試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025屆廣東省深圳一模深圳市高三年級第一次調研考試學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．集合，則（

）A． B． C． D．2．已知（i為虛數單位），則（

）A．1 B． C．2 D．43．已知向量，若，則（

）A． B． C．1 D．24．已知，則（

）A． B． C．2 D．35．已知函數的周期為，且在上單調遞增，則可以是（

）A． B． C． D．6．已知雙曲線的中心為原點，焦點在軸上，兩條漸近線夾角為，且點在上，則的離心率為（

）A． B． C．2 D．或27．已知曲線與曲線只有一個公共點，則（

）A． B．1 C．e D．8．如圖，已知圓臺形水杯盛有水（不計厚度），杯口的半徑為4，杯底的半徑為3，高為，當杯底水平放置時，水面的高度為水杯高度的一半，若放入一個半徑為的球（球被完全浸沒），水恰好充滿水杯，則（

）A． B．2 C．3 D．二、多選題9．一組樣本數據．其中，，，求得其經驗回歸方程為：，殘差為．對樣本數據進行處理：，得到新的數據，求得其經驗回歸方程為：，其殘差為、，分布如圖所示，且，則（

）A．

樣本負相關 B．C． D．處理后的決定系數變大10．已知函數，則（

）A．為周期函數B．存在，使得的圖象關于對稱C．在區間上單調遞減D．的最大值為11．已知，其中．點分別滿足，其中，直線與直線交于點，則（

）A．當時，直線與直線斜率乘積為B．當時，存在點，使得C．當時，面積最大值為D．若存在，使得，則三、填空題12．的展開式中常數項是（用數字作答）．13．在等比數列中，已知，則．14．某次考試共5道試題，均為判斷題．計分的方法是：每道題答對的給2分，答錯或不答的扣1分，每個人的基本分為10分．已知趙，錢，孫，李，周，吳6人的作答情況及前5個人的得分情況如下表，則吳的得分為．

人題號趙錢孫李周吳1√√××√√2×√×√√√3√××√××4√×××√×5××√√√√得分1411141411四、解答題15．在中，角所對的邊分別為．(1)求；(2)若，求的面積．16．如圖，在直三棱柱中，，為的中點，為的中點．

(1)證明：平面；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值．17．甲參加圍棋比賽，采用三局兩勝制，若每局比賽甲獲勝的概率為，輸的概率為，每局比賽的結果是獨立的．(1)當時，求甲最終獲勝的概率；(2)為了增加比賽的趣味性，設置兩種積分獎勵方案．方案一：最終獲勝者得3分，失敗者得分；方案二：最終獲勝者得1分，失敗者得0分，請討論選擇哪種方案，使得甲獲得積分的數學期望更大．18．已知拋物線，過點作兩條直線分別交拋物線于和（其中在軸上方）．(1)當垂直于軸，且四邊形的面積為，求直線的方程；(2)當傾斜角互補時，直線與直線交于點，求的內切圓的圓心橫坐標的取值范圍．19．已知無窮數列滿足，為正整數，．(1)若，求；(2)證明：“存在，使得”是“是周期為3的數列”的必要不充分條件；(3)若，是否存在數列，使得恒成立？若存在，求出一組的值；若不存在，請說明理由．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《2025屆廣東省深圳一模深圳市高三年級第一次調研考試》參考答案題號12345678910答案CABCBCBDABDAC題號11答案AD1．C【分析】化簡集合，結合交集定義求.【詳解】，，所以，又，．故選：C.2．A【分析】利用復數除法求出，進而求出其模.【詳解】依題意，，所以.故選：A3．B【分析】由向量垂直的坐標表示即可求解；【詳解】由于，則，則；故選：B4．C【分析】根據兩角和與差的正弦公式進行化簡求值即可.【詳解】由于，那么，，則，故選：C．5．B【分析】求函數的周期，舉例說明函數的單調性不滿足要求，排除A，證明為函數的周期，再判斷函數在上的單調性，判斷B，舉例說明函數的單調性不滿足要求，排除C，結合函數定義域，排除D.【詳解】對于A，，但，，所以函數在上不單調遞增，不符合題意；對于B，，所以函數的周期為，當時，，因為，函數在上單調遞增，所以函數在上單調遞增，同理可得函數在上單調遞減，，所以函數的最小正周期為，B正確；對于C，因為，，所以函數在上不單調遞增，不符合題意；對于D，函數的定義域為，，所以結論函數在單調遞增錯誤，不符合題意；故選：B.6．C【分析】根據漸近線夾角得到漸近線方程，然后得到或，再設雙曲線方程，根據進行取舍.【詳解】由雙曲線的兩條漸近線夾角為，可知的漸近線方程為或，由（其中為漸近線的斜率），解得或，若，如圖，令，點不可能在雙曲線上；或設雙曲線方程為：，則無解；若，設雙曲線方程為：，則，此時雙曲線方程為：.故選：C．7．B【分析】方法一：把兩曲線與有一個公共點，轉化為方程只有一個實數解，通過分離常數求出值；方法二：把兩曲線與有一個公共點，轉化成兩曲線只有一個公切點，再利用幾何意義求解；方法三：利用原函數和反函數圖像關于對稱，且兩函數圖像都與相切于點，巧妙求出值.【詳解】方法一：由已知曲線與曲線只有一個公共點，方程只有一個實數解，而，則只考慮，即，令，則，而在單調遞增，且，所以時，單調遞減，時，單調遞增，而時，；時，，所以．方法二：由已知曲線與曲線只有一個公共點，則曲線與曲線只有一個公切點，設其坐標為，根據函數的圖像與函數的圖像之間的關系，所以有，即，所以，設，則在單調遞減，而，所以，所以．方法三：由于函數的反函數為，兩函數關于對稱，由于，令，則，即函數與函數相切于點，同理，，令，即函數．與函數也相切于點，于是函數與函數相切于點，由選項可知，．故選：B.8．D【分析】求出圓臺上面部分的體積，根據小球的體積恰好等于的體積求出球的半徑.【詳解】如圖，，又放入的球的半徑為，由于圓臺的體積，由題可知：，則，此時小球恰好與上下底面相切；下面考慮當小球與側棱相切時，設球心為，球的半徑為，則，由于，則，則，那么，則，那么在上方，即該小球先與上下底面相切．故選：D【點睛】關鍵點點睛：本題解答的關鍵是求出圓臺的體積，還需檢驗小球與側棱相切的情形.9．ABD【分析】根據回歸方程判斷A，根據樣本中心點計算判斷B，根據圖象由波動性判斷C，根據圖象的波動性判斷D.【詳解】由經驗回歸方程單調遞減，可知樣本負相關，故A正確；由題意樣本均值分別為，由樣本中心在經驗回歸直線上，代入回歸直線解得，故B正確：由圖一的數據波動較大可得比更集中，所以，故C錯誤；由圖一的殘差平方和較圖二的殘差平方和大可知，處理后擬合效果更好，決定系數變大，故D正確．故選：ABD10．AC【分析】證明，結合周期函數定義判斷A，證明函數為奇函數，結合周期性證明若函數存在對稱軸，則為其對稱軸，推出矛盾，判斷B，利用導數判斷指定區間函數的單調性，判斷C，結合正弦函數性質可得，進一步說明等號不成立，判斷D.【詳解】由于，故，所以為的周期，A正確；函數的定義域為，定義域關于原點對稱，，所以為奇函數，假設圖象關于對稱，則函數為偶函數，所以，故，所以，又，所以為函數的對稱軸，所以，但，，所以，矛盾，所以圖象不關于對稱，B錯誤；因為，化簡整理得，當時，，函數的圖象為開口向上，對稱軸為的拋物線，若，則，所以當時，，故在區間上單調遞減，C正確；因為，當且僅當時取等號，但當，即時，，所以，D不正確．故選：AC.11．AD【分析】由條件求出的坐標，結合兩點斜率公式求，由此判斷A，結合A的判斷知，，利用關系求點的軌跡，由此判斷B,聯立，，求點的坐標，消參求點的軌跡方程，結合△換元點到直線距離公式求點到直線的距離，再求最值及的面積的最值判斷C，結合C可得的軌跡方程，引入參數表示，，結合條件列不等式求的范圍，判斷D.【詳解】對于選項A，由題設，A正確；對于選項B，由A可知，，設點，則，所以，此時點的軌跡方程為：，于是若，此時點與點重合，與矛盾，B不正確；對于選項C，直線，聯立得，設，又，則，若，則點的軌跡方程為，設點，直線，點到直線的距離，由于，于是當時，，的最大值為，C不正確；由C可知，點的軌跡方程為，設，，于是，即能成立，于是，，D正確．故選：AD.【點睛】易錯點點睛：本題在求點的軌跡方程的過程中變形可能不等價，導致軌跡方程的范圍出錯，影響選項的判斷.12．240【分析】寫出二項展開式的通項，令的指數為0，即可求解，進而可求常數項.【詳解】的二項展開式的通項為，令得，故常數項為，故答案為：240．13．6【分析】設數列的公比為，由條件結合等比數列性質可得，分類討論求解即可.【詳解】設數列的公比為，由于，則，若，則矛盾，則符合．所以.故答案為：.14．14分【分析】方法一：根據無論答案是“√”還是“×”，一個答“√”的人和一個答“×”的人的得分和為，從而得到每道題前五人的得分比吳多2分，然后計算得分即可；方法二：根據錢的成績分析答案，然后求得分；方法三：分析孫的答案情況，然后求得分.【詳解】解法一：分析可得，無論每道題的結果如何，每道題前五人的得分比吳的得分多2分，則吳的得分為：，加上基本分后為14．解法二：由于前四個人只有錢的得分是11分，則錢答對兩個題，答錯三個題，不妨將錢的答案全部考慮反面，則錢答對三個題，答錯兩個題，共14分；：

人題號趙錢孫李周吳1√×××√√2×××√√√3√√×√××4√√××√×5×√√√√√得分1414141411對于6個人而言，前4個題，6個人的答案都是三個√，三個錯，那前4個題，每個題都是3個人對，3個人錯；前4個題的總分為：分；現在考慮第5題，共5個√，一個×，若第5題正確答案是“×”，那么第5個題的得分是：分，最終5個題的總得分為69分；而從得分來看，分，于是吳得分是2分，矛盾；于是第5題正確答案是“√”，第5題的得分是：分，6個題的總分為：81分，于是吳得14分．解法三：考慮第一，二題孫的答案是對的，（1）若孫第三題答案也是對的，與趙14分矛盾；趙錢孫李周吳1√√×（2）×（2）√√2×（2）√×（2）√√√3√×（2）×（2）√×（2）×（2）4√×××√×5××√√√√得分1411141411（2）若孫第三題答案是錯的，錢最后兩題只能全對，與周11分矛盾；趙錢孫李周吳1√√×（2）×（2）√√2×（2）√×（2）√√√3√（2）××√（2）××4√×（2）×（2）×（2）√5×（2）×（2）√√√√得分1411141411考慮孫第一題對，第二題答案是錯的（3）若孫第三題答案是對的，則趙最后兩題全對，與孫14分矛盾；趙錢孫李周吳1√√×（2）×（2）√√2×√（2）×√（2）√（2）√（2）3√×（2）×（2）√×（2）×（2）4√（2）×××√×5×（2）×√√√√得分1411141411（4）若孫第三題答案是錯的，則孫最后兩題全對，與趙14分矛盾；趙錢孫李周吳1√√×（2）×（2）√√2×√（2）×√（2）√（2）√（2）3√（2）××√（2）××4√××（2）×√×5××√（2）√√√得分1411141411考慮孫第一題錯，第二題答案是對的（5）若孫第三題答案是對的，則李最后兩題全對，與孫14分矛盾；趙錢孫李周吳1√（2）√（2）××√（2）√（2）2×（2）√×（2）√√√3√×（2）×（2）√×（2）×（2）4√2××（2）×（2）√×5××√（2）√（2）√√得分1411141411（6）若孫第三題答案是錯的，則孫最后兩題全對，此時正確答案是√，×，√，×，√，吳此時14分；趙錢孫李周吳1√（2）√（2）××√（2）√（2）2×（2）√×（2）√√√3√（2）××√（2）××4√×（2）×（2）×（2）√×（2）5××√（2）√（2）√（2）√（2）得分141114141114考慮孫第一題錯，第二題答案是錯的，則孫后三題全對，與趙14分矛盾；趙錢孫李周吳1√（2）√（2）××√（2）√（2）2×√（2）×√（2）√（2）√（2）3√×（2）×（2）√×（2）×（2）4√××（2）×√×5××√（2）√√√得分1411141411綜上所述：正確答案是√，×，√，×，√，吳此時14分．故答案為：14分.15．(1)(2)【分析】（1）利用條件及余弦定理的推論可得，再由條件可求出；（2）解法1：利用兩角和的正弦公式分別求出角的正弦值，再利用正弦定理可求出，再利用三角形面積公式求解即可；解法2：注意到，進而可得，由正弦定理并化簡可得，進而求，再利用三角形面積公式求解即可；解法3：過點作交于，利用直角三角形即可求邊長，再利用面積公式求解即可.【詳解】（1）由余弦定理推論及得，由于，則，又因為，且，所以，則．（2）解法1：由（1）可知，且，，由正弦定理：，得，所以．解法2：由（1），所以，由正弦定理：，得，．解法3:如圖，過點作交于，由于，則，所以，，所以．16．(1)證明見解析(2)．【分析】（1）根據等腰三角形的性質得到，根據中位線的性質得到，然后得到四邊形為平行四邊形，根據直棱柱的性質得到，最后利用線面垂直的判定定理證明；（2）解法一：利用余弦定理得到，然后建系，利用空間向量的方法求線面角；解法二：根據線面角的定義得到即為直線與平面所成角，然后求線面角；解法三：利用等體積的思路得到點到平面的距離，然后求線面角.【詳解】（1）

取中點，連接，因為，所以，為的中點，所以為的中位線，所以，又，所以四邊形為平行四邊形，有，又因為平面平面，則，由于平面，所以平面，又因為，所以平面．（2）解法一：由（1）可知：兩兩垂直，如圖，以為坐標原點，以所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標系，在中，由余弦定理可得：，則，于是，則，設平面，于是，即，令，則，設直線與平面所成角為，那么，即直線與平面所成角的正弦值為．

解法二：在中，由余弦定理可得：，則，如圖，連接，由（1），平面平面，則，又因為，四邊形為正方形，為的中點，，由于平面，則平面，如圖，記，過點作，連接，由于平面平面，則，又因為平面，則平面，所以即為直線與平面所成角，由于，則，由于，則為的三等分點，則，于是，即直線與平面所成角的正弦值為．

解法三：設直線與平面所成角為，點到平面的距離為，則，在中，，則，過作交的延長線于，易得，且易證平面，由于，則，在中，，且，又，則．

【點睛】17．(1)(2)答案見解析【分析】（1）甲最終獲勝有兩種情況：前2局贏、三場輸一場贏兩場，據此求解概率；（2）由（1）可得甲最終獲勝的概率，分別計算兩種方案下甲獲得積分的數學期望，通過作差比較其大小即可.【詳解】（1）記“甲最終以獲勝”為事件，記“甲最終以獲勝”為事件，“甲最終獲勝”為事件，于是，與為互斥事件，由于，，則，即甲最終獲勝的概率為．（2）由（1）可知，，若選用方案一，記甲最終獲得積分為分，則可取，，則的分布列為：3則，若選用方案二，記甲最終獲得積分為分，則可取1，0，，則的分布列為：10則，所以，由于，則，于是時，兩種方案都可以選，當時，，應該選第二種方案，當時，，應該選第一種方案．18．(1)或．(2)【分析】（1）法一：設，由面積公式求得，再聯立拋物線方程，結合韋達定理即可求解；法二：設，由面積求得，結合弦長公式求得，聯立即可求解；（2）法一：設點，得到方程，求出，設的內切圓圓心，再由到的距離與點到的距離相等，得到，進而可求解；或化簡得到，通過換元構造函數，通過求導求解即可；法二：設，得到，，進而得到，構造函數進而可求解；【詳解】（1）法一：

當軸，令，則，設直線，由于，則，由于，則，則，，則，則，所以直線的方程為或．法二：設，傾斜角為，由對稱性知有兩條，且關于對稱，不妨設，那么，則，則，由于，則，則，，則由對稱性，另一條直線：，所以直線的方程為或．（2）法一：設點，因為，同理：，所以，化簡可得：，同理可得：，，，又因為，直線和直線交于點，所以，且，即，，且，化簡得：，于是，則，解得，所以點，由于，則，所以，則軸平分，設的內切圓圓心，則到的距離，點到的距離，所以，化簡可得：，由于，當且僅當取等號（舍），則，則．或由化簡得到：，令，當且僅當取等號（舍），則，設，，則在單調遞減，．】法二：點證明同解法1；設的內切圓圓心，設定點，由于，設半徑為，設，于是