第十章彎曲梁的設計

第一節梁平面彎曲的概念和彎曲內力

一、彎曲的概念

工程實際中，存在大量的受彎曲桿件，如火車輪軸，橋式起重機大梁。如圖10.L1,圖10.1.2所示，這類

桿件受力的共同特點是外力（橫向力）與桿軸線相垂直，變形時桿軸線由直線變成曲線，這種變形稱為彎

曲變形.以彎曲變形為主的桿件稱為梁。

圖10.1.1火車輪軸圖10.1.2起重機大梁

工程中常見的梁，其橫截面通常都有一個縱向對稱軸，該對稱軸與梁的軸線組成梁縱向對稱面。如圖

如果梁上所有的外力都作用于梁的縱向對稱平面內，則變形后的軸線將在縱向對稱平面內變成一條平

面曲線。這種彎曲稱為平面彎曲。平面彎曲是彎曲問題中最基本、最常見的，所以，這里只討論平面彎曲

問題。

二、梁的計算簡圖及基本形式

梁上的荷載和支承情況比較復雜，為便與分析和計算，在保證足夠精度的前提下，需要對梁進行力學

簡化。

(一)、梁的簡化

為了繪圖的方便，首先對梁本身進行簡化，通常用梁的軸線來代替實際的梁。

(二)、荷載分類

作用在梁上的載荷通常可以簡化為以下三種類型：

1、集中荷載當載荷的作用范圍和梁的長度相比較是很小時，可以簡化為作用于一點的力，稱為

集中荷載或集中力。如車刀所受的切削力便可視為集中力P,如圖10.1.4(a)所示，其單位為牛(N)或

千牛(kN)o

2、集中力偶當梁的某一小段內(其長度遠遠小于梁的長度)受到力偶的作用，可簡化為作用在某一截面上的力偶,

稱為集中力偶。如圖10.1.4(b)所示。它的單位為牛?米

(N-m)或千牛?米(kN-m)。

3、均布載荷沿梁的長度均勻分布的載荷，稱為均布載荷。分布載荷的大小用載荷集度q表示,

均布集度q為常數。如圖10.1.4(c)所示。其單位為牛/米(N/m)或千牛/米(k/m)。

(三)、梁的基本形式

按照支座對梁的約束情況，通常將支座簡化為以下三種形式：固定較鏈支座、活動較鏈支座和固定

端支座。這三種支座的約束情況和支反力已在靜力學中討論過，這里不再重復。根據梁的支承情況，一般

可把梁簡化為以下三種基本形式。

1、簡支梁梁的一端為固定較鏈支座，另一端為活動談鍵支座的梁稱為簡支梁。如圖10.1.5(a)o

2、外伸梁外伸梁的支座與簡支梁一樣，不同點是梁的一端或兩端伸出支座以外，所以稱為外伸梁。

如圖10.1.5(b)

3、懸臂梁一端固定，另一端自由的梁稱為懸臂梁。如圖10.1.5(c)

八卜八

集中力

(a)(a)簡支梁

(b)集中力偶(b)夕卜仲梁

二mu』

(c)分布載荷(c)懸臂梁

圖10.1.4載荷類圖10.1.5梁的類

以上三種梁的未知約束反力最多只有三個,應用靜力平衡條件就可以確定這三種形式梁的內力。

三、梁彎曲時的內力——剪力和彎矩計算

作用于梁上的外力以及支承對梁的約束力都是梁的外載荷。支承對梁所產生的約束反力一般都由靜力平衡

條件求得。在外載荷的作用下，梁要產生彎曲變形，梁的各橫截面內就必定存在相應的內力。求解梁橫截

面上內力的方法是截面法。

如圖10.1.6所示的簡支梁，受集中力片和舄作用。為了求出距A端支座為x處橫截面nrm上的內力，首先按靜力學中的

平衡方程求出支座反力RA、RB。然后用截面法沿m-m截面假想地把梁截開，并以左邊部分為研究對象(圖10.1.6(b))。

因為原來梁處于平衡狀態，故左段梁在外力及截面處內力的共同作用下也應保持平衡。截面ni-m上必有一個與

截面相切的內力Q來代替右邊部分對左邊部分沿截面切線方向移動趨勢所起的約束作用：又因為R,\與Pi

對截面形心的力矩一般不能相互抵消，為保持這部分不發生轉動，在橫截面m-m上必有一個位于載荷平面

的內力偶，其力矩為M,來代替右邊部分對左邊部分轉動趨勢所起的約束作用。由此可見，梁彎曲時，橫

截面上一般存在兩個內力因素，其中Q稱為剪力，M稱為彎矩。

剪力和彎矩的大小可由左段梁的平衡方程確定。

由2Fy=0得&一斤一。二°

。=此一6

由SMC=0得x+[(x-4)=0

M=RAX-/?!(x-a)

式中，C為橫截面的形心。

若取右段梁研究，根據作用力與反作用力定律，在m-m截面上也必然有剪力°和彎矩"'，并

且它們分別與Q和M數值相等、方向相反。

剪力和彎矩的正負按梁的變形來確定。凡使所取梁段具有作順時針轉動趨勢的剪力為正，反之為負。如圖

10.1.7所示。凡使梁段產生上凹下凸彎曲變形的彎矩為正，反之為負。如圖10.1.8所示。

＜匕)

圖10.1.7剪力的符

綜上所述，可得求剪力、彎矩大小和方向的規則:

對于剪刀：梁內任一橫截面上的剪刀等于該截面一側梁上所有橫向外力的代數和；正負號由“外力左

上右下，產生的剪力為正“確定。

對于彎矩：梁內任一橫截面上的彎矩等于該截面一側梁上所有外力對截面形心力矩的代數和。正負號

由“外力矩左順右逆，產生的彎矩為正”確定。

利用上述規則，可以直接根據截面左側或右側梁上的外力求出指定截面的剪力和彎矩。

例10.1.1簡支梁受集中力〃=力偶m=均布載荷q=4KV/m,如圖10.1.9所示，試求I-I

和H-II截面上的剪力和彎矩。

圖10.1.9筒支梁

解：（1）求支座反力。

匯儲（下）=0,即Px75O-R1x1000—〃，十t/x0.5x250=0

可得七=25()N

EFv=0,即七-P-"().5+%=°

可得&=2750"

（2）計算剪力和彎矩（應取簡單的一側為研究對象）。

I-IQ=RA=250N

%=RAx2(X)=250x0.2=5()N?m

II-IIQ?=qx0.4-=4x0.4-2.75=-1.5kN

-33

A/2=/?flx400-t7x0.4x200=2750x400xlO-4xl0x0.4x0.2=780^-/n

例10.1.2圖10.1.10(a)是薄板軋機的示意圖。下軋輯尺寸表示在圖10.1.10(b)中軋制力約為10"N,

并假定均勻分布在軋輕的CD的范圍內。試求軋輯中央截面上的彎矩及截面C的剪力。

圖10.1.10剪板機電

解：軋輻可簡化為如圖10.1.10(c)所示形式。軋制力均勻分布于長度為0.8m的范圍內，故軋制力的載

荷集度為

in4

q=---kN/in=12.5xlO"N/〃z

0.8

由于梁上的載荷與約束反力對跨度中點是對稱的，所以容易求出兩段的約束反力為

in4

FA=FB=—=5xio3^

以截面C左側為研究對象，求得該截面上的剪力為

in4

i

Fsc=Fa=—=5x\OkN

2

在跨度中點截面左側的外力為心和一部分均布載荷。以中點截面左側為研究對象，求得彎矩

為

04

M=入x0.83-qx0.4x卞=315GkN.m

四、剪力圖和彎矩圖

在一般情況下，剪力和彎矩是隨著截面的位置不同而變化的。如果取梁的軸線為x軸，以坐標x表示

橫截面的位置，則剪力和彎矩可表示為x的函數，即

Q=Q(x)M=M(x)

上述兩函數表達了剪刀和彎矩沿梁軸線的變化規律，故分別稱為梁的剪刀方程和彎矩方程。

為了能一目了然地看出梁各截面上的剪力和彎矩沿梁軸線的變化情況，在設計計算中常把各截面上的

剪力和彎矩用圖形表示。即取一平行于梁軸線的橫坐標x來表示橫截面的位置，以縱坐標表示各對應橫截

面上的剪力和彎矩，畫出剪力和彎矩與X的函數曲線。這樣得出的圖形叫做梁的剪力圖和彎矩圖。

利用剪力圖和彎矩圖，很容易確定梁的最大剪力和最大彎矩，以及梁的危險截面的位置。所以畫剪力

圖和彎矩圖往往是梁的強度和剛度計算中的重要步驟。

剪力圖和彎矩圖的畫法是首先求出梁的支座反力，然后以力和力偶的作用點為分界點，將梁分為幾段,

分段列出剪力和彎矩方程。取橫坐標X表示截面的位置；縱坐標表示各截面的剪力和彎矩，按方程繪圖。

下面通過分析例題說明剪力圖和彎矩圖的繪制方法及步驟

例10.1.3如圖10.1.11(a)所示起重機橫梁長/,起吊重量為P。不計梁的自重，試繪制圖示

位置橫梁的剪力圖和彎矩圖，并指出最大剪力和最大彎矩所在的截面位置。

.—TTmrnTnTrnWnTTTTTm^色

圖10.1.11簡支梁受集中力

解（1）繪制橫梁的計算簡圖根據橫梁兩端A、B輪的實際支承情況，將其簡化為簡支梁（圖10.1.11

（a）o起吊重量為P可簡化為作用于沿橫梁行走的小車兩輪中點所對應的梁的梁截面C處的集中力。

（2）計算A、B兩端的支座的約束反力根據靜力平衡方程得

3年

（3）建立剪力方程和彎矩方程由于截面C有集中力p作用，梁AC端和BC段上任意截面左段研

究對象的平衡方程不同，故應分別建立兩段的剪力方程和彎矩方程。設AC段和BC段的任一截面位置分別

用x表示（圖10.1.11（a））,并以左段為研究對象計算剪力和彎矩，則方程為

0<x<a

0<x<a

a<x<l

..口、Pa(l-x)

M=R(l-x)=——-——

2{ia<x<l

（4）繪制剪力圖和彎矩圖由AC段和BC段剪力方程可知，兩段的剪力分別為一正一負的常數,

故剪力圖是分別位于x軸上方和下方的兩條平行線（圖10.1.11（b））。

由兩段的彎矩方程可知，彎矩圖為兩條斜直線，由邊界條件可得出斜直線上兩點的坐標值：

AC段

_Pab

玉=0,Mi=O.玉=4,~~T~

BC段

Pab

2

x2=a~ix2=l,%=()

于是便得到如圖10.1.11(c)所示的橫梁的彎矩圖。

(5)確定剪力和彎矩的最大值由圖10.1.11c,結合剪力方程，可以看出，當。時，BC段各截

面的剪力值最大；當。＜〃時，AC段各截面的剪力值最大。小車行駛時，力P作用點的坐標發生變化，最

大剪力值也隨之發生變化。小車接近支座B點或A點時，剪力達到最大值%ma、-尸。

由圖10.1.11c,結合彎矩方程，可以分析得出，集中力F作用的C點所在截面處有最大彎矩。當小車

,I

a=b=—

位于梁的中點時，即2處，因乘積ab最大，所以最大彎矩值也最大，為

〃_Pl

max-4

例10.1.4如圖10.1.12(a)所示簡支梁，在全梁上受集度q的均布載荷。試作此梁的剪力圖和

彎矩圖。

解：1)求支座反力。

由E%=o及ZMR=O得

FAy=%=

2)列剪力方程和彎矩方程。

取A為坐標軸原點，并在截面x處切開取左段為研究對象，如圖10.1.12(b)所示，則

LrTTnTrnirT^TrrrnTrrz.

圖10.1.12簡支梁受均布

M=2一號喈一號(0<x</)

(10.1.2)

3）畫剪力圖。

式（10.1.1）表明，剪力R是x的一次函數，所以剪力圖是一條斜直線

E'T

4）畫彎矩圖。

式（10.1.2）表明，穹矩M是x的二次函數，彎矩圖是一條拋物線。山方程

qlxqx2

A/(x)=—

2

!_9

既曲線頂點為（2'8）,開口向下，可按下列對應值確定幾點。

X01_3/1

42~4

M00

3qP_貯3ql2

8~32~

剪力圖與彎矩圖分別如圖10.1.12(c)、(d)所示。由圖可知，剪力最大值在兩支座A、B內側的

=￡彎矩的最大值在梁的中點,“24

橫截面上，"max

例10.1.5如圖10.1.13(a)所示簡支梁，在C點處受大小為Me的集中力偶作用。試作其剪力圖和彎矩

圖。

k一2

解：1)求支反力。

z%=。，H=o,L..........|TlfrrTTnTrrrr^

k

得:圖10.1.13簡支梁受集中力偶

%=。If=0

2)列出剪力方程和彎矩方程。

M

吊(X)fy=->(0<x</)

因C點處有集中力偶，故彎矩需分段考慮。

AC段

M

M(x)=-FX=-x(0<x<a)

AVI

BC段

M

M(x)=—&(/—x)=d(/—x)(0<^</)

v/

3)畫剪力圖。

由四力方程知，剪力為常數，故是一水平直線，如圖10.1.13(b)所示。

4)畫彎矩圖。

由彎矩方程知，C截面左右段均為斜直線。

AC段

x=O,M=0;x=a,M=---—

BC段

,,Meb

x=a,M=——,x=l,M=0

彎矩圖如圖10.1.13(c)所示。如巴則最大彎矩發生在集中力偶作用處右側橫截面上,

分析以上幾例即叮得出剪力圖和彎矩圖規律：

1.梁上沒有分布載荷時，剪力圖為一水平線，彎矩圖為一斜直線。斜率為對應的剪力圖的值，剪力為

正時，彎矩圖向上傾斜(/);剪力為負時;彎矩圖向下傾斜(\)。

2.集中力F作用的截平面上，剪力圖發生突變，突變的方向與集中力的作用方向一致；突變幅度等于

外力大小，彎矩圖在此面上出現一個尖角。

3.梁上有均布載荷作用時，其對應區間的剪力圖為斜直線，均布載荷向下時，直線由左上向右下傾斜

（\），斜線的斜率等于均布載荷的載荷集度q。對應的彎矩圖為拋物線，剪力圖下斜（\）,彎矩圖上凸（^），

反之則相反。剪力圖。二°的點其彎矩值最大，拋物線部分的最大值等于拋物線起點至最大值點對應的剪力

2

Afmax=^//8=—x-x-

圖形的面積，如圖10.1.12(d)所示，222。

4.集中力偶Me作用的截面上，剪力圖不變，彎矩圖出現突變。Me逆時針時，彎矩圖由上向下突變，

Me順時針口寸，彎矩圖由下向上突變。

前面總結了集中力、集中力偶和均布力作用時，剪力圖和彎矩圖的做圖規律，下面我們根據這些規律

快速而;隹確地做出梁的剪力圖和彎矩圖。

例10.1.6簡支梁受6=3%N，6=MN的集中力作用（圖I。J*（a））。已知約束反力，

此二2.547,q=1.5左2其他尺寸如圖所示。試繪出該梁的剪力圖和彎矩圖.

2

善

1OCC

圖10.1.14

解：（1）繪剪力圖。剪力圖從零開始,一般自左向右，逐段畫出。根據規律可知，因A點有集中力HQ

故在A點剪力圖突變，由零向上突變2.5kN,從A點右側到C點左側，兩點之間無力作用，故剪力圖平行

與x軸的直線。因C點有集中力匕故在C點剪力圖由2.5kN向下突變3kN,C點左側的剪力值為2.5kN,C

點右側的剪力值為一°-5ZN。同樣的道理，依次，可完成其剪力圖(圖10.1.14(b))o需要說明，剪力

圖最后應回到零。圖中虛線箭頭只表示畫圖走向和突變方向。

(2)繪彎矩圖。彎矩圖也是從零開始，自左向右邊，逐段畫出。A點因無力偶作用，故無突變。

因AC段剪力圖為x軸的上平行線，故其彎矩圖為?條從零開始的上斜線，其斜率為2.5(圖10.1.14(c)

中斜率僅為繪圖方便而標注)，C點的彎矩值為Z5xl=2.5(XV.m)。

CD段的彎矩圖為一條從2.5W?機開始的下斜線，斜率為0.5,故D點的彎矩值為

2.5—05x2=1.5(ZN.“)，同樣的道理可畫出DB段彎矩圖，最后回到零(圖10.1.14(c))。

例10.1.7外伸梁受力如圖10.1.15(a)所示，M=4kN?m,P=lUkN,R、=《kN,R"=16kN。

其它尺寸如圖所示。試繪出梁的剪力圖和彎矩圖。

CO

圖10.1.15

解：

(1)繪剪力圖。根據規律畫剪力圖時可不考慮力偶的影響。因此，繪其剪力圖時，從A點零開始，向

下突變6,從6開始畫X軸平行線至B點，向上突變16,在畫X軸平行線，最后連D點向下突變10而回到

零(圖10.L15(b)).

(2)繪彎矩圖從A點零開始，畫斜率為6的下斜線至C點，因C點有力偶作用，故彎矩圖有突

變，根據“順上逆下”，故向上突變4,在畫斜率為6的下斜線至B點，在B點轉折，作斜率為10的上斜線

至D點而回到零(圖10.1.15(c))o

例10.1.8外伸梁受力如圖10.1.16(a)所示，已知例=16/W-〃z,q=2kN/m,p=2KN

約束反力%=7.2KN,RB=14.8KN,試繪出梁的剪力圖和彎矩圖，并求距A點4m處截面的剪力和彎矩。

解：(1)繪制剪力圖。

從A點零開始，向上突變7.2,AC段為x軸的平行線。CB段，剪力圖從7.2下斜至B點，斜率為2,故B點左側的剪力值

為8.8,從8.8向上突變14.8,即到B點右側。BD段剪力圖仍為斜率2的下斜線至D點左側，因D點有集中力P,故向下

突變回到零(圖10.1.16(b))o剪力圖

-:―=3.6

中卜0的點可由幾何關系求得，如：2(m)o

(2)繪彎矩圖。

AC段彎矩圖為一條從零開始的斜率為7.2的上斜線。因C點有力偶，故彎矩圖在C點

42

圖10.1.16

向下突變1.6。CB段剪力圖為條下斜線，故對應的彎矩圖為條從1.6開始的上彎拋物線，最大值

點應對應于30的點，其值可由對應的三角形面積求得

7.2x—-1.6=11.36

2

B點的值也可由對應的三角形面積求得

8.8x^^-U.36=8

也可暫不求此值，繼續繪圖，因B,D點無力偶，故彎矩圖直接轉折上彎至零，最后利用對應的剪力

圖梯形面積計算該值

(6+2)x|=8

需要注意，圖10.1.16(b)中CB段剪力圖能否下斜而過x軸？圖10.1.16(c)申的CB段彎矩圖能

否上彎而過x軸？都可根據圖形幾何關系預先測算而定。

(3)求距A點4nl處微面的剪力和彎矩。

該截面剪力和彎矩可由圖中幾何關系直接求得。由圖10.1.16(b)可知，該截面的剪力

(2=2x1.6=3.2(/UV)

由圖10.1.16(c)可知，該截面的彎矩

M=11.36-=88(A7V，〃?)

由上述各例可以看出，繪制剪力圖和彎矩圖的基本過程為：熟記規律，從左至右，從零開始，到點

即停，標值判定(是否突變)，最終回零。

第二節梁的彎曲強度計算

一純彎曲時梁橫截面上的正應力

前面對梁彎曲時橫截面上的內力進行了分析討論。為了進行梁的強度計算，還需要進一步研究橫截面

上的應力情況。通常梁的橫截面上既有彎矩又有剪力，這種彎曲稱為剪切彎曲。若梁的橫截面上只有彎矩

而無剪力，則梁的橫截面.上僅有正應力而無切應力。這種彎曲稱為純彎曲。梁純彎曲的強度主要決定于截

面上的正應力，切應力居于次要地位。所以這里只討論梁在純彎曲時橫截面上的正應力。

要想分析正應力的分布規律并計算正應力，先是通過實驗，觀察其變形，提出假設。在這個基礎上綜

合應用幾何變形，物理和靜力學關系，找出變形及其應力的變化規律而推導出應力計算公式。

(一)、實驗觀察

取一矩形截面直桿，實驗前，在梁的側面上，畫上垂直于梁軸的橫向線=1\*ROMANT-=1\*ROMAN

I和=2\*ROMANII-=2\*ROMANII及平行于梁軸的縱向線ab和cd,然后在梁的縱向對稱平面內

兩端施加集中力偶M,使梁產生純彎曲。如圖10.2.1所示。梁發生彎曲變形后，我們可以觀察到以下現象:

1、橫向線ac和bd仍是直線且仍與梁的軸線正交，只是相互傾斜了一個角度

2、縱向線ab和cd（包括軸線）都變成了弧線。且ab變成""后縮短了，cd變成c々'后伸長了

中性層

中性軸

根據上述現象，可對梁的變形提出如下假設:

①平面假設：梁彎曲變形時，其橫截面仍保持平面，且繞某軸轉過r一個微小的角度。

②單向受力假設：設梁由無數縱向纖維組成，則這些纖維處于單向受拉或單向受壓狀態。

可以看出，梁下部的縱向纖維受拉伸長，上部的縱向纖維受壓縮短，其間必有一層纖維既不伸長也不

縮短，這層纖維稱為中性層。中性層和橫截面的交線稱為中性軸。如圖10.2.2所示。

（二）、變形的幾何關系

由于純彎曲時，各層縱向纖維受到軸向拉仲和壓縮的作用，因此材料的應力和應變的關系應符合拉壓

胡克定律

由上式可知，若搞清應力分布規律，必須搞清應變￡的變化規律，為此，將變形后的梁中取一微段來進行研究，如圖10.2.3

所示。兩截面=1\*ROMANI-=1\*ROMAN1和=2\*ROMANII-=2\*ROMANII原來是平行的，現在相互傾

斜了一個微小角度48°圖中為中性層，設其曲率半徑為"，O'"’到中性層的距離為V形后中性層纖維長度仍為"x

且夕。距中性層為y,則縱向淺的線應變為：

_bed_c'd'-cd_(p+y)dO-pdO_ydO_y

￡—————

cdcdpdOpdOp

即梁內任一縱向纖維的線應變8與它到中性層的距離y成正比。

(三)、變形的物理關系

由單向受力假設，當正應力不超過材料的比例極限時，將虎克定律代入上式，得:

er=Es=E—

P(10.2.1)

上式表明了橫截面上正應力的分布規律，即：橫截面上任一點處的正應力與它到中性軸的距離成正比,

與中性層距離相同的點，正應力相等；距離中性層越遠，正應力越大；中性軸上各點的正應力為冬，由此

可得橫截面上各點的正應力分布情況，如圖10.2.4所示。為了準確計算正應力值，必須確定中性軸的位置

與曲率半徑。的大小，而這乂需要通過應力與內力間的靜力學關系來解決。

(四)、靜力學關系

圖10.2.3彎曲變形圖10.2.4彎曲正應力的分布規律

梁發生純彎曲時，橫截面上只有彎矩而無剪力，旦彎曲變形時橫截面繞中性軸Z轉動。所以，橫截面上所

有內力合成的結果只有一個對中性軸Z的彎矩M,而沿梁軸線的分量和對橫截而對稱軸的駕矩均為零。

通過對靜力學和截面形心進行分析可得如下結論：

純彎曲時，橫截面的中性軸必須通過截面的形心。

純彎曲時，中性軸的曲率半徑的計算公式為

1_"

PElz(10.2.2)

式中，七/z值越大，則梁彎曲的曲率半徑〃越大，中性軸的曲率就越小，也就是梁的彎曲變形越小；反之,

Hz值越小，則梁的彎川|變形越大。因此，"z值的大小反映了梁抵抗彎曲變形的能力，故以z稱為梁的彎

曲剛度。將式(10.2.2)帶入(10.2.1)中，得到純彎曲梁橫截面上任意?點正應力的計算公式

為：

M-y

o=------

，z(10.2.3)

M——為截面上的彎矩；

一一為截面上所求應力點到中性軸的距離;

〃——為橫截面對中性軸Z的慣性矩。

是一個僅與橫截面形狀和尺寸有關的幾何量，可以通過理論計算來求得。一般地，各種平面兒何圖

形的/z都求出并列表備用，使用時直接查表即可。

上式是梁純彎曲時橫截面上任一點的正應力計算公式。應用時M及)'均可用絕對值代入，至于所求點

的正應力是拉應力還是壓應力，可根據梁的變形情況，由纖維的伸縮來確定，即以中性軸為界，梁變形后

靠凸的一側受拉應力，靠凹的一側受壓應力。也可根據彎矩的正負來判斷，當彎矩為正時，中性軸以下部

分受拉應力，以上部分受壓應力，彎矩為負時，則相反。由公式10.2.2可知，橫截面上最大正應力發生在

距中性軸最遠的各點處。即

M

max

(10.2.4)

令iax

M

cymax=-w-

則%(10.2.5)

Wz稱為抗彎截面模量，也是衡量截面抗彎強度的一個幾何量，其值與橫截面的形狀和尺寸有關

式(10.2.2)和(10.2.3)是純彎曲梁的兩個重要公式，前者用于計算梁的變形，后者用于計算梁橫

截面上的應力。

彎曲正應力計算公式是梁在純彎曲的情況下導出來的。對于一般的梁來說，橫截面上除彎矩外還有

剪力存在，這樣的彎曲稱為剪切彎曲。在剪切彎曲時，橫截面將發生翹曲，平截面假設不再成立。但較精

確的分析證明，對于跨度/與截面高度力之比%,，的梁，計算其正應力所得結果誤差很小。在工程上常

用的梁，其跨高比遠大于5,因此，計算式可足夠精確地推廣應用于剪切彎曲的情況。

例10.2.1如圖10.2.5(a)所示矩形截面簡支梁。已知：F=5kN,a=180mm,b=30mm,h=60

mm。試分別求將截面豎放和橫放時梁截面上的最大正應力。

圖10.2.5筒支梁受力

解：1)求支座反力。根據外力平衡條件列平衡方程，可解得支座反力為

H,=5KN

2)畫出剪力圖和彎矩圖，如圖10.2.5(b)、(c)所示。可見，在CD段橫截面上剪力為零，故CD

段為純彎曲段，截面上彎矩值為

M“ax=M,=900N-m

M

ma(xJ=----

3)豎放時最大正應力。先由表10.2.1中查得矩形截面的截面彎曲系Wz的計算公式，代入式％y/

即可求出豎放時橫截面上的最大正應力為

M_M900

=50x106Pa=50MPa

0.03x0.062

6

同理可求得橫放時橫截面上的最大正應力為

MM_900

=100xl06Pa=\00MPa

0.06x0.032

~6~

由此例可知：矩形截面梁的橫截面放置方位不同，其最大正應力值也不同，即梁的彎曲強度不同，矩

形截面梁的橫截面豎放比橫放時強度高。

二梁的彎曲強度計算

在進行梁的強度計算時，由于梁上的應力一般是隨截面位置的不同而變化的，因此應首先找出最大應

力所在截面，即危險截面以及求出最大應力?皿。一般情況下，對于等截面直梁，其危險點在彎矩最大的

截面上的上下邊緣處，即最大正應力所在處。

(一)、強度條件

為了使梁安全可靠的工作，危險點的最大工作應力不能超過梁所用材料的許用應力，強度條件為：

"z(10.2.6)

式中，5小為危險點的應力；

“max、％分別為危險截面的彎矩和拉彎截面系數:

同為梁材料的許用應力。

考慮到材料的力學性質和截面的兒何性質，判定危險點的位置是建立強度條件的主要問題。

（二）、關于危險點的討論

1、對稱截面

若截面對稱于中性軸，則稱為對稱截面，否則稱為非對稱截面。對于塑性材料，其許用拉應力和許用

壓應力相同。對稱截面塑性材料的危險點可以選擇距中性軸最遠端的任一點計算。

對于許用拉應力和許用壓應力不同的脆性材料，由于脆性材料的許用壓應力大于許用拉應力，所以只

需計算受拉邊的最大應力值。

b/max工LI

2、非對稱截面

對于塑性材料，危險點一定出現在距中性軸最遠處，所以這種情況下只需計算一個危險點。

MrI

5nax=—Znax?kJ

對于脆性材料，需要結合彎矩的正負及截面形狀分別計算。如果距中性軸最遠處的是受拉邊則只需計

算一個危險點；如果距中性軸最遠處的是受壓邊則需要計算兩個危險點。

其強度條件為：

12

b.vmL與fm—bj

式中，b/max和分別為最大拉應力和最大壓應力；

口』和匕J分別為許用拉應力和許用壓應力；

￡max和'「max分別是拉應力和壓應力一側最遠點到中性軸的距離。

(三)、強度條件三類問題

與拉壓強度條件應用相似，彎曲強度條件同樣可以用來解決以下三類問題。

①強度校核驗算梁的強度是否滿足強度條件，判斷梁在工作時是否安全。

M

=—W［。］

②截面設計根據梁的最大載荷和材料的許用應力，確定梁截面的尺寸和形狀，或選用合適的標準型

鋼。

③確定許用載荷根據梁截面的形狀和尺寸及許用應力，確定梁可承受的最大彎矩，再由彎矩和載荷

的關系確定梁的許用載荷。

A/cn；［o］

對于非對稱截面，需按公式

0-max=—［VmaxLJ

例10.2.2圖10.2.6(a)所示，托架為一T形截面的鑄鐵梁。已知截面對中性軸z的慣性矩

74

/z=1.35xlOAwn,P=4.5kN,鑄鐵的彎曲許用應力［己］=40MPa,［%］=80MPa,若略去梁的自重影響，

使校核梁的強度。

解：(1)畫其受力圖(見圖10.2.6(b))<,

(2)繪制剪力圖(見圖10.2.6(c)).

圖10.2.6T形鑄鐵梁

(3)繪制彎矩圖(見圖10.2.6(d)),并求最大彎矩值

Mnax=P/=4,5X1=4.5(kN.m)

(4)校核強度

y?/mdaXx=7X60=21)(MPa)<[<TJ

I71.35xl0/

二%4.5xlO6

X15O=5(XMP6/)<[(T]

vmax—TJmaxV

lz1.35xlO7

所以此鑄鐵梁的強度足夠。

例10.2.3-矩形截面簡支梁(見圖10.2.7(a)),b=200mm,〃=3OOw〃z,/=4m,[a]=i0MPao

試求梁能承受的許可均布載荷q。

圖10.2.7簡支梁

解：（1）求支座反力。

RA=RB=4

(2)繪剪力圖(10.2.7(b))o

(3)繪彎矩圖（10.2.7（c）），并求最大彎矩。

Mmax=^=*x^=2叭kN?m)

(4)確定許可載荷

Mmax<Wz[cy]

2

bh200x3002=3x106(〃〃/)

%=

因66

66

故2(/xl0<3X10X10

q<\5N/mm

例1024簡易吊車梁如圖10.2.8（a）所示，已知起吊最大載荷。=503,跨度/=1（）加,若梁材料的許用

應力[o]=180MPa,不計梁的自重，試求：（1）選擇工字鋼的型號；（2）若選用矩形截面，其高度比為力/〃=2

時，確定截面尺寸；（3）比較兩種梁的重量。

解：（1）繪制梁的受力圖（10.2.8（b）），求約

束反力。

R*=RB=Q/2

（2）繪制梁的剪力圖（10.2.8（c))O

（3）繪制梁的彎矩圖（10.2.8（d））,并求最

大彎矩。

QI50x10cz、

=-=-----=125(4N?6)

44圖10.2.7

簡支梁

（4）選擇工字鋼型號

圖10.2.7簡支梁

卬>絲強=125*m=686813687(c/n3)

'㈤182

查表得32a號工字鋼Wk692>687cn?,故可選用32a號工字鋼，查得其截面面積為67.156cm?。

（5）若采用矩形截面。

Wz=等二*=687（卅）

〃=,生笠=10(加

h=2b=20(52)

A=bh=200(C7?Z2)

(6)比較兩梁的重量。在材料和長度相同的條件下，梁的重量之比等于截面面積之比，

出二旦=2.98

A167.156

即矩形截面的梁的重量是工字鋼截面梁的2.98倍。

第三節拉伸(壓縮)與彎曲組合的強度計算

前面討論了桿件在拉伸(壓縮)、和彎曲變形時的強度和剛度計算。但在工程實際中，許多構件受到

外力作用時，將同時產生兩種或兩種以上的基本變形。例如建筑物的邊柱，機械工程中的夾緊裝置，皮帶

輪傳動軸等。我們把桿件在外力作用下同時產生兩種或兩種以上的基本變形稱為組合變形。工程中許多受

拉(壓)構件同時發生彎曲變形，稱為拉(壓)彎組合變形。處理組合變形問題的基本方法是疊加法，先

將組合變形分解為基本變形，再分別考慮在每一種基本變形情況下產生的應力和變形，最后再疊加起來。

組合變形強度計算的步驟一般如下：

(1)外力分析將外力分解或簡化為幾種基本變形的受力情況；

(2)內力分析分別計算每種基本變形的內力，畫出內力圖，并確定危險截面的位置；

(3)應力分析在危險截面上根據各種基本變形的應力分布規律，確定出危險點的位置及其應力狀態。

(4)建立強度條件將各基本變形情況下的應力會加，然后建立強度條件進行計算。

下面舉例說明拉(壓)彎組合變形的強度計算。

30°

i5m、miizin

225XNm

s)

例1031懸臂吊車的計算簡圖如圖10.3.1a所示，橫梁AC用工字鋼制成。已知最大吊重P=15kN,a=30°,

梁的許用應力LLlOOMPa,試選擇工字鋼型號。

圖10.3.1橫梁AC的內力及應用

解：(1)外力分析：取橫梁AB為研究對象，受力分析如圖10.3.1(b)所示。當小車移到點C時，梁處

于最不利的受力狀態，此時由平衡條件知：

773sin。-P/.=0

由IX=°r

T=j15x4....

-------------=48oAN

ls\nasin30°x2.5

得AB

由Z"=°和2母=°,可解出:

HA=HB=Tcosa=4\.51kN

RA=Rf{-P=Ts\na-P=9kN

將外力分解兩組，分別產生兩種基本功變形，一組由山、山產生的壓縮變形（圖10.3.1C）,一組由國、

冗、P產生的彎曲變形（fflio.3.ie）o

（2）內力分析：分別繪制軸力圖（ffil0.3.1d）和彎矩圖（ffi10.3.1g）o由內力圖可知，B截面為危險

截面，其上的內力值絕對值分別為：

N=41.57AN

Mmax=Px1.5=15x1.5=2.25ZN?析

（3）應力分析：B截面由軸向力產生的壓應力/和由彎矩產生的正應力。〃分布如圖io.3.if所示，其

中。為疊加后的應力分布。可見，危險點在B截面的下邊緣處，為壓應力。最大壓應力值為:

NMmax=41570?22500

bmax=b+b=—+

A%AWz

（4）選擇工字鋼型號：因為上式中的橫截面面積A和抗彎截面模量Wz均為未知數，一般情況下需

先按彎曲正應力條件選擇截面，再按組合變形進行校核。由彎曲條件得

l%>=""I。—=225x1()6,/=225c?〃3

，[a]100xIO6

查型鋼表選取20a工字鋼，其A=35.5cm2,Wz=237cm\按組合變形校核強度:

4157022500

=-----------------H.....................-=\06.6MPa>[a]

max35.5xl0-4237x10-6

在工程中，如果"x不超過的5%,一般是允許的。這里(bmaxT./匕］=66%,偏于不安全。重新

選取20b號工字鋼，其A=39.5cm2,Wz=250cm\則

4157022500

H-------------萬=\00.5MPa

39.5x10250x106

只超過M的0.25%,故選用20b號工字鋼能滿足梁的要求。

例10.3.2小型壓力機的鑄鐵框架如圖10.3.2所示。已知材料的許用拉應刀口』二30許

用壓應力匕Jd60仞。"。試按立柱的強度確定壓力機的最大許可壓力P。立柱的截面尺寸如圖，其中。為

:

形心，Zo=7.5cm,Iy=5310cm,面積A=15X10