國內外經典教材名師講堂程守洙《普通物理學》第八章恒定電流的磁場主講老師：宋鋼學習指導

1、理解掌握磁感應強度

B的物理意義。

2、在理解畢奧—薩伐爾定理物理意義。

3、掌握磁場中的高斯定理和安培環路定理；并會用安培環路定理計算具有軸對稱的電流所產生的磁場。

4、掌握洛侖茲力公式及安培公式。

一、恒定電流

1、電流電流密度

電流：電荷的定向運動。

載流子：電荷的攜帶者，如自由電子（金屬

導體）；空穴（半導體）、正負離子(電解液)。

電流強度：單位時間通過導體某一橫截面的

電量。

單位：安培（A）。方向：正電荷運動的方

向。電流是有方向的標量。

恒定電流:電流的大小和方向不隨時間而變化。電流密度：精確描述導體中電流分布情況，是空間位置的矢量函數。

電流密度矢量定義：

單位：Ａ／ｍ２

方向與該點正電荷運動方向一致

2、電源電動勢

電源：電源內部，“非靜電力”作功，把電荷從電勢能低的一端移到電勢能高的一端，把其他形式的能量轉變成電能。

作用：通過內部電荷的移動，保持外電路電場Es存在。

電動勢：電源把單位正電荷經內電路從負極移到正極的過程中，非靜電力所作的功。

定義式：

單位：Ｊ／Ｃ，即Ｖ。反映電源作功能力，與外電路無關。

是有方向標量，規定其方向為電源內部負極指向正極。

從場的觀點來看:非靜電力對應非靜電場Ek。非靜電場把單位正電荷從負極B經電源內部移到正極A作功為

電源外部回路Ek=0，非靜電場場強沿整個閉合回路的環流等于電源電動勢。

二、磁感應強度

1、基本磁現象

1819年,奧斯特實驗首次發現了電流與磁鐵間有力的作用，才逐漸揭開了磁現象與電現象的內在聯系。

1820年7月21日，奧斯特以拉丁文報導了60次實驗的結果。

1822年，安培提出分子電流假設:磁現象的電本質—運動的電荷產生磁場。

電荷(不論靜止或運動)在其周圍空間激發電場，而運動電荷在周圍空間還要激發磁場：在電磁場中，靜止的電荷只受到電力的作用,而運動電荷除受到電力作用外，還受到磁力的作用。電流或運動電荷之間相互作用的磁力是通過磁場而作用的，故磁力也稱為磁場力。2、磁感應強度

設帶電量為q，速度為v的運動試探電荷處于磁場中，實驗發現：

（1）當運動試探電荷以同一速率v沿不同方向通過磁場中某點p時，電荷所受磁力的大小是不同的，但磁力的方向卻總是與電荷運動方向垂直。

（2）在磁場中的p點處存在著一個特定的方向，當電荷沿此方向或相反方向運動時，所受到的磁力為零，與電荷本身性質無關。（3）在磁場中的p點處，電荷沿與上述特定方向垂直的方向運動時所受到的磁力最大(記為Fm)，并且Fm與qv的比值是與q、v無關的確定值。

由實驗結果可見，磁場中任何一點都存在一個固有的特定方向和確定的比值Fm/(qv)，與試驗電荷的性質無關，反映了磁場在該點的方向和強弱特征，為此，定義一個矢量函數磁感應強度：

由正電荷所受力的方向出發，按

右手螺旋法則，沿小于π的角度

轉向正電荷運動速度v

的方向，

這時螺旋前進的方向便是該點B

的方向。大小：

方向：可按右手螺旋法則確定

單位：特斯拉（T）高斯（Gs）

3、磁感應線和磁通量

為形象描述磁場分布情況,用一些假想的有方向的閉合曲線--磁感應線代表磁場的強弱和方向。

磁通量：穿過磁場中任一給定曲面的磁感線總數。

對于曲面上的非均勻磁場，一般采用微元分割法求其磁通量。

對所取微元，磁通量通量：

對于整個曲面，磁通量

單位：韋伯(Wb)

即磁場中某處磁感應強度B的大小就是該處的磁能量密度，所以磁感應強度也稱作磁通量密度。方向為面的法向分量。

三、畢奧—薩伐爾定律

1、畢奧—薩伐爾（Biot-Savart）定律

載流導線中的電流為I，導線半徑比到觀察點P的距離小得多，即為線電流。在線電流上取長為dl的定向線元，規定的方向與電流的方向相同，

為電流元。

電流元在給定點所產生的磁感應強度的大小與Idl成正比，與到電流元的距離平方成反比，與電流元和矢徑夾角的正弦成正比。方向垂直于與組成的平面，指向為由經角轉向時右螺旋前進方向。

其中

0=410-7N?A-2，稱為真空中的磁導率。

2、運動電荷的磁場

設電流元，橫截面積S，單位體積內有n個定向運動的正電荷，每個電荷電量為q，定向速度為v。

單位時間內通過橫截面S的電量即為電流強度I：

電流元在P點產生的磁感應強度

設電流元內共有dN個以速度v運動的帶電粒子:

每個帶電量為q的粒子以速度v通過電流元所在位置時，在P點產生的磁感應強度大小為：

矢量式：

其方向根據右手螺旋法則，垂直、組成的平面。q為正，為的方向；q為

負，與的方向相反。3、畢奧—薩伐爾定律的應用

載流長直導線的磁場

(1)導線無限長

(2)導線半無限長，場點與一端的連線垂直于導線

(3)P點位于導線延長線上，B=0

載流圓線圈軸線上的磁場

（1）在圓心處

（2）在遠離線圈處

載流直螺線管內部的磁場。螺線管的半徑為R，電流為I，每單位長度有線圈n匝。計算螺線管內軸線上P點的電磁感應強度。四、穩恒磁場的高斯定理與安培環路定理

1、穩恒磁場的高斯定理

由磁感應線的閉合性可知，對任意閉合曲面,穿入的磁感應線條數與穿出的磁感應線條數相同,因此，通過任何閉合曲面的磁通量為零。

穿過任意閉合曲面S的總磁通必然為零，這就是穩恒磁場的高斯定理。

激發靜電場的場源（電荷）是電場線的源頭或尾閭，所以靜電場是屬于發散式的場，可稱作有源場；而磁場的磁感線無頭無尾，恒是閉合的,所以磁場可稱作無源場。

在靜電場中，由于自然界有單獨存在的正、負電荷，因此通過一閉合曲面的電通量可以不為零，這反映了靜電場是有源場。而在磁場中，磁力線的連續性表明，像正、負電荷那樣的磁單極是不存在的，磁場是無源場。

2、安培環路定理

在恒定電流的磁場中，磁感應強度B

矢量沿任一閉合路徑L的線積分（即環路積分）。

由長直導線出發，在垂直于導線的平面內任作的環路上取一點，到電流的距離為r，磁感應強度的大小：

由幾何關系得：

如果沿同一路徑但改變繞行方向積分：

若認為電流為-I,則結果可寫為

如果閉合曲線不在垂直于導線的平面內：

環路不包圍電流

閉合曲線不包圍電流時，磁感應強度矢量的環流為零。

注意：

任意形狀穩恒電流，安培環路定理都成立。

環流雖然僅與所圍電流有關，但磁場卻是所有電流在空間產生磁場的疊加。

安培環路定理僅僅適用于恒定電流產生的恒定磁場，恒定電流本身總是閉合的，因此安培環路定理僅僅適用于閉合的載流導線。

靜電場的高斯定理說明靜電場為有源場，環路定理又說明靜電場無旋；穩恒磁場的環路定理反映穩恒磁場有旋，高斯定理又反映穩恒磁場無源。3、安培環路定理的應用

應用安培環路定理的解題步驟：

(1)分析磁場的對稱性；

(2)過場點選擇適當的路徑；

(3)求出環路積分；

(4)用右手螺旋定則確定所選定的回路包圍電流的正負。

1.長直圓柱形載流導線內外的磁場

2.載流長直螺線管內的磁場

3.載流螺繞環內的磁場

五、帶電粒子在電場和磁場中的運動

1、洛倫茲力

一般情況下，如果帶電粒子在磁場中運動時，磁場對運動電荷產生力的作用，此一磁場力叫洛倫茲力。

方向：的方向

利用圓周運動的規律

1)

如果與斜交成

角。粒子作螺旋運動，半徑

螺距

注意:螺距僅與平行于磁場方向的初速度有關2）帶電粒子在非均勻磁場中運動

帶電粒子在非均勻磁場中運動時，半徑和螺距都將隨磁場增大而減小，將作變半徑的螺旋線運動；特別是當粒子向磁場增強的方向運動時，粒子所受的磁場力,恒有一指向磁場較弱方向的分力，這個分力阻止帶電粒子向磁場較強的方向運動。這樣有可能使粒子沿磁場增強方向的速度逐漸減小到零,從而迫使粒子掉向反轉運動。粒子的這種返轉運動就好象光線遇到鏡面的反射一樣，所以這種裝置稱為磁鏡。二、帶電粒子在電磁場中的運動和應用

帶有電荷量的粒子在靜電場和磁場中以速度運動時受到的作用力將是：

洛倫茲關系式

1、磁聚焦

2、回旋加速器

3、質譜儀3、霍耳（E.C.Hall)效應

在一個通有電流的導體板上，垂直于板面施加一磁場，則平行磁場的兩面出現一個電勢差，這一現象是1879年美國物理學家霍耳發現的，稱為霍耳效應。該電勢差稱為霍耳電勢差。

實驗指出，在磁場不太強時，霍耳電勢差

U與電流強度I和磁感應強度B成正比，與板的寬d成反比。

RH稱為霍耳系數，僅與材料有關。

霍爾效應是由于導體中的載流子在磁場中受到洛侖茲力的作用發生橫向漂移的結果。下面以金屬導體為例，來說明其原理。

其中載流子是電子，運動方向與電流流向相反，如果在垂直于電流方向加一均勻磁場，這些自由電子受洛侖茲力的作用，大小為，

洛侖茲力向上，使電子向上漂移，使得金屬薄片上側有多余負電荷積累，下側缺少負電荷，有多余正電荷積累，結果在導體內形成附加電場，稱霍爾電場。此電場給電子電場力與洛侖茲力反向大小為

當Fe=FH

時

所以此時霍爾電場為

所以霍爾電勢差為導體中單位體積內的帶電粒子數為n，則通過導體電流

若載流子為帶正電的q，則霍爾系數為

六、磁場對載流導線的作用

1、安培定律

安培力：載流導線在磁場中受到的磁場力。

dF方向判斷右手螺旋

安培定律矢量式

一段任意形狀載流導線受到的安培力

2、磁場對載流線圈的作用

如上圖，矩形線圈處

于勻強磁場中，AB、

CD邊與磁場垂直，

線圈平面與磁場方

向夾角為θ。

由于是矩形線圈，對邊受力大小應相等，方向相反。

AD與BC邊受力大小為

AD與BC邊受力在同一直線上，相互抵消。

AB與CD邊受力大小為：

這兩個邊受力不在在同一直線上，形成一力偶，力臂為

它們在線圈上形成的力偶矩為

為線圈面積，圖中

為線圈平面正發向與磁場方向的夾角，

與

為互余的關系

可以得到

若線圈為N匝，則線圈所受力偶為

實際上m=NIS為線圈磁矩的大小，力矩的方向為線圈磁矩與磁感應強度的矢量積；用矢量式表示磁場對線圈的力矩：。

可以證明，上式不僅對矩形線圈成立，對于均勻磁場中的任意形狀的平面線圈也成立，對于帶電粒子在平面內沿閉合回路運動以及帶電粒子自旋所具有的磁矩，在磁場中受到的力矩都適用。3、電流單位“安培”的定義

平行載流直導線間距為a，兩者電流方向相同，間距遠小于導線長，可將兩導線視做無限長導線。在ＣＤ上任取一電流元。

為載流導線ＡＢ在激發的磁感應強度

θ為二者之間夾角，θ=π/2

計算CD受到的力，CD上所

任取電流元受力：

載流導線CD所受的力方向指向ＡＢ

載流導線CD單位長度所受的力

同理可以證明載流導線AB單位長度所受的力的方向指向導線CD，大小為

兩個同方向的平行載流直導線，通過磁場的作用，將相互吸引。反之，兩個反向的平行載流直導線，通過磁場的作用，將相互排斥，而每一段導線單位長度所受的斥力的大小與這兩電流同方向的引力相等。

“安培”的定義：真空中相距1m的二無限長而圓截面極小的平行直導線中載有相等的電流時，若在每米長度導線上的相互作用力正好于，則導線中的電流定義為1A。

4、磁場力的功

載流線圈或導線在磁場中受到磁場力（安培力）或磁力矩作用，因此，當導線或線圈位置改變時，磁場力就做了功。下面從一些特殊情況出發，建立磁場力做功的一般公式1.載流導線在磁場中運動時磁力所作的功

設有一勻強磁場，磁感應強度的方向垂直于紙面向外，磁場中有一載流的閉合電路ABCD，電路中的導線AB長度為l，可以沿著DA和CB滑動。假定當AB滑動時，電路中電流I保持不變，按安培定律，載流導線AB在磁場中所受的安培力在紙面上，指向如圖所示，的大小。在力作用下，AB將從初始位置沿著力的方向移動，當移動到位置A’B’時磁力所作的功

導線在初始位置AB時和在終了位置A’B’時，通過回路的磁通量分別為：

磁力所作的功為：

上式說明當載流導線在磁場中運動時，如果電流保持不變，磁力所作的功等于電流乘以通過回路所環繞的面積內磁通量的增量，也即磁力所作的功等于電流乘以載流導線在移動中所切割的磁感應線數。

2.載流線圈在磁場內轉動時磁場力所作的功

設有一線圈在磁場中轉動，其中電流保持不變。設線圈轉過極小的角度，使與之間的夾角從增為，磁力矩

所以磁力矩所作的功為:

負號“-”表示磁力矩作正功時將使減小。

表示線圈轉過,

后磁通量的增量。

上述載流線圈從轉到時，

按上式積分后的磁力矩所作的總功為：

與分別表示線圈在和時通過線圈的磁通量。

一個任意的閉合電流回路在磁場中改變位置或形狀時，如果保持回路中電流不變，則磁場力或磁力矩所作的功都可按Ａ=IΔΦ

計算。

恒定磁場不是保守力場，磁力的功不等于磁場能的減少，而且，洛倫茲力是不做功的，磁力所作的功是消耗電源的能量來完成的。七、磁場中的磁介質

1、磁介質

磁介質：在磁場作用下，其內部狀態發生變化，并反過來影響磁場分布的物質。

磁化：磁介質在磁場作用下內部狀態的變化稱為磁化。

磁化后介質內部的磁場與附加磁場和外磁場的關系：

順磁質(錳、鉻、鉑、氧、氮等)

抗磁質(銅、鉍、硫、氫、銀等)

抗磁質和大多數的順磁質的一個共同特點：它們所激發的附加磁場極其微弱

鐵磁質(鐵、鈷、鎳等)

八、有磁介質時的安培環路定理磁場強度

1、磁化強度

反映磁介質磁化程度(大小與方向)的物理量。

磁化強度：單位體積內所有分子固有磁矩的矢量和加上附加磁矩的矢量和，稱為磁化強度，用