用兩個參量來描述橫截面形心的豎向線位移，橫截面繞中性軸轉動的角度，1.撓度（線位移，

w）為撓曲線的縱坐標w，圖中上負下正即2.轉角（角位移，

）在小變形情況下，轉角為記作

，圖中順時針旋向為正，反之為負，撓曲線方程：7.2

彎曲變形式中，EIz稱為梁的抗彎剛度。梁的撓曲線近似微分方程7.2

彎曲變形對梁的撓曲線近似微分方程一次積分，得轉角方程二次積分，得撓曲線方程式中，C、D

為積分常數，由梁的位移邊界條件以及位移連續條件確定。7.2

彎曲變形位移邊界條件、連續條件與光滑條件積分常數C、D由邊界條件確定（常見支承情況下的邊界條件）xyxyABCA②連續條件：③光滑條件：①位移邊界條件：支座處的約束條件相鄰兩段梁在交界處的撓度相鄰兩段梁在交界處的轉角7.2

彎曲變形【例7-4】左端固定、右端自由的懸臂梁承受均布荷載如圖所示。均布荷載集度為q，梁的彎曲剛度為EI，長度為l。q、EI、l均已知。求：梁的彎曲撓度與轉角方程，以及最大撓度和最大轉角。7.2

彎曲變形【例7-5】一承受均布荷載的等截面簡支梁如圖所示，梁的彎曲剛度為EI，求梁的最大撓度及B截面的轉角。7.2

彎曲變形【例7-6】圖示一彎曲剛度為EI的簡支梁，在D點處受一集中荷載F作用。試求梁的撓曲線方程和轉角方程，并確定其最大撓度和最大轉角。7.2

彎曲變形積分法求解梁位移的思路：1)求支座反力，列彎矩方程。2)列出梁的撓曲線近似微分方程，并對其逐次積分。3)利用邊界條件和連續條件確定積分常數。4)建立轉角方程和撓度方程。5)求最大轉角和最大撓度或指定截面的轉角和撓度。7.2

彎曲變形7.3.1多個荷載作用時疊加法的應用在小變形和材料服從胡克定律的條件下，梁的撓曲線近似微分方程式是線性的，彎矩與荷載也具有線性關系，因此，梁在幾個荷載共同作用下產生的彎曲變形等于各個荷載單獨作用時產生的彎曲變形的代數和。假設等直梁受兩個荷載作用，則每個荷載作用下：所以：每一荷載單獨作用下的撓度之和與兩個荷載共同作用下的撓度相等，這就是求梁的變形的疊加法。7.3

用疊加法計算梁的變形【例7-7】橋式起重機的大梁的自重為均布荷載，集度為q。作用于跨度中點的吊重為集中力F。試求大梁跨度中點的撓度。7.3

用疊加法計算梁的變形【例7-8】圖示的懸臂梁，受集中力F和集度為q的均布載荷作用。求端點B處的撓度和轉角。7.3

用疊加法計算梁的變形7.3.2間斷性分布荷載作用時疊加法的應用當分布荷載不是沿全梁連續作用，而是間斷性地分布在梁的某一段上時，可將間斷性分布荷載變為梁全長上連續分布荷載，然后在原來沒有分布荷載的梁段上，加上集度相同但方向相反的分布荷載，最后再應用疊加法進行計算。7.3

用疊加法計算梁的變形7.4.1梁的剛度條件要求控制梁的彎曲變形不超過規范規定的容許值，所建立的關于梁最大撓度和最大轉角的控制條件稱為梁的剛度條件。|w|max——梁中絕對值最大撓度；|θ|max——絕對值最大轉角；[w]——規定的許用撓度；[θ]——規定的許用轉角。許用撓度和許用轉角一般可由設計規范中查得：對吊車梁對架空管道7.4

梁的剛度條件【例7-10】一臺起重量為50kN的單梁吊車，由45a號工字鋼制成。已知電葫蘆重5kN，吊車梁跨度l=9.2m，許用撓度[w]=l/500，材料的彈性模量E=210GPa。試校核此吊車梁的剛度。7.4

梁的剛度條件【例7-11】矩形截面懸臂梁承受均布荷載如圖所示。已知q=10kN/m，l=3m，E=196GPa，[σ]=118MPa，許用最大撓度與梁跨度比值[wmax/l]=1/250，且已知梁橫截面的高度與寬度比為2，即h=2b，試求梁橫截面尺寸b和h。7.4

梁的剛度條件7.4.2提高梁剛度的措施1．減小彎矩數值

調整梁的加載方式合理地設置支座位置2．改善結構形式減小梁的跨度增加支座3．選用合理截面

截面面積盡量分布在距中性軸較遠處。例如，工字形、槽形、T形截面。7.4

梁的剛度條件變形——結構原有形狀的變化。位移——某點位置或某截面位置和方位的移動。位移包括線位移和角位移兩種。線位移——結構上某點沿直線方向相對于原位置移動的距離，結構上兩點之間沿兩點連線方向相對位置的改變量，稱為相對線位移；角位移——桿件某截面相對于原位置轉動的角度，結構上兩個截面相對轉動的角度稱為相對角位移。7.5

能量法基礎7.5.1作用在彈性桿件上的力所作的功1．常力功當桿件位移發生之前，力已經存在，且位移產生過程中，作用力不發生變化，則此時力所作的功為常力功。常力所作的功等于該力的大小與其作用點沿力方向相應位移的乘積。2．變力功當彈性桿件在力的作用下所產生的位移隨力和變形的增加而增加時，力所作的功為變力功。7.5

能量法基礎力和位移均為廣義的。力也可以是一個力偶，此時，位移應為相應的角位移。7.5

能量法基礎7.5.2桿件的彈性應變能彈性體在外力的作用下將產生彈性變形，此時，外力所作的功將轉變為儲存于彈性體內的能量。而當外力逐漸減小時，彈性體的變形可逐漸恢復，儲存在體內的能量被釋放而作功。這種因彈性體變形而儲存的能量稱為彈性應變能。（例如鐘表的發條）根據能量守恒定律，儲存于彈性體內的應變能在數值上等于外力所作的功。對于軸向拉壓桿件：將FN=F和胡克定律代入得或7.5

能量法基礎7.5.3互等定理1．功的互等定理設有兩個不同的力系FPi（i=1,2,……m）、FSj（j=1,2,……n）作用在兩個相同的結構如彈性梁上，則功的互等定理為力系FPi（i=1,2,……m）在力系FSj（j=1,2,……n）引起的位移上所作的功，等于力系FSj（j=1,2,……n）在力系FPi（i=1,2,……m）引起的位移上所作的功。Δij——力系FSj在FPi作用點處沿FPi方向引起的位移；Δji——力系FPi在FSj作用點處沿FSj方向引起的位移。7.5

能量法基礎證明:加載過程一：先加FPi（i=1,2,……m），再加FSj（j=1,2,……n），記為P→S；加載過程二：先加FSj（j=1,2,……n），再加FPi（i=1,2,……m），記為S→P。兩種梁由于變形而產生的應變能相等，(V

ε)P→S=(V

ε)S→P根據能量守恒原理，Δii、Δjj——分別表示力系FPi、FSj在自身作用點處且沿自身力的作用方向產生的位移。整理得7.5

能量法基礎7.5.3互等定理2．位移互等定理設有兩個力FP和FS，且FP

=FS，則位移互等定理可表述為Δij——力FS在FP作用點i處所引起的與FP相對應的位移；Δji——力FP在FS作用點j處所引起的與FS相對應的位移。7.5

能量法基礎證明:兩力系FPi（i=1,2,……m）和FSj（j=1,2,……n）中各自只取一個力FP和FS，則功的互等定理成為當FP

=FS

，有Δij=Δji當FP

=FS

=1時，所產生的位移Δ稱為單位位移，用δ表示，此時位移互等定理可寫成δij=δjiPS：互等定理中的力和位移均為廣義的，力也可以是指一個力偶，此時，位移應為相應的角位移。7.5

能量法基礎7.6

單位荷載法7.6.1結構位移計算假定1）結構材料處于彈性工作階段，服從胡克定律，即應力應變成線性關系。2）結構滿足小變形假設，在建立平衡方程時，仍然可用結構原有幾何尺寸進行計算。3）結構各部分之間為理想聯結，不計摩擦阻力影響。滿足上述條件的理想化結構體系，其位移與荷載之間為線性關系，稱為線性變形體系，其位移計算可以應用疊加原理。7.6.2單位荷載法根據能量守恒定律，儲存于彈性體內的應變能在數值上等于外力所作的功，即梁彎曲時的應變能代入上式得MF——力F引起的梁內彎矩，單位N.m；ΔF——梁在力F作用點沿力F方向產生的位移。7.6

單位荷載法7.6.2單位荷載法7.6

單位荷載法7.6.2單位荷載法

幾種常見的廣義位移所設置的單位荷載(單位廣義力)7.6

單位荷載法7.6.2單位荷載法單位荷載法計算位移的主要步驟為：1）沿擬求位移的位置和方向加設相應的單位荷載。2）根據靜力平衡條件，求出在所設單位荷載下結構的彎矩。3）根據靜力平衡條件，計算在荷載作用下結構的彎矩MF。4）代入位移計算公式中計算位移。7.6

單位荷載法7.6.2單位荷載法

對于桁架對于組合結構7.6

單位荷載法7.6

單位荷載法【例7-12】求下圖所示簡支梁上力P點的作用點的豎向位移ΔF和轉角θF。EI為常數。【例7-13】試計算如圖所示桁架結點C的豎向位移。各桿EA為同一常數。7.6

單位荷載法7.7

圖乘法7.7.1圖乘法概念在利用單位荷載法計算梁、剛架在荷載作用下的位移時，如果結構的桿件數量較多或荷載情況比較復雜，用積分法計算比較麻煩。通常可以用比較簡單的圖乘法來代替積分運算，其前提是結構中的各桿段符合下列三個條件：1）桿軸是直線。2）桿段的彎曲剛度EI為常數。3）兩個彎矩圖和MF中至少有一個是直線圖形。如果結構上所有各桿段均滿足圖乘法的三個條件，則圖乘法的位移計算公式為7.7.2幾種常見圖形的面積和形心位置7.7

圖乘法7.7.3應用圖乘法時的幾個具體問題1.應用條件桿為直桿，EI為常數，兩個圖形中至少有一個是沿著ω的整個長度為一直線變化的圖形，縱坐標yC取自該直線圖中。2.正負號規則面積ω與縱坐標yC在桿的同側時，乘積ωyC取正號；否則取負號。3.分段計算（1）若用來選取縱坐標yC的圖形是由幾段直線組成的折線，則應分段計算。（2）桿件各段有不同的EI，則應在EI變化處分段并按分段進行圖乘。7.7

圖乘法7.7.3應用圖乘法時的幾個具體問題4.疊加計算當圖形比較復雜而使得面積計算或形心位置確定比較困難時，可將復雜圖形分解為若干個簡單圖形，分別將簡單圖形相乘后再疊加。1)兩個圖形都是梯形，為避免求梯形面積的形心，可以把一個梯形分解為兩個三角形(或分為一個矩形和一個三角形)，分別應用圖乘法，然后疊加。7.7

圖乘法7.7.3應用圖乘法時的幾個具體問題1)兩個圖形都是梯形，為避免求梯形面積的形心，可以把一個梯形分解為兩個三角形(或分為一個矩形和一個三角形)，分別應用圖乘法，然后疊加。7.7

圖乘法7.7.3應用圖乘法時的幾個具體問題1)兩個圖形都是梯形，為避免求梯形面積的形心，可以把一個梯形分解為兩個三角形(或分為一個矩形和一個三角形)，分別應用圖乘法，然后疊加。7.7

圖乘法7.7.3應用圖乘法時的幾個具體問題2)對于圖中所示在均布荷載及桿端彎矩作用下的桿件，可根據直桿彎矩圖的疊加法原理，將其分解成由兩端彎矩產生的直線彎矩圖、在均布荷載q作用下的拋物線彎矩圖兩部分，再根據分解后的圖形與另一彎矩圖進行圖形相乘，最后將圖乘結果相加。7.7

圖乘法【例7-14】用圖乘法計算圖中所示簡支梁在均布荷載q作用下中點C的撓度，EI=常數。7.7

圖乘法【例7-15】計算圖中所示伸臂梁在C端截面的轉角，EI=45kN·m2，為常數。7.7

圖乘法【例7-16】下圖所示變截面桿AB段的彎曲剛度為4EI，BC段的彎曲剛度為EI，試求C點的豎向位移ΔCy。7.7

圖乘法【例7-17】求圖中所示多跨靜定梁D點的豎向位移ΔDy和鉸C處左、右兩側截面的相對轉角θC。7.7

圖乘法【例7-18】求圖中剛架在水壓力作用下C、D兩點的相對水平位移。各桿EI=常數。7.7

圖乘法【例7-19】求圖中所示剛架剛結點C處的轉角。各桿彎曲剛度EI=常量。7.7

圖乘法7.8

靜定結構由于支座位移和溫度變化所引起的位移計算靜定結構由于支座位移和溫度變化等因素的作用，會產生位移，此類位移的計算可以利用虛功原理來進行。1.虛功由前述可知，常力所作的功定義為該力的大小與其作用點沿力方向相