試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)烏魯木齊地區(qū)2025年高三年級(jí)第一次質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)（問(wèn)卷）（卷面分值：150分；考試時(shí)間：120分鐘）注意事項(xiàng)：1.本試卷分為問(wèn)卷（4頁(yè)）和答卷（4頁(yè)），答案務(wù)必書(shū)寫(xiě)在答卷（或答題卡）的指定位置上.2.答題前，先將答卷密封線內(nèi)的項(xiàng)目（或答題卡中的相關(guān)信息）填寫(xiě)清楚.第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．復(fù)數(shù)（

）A． B． C． D．3．在公差不為0的等差數(shù)列中，若，則（

）A．7 B．8 C．9 D．104．新高考改革方案采用“3+1+2”模式，“3”即全國(guó)統(tǒng)考的語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)，“1”即在物理、歷史2門(mén)首選科目中選考1門(mén)，“2”即在思想政治、地理、化學(xué)、生物學(xué)4門(mén)再選科目中選考2門(mén).選考方案有（

）A．6種 B．8種 C．12種 D．15種5．已知等邊三角形的邊長(zhǎng)是，、分別是、的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．6．若，則下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則7．如圖，一個(gè)圓柱形容器中盛有水，圓柱母線，若母線放置在水平地面上時(shí)，水面恰好過(guò)的中點(diǎn)，那么當(dāng)?shù)酌鎴A水平放置時(shí)，水面高為（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共計(jì)18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．關(guān)于雙曲線，下列說(shuō)法正確的有（

）A．實(shí)軸長(zhǎng)為16 B．焦點(diǎn)坐標(biāo)為，C．離心率為 D．漸近線方程為10．關(guān)于的函數(shù)，下列結(jié)論正確的有（

）A．函數(shù)的最小正周期B．若，則是奇函數(shù)C．若，則是圖象的一條對(duì)稱軸D．若，，則11．給定棱長(zhǎng)為1的正方體，是正方形內(nèi)（包括邊界）一點(diǎn)，下列結(jié)論正確的有（

）A．三棱錐的體積為定值B．若點(diǎn)在線段上，則異面直線與所成角為定值C．若點(diǎn)在線段上，則的最小值為D．若，則點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度為第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分.12．已知?jiǎng)t；13．李明上學(xué)有時(shí)坐公交車(chē)，有時(shí)騎自行車(chē)，他記錄了多次所花時(shí)間，假設(shè)坐公交車(chē)用時(shí)和騎自行車(chē)用時(shí)都服從如圖的正態(tài)分布.星期一李明出門(mén)有可用，他應(yīng)該選擇交通工具；星期二李明出門(mén)有可用，他應(yīng)該選擇交通工具；14．已知橢圓：的左焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線交軸于點(diǎn)，交橢圓于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），，則橢圓的離心率為.四、解答題：本大題共5小題，共計(jì)77分.解答應(yīng)在答卷的相應(yīng)各題中寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，，.(1)求的面積；(2)求中的角平分線的長(zhǎng).16．如圖，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)0出發(fā)，每隔向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位，每次移動(dòng)時(shí)向右移動(dòng)的概率為0.6，記后質(zhì)點(diǎn)所在的位置是.(1)求；(2)至少幾秒后才能使得.17．如圖，和都垂直于平面，且，是線段上一點(diǎn).(1)若平面，證明是的中點(diǎn)；(2)若，，平面與平面夾角的余弦值為，求.18．已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且.(1)求的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)（異于點(diǎn)）.（ⅰ）若，求；（ⅱ）過(guò)點(diǎn)與直線垂直的直線交于，兩點(diǎn)，設(shè)線段，的中點(diǎn)分別為，，是坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的取值范圍.19．已知.(1)求證：當(dāng)時(shí)，；(2)設(shè).（ⅰ）求證：數(shù)列為遞減數(shù)列；（ⅱ）求證：.答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)1．A【分析】由并集的運(yùn)算即可求解；【詳解】由，，則，故選：A2．D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法計(jì)算后可得正確的選項(xiàng).【詳解】，故選：D.3．D【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，由得，所以，即.故選：D.4．C【分析】利用組合知識(shí)和分步乘法計(jì)數(shù)原理得到答案.【詳解】從物理、歷史2門(mén)首選科目中選考1門(mén)，有種選擇，在思想政治、地理、化學(xué)、生物學(xué)4門(mén)再選科目中選考2門(mén)，有種選擇，故選考方案有種.故選：C5．B【分析】將向量、用基底表示，然后利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得的值.【詳解】如下圖所示：因?yàn)榈冗吶切蔚倪呴L(zhǎng)是，、分別是、的中點(diǎn)，則，由得，可得，由平面向量數(shù)量積的定義可得，因此，.故選：B.6．D【分析】利用特殊值判斷A、B、C，利用不等式的性質(zhì)判斷D.【詳解】對(duì)于A：當(dāng)，時(shí)滿足，但是，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：當(dāng)，時(shí)滿足，但是，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：當(dāng)，時(shí)滿足，但是，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若，則，所以，則，故D正確；故選：D7．B【分析】根據(jù)兩種放置方式水的體積不變即可求得.【詳解】如圖，設(shè)圓柱底面半徑為，則當(dāng)母線水平放置時(shí)，圓柱中含水部分可以看作是以弓形為底，為高的柱體，因?yàn)樗孢^(guò)的中點(diǎn)，則，則弓形的面積為，當(dāng)?shù)酌鎴A水平放置時(shí)，底面圓的面積為，設(shè)水面高為，則由水的體積不變可得：，即，解的：.故選：.8．D【分析】取特值解得，整理可得，換元令，構(gòu)建，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求臨界狀態(tài)，結(jié)合圖象即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，則，即，整理可得，解得，若，則，整理可得，令，則，可得，構(gòu)建，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，若與相切，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率，則切線方程為，整理可得，注意到直線過(guò)定點(diǎn)，則，整理可得，注意到，可得，即，可得，結(jié)合圖象可知：，所以的取值范圍是.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：取特指確定的必要條件，這樣可以簡(jiǎn)化討論和計(jì)算.9．ABC【分析】將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，求解長(zhǎng)軸判斷A，求解焦點(diǎn)坐標(biāo)判斷B，求解離心率判斷C，求解漸近線方程判斷D即可.【詳解】因?yàn)椋裕瑒t，化簡(jiǎn)得，則，對(duì)于A，則實(shí)軸長(zhǎng)為，故A正確，對(duì)于B，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，故B正確，對(duì)于C，離心率為，故C正確，對(duì)于D，漸近線方程為，故D錯(cuò)誤.故選：ABC10．BCD【分析】對(duì)于A：舉反例說(shuō)明即可；對(duì)于B：整理可得，即判斷奇偶性；對(duì)于C：整理可得，根據(jù)對(duì)稱性的定義分析判斷；對(duì)于D：代入可得，，兩式平方相加整理即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?duì)于選項(xiàng)A：例如，則，此時(shí)函數(shù)無(wú)最小正周期，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：若，即，可得，可知函數(shù)為奇函數(shù)，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：若，即，可得，則，所以是圖象的一條對(duì)稱軸，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：若，，可得，，因?yàn)椋矗砜傻茫蔇正確；故選：BCD.11．ABC【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出底面積，再利用點(diǎn)到平面的距離公式求出點(diǎn)面距離，求出體積是定值判斷A，利用線線角的向量求法求出線線角，得到定值判斷B，作出展開(kāi)圖，利用先判斷最小值是線段，再利用余弦定理求解其長(zhǎng)度判斷C，求出軌跡方程，再利用圓的弧長(zhǎng)公式求解弧長(zhǎng)判斷D即可.【詳解】如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，連接，設(shè)，，則，對(duì)于A，易得面的法向量為，設(shè)到面的距離為，由點(diǎn)到平面的距離公式得，而，則，即三棱錐的體積為定值，故A正確，對(duì)于B，因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，所以，而，，則，，得到，，解得，即，如圖，連接，由題意得，，則，，設(shè)異面直線與所成角為，則，而，故，即異面直線與所成角為定值，故B正確，對(duì)于C，如圖，將面沿著翻折，使面與面共面，由題意得四邊形是正方形，四邊形是矩形，得到，，故而，則的長(zhǎng)度即為所求最小值，由余弦定理得，解得，故C正確，對(duì)于D，如圖，連接，此時(shí)，，則由兩點(diǎn)間距離公式得，因?yàn)椋裕瑑蛇呁瑫r(shí)平方得，化簡(jiǎn)得，則的軌跡是以為圓心，為半徑的圓弧，由正方體性質(zhì)得，則弧長(zhǎng)為，即點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度不為，故D錯(cuò)誤.故選：ABC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，然后求解出軌跡方程，再利用弧長(zhǎng)公式得到所要求的軌跡長(zhǎng)度即可．12．##0.5【分析】利用指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)椋裕瑒t.故答案為：13．自行車(chē)公交車(chē)【分析】應(yīng)選擇在給定時(shí)間內(nèi)不遲到的概率大的交通工具，結(jié)合圖形，比較概率的大小可得答案.【詳解】由題意，應(yīng)選擇在給定時(shí)間內(nèi)不遲到的概率大的交通工具.根據(jù)和的分布密度曲線圖可知：，，可得，若有可用，那么騎自行車(chē)不遲到的概率大，應(yīng)選擇騎自行車(chē)；若有可用，那么坐公交車(chē)不遲到的概率大，應(yīng)選擇坐公交車(chē)；故答案為：騎自行車(chē)；坐公交車(chē).14．【分析】設(shè)直線為，求得縱坐標(biāo)，由求得的坐標(biāo)，代入橢圓方程即可求解.【詳解】由題設(shè)，令直線為，易得因?yàn)榭傻茫郑傻茫海俳Y(jié)合，可得代入橢圓方程，又，所以化簡(jiǎn)可得：，因?yàn)椋字裕此怨蚀鸢笧椋?15．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)面積公式運(yùn)算求解即可；（2）設(shè)角平分線為，根據(jù)面積關(guān)系運(yùn)算求解即可.【詳解】（1）因?yàn)椋缘拿娣e為.（2）設(shè)角平分線為，因?yàn)閯t，即，解得，所以的角平分線的長(zhǎng)為.16．(1)(2)至少后【分析】（1）根據(jù)題意分析可知，，可得，結(jié)合二項(xiàng)分步運(yùn)算求解；（2）由（1）結(jié)合期望的性質(zhì)可得，令，運(yùn)算求解即可.【詳解】（1）記后質(zhì)點(diǎn)向右移動(dòng)的次數(shù)為.則，且，可得，令，即，解得，則.（2）由（1）可知：，令，解得，所以至少后才能使得.17．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)可得，進(jìn)而根據(jù)四邊形是平行四邊形，即可求解，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求解平面法向量，即可根據(jù)向量的夾角公式求解.【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，則，即、、、四點(diǎn)共面，∵平面，平面,平面平面，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴是的中點(diǎn)（2）∵，平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，過(guò)平行于的直線為軸，建立坐標(biāo)系.記，則，，，，.設(shè),則，即點(diǎn)的坐標(biāo)為,，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，則，因?yàn)槠矫媾c平面的夾角余弦值為，所以.整理得,解得或（舍），所以.18．(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ）【分析】（1）根據(jù)焦半徑公式以及點(diǎn)的坐標(biāo)即可聯(lián)立方程求解，（2）聯(lián)立直線與拋物線的方程，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解，進(jìn)而根據(jù)焦點(diǎn)弦公式求解（ⅰ），根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)求解直線的方程，即可直線與軸的交點(diǎn)，根據(jù)三角形面積公式，結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】（1）由題意可得，解得或（舍）.所以的方程為（2）（ⅰ）由（1）可得.設(shè)直線的方程為，，.由方程組，消去，得，則，所以，.由可得解得或（舍）.所以直線的方程為.；（ⅱ）由（ⅰ）可得，故故，將換成可得，當(dāng)時(shí)，或，故直線的方程為，當(dāng)時(shí)，，故直線的方程為，令，得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以面積的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值與范圍問(wèn)題的常見(jiàn)求法：（1）幾何法，若題目的條件能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值，如本題需先將的面積用表示出來(lái)，然后再利用基本不等式長(zhǎng)最值．19．(1)證明見(jiàn)解析(2)（ⅰ）證明見(jiàn)解析；（ⅱ）證明見(jiàn)解析【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，并構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可證明出不等式；（2）（ⅰ），令，，構(gòu)造函數(shù)并求導(dǎo)，即可求解函數(shù)的單調(diào)性，從而得到數(shù)列的單調(diào)性，即可得證.（ⅱ）由題意