成考工程數學試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題2分，共20分）

1.下列函數中，定義域為全體實數的是：

A.f(x)=x^2

B.f(x)=√x

C.f(x)=1/x

D.f(x)=log2(x)

2.已知函數f(x)=2x+3，則f(-1)的值為：

A.1

B.2

C.3

D.4

3.下列函數中，奇函數是：

A.f(x)=x^2

B.f(x)=|x|

C.f(x)=1/x

D.f(x)=x^3

4.下列各對函數中，存在反函數的是：

A.f(x)=x^2和g(x)=√x

B.f(x)=2x和g(x)=x/2

C.f(x)=x^3和g(x)=x^(1/3)

D.f(x)=x和g(x)=√x

5.下列各對函數中，互為反函數的是：

A.f(x)=x+1和g(x)=x-1

B.f(x)=2x和g(x)=x/2

C.f(x)=x^2和g(x)=√x

D.f(x)=log2(x)和g(x)=2^x

6.已知函數f(x)=x^3-3x，則f'(1)的值為：

A.-3

B.0

C.3

D.6

7.下列各對函數中，復合函數為一次函數的是：

A.f(x)=x^2和g(x)=2x

B.f(x)=x^3和g(x)=3x

C.f(x)=x^2和g(x)=x^3

D.f(x)=x^3和g(x)=x^2

8.下列函數中，反函數存在且為一次函數的是：

A.f(x)=2x+3

B.f(x)=x^2

C.f(x)=1/x

D.f(x)=x^3

9.已知函數f(x)=2x-1，則f'(x)的值為：

A.2

B.-2

C.1

D.-1

10.下列函數中，可導函數是：

A.f(x)=|x|

B.f(x)=√x

C.f(x)=1/x

D.f(x)=x^3

二、填空題（每題2分，共20分）

1.若函數f(x)=3x^2-2x+1在x=1時的導數為______。

2.已知函數f(x)=x^3-3x，則f(2)的值為______。

3.若函數f(x)=2x+3的反函數為g(x)，則g(2)的值為______。

4.已知函數f(x)=x^2+2x+1，則f(-1)的值為______。

5.若函數f(x)=x^3-3x在x=1時的切線斜率為______。

6.下列函數中，奇函數是______。

7.下列函數中，可導函數是______。

8.已知函數f(x)=2x+3，則f'(x)的值為______。

9.若函數f(x)=x^2在x=1時的導數為______。

10.下列各對函數中，復合函數為一次函數的是______。

三、解答題（每題10分，共30分）

1.求函數f(x)=x^3-3x在x=2時的導數。

2.求函數f(x)=2x+3的反函數。

3.已知函數f(x)=x^2-2x+1，求f(2)的值。

四、應用題（每題10分，共20分）

1.已知某工廠生產一種產品，其總成本函數為C(x)=1000+10x+0.5x^2，其中x為生產的數量。求：

（1）當生產100件產品時的總成本；

（2）當生產多少件產品時，平均成本最低？

2.已知某商品的需求函數為Q=50-2P，其中Q為需求量，P為價格。求：

（1）當價格為10元時的需求量；

（2）當需求量為30件時的價格。

五、證明題（每題10分，共20分）

1.證明：若函數f(x)在區間[a,b]上連續，且f(a)<f(b)，則存在至少一個點c∈(a,b)，使得f(c)=(f(a)+f(b))/2。

2.證明：若函數f(x)在區間[a,b]上可導，且f'(x)≥0，則f(x)在區間[a,b]上單調遞增。

六、綜合題（每題10分，共20分）

1.已知函數f(x)=x^3-6x^2+9x+1，求：

（1）函數的極值點；

（2）函數的單調區間；

（3）函數的凹凸性。

2.已知某商品的價格P與需求量Q的關系為P=100-Q，成本函數為C(Q)=50Q+1000。求：

（1）當需求量為50件時的利潤；

（2）求利潤最大時的需求量。

試卷答案如下：

一、選擇題答案及解析思路：

1.A.f(x)=x^2的定義域為全體實數。

2.B.f(-1)=2(-1)+3=1。

3.D.f(x)=x^3是奇函數，滿足f(-x)=-f(x)。

4.C.f(x)=x^3和g(x)=x^(1/3)是互為反函數。

5.B.f(x)=2x和g(x)=x/2是互為反函數。

6.A.f'(x)=3x^2-3，f'(1)=3(1)^2-3=0。

7.B.f(x)=x^3和g(x)=3x是復合函數，且為一次函數。

8.A.f(x)=2x+3是一次函數，反函數存在且為一次函數。

9.A.f'(x)=2，f'(x)的值為2。

10.A.f(x)=|x|是可導函數。

二、填空題答案及解析思路：

1.f'(x)=6x-2，f'(1)=6(1)-2=4。

2.f(2)=2^3-3*2+1=8-6+1=3。

3.g(x)=(x-3)/2，g(2)=(2-3)/2=-1/2。

4.f(-1)=(-1)^2-2(-1)+1=1+2+1=4。

5.f'(x)=3x^2-3，f'(1)=3(1)^2-3=0。

6.奇函數是f(x)=x^3。

7.可導函數是f(x)=|x|。

8.f'(x)=2。

9.f'(x)=3x^2-3，f'(1)=3(1)^2-3=0。

10.復合函數為一次函數的是f(x)=x^3和g(x)=3x。

三、解答題答案及解析思路：

1.求函數f(x)=x^3-3x在x=2時的導數：

f'(x)=3x^2-3，f'(2)=3(2)^2-3=12-3=9。

2.求函數f(x)=2x+3的反函數：

令y=2x+3，解得x=(y-3)/2，所以反函數為g(x)=(x-3)/2。

3.已知函數f(x)=x^2-2x+1，求f(2)的值：

f(2)=2^2-2*2+1=4-4+1=1。

四、應用題答案及解析思路：

1.求函數f(x)=x^3-3x在x=2時的導數：

f'(x)=3x^2-3，f'(2)=3(2)^2-3=12-3=9。

2.求函數f(x)=2x+3的反函數：

令y=2x+3，解得x=(y-3)/2，所以反函數為g(x)=(x-3)/2。

3.已知函數f(x)=x^2-2x+1，求f(2)的值：

f(2)=2^2-2*2+1=4-4+1=1。

五、證明題答案及解析思路：

1.證明：若函數f(x)在區間[a,b]上連續，且f(a)<f(b)，則存在至少一個點c∈(a,b)，使得f(c)=(f(a)+f(b))/2。

解析思路：利用介值定理，構造一個輔助函數g(x)=f(x)-(f(a)+f(b))/2，證明g(x)在[a,b]上存在零點。

2.證明：若函數f(x)在區間[a,b]上可導，且f'(x)≥0，則f(x)在區間[a,b]上單調遞增。

解析思路：利用拉格朗日中值定理，證明對于任意x1,x2∈[a,b]，存在c∈(x1,x2)，使得f'(c)=(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)≥0。

六、綜合題答案及解析思路：

1.已知函數f(x)=x^3-6x^2+9x+1，求：

（1）函數的極值點：

f'(x)=3x^2-12x+9，令f'(x)=0，解得x=1或x=3。由于f''(x)=6x-12，f''(1)<0，f''(3)>0，所以x=1是極大值點，x=3是極小值點。

（2）函數的單調區間：

f'(x)=3x^2-12x+9，令f'(x)>0，解得x<1或x>3；令f'(x)<0，解得1<x<3。所以函數在(-∞,1)和(3,+∞)上單調遞增，在(1,3)上單調遞減。

（3）函數的凹凸性：

f''(x)=6x-12，令f''(x)>0，解得x>2；令f''(x)<0，解得x<2。所以函數在(-∞,2)上凹，在(2,+∞)上凸。

2.已知某商品的價格P與需求量Q的關系為P=100-Q，成本函數為C(Q)=50Q+1000。求：

（1）當需求量為50件時的利潤：

利潤=總收入-總成本=PQ-