第1頁/共1頁岳陽市2025屆高三教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)（一）數(shù)學(xué)本試卷共4頁，19道題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校?班級(jí)?考號(hào)和姓名填寫在答題卡指定位置.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).3.非選擇題必須用黑色字跡的簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案：不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.4.考生必須保證答題卡的整潔.考試結(jié)束后，只交答題卡.一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出集合，根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可求解.【詳解】由，得，所以，故選：D2.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)乘法求復(fù)數(shù).【詳解】由

．故選：C3.若函數(shù)為奇函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可知，結(jié)合指數(shù)運(yùn)算求解即可.【詳解】令，可得，即函數(shù)的定義域?yàn)椋艉瘮?shù)為奇函數(shù)，則，可得，所以.故選：B.4.已知角頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，則它的終邊過點(diǎn)若將角的終邊繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到角，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)終邊上的點(diǎn)求函數(shù)值，再應(yīng)用差角正弦公式求即可.【詳解】由題意，則.故選：C5.將一個(gè)底面半徑為2，高為的圓錐形石材打磨成一個(gè)球，則該球表面積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】球是圓錐的內(nèi)切球，打打磨成的球的表面積最大，據(jù)此求解即可.【詳解】由題意可得圓錐的母線長為，所以圓錐的軸截面是等邊三角形，將圓錐形石材打磨成一個(gè)球，要使球的表面積的最大，則球的半徑要最大，此時(shí)球是圓錐的內(nèi)切球，設(shè)等邊三角形的內(nèi)切球的半徑為，由等邊三角形的性質(zhì)可得，所以，所以球的表面積為.故選：A.6.甲乙兩人參加一項(xiàng)戶外挑戰(zhàn)賽，該挑戰(zhàn)賽設(shè)置了多道關(guān)卡，已知兩人是否通過某道關(guān)卡是相互獨(dú)立的，且兩人中至少有一人通過當(dāng)前關(guān)卡，才有資格同時(shí)進(jìn)入下一關(guān)挑戰(zhàn)，否則挑戰(zhàn)結(jié)束.已知在第一關(guān)中甲乙兩人通過的概率分別為，若兩人有資格挑戰(zhàn)第二關(guān)，則在第一關(guān)中，甲通過的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用對(duì)立事件及相互獨(dú)立事件的概率公式求出兩人有資格挑戰(zhàn)第二關(guān)的概率，再利用條件概率公式計(jì)算得解.【詳解】在第一關(guān)中甲乙兩人通過的事件分別為，兩人有資格挑戰(zhàn)第二關(guān)的事件為，則，，，所以若兩人有資格挑戰(zhàn)第二關(guān)，則在第一關(guān)中，甲通過的概率.故選：D7.已知橢圓分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，離心率為，點(diǎn)為直線上的一點(diǎn).當(dāng)?shù)耐饨訄A周長取最小值時(shí)，該圓的半徑為（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】C【解析】【分析】先由幾何關(guān)系確定當(dāng)外接圓的半徑為時(shí)，周長取最小值，再由離心率及焦點(diǎn)坐標(biāo)得出，即可得出半徑.【詳解】設(shè)的外接圓的圓心為，則在的垂直平分線上又在上，在軸上，即當(dāng)?shù)耐饨訄A的半徑為時(shí)，周長取最小值，由題意可知，，即，所以該圓的半徑為4.故選：C.8.已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，先轉(zhuǎn)化問題為在上恒成立，進(jìn)而結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性得到對(duì)恒成立，進(jìn)而得到對(duì)恒成立，即，，再構(gòu)造函數(shù)，，進(jìn)而結(jié)合導(dǎo)數(shù)求解即可.【詳解】因?yàn)椋裕驗(yàn)楫?dāng)時(shí)，不等式恒成立，即當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，所以當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，即當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，即當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，即當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，設(shè)，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，可以轉(zhuǎn)化為在上恒成立，即對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，即，.設(shè)，，則，令，即；令，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，又，，顯然，所以，所以，所以，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是觀察原不等式的特點(diǎn)，將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解即可.二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法正確的有（）A.的展開式中，的系數(shù)是B.的展開式中，各二項(xiàng)式系數(shù)和為C.從名男生，名女生中選名學(xué)生參加志愿者服務(wù)，表示參加志愿服務(wù)的男生人數(shù)，則D.有個(gè)不同的正因數(shù)【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理求指定項(xiàng)系數(shù)、二項(xiàng)式系數(shù)和判斷A、B；根據(jù)隨機(jī)變量的取值及其對(duì)應(yīng)概率求期望判斷C；由即可判斷D.【詳解】由展開式的通項(xiàng)公式為，令時(shí)，展開式中的系數(shù)為，A錯(cuò)誤；由的展開式中，可得各二項(xiàng)式系數(shù)和為，B正確；由題意，從名男生和名女生中任選名參加活動(dòng)，共有種不同選法，的取值為、、，，，，所以，C正確；因?yàn)椋杂袀€(gè)不同的正因數(shù)，D正確．故選：BCD10.如圖，直線與函數(shù)的部分圖象交于三點(diǎn)（點(diǎn)在軸上），若，則下列說法正確的是（）A.B.C.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象D.當(dāng)時(shí)，【答案】AD【解析】【分析】對(duì)A，根據(jù)過判斷即可；對(duì)B，由相鄰可得，，再根據(jù)求解；對(duì)C，由的函數(shù)解析式與平移變化分析即可；對(duì)D，根據(jù)正弦函數(shù)的值域判斷即可.【詳解】對(duì)A，由過可得，即，由圖結(jié)合可得，故A正確；對(duì)B，由可得，即或，由相鄰可得，，故，又，則，可得，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，由AB可得，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，，故，則，故D正確.故選：AD11.已知是雙曲線：的左右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與雙曲線的左右兩支分別交于兩點(diǎn)，和的內(nèi)切圓半徑分別為.設(shè)點(diǎn)為的內(nèi)心，的面積為，的面積為，的面積為，且，則下列說法正確的是（）A. B.雙曲線的離心率C. D.【答案】BCD【解析】【分析】設(shè)內(nèi)切圓與的三邊分別切與點(diǎn)，則由雙曲線定義、內(nèi)切圓性質(zhì)可得，再由得可判斷A；設(shè)，，利用求出可判斷B；利用等面積得，設(shè)，由余弦定理得，再由又等面積法得可判斷C；由可判斷D.【詳解】對(duì)于A，如圖所示，設(shè)內(nèi)切圓與的三邊分別切與點(diǎn)，則由雙曲線定義可得，又由內(nèi)切圓性質(zhì)可得：，又，則，，所以，又，即，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)，，所以為等腰三角形，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，則，，所以，即得，所以雙曲線離心率為，故B正確；對(duì)于C，由B可知：，，則.因?yàn)閮?nèi)切圓半徑為，所以，由等面積法可知，，整理得，即，設(shè)，，，又由可知為等腰三角形，則，所以，由余弦定理可得：，整理得：，即，即，，又等面積法可得：，即，即，則，故C正確；對(duì)于D，所以，故D正確，故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在C選項(xiàng)中解題的關(guān)鍵點(diǎn)是利用等面積得、進(jìn)行解答.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量.若，則__________.【答案】【解析】【分析】用向量平行的坐標(biāo)表示計(jì)算即可；【詳解】，，因?yàn)椋裕?故答案為：.13.已知數(shù)列滿足，則__________.【答案】；【解析】【分析】由題意可得，可得，兩式相減可求通項(xiàng)公式.【詳解】由，可得，所以，兩式相減得，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，適合上式，所以.故答案為：.14.已知函數(shù)，若函數(shù)與的圖象有且僅有三個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】.【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)自變量不同取值范圍上的函數(shù)解析式，分別構(gòu)造函數(shù)，由函數(shù)與方程的關(guān)系，等價(jià)轉(zhuǎn)化為函數(shù)求零點(diǎn)與一元二次方程求解問題，可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，則，令，求導(dǎo)可得，令，解得，可得下表：?jiǎn)握{(diào)遞增極大值單調(diào)遞減由函數(shù)極大值為，則存在唯一零點(diǎn)，所以函數(shù)與函數(shù)在上有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，令，求導(dǎo)可得，顯然上，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由，則函數(shù)在上存在唯一零點(diǎn)，所以函數(shù)與函數(shù)在上有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；由題意可得函數(shù)與函數(shù)在上有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，令，令，整理可得，當(dāng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解時(shí)，，解得，此時(shí)，符合題意，當(dāng)方程在有一個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)，可得Δ>0?1<0綜上可得.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知分別為的內(nèi)角的對(duì)邊，且，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，若，且.（1）求；（2）求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理結(jié)合，輔助角公式得到，從而求出；（2）根據(jù)和余弦定理得，結(jié)合，得到，根據(jù)求出，由三角形面積公式求出答案.【小問1詳解】，利用正弦定理可得，又，故，即，因?yàn)椋裕剩奢o助角公式得，又，故，即，所以；【小問2詳解】，故，由余弦定理得，由為中點(diǎn)，化簡(jiǎn)得，，故，又，所以，又，故，將代入上式得，即，解得，負(fù)值舍去，則的面積為16.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在直線上，是拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn).（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)直線的斜率為，若，證明：直線過定點(diǎn)，并求定點(diǎn)坐標(biāo).【答案】（1）（2）證明見解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)求解即可；（2）法一：設(shè)所在直線方程為，聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理代入求解即可；法二：先討論當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線過點(diǎn)，再分析當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)所在直線方程為，聯(lián)立，再根據(jù)求解即可.【小問1詳解】的焦點(diǎn)在軸上，為，直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則，即所以拋物線為【小問2詳解】法一：由題意可知所在直線斜率不為0，設(shè)所在直線方程為，聯(lián)立，化簡(jiǎn)可得：，則，又則，滿足（*）式即直線恒過點(diǎn)法二：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)，所以，所以，所以直線的方程為；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)所在直線方程為，聯(lián)立，化簡(jiǎn)可得：，由題意可知即（*）；由韋達(dá)定理知，所以，所以，滿足（*）式；所以所在直線方程為綜上，直線恒過點(diǎn)17.如圖，在四棱錐中，平面底面，底面為平行四邊形，為邊的中點(diǎn)，.（1）求證：；（2）已知二面角的平面角等于，則在線段上是否存在點(diǎn)，使得到平面的距離為，若存在，指出點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）存在，為中點(diǎn)【解析】【分析】（1）由余弦定理可求得，進(jìn)而可得，由面面垂直的性質(zhì)可得平面，可證.（2）法一，取的中點(diǎn)，可證底面，設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使得到平面的距離為，且，利用等體積法求解即可.法二，取的中點(diǎn)，可證兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求得平面的法向量，平面的一個(gè)法向量，利用向量法可求，設(shè)，利用點(diǎn)到面的距離可求，可得結(jié)論.【小問1詳解】因?yàn)椋瑸檫叺闹悬c(diǎn)，所以，又在中，，由余弦定理可得，即，則，又為平行四邊形，所以，則，又平面底面，平面底面，所以平面，又平面，所以.【小問2詳解】法一：取的中點(diǎn)，又，所以，又平面底面，所以底面，所以，而，所以即為二面角的平面角，，又為直角三角形，，所以，設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使得到平面的距離為，且，為直角三角形，，，又，解得，即為中點(diǎn).法二：取的中點(diǎn)，又，所以，又平面底面，所以底面，又，所以，所以兩兩垂直.如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系：，設(shè)，則，設(shè)平面法向量為，則，取，則，又平面的一個(gè)法向量為，則，得，即.則平面的一個(gè)法向量為，設(shè)，則，則，解得，即為中點(diǎn).18.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）令，當(dāng)時(shí)，求的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；（3）令，當(dāng)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，求的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（2）兩個(gè)極值點(diǎn).（3）或【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，利用一次型含參討論求得單調(diào)性；（2）求導(dǎo)，求的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)即為求的變號(hào)零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（3）求導(dǎo)，整理得，易知，為一個(gè)零點(diǎn)，分和分類討論.【小問1詳解】的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】，令當(dāng)時(shí)，時(shí)單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，，又時(shí)，，所以分別在和上存在唯一的變號(hào)零點(diǎn)，即有兩個(gè)極值點(diǎn).【小問3詳解】，又為一個(gè)零點(diǎn)，①若，則在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，又，所以只有一個(gè)零點(diǎn).②若，令又，則，即單調(diào)遞增，i.當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，的最小值為，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn).ii.當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，，所以存在唯一，使得，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.又時(shí)，，所以有兩個(gè)零點(diǎn).iii.當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，，所以存在唯一，使得，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又時(shí)，，所以有兩個(gè)零點(diǎn).所以，有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，或.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，可以通過轉(zhuǎn)換、求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，借助零點(diǎn)存在定理求解.19.“外觀數(shù)列”設(shè)各位上的數(shù)字均不為是指以下特點(diǎn)的整數(shù)序列：它以正整數(shù)開始，逐項(xiàng)地描述前一項(xiàng)的外觀，將描述結(jié)果作為下一項(xiàng)．比如外觀數(shù)列為：第一項(xiàng)：第二項(xiàng)：描述第一項(xiàng)為個(gè)第三項(xiàng)：描述第二項(xiàng)為個(gè)個(gè)第四項(xiàng)：描述第三項(xiàng)為個(gè)個(gè)個(gè)第五項(xiàng)：描述第四項(xiàng)個(gè)個(gè)個(gè)．（1）求“外觀數(shù)列”的第三項(xiàng)和第五項(xiàng)；（2）若從“外觀數(shù)列”中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)列，求該數(shù)列第二項(xiàng)小于第一項(xiàng)的概率；（3）證明：當(dāng)是六位數(shù)時(shí)，“外觀數(shù)列”從首項(xiàng)開始最多連續(xù)項(xiàng)單調(diào)遞減．【答案】（1）第三項(xiàng)為第五項(xiàng)為（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)外觀數(shù)列的定義，逐步分析前一項(xiàng)數(shù)字的組成并進(jìn)行描述得到下一項(xiàng).（2）需要先找出所有可能的數(shù)列的第一項(xiàng)和第二項(xiàng)的情況，再根據(jù)概率的定義計(jì)算.（3）證明當(dāng)m是六位數(shù)時(shí)，“m-外觀數(shù)列”從首項(xiàng)開始最多連續(xù)4項(xiàng)單調(diào)遞減，需要根據(jù)外觀數(shù)列的定義和六位數(shù)的特征進(jìn)行分析推理.【小問1詳解】根據(jù)“外觀數(shù)列”的定義得到，第三項(xiàng)為第五項(xiàng)為；【小問2詳解】為一位數(shù)時(shí)，第項(xiàng)為兩位數(shù)，不符合；為兩位數(shù)時(shí)，即為時(shí)，第二項(xiàng)為當(dāng)大于時(shí)第二項(xiàng)小于第一項(xiàng)，此時(shí)有個(gè)符合.當(dāng)由兩種不同的數(shù)字構(gòu)成時(shí)，第二項(xiàng)為四位數(shù)，不符合；為三位數(shù)時(shí)，即為時(shí)，第二項(xiàng)為第二項(xiàng)小于第一