4二次函數(shù)的應用第1課時二次函數(shù)與面積、拱橋等問題欄目導航知識梳理考點梳理知識梳理求二次函數(shù)的最大(小)值(1)配方法將y=ax2+bx+c(a≠0)化成y=a(x-h)2+k的形式,當自變量x=

時,函數(shù)y有最大(小)值,為

.

(2)公式法二次函數(shù)y=ax2+bx+c,當自變量x=

時,函數(shù)y有最大(小)值,為

.

hk[典例1]如圖所示,一塊邊長分別為xm,ym的矩形草地由籬笆圍著,并且由一條與長為xm的邊平行的籬笆分開,籬笆總長為600m.(1)用含x的代數(shù)式表示矩形草地的面積S;考點梳理圖形面積的最大值(2)求矩形草地的最大面積.[變式1]在美化校園的活動中,某興趣小組借助如圖所示的直角墻角(兩邊足夠長),用40m長的籬笆圍成一個矩形花園ACBD(籬笆只圍BD,BC兩邊),設BD=xm.(1)若花園的面積為396m2,求x的值;解:(1)BD=xm,則BC=(40-x)m.根據(jù)題意,得x(40-x)=396.解方程,得x1=18,x2=22.故x的值為18或22.(2)若有一棵樹與墻CA,AD的距離分別是22m和16m,要將這棵樹圍在花園內(nèi)(含邊界,不考慮樹的粗細),求花園面積的最大值.拱橋、涵洞等拋物線型問題[典例2]某學校院墻上部是由100段形狀相同的拋物線形護欄組成的,為了牢固起見,每段護欄需要間隔0.4m加設一根不銹鋼支柱,護欄的最高點距護欄底部0.5m(如圖所示),則這條護欄需要的不銹鋼支柱的總長度至少為(

)A.50m B.100m C.120m D.160mD[變式2]如圖所示,某工廠大門是拋物線形水泥建筑,大門地道寬AB為4m,頂部距離地面的高度為4.4m,現(xiàn)有一輛滿載貨物的汽車欲通過大門,其裝貨寬度為2.4m,該車要想過此門,裝貨后的最大高度為多少?解:建立如圖所示的坐標系,根據(jù)題意,知A(-2,-4.4),B(2,-4.4),設這條拋物線的函數(shù)表達式為y=kx2.將點A的坐標代入,得y=-1.1x2.∵E,F兩點的橫坐標分別是-1.2和1.2,∴將x=1.2代入函數(shù)表達式,得y=-1.584,∴GH=CH-CG=4.4-1.584=2.816(m),因此這輛汽車裝貨后的最大高度為2.816m.利用二次函數(shù)解決拋物線型隧道、大橋和拱門等實際問題時,要恰當?shù)匕堰@些實際問題中的數(shù)據(jù)落實到平面直角坐標系中的拋物線上,從而確定拋物線的表達式,通過表達式可解決一些測量問題或其他問題.欄目導航基礎鞏固練能力提升練素養(yǎng)培優(yōu)練1.已知一個直角三角形兩直角邊長之和為16cm,則這個直角三角形的最大面積為(

)A.64cm2 B.32cm2 C.16cm2 D.不確定2.用長度為8m的鋁合金條制成如圖所示的矩形窗框,則這個窗戶的最大透光面積為(

)圖形面積的最值問題基礎鞏固練BB(2)當x為何值時,側面積S側有最大值?拱橋、涵洞等拋物線型問題C5.如圖所示,某涵洞的截面是拋物線形,現(xiàn)測得水面寬AB=1.6m,涵洞頂點O與水面的距離CO是2m,則當水位上升1.5m時,水面的寬度為(

)A.0.4m B.0.6mC.0.8m D.1mC6.如圖所示,小明的父親在相距2m的兩棵樹間拴了一根繩子,給他做了一個簡易的秋千,拴繩子的地方距地面都是2.5m,繩子自然下垂呈拋物線狀,身高1m的小明距較近的那棵樹0.5m時,頭部剛好接觸到繩子,則繩子的最低點與地面的距離為

m.

0.57.如圖所示,隧道的截面由拋物線和長方形構成.長方形的長為16m,寬為6m,拋物線的最高點C離路面AA1的距離為8m.(1)建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?求出拋物線的函數(shù)表達式.(2)一大型貨車裝載設備后高為7m,寬為4m.如果隧道內(nèi)設雙向行駛車道,那么這輛貨車能否安全通過?8.(2024鶴壁模擬)如圖所示是某座拋物線形拱橋的示意圖,已知水面AB寬48m,拱橋最高處點C到水面AB的距離為12m,為保護該橋的安全,現(xiàn)要在該拋物線上的點E,F處安裝兩盞警示燈,若要保證兩盞燈的水平距離EF是24m,則警示燈E距水面AB的高度為(

)A.12m B.11m C.10m D.9m能力提升練D9.如圖所示,在長為20m,寬為14m的矩形花圃里建有等寬的十字形小徑,若小徑的寬不超過1m,則花圃中的陰影部分面積的最小值為

m2.

24710.(2024甘肅改編)一汽車停車棚棚頂?shù)臋M截面可以看作是拋物線的一部分,如圖所示,棚頂?shù)呢Q直高度y(單位:m)與距離停車棚支柱AO的水平距離x(單位:m)近似滿足函數(shù)關系y=-0.02x2+0.3x+1.6,點B(6,2.68)在其圖象上.若一輛廂式貨車需在停車棚下避雨,貨車截面看作長CD=4m,高DE=1.8m的矩形,則可判定該貨車

完全停到車棚內(nèi)(填“能”或“不能”).

能11.如圖所示,用一段長為30米的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園ABCD.(1)在墻的長度不限的條件下,當AB邊的長為多少米時,菜園的面積有最大值?最大值是多少?(2)在墻的長度為14米的條件下,當AB邊的長為多少米時,菜園的面積有最大值?最大值是多少?解:(2)∵當0<x≤14時,y值隨x值的增大而增大,∴當x=14時,y取得最大值,最大值為112.答:當AB邊的長為14米時,菜園的面積最大,為112平方米.素養(yǎng)培優(yōu)練12.有一個窗戶,形狀如圖①所示,上部是一個半圓,下部是一個矩形,如果制作窗框的材料總長為6m,如何設計這個窗戶,使透光面積最大?(不考慮窗框的寬度)這個題的答案是:當窗戶半圓的半徑約為0.35m時,透光面積最大,約為1.0