溫州中學數學試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題5分，共20分）

1.若a，b，c成等差數列，且a+b+c=9，則a2+b2+c2的值為（）

A.27B.36C.45D.54

2.在三角形ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a=3，b=4，且a2+b2=25，則角C的度數為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

3.已知函數f(x)=ax2+bx+c，若f(1)=3，f(2)=7，則f(3)的值為（）

A.11B.13C.15D.17

4.若log?x+log?x=2，則x的值為（）

A.1B.2C.3D.4

5.已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若a?=1，S?=9，則該數列的公差為（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空題（每題5分，共20分）

1.若等差數列{an}的公差為d，且a?=2，a?=8，則d=_________。

2.在直角坐標系中，點A(2,3)，B(-3,4)，則線段AB的中點坐標為_________。

3.若函數f(x)=x2-2x+1在區間[1,3]上的最大值為_________。

4.已知對數方程log?(x-1)+log?(x+1)=2的解集為_________。

5.在等差數列{an}中，若a?=3，公差d=2，則第10項a??=_________。

三、解答題（每題10分，共30分）

1.已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若a?=1，S?=9，求該數列的公差d。

2.在直角坐標系中，已知點A(2,3)，B(-3,4)，求線段AB的長度。

3.已知函數f(x)=x2-2x+1在區間[1,3]上的最大值，求該函數在該區間上的最小值。

四、解答題（每題10分，共30分）

4.已知數列{an}的通項公式為an=3n-2，求該數列的前10項和S10。

5.在三角形ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知a=5，b=7，角A的余弦值為1/2，求三角形ABC的面積。

6.已知函數f(x)=x3-3x2+4x，求該函數在區間[-1,2]上的單調區間和極值。

五、證明題（每題10分，共20分）

7.證明：對于任意實數x，都有(x+1)2≥4x。

8.證明：對于任意正整數n，都有12+22+32+...+n2=n(n+1)(2n+1)/6。

六、綜合題（每題20分，共40分）

9.已知數列{an}的前n項和為Sn，且a?=2，a?=5，對于任意正整數n，都有an=2an-1+3an-2，求該數列的通項公式an。

10.在直角坐標系中，已知點A(1,2)，B(4,6)，C(8,10)，求直線BC的方程。

試卷答案如下：

一、選擇題

1.B

解析思路：由等差數列的性質知，a?+a?=2a?，所以a?+a?=2(a?+d)，代入a?=2，a?=8，得2+8=2(2+d)，解得d=3，因此a2+b2+c2=(2+3)2+(2+6)2+(2+9)2=36+36+81=153。

2.C

解析思路：由余弦定理知，cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)，代入a=3，b=4，c=5，得cosA=(42+52-32)/(2*4*5)=1/2，所以角A=60°。

3.D

解析思路：根據函數的連續性，f(3)的值介于f(2)和f(4)之間，f(2)=7，f(4)=9，所以f(3)的值在7和9之間，只有D選項17符合。

4.C

解析思路：由對數的換底公式知，log?x+log?x=log?x/log?3+log?x/log?3=log?(x*3)/log?3=2，解得x*3=23，即x=8。

5.B

解析思路：由等差數列的性質知，S?=n(a?+a?)/2，代入a?=1，S?=9，得9=3(1+a?)/2，解得a?=5，因此公差d=a?-a?=5-3=2。

二、填空題

1.3

解析思路：由等差數列的性質知，a?=a?+2d，代入a?=2，a?=8，得8=2+2d，解得d=3。

2.(-1,3.5)

解析思路：線段AB的中點坐標為((x?+x?)/2,(y?+y?)/2)，代入A(2,3)，B(-3,4)，得中點坐標為((-1,3.5))。

3.1

解析思路：函數f(x)=x2-2x+1可以寫成f(x)=(x-1)2，因為平方項總是非負的，所以f(x)的最小值為0，當x=1時取得。

4.(-1,3)

解析思路：由對數的性質知，log?(x-1)+log?(x+1)=log?[(x-1)(x+1)]=log?(x2-1)=2，解得x2-1=2，即x2=3，所以x=±√3，但x-1和x+1都必須大于0，所以x=√3，因此解集為(-1,3)。

5.19

解析思路：由等差數列的通項公式an=a?+(n-1)d，代入a?=3，d=2，n=10，得a??=3+(10-1)*2=19。

四、解答題

4.110

解析思路：由等差數列的通項公式an=a?+(n-1)d，代入a?=2，d=3，得an=3n-1，所以S??=10/2*(2+2*9)=5*20=100。

5.35√2/2

解析思路：由余弦定理知，c2=a2+b2-2ab*cosC，代入a=5，b=7，cosC=1/2，得c2=25+49-2*5*7*1/2=75，所以c=√75=5√3，三角形ABC的面積S=1/2*ab*sinC=1/2*5*7*√(1-1/4)=35√2/2。

6.單調遞增區間：(-∞,1)，單調遞減區間：(1,2)，極大值：4，極小值：0

解析思路：函數f(x)=x3-3x2+4x的導數為f'(x)=3x2-6x+4，令f'(x)=0，得x=1或x=2/3，因為f'(x)在x=1時由正變負，所以x=1是極大值點，f(1)=4；f'(x)在x=2/3時由負變正，所以x=2/3是極小值點，f(2/3)=0。

七、證明題

7.證明：由平方的非負性知，(x+1)2=x2+2x+1≥4x，因為x2+2x+1-4x=x2-2x+1=(x-1)2≥0，所以(x+1)2≥4x。

8.證明：由等差數列的求和公式知，12+22+32+...+n2=n(n+1)(2n+1)/6。

九、綜合題

9.an=3n-1

解析思路：由遞推關系an=2an-1+3an-2，代入a?=2，a?=5，得a?=2a?+3a?=2*5+3*2=16，a?=2a?+3a?=2*16+3*5=42，可以猜測an=3n-1，下面用數學歸納法證明：

（1）當n=1時，a?=2=3*1-1，成立；

（2）假設當n=k時，an=3k-1成立，那么當n=k+1時，a???=2a?+3a???=2(3k-1)+3(3k-2)=6k-2+9k-6=15k-8=3(k+1)-1，成