數(shù)學(xué)奧賽試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題[5]分，共[20]分）

1.已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=2，公差d=3，則第10項(xiàng)a10等于：

A.29

B.30

C.31

D.32

2.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(2,3)，點(diǎn)B(-1,4)，則線(xiàn)段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為：

A.(1,3.5)

B.(1,4)

C.(3,2)

D.(3,3.5)

3.若sinx=0.6，則cos2x的值為：

A.0.6

B.0.8

C.0.9

D.0.4

4.已知等比數(shù)列{bn}的首項(xiàng)b1=3，公比q=2，則第5項(xiàng)b5等于：

A.48

B.96

C.192

D.384

5.在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)y=2x+1與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為：

A.(0,1)

B.(1,0)

C.(-1,0)

D.(0,-1)

二、填空題（每題[5]分，共[20]分）

1.若a,b,c成等差數(shù)列，且a+b+c=12，則b的值為_(kāi)_______。

2.在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，則AB的長(zhǎng)度為_(kāi)_______。

3.若sin2x=0.5，則x的值為_(kāi)_______。

4.已知等比數(shù)列{dn}的首項(xiàng)d1=5，公比q=0.5，則第4項(xiàng)d4的值為_(kāi)_______。

5.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(3,-2)，點(diǎn)Q(-1,4)，則線(xiàn)段PQ的長(zhǎng)度為_(kāi)_______。

三、解答題（每題[10]分，共[30]分）

1.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=3n^2-2n，求a1和a2。

2.在直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)y=2x-1與圓x^2+y^2=25相交于A，B兩點(diǎn)，求AB的長(zhǎng)度。

3.若sinx=0.8，求cos2x的值。

4.已知等比數(shù)列{bn}的首項(xiàng)b1=2，公比q=3，求第5項(xiàng)b5。

5.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(2,3)，點(diǎn)Q(-3,1)，求線(xiàn)段PQ的長(zhǎng)度。

四、應(yīng)用題（每題[10]分，共[30]分）

1.一輛汽車(chē)從A地出發(fā)，以每小時(shí)60公里的速度行駛，行駛了2小時(shí)后到達(dá)B地。然后汽車(chē)以每小時(shí)80公里的速度返回A地。求汽車(chē)從A地到B地再返回A地的總路程。

2.一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為10厘米，將其對(duì)角線(xiàn)平分成四段，求每段對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度。

3.一個(gè)圓錐的底面半徑為5厘米，高為12厘米，求圓錐的體積。

五、證明題（每題[10]分，共[30]分）

1.證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，都有x^2+2x+1≥0。

2.證明：在直角三角形中，斜邊的中線(xiàn)等于斜邊的一半。

3.證明：對(duì)于任意正整數(shù)n，都有1+3+5+...+(2n-1)=n^2。

六、綜合題（每題[10]分，共[30]分）

1.已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=3，公差d=2，求前10項(xiàng)和S10。

2.在直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)y=-3x+4與圓x^2+y^2=9相交于A，B兩點(diǎn)，求AB的長(zhǎng)度。

3.若sinx=0.6，求cos2x的值，并化簡(jiǎn)表達(dá)式。

4.已知等比數(shù)列{bn}的首項(xiàng)b1=4，公比q=0.5，求第6項(xiàng)b6。

5.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(1,2)，點(diǎn)Q(-4,-3)，求線(xiàn)段PQ的長(zhǎng)度，并判斷PQ是否與直線(xiàn)y=2x-1平行。

試卷答案如下：

一、選擇題

1.B.30

解析思路：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=a1+(n-1)d，代入a1=2，d=3，n=10得到a10=2+(10-1)*3=30。

2.A.(1,3.5)

解析思路：線(xiàn)段中點(diǎn)坐標(biāo)公式為(x1+x2)/2,(y1+y2)/2，代入A(2,3)和B(-1,4)得到中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3.5)。

3.C.0.9

解析思路：利用二倍角公式cos2x=1-2sin^2x，代入sinx=0.6得到cos2x=1-2*0.6^2=0.9。

4.B.96

解析思路：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=a1*q^(n-1)，代入a1=3，q=2，n=5得到b5=3*2^(5-1)=96。

5.B.(1,0)

解析思路：直線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)y坐標(biāo)為0，代入直線(xiàn)方程y=2x+1得到x=-1/2，即交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1/2,0)，化簡(jiǎn)后得到(1,0)。

二、填空題

1.4

解析思路：等差數(shù)列中項(xiàng)公式為b=(a+c)/2，代入a+b+c=12和a=b-d得到b=4。

2.5

解析思路：直角三角形中，斜邊長(zhǎng)度等于兩直角邊長(zhǎng)度的平方和的平方根，代入AC=3，BC=4得到AB=√(3^2+4^2)=5。

3.π/3或60°

解析思路：利用反三角函數(shù)，sinx=0.8對(duì)應(yīng)的角度為π/3或60°。

4.0.625

解析思路：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=a1*q^(n-1)，代入a1=5，q=0.5，n=4得到d4=5*0.5^(4-1)=0.625。

5.5

解析思路：利用兩點(diǎn)間的距離公式，代入P(3,-2)和Q(-1,4)得到PQ=√((3-(-1))^2+(-2-4)^2)=5。

三、解答題

1.a1=3，a2=5

解析思路：利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn=n/2*(a1+an)，代入Sn=3n^2-2n，n=1和n=2解得a1=3，a2=5。

2.AB=4√2

解析思路：利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式和圓的方程，代入直線(xiàn)方程和圓的方程解得交點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算AB。

3.cos2x=0.4

解析思路：利用二倍角公式cos2x=1-2sin^2x，代入sinx=0.8得到cos2x=1-2*0.8^2=0.4。

4.b6=0.03125

解析思路：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=a1*q^(n-1)，代入a1=4，q=0.5，n=6得到b6=4*0.5^(6-1)=0.03125。

5.PQ=5√2，PQ與直線(xiàn)y=2x-1平行

解析思路：利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算PQ，判斷PQ的斜率是否與直線(xiàn)y=2x-1的斜率相同，從而判斷是否平行。

四、應(yīng)用題

1.總路程=540公里

解析思路：計(jì)算從A到B的路程為60*2=120公里，從B到A的路程為80*1=80公里，總路程為120+80=200公里。

2.每段對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度=5√2厘米

解析思路：正方形對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)的√2倍，每段對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度為10*√2/2=5√2厘米。

3.圓錐體積=190.75立方厘米

解析思路：圓錐體積公式為V=(1/3)πr^2h，代入r=5厘米，h=12厘米得到V=(1/3)π*5^2*12=190.75立方厘米。

五、證明題

1.證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，都有x^2+2x+1≥0。

解析思路：利用完全平方公式，將x^2+2x+1寫(xiě)成(x+1)^2，由于平方數(shù)總是非負(fù)的，所以原不等式成立。

2.證明：在直角三角形中，斜邊的中線(xiàn)等于斜邊的一半。

解析思路：利用直角三角形的性質(zhì)，斜邊的中線(xiàn)是斜邊的中點(diǎn)，所以中線(xiàn)長(zhǎng)度等于斜邊長(zhǎng)度的一半。

3.證明：對(duì)于任意正整數(shù)n，都有1+3+5+...+(2n-1)=n^2。

解析思路：利用數(shù)學(xué)歸納法，當(dāng)n=1時(shí)，1=1^2成立；假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，1+3+5+...+(2k-1)=k^2成立，則當(dāng)n=k+1時(shí)，1+3+5+...+(2k-1)+(2k+1)=(k+1)^2，歸納法成立。

六、綜合題

1.S10=165

解析思路：利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn=n/2*(a1+an)，代入a1=3，d=2，n=10得到S10=10/2*(3+3+9d)=165。

2.AB=4

解析思路：利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式和圓的方程，代入直線(xiàn)方程和圓的方程解得交點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算AB。

3.cos2x=0.4，化簡(jiǎn)表達(dá)式為0.4-0.8sin^2x

解析思路：利用二倍角公式cos2x=1-2sin^2x，代入sinx=0.6得到cos2x=1-2*0.6^2=0.4，化簡(jiǎn)表