電大試題庫及答案高數姓名：____________________

一、選擇題（每題2分，共20分）

1.設函數f(x)=x^3-3x，則f'(0)的值為（）

A.0

B.-3

C.3

D.不存在

2.若lim(x→0)(sinx/x)=1，則該極限屬于（）

A.無窮大

B.無窮小

C.等于常數

D.不存在

3.設函數f(x)=x^2-4x+4，則f(x)的對稱軸為（）

A.x=2

B.x=-2

C.y=2

D.y=-2

4.設函數f(x)=x^2+2x+1，則f(x)的圖像是（）

A.開口向上拋物線

B.開口向下拋物線

C.平坦直線

D.垂直線

5.若lim(x→0)(1-cosx)/x=1/2，則該極限屬于（）

A.無窮大

B.無窮小

C.等于常數

D.不存在

6.設函數f(x)=e^x，則f'(x)的值為（）

A.e^x

B.e^x-1

C.e^x+1

D.1-e^x

7.若lim(x→0)(x^2-1)/x=0，則該極限屬于（）

A.無窮大

B.無窮小

C.等于常數

D.不存在

8.設函數f(x)=x^3-3x^2+3x-1，則f(x)的圖像是（）

A.開口向上拋物線

B.開口向下拋物線

C.平坦直線

D.垂直線

9.若lim(x→0)(sinx/x)^2=1，則該極限屬于（）

A.無窮大

B.無窮小

C.等于常數

D.不存在

10.設函數f(x)=ln(x+1)，則f'(x)的值為（）

A.1/(x+1)

B.-1/(x+1)

C.x/(x+1)

D.-x/(x+1)

二、填空題（每題2分，共20分）

1.設函數f(x)=x^2-2x+1，則f(x)的頂點坐標為__________。

2.若lim(x→0)(sinx/x)^3=1/2，則該極限屬于__________。

3.設函數f(x)=e^x，則f''(x)的值為__________。

4.若lim(x→0)(1-cosx)/x^2=1/2，則該極限屬于__________。

5.設函數f(x)=x^3-3x^2+3x-1，則f(x)的圖像與x軸的交點為__________。

6.若lim(x→0)(sinx/x)^4=1/2，則該極限屬于__________。

7.設函數f(x)=ln(x+1)，則f'(x)的值為__________。

8.若lim(x→0)(x^2-1)/x^3=1/2，則該極限屬于__________。

9.設函數f(x)=x^2+2x+1，則f(x)的圖像是__________。

10.若lim(x→0)(sinx/x)^5=1/2，則該極限屬于__________。

三、解答題（每題10分，共30分）

1.求函數f(x)=x^3-3x^2+3x-1的導數。

2.求函數f(x)=e^x的二階導數。

3.求函數f(x)=ln(x+1)的導數。

四、計算題（每題10分，共20分）

1.計算定積分∫(e^x*cosx)dx在區間[0,π]上的值。

2.求不定積分∫(x^3-2x^2+x)dx。

五、證明題（每題10分，共20分）

1.證明：若函數f(x)在區間[a,b]上連續，且f(a)=f(b)，則存在至少一個點c∈(a,b)，使得f'(c)=0。

2.證明：對于任意的正整數n，都有n!>2^n。

六、應用題（每題10分，共20分）

1.一質點做勻速直線運動，其速度v(t)=3t^2-4t（單位：m/s），求質點在前5秒內通過的距離。

2.某商品的成本函數C(x)=2x^2+10x+20（單位：元），其中x為產量（單位：件）。求該商品的平均成本函數。

試卷答案如下：

一、選擇題答案及解析思路：

1.答案：C

解析思路：根據導數的定義，f'(0)=lim(h→0)[(f(0+h)-f(0))/h]=lim(h→0)[(0+h)^3-3(0+h)^2+3(0+h)-1-(0^3-3*0^2+3*0-1)]/h=lim(h→0)[h^3-3h^2+3h]/h=lim(h→0)[h^2-3h+3]=3。

2.答案：C

解析思路：根據極限的定義，lim(x→0)(sinx/x)=1，說明當x趨近于0時，sinx與x的比值趨近于1，即sinx與x是等價無窮小。

3.答案：A

解析思路：二次函數的對稱軸公式為x=-b/2a，將f(x)=x^2-2x+1的系數代入公式，得到對稱軸x=-(-2)/(2*1)=2。

4.答案：A

解析思路：二次函數的圖像是拋物線，根據二次項系數a的正負，可以判斷拋物線的開口方向。由于a=1>0，所以拋物線開口向上。

5.答案：C

解析思路：根據極限的定義，lim(x→0)(1-cosx)/x=1/2，說明當x趨近于0時，(1-cosx)與x的比值趨近于1/2，即(1-cosx)與x是等價無窮小。

6.答案：A

解析思路：指數函數的導數公式為f'(x)=e^x，直接應用公式得到f'(x)=e^x。

7.答案：C

解析思路：根據極限的定義，lim(x→0)(x^2-1)/x=0，說明當x趨近于0時，(x^2-1)與x的比值趨近于0，即(x^2-1)與x是等價無窮小。

8.答案：A

解析思路：三次函數的圖像是開口向上的拋物線，根據三次項系數a的正負，可以判斷拋物線的開口方向。由于a=1>0，所以拋物線開口向上。

9.答案：C

解析思路：根據極限的定義，lim(x→0)(sinx/x)^2=1/2，說明當x趨近于0時，(sinx/x)^2與1/2是等價無窮小。

10.答案：A

解析思路：對數函數的導數公式為f'(x)=1/(x+1)，直接應用公式得到f'(x)=1/(x+1)。

二、填空題答案及解析思路：

1.答案：(1,0)

解析思路：二次函數的頂點坐標公式為(-b/2a,f(-b/2a))，將f(x)=x^2-2x+1的系數代入公式，得到頂點坐標為(1,0)。

2.答案：無窮小

解析思路：根據極限的定義，lim(x→0)(sinx/x)^3=1/2，說明當x趨近于0時，(sinx/x)^3與1/2是等價無窮小。

3.答案：e^x

解析思路：指數函數的導數公式為f'(x)=e^x，直接應用公式得到f'(x)=e^x。

4.答案：無窮小

解析思路：根據極限的定義，lim(x→0)(1-cosx)/x^2=1/2，說明當x趨近于0時，(1-cosx)/x^2與1/2是等價無窮小。

5.答案：(1,0)，(2,0)，(3,0)

解析思路：三次函數的圖像與x軸的交點即為函數的零點，將f(x)=x^3-3x^2+3x-1置為0，解得x=1，2，3，所以交點為(1,0)，(2,0)，(3,0)。

6.答案：無窮小

解析思路：根據極限的定義，lim(x→0)(sinx/x)^4=1/2，說明當x趨近于0時，(sinx/x)^4與1/2是等價無窮小。

7.答案：1/(x+1)

解析思路：對數函數的導數公式為f'(x)=1/(x+1)，直接應用公式得到f'(x)=1/(x+1)。

8.答案：無窮小

解析思路：根據極限的定義，lim(x→0)(x^2-1)/x^3=1/2，說明當x趨近于0時，(x^2-1)/x^3與1/2是等價無窮小。

9.答案：開口向上拋物線

解析思路：二次函數的圖像是拋物線，根據二次項系數a的正負，可以判斷拋物線的開口方向。由于a=1>0，所以拋物線開口向上。

10.答案：無窮小

解析思路：根據極限的定義，lim(x→0)(sinx/x)^5=1/2，說明當x趨近于0時，(sinx/x)^5與1/2是等價無窮小。

三、解答題答案及解析思路：

1.答案：f'(x)=3x^2-6x+3

解析思路：根據導數的定義，對f(x)=x