試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁遼寧省名校聯盟2025年高考模擬卷（調研卷）數學（三）學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．樣本數據50，56,58,48,42,60,55,49的第35百分位數是（

）A．56 B．58 C．48 D．49【答案】D【分析】先對數據排序，然后根據百分位數的求解步驟直接求解即可.【詳解】將樣本數據從小到大排列為42,48,49,50,55,56,58,60，因為8×35%=2.8，所以該樣本數據的第35百分位數是故選：D2．已知F為拋物線C：y2=3x的焦點，C上一點P到y軸的距離為34，則PFA．32 B．2 C．94【答案】A【分析】根據拋物線的方程得準線方程，再利用拋物線的定義即可求解.【詳解】易知拋物線C：y2=3x的準線方程為由C上一點P到y軸的距離為34，得點P到直線x=?34由拋物線的定義可知PF=故選：A.3．在正方體ABCD?A1BA．AD1B．A1C⊥C．存在過AC的平面α，使得AD．存在過AC的平面β，使得A【答案】D【分析】由AD1∥BC1根據線面平行的判定定理可判斷A；由BD⊥平面ACC1A1根據線面垂直的性質定理可得BD⊥A1C，同理C1D⊥A1C【詳解】對于A，因為AD1∥BC1，AD1所以AD1//對于B，易證BD⊥平面ACC1A1，又A1同理可得C1D⊥A1C，又C1D所以A1C⊥平面對于C，由A1B∥D1C，A1B?平面ACD1所以平面ACD1即為平面對于D，假設A1B⊥β，因為AC?β，所以又A1B⊥BC，AC，BC?平面ABCD，所以A1B⊥平面故選：D.4．已知函數fx=2x?1A．0,2 B．0,1 C．?∞,2 【答案】C【分析】分x≤0和x>0兩種情況，解不等式，得到不等式解集.【詳解】由題意可知當x≤0時，0<2x≤1當x>0時，令log3x+1≤1，即0<x+1≤3，解得?1<x≤2綜上，x≤2.故選：C5．從高一新生中選出3名男生、3名女生組成護旗方隊，方隊共2排3列，第1排是a，b，c，3名女生，第2排是甲、乙、丙3名男生，且女生a與男生甲不同列，則不同的排法種數為（

）A．12 B．18 C．24 D．30【答案】C【分析】先求出排法總數及女生a與男生甲同列時的排法為C31A【詳解】由題意得第1排和第2排任意排的排法總數為A3當女生a與男生甲同列時，排法總數為C3所以女生a與男生甲不同列排法總數為A3故選：C.6．已知點M0,2，N43,0，過點M作直線交圓O：x2+y2=9于A，BA．13 B．23 C．1 【答案】B【分析】依題意可得MQ⊥OQ，則點Q的軌跡是以O′0,1為圓心，1為半徑的圓，從而求出【詳解】因為Q為AB的中點，所以OQ⊥AB，設Qx,y，因為MQ⊥OQ所以點Q的軌跡是以O′0,1為圓心，故NQ的最小值為O'故選：B.7．如圖，在△ABC中，AB=2AC=4，M為BC的中點，D為BC上一點，且AD⊥BC，AM?AD=165A．0或45 B．45 C．35【答案】A【分析】根據AM?AD=165求出|AD|，令∠BAC=θ【詳解】因為AM?所以AD=45則S△ABC即BC=25sinθ，在△ABC中，由余弦定理得BC2=20sin故選：A.8．設函數fx及其導函數f′x的定義域均為R，記gx=f′x，已知fx+3+fx+1A．?3 B．?2 C．?1 D．0【答案】B【分析】由fx+3+fx+1=fx+2和fx+2+fx=fx+1得fx+3+fx【詳解】由fx+3+fx+1兩式相加得fx+3兩邊取導數得f′x+3+則gx+6=?gx+3由函數gx2的圖象關于直線x=2對稱，得則g1?x2=g1+由fx+2+fx則gx+2令x=0，得g2=g1?g0令x=1，得g3=g2?g1令x=3，得g5=g4?g3所以g1因為2025=6×337+3，所以i=12025故選：B二、多選題9．已知復數z1，z2，則下列結論正確的是（A．若z1=zB．若z12C．若z1?D．若z1+z2=z【答案】BC【分析】設z1=a+bia,b∈R，結合共軛復數定義和復數運算即可判斷選項A，利用復數運算即可判斷選項B，設【詳解】對于A項，設z1則z2=a+bi，z當b=0時，z1對于B項，由z12=即z1?z對于C項，設z1=a由z1?z1=所以z1=z2，又對于D項，取z1=1+i滿足z1+z2=z1故選：BC10．甲、乙、丙、丁4人報名參加周末公益活動，有M,N,Q，3個單位需要招志愿者，每個單位各招1人，設事件S=“M單位招到甲或乙”，事件T=“N單位招到甲或丙”，事件E=“Q單位招到丙或丁”，事件H=“Q單位招到甲或乙”，則下列說法錯誤的是（

）A．事件S,T相互獨立 B．事件S,E相互獨立C．事件S,H相互獨立 D．事件E,H相互獨立【答案】BCD【分析】根據獨立事件的概率公式驗證即可.【詳解】M，N兩個單位招志愿者的不同選法種數為A4因為事件ST所包含的基本事件為（M招甲、N招丙），（M招乙、N招甲），（M招乙、N招丙），共3個，所以PST=312=PSPEPSPH因為E,H為對立事件，所以PEH故選：BCD11．已知F1，F2分別為雙曲線C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點，點M在A．若點M的坐標為?1,3，則C的離心率的取值范圍為B．若a=2，b=5，則C．若a=2，b=1，則MN的最小值為4D．若a=1，b=3，則OM【答案】ABD【分析】對于A，由點M在漸近線y=?bax的下方得到kOM>?ba，推理即得離心率范圍；對于B，利用雙曲線的定義和焦半徑M【詳解】對于A，因點M在C的一條漸近線y=?bax的下方，則k故離心率e=1+對于B，由a=2，b=5，得c=由雙曲線的定義可知MF2?于是MF因為MF1≥c?a=1對于C，因a=2，b=1，則c=5當N在C的右支上時，因為在過焦點且與雙曲線的兩支各有一個交點的弦中，最短弦的弦長為實軸長2a=4，故MN≥4當N在C的左支上時，因為在過焦點且與雙曲線的左支有兩個交點的弦中，當MN⊥x軸時，MN最小，此時M(?5,1故MN的最小值為1，故C錯誤；對于D，由a=1，b=3，可知c=2，則F1?2,0當點M為雙曲線的左頂點時，OM2當點M不在雙曲線的左頂點時，因∠MOF1+∠MO由余弦定理得OF又OF1=因M則MF2?綜上，OM2?M故選：ABD.【點睛】思路點睛：本題主要考查雙曲線的定義，性質的應用，解題思路在于解決與焦點有關的線段時，常考慮定義式或焦半徑、焦點弦有關結論的應用，有時還要考慮雙曲線的漸近線，通經，以及三角形中正余弦定理的運用.三、填空題12．已知集合I=xx<1，A=xx3<x，B=xx【答案】1【分析】化簡集合，根據A∩B=?和A∪B=I，可得B=x【詳解】由題意得集合A=x因為A∩B=?，A∪B=I，所以B=x則?1+0=?m，?1×0=n，解得m=1，n=0，所以m+n=1.故答案為：113．已知函數fx=Mcosωx+φM>0,ω>0的圖象與直線y=1在區間0,2π上恰有4個交點，從左向右依次為A，B，C，D，且【答案】11【分析】利用周期性來研究交點得到的線段長，再與總區間長度2π進行比較分析即可得到ω范圍，再利用與直線y=1的交點坐標可解得M=2【詳解】由題意得AC=2πω所以AB=CD=4π3ω所以AD=AC+CD=AC+AB=2πω解得53又因為fx?φω=Mcos解得M=2，所以M+ω的取值范圍是113故答案為：11314．設minP表示數集P中最小的數，若4b>a>b>0，則min1a【答案】1【分析】由基本不等式可得a4b?a≤4b2，4ba?b【詳解】設min1則1a2≥t，14b因為4b>a>b>0，所以a4b?a≤a+4b?a當且僅當a=2b時兩個不等式同時取等號，所以4t≤1又1a當且僅當a=1，b=12時取等號，所以4t≤4，則t≤1，當且僅當a=1，故min1故答案為：1【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵是能夠通過觀察4個元素，從最值角度出發，考慮基本不等式，a4b?a≤a+4b?a22四、解答題15．如圖，在圓臺OO1中，A，B，C是下底面圓周上的三點，AC為下底面圓的直徑，M為(1)證明：AB⊥平面O1(2)若OO1=OA=AB，求直線AC【答案】(1)證明見解析(2)21【分析】（1）由圓臺的性質知OO1⊥底面ABC，從而得OO1⊥AB；再由AC為下底面圓的直徑結合（2）建立空間直角坐標系，按照求直線與平面夾角的公式，按步驟求解即可.【詳解】（1）證明：因為OO1⊥平面ABC，AB?平面ABC因為AC為下底面圓的直徑，所以BC⊥AB，因為M為AB的中點，所以OM∥BC，所以OM⊥AB，又OM∩OO1=O，OM，O所以AB⊥平面O1（2）以O為坐標原點，AB，OM，OO1的方向分別為x軸、軸、不妨設OO則A?1,3,0，B1,3則AB=2,0,0，BO設平面O1AB的一個法向量為則m?AB=2x=0,m?設直線AC與平面O1AB所成角為則sinθ=故直線AC與平面O1AB所成角的正弦值為16．已知函數fx=x+aln(1)求a；(2)若關于x的不等式fx<mln【答案】(1)a=1；(2)?∞【分析】（1）設切點x0,2x0?1，根據導數的幾何意義求得a=（2）問題化為x<m?1lnx【詳解】（1）設fx的圖象與直線y=2x?1切于點x0,2f′x=1+ax，則f令?x=ln當x∈0,1時，?′x<0，當x∈1,+∞時，?′x>0所以?x≥?1故x0=1，即（2）由題意得x+lnx<mln令gx=x?m?1若m?1<0，則0<e1m?1若m?1=0，即m=1，則gx若m?1>0，當x∈0,m?1時，g′x<0，當x∈m?1,+∞時，g′x>0所以gxmin=g綜上，m的取值范圍為?∞17．第12屆世界運動會將于2025年在中國四川成都舉行，其中棍網球比賽被同學們關注：甲、乙兩名同學進行棍網球攻防3次訓練，甲進攻乙防守，根據以往訓練結果，在乙的防守下，甲每次能夠射門的概率為34，射門一次進球的概率為13，射門兩次進球的概率為12(1)設X表示甲能夠射門的次數，求X的分布列與數學期望；(2)求甲射門進球的概率.【答案】(1)分布列見解析，E(2)69【分析】（1）求出X的可能取值，判斷X服從的分布，求出X各值的概率，求出X的分布列與數學期望；（2）利用全概率公式即可求解.【詳解】（1）由題意可知X的可能取值為0，1，2，3，且X～B3,所以PX=0PX=1PX=2PX=3X的分布列為X0123P192727EX（2）記甲射門i次為事件Ai則由（1）可知PA1=964記甲射門進球為事件B，則PB∣A1=1由全概率公式可知PB=PB∣故甲射門進球的概率為6912818．已知A1,0，B4,0，動點S滿足SB=2SA，作SH⊥x軸于點H，T為直線SH上一點，且滿足TH=(1)求E的方程；(2)若M是E上的動點，過M作橢圓C：x22+y2=1的兩條切線，切點分別為P，【答案】(1)x2(2)?【分析】（1）設Tx,y，Sx′,y′，根據向量關系得到x′（2）設Mx0,y0，切線斜率存在時，x0≠±2，設切線方程，與橢圓x22+y2=1聯立，利用根的判別式為0得到方程，設關于k的方程的兩根為k1，k2，得到兩根之和，兩根之積，得到P,Q兩點坐標，結合【詳解】（1）設Tx,y，Sx′因為TH=22故x′?x=0,?y=?由SB=2SA，得x′將x′=x,y故E的方程為x2（2）設Mx0,y0，過M設斜率為k，切線方程為y=kx+y聯立y=kx+y0?k則Δ=16即x0設②中關于k的方程的兩根為k1，k則k1①式中，當k取k1時，得xyP將k1換成k2，得故OP=y其中y=2?x又k1k21+4k故OP?因為x0所以OP?當切線斜率不存在時，x24+y2由對稱性不妨設M?2,1，此時設P此時OP?綜上，OP?OQ的取值范圍是【點睛】圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：（1）幾何法，若題目的條件和結論能明顯體現幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；（2）代數法，若題目的條件和結論能體現某種明確的函數關系，則可首先建立目標函數，再求這個函數的最值或范圍．19．對于給定的正項數列an，定義：i=1nai=a1?a2?a3???an，其中，ai(1)寫出首項為2的“2數列”的前4項；(2)若數列an是首項為1的“T數列”，數列bn為等比數列，且i=1nai4=(3)設數列an為“T數列”，a1>1，T<0，記Sn為an的前n項和，Tn為數列1a【答案】(1)a1=2，a2=(2)B(3)證明見解析【分析】（1）根據a1=2，（2）根據i=1nai4=i=1nai2+log2（3）構造函數fx=2ln【詳解】（1）由a1=2，得a22=a32=a42=（2）設等比數列bn的公比為q，q>0由i=1nai兩式相減得an+1由i=1nai整理得T?1a又an是首項為1的“T數列”，所以a12=1，則T?11?T=T?log2q,又a12=1，a所以bn又n?1b所以Bn（3）令fx=2ln所以fx在區間0,+∞內單調遞減，且當x>1時，fx<0，即又a1>1，T<0，所以則a2>1，依次迭代可知所以2lnan所以lna12<a將這