第五節空間向量及其運算

考試要求：1.了解空間直角坐標系，會用空間直角坐標系刻畫點的位置，會簡

單應用空間兩點間的距離公式.

2.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及意義，掌握空間向量的正

交分解及其坐標表示.

3.掌握空間向量的線性運算及其坐標表示，掌握空間向量的數量積及其坐標表

示.能用向量的數量積判斷向量的共線和垂直.

二必備知識-回顧教材重“四基”二

一、教材概念-結論-性質重現

1.空間向量的有關概念

名稱概念表示

零向量長度（模）為Q的向量0

單位向量長度（模）為L的向量

相等向量方向粗目且模相差的向量a=b

a的相反向量為一

相反向量方向相反且模相等的向量

a

表示空間向量的有向線段所在的直線

共線向量a//b

互相平行或重合的向量

共面向量平行于同一個平面的向量

2.空間向量中的有關定理

定理及推論語言描述

對任意兩個空間向量a,b（〃WO）,a〃方0存在

共線向量定理

使〃=幼

如果兩個向量。，力不共線，那么向量p與向量

共面向量定理a，b共面o存在唯一的有序實數對（X,刃，使〃

=.m+）力

如果三個向量mb,c不共面，那么對任意一

空間向量基本定理

個空間向量P，存在唯一的有序實數組（X,?

z),使得p=xa+)力+zc

設。，A,B,C是不共面的四點，則對平面

A8C內任一點P,都存在唯一的三個有序實數

推論

x,y,z,使而=八成+)麗+z沆，且x+y+z

=1

微提窿”■?

空間向量基本定理的3點注意

(1)空間任意三個不共面的向量都可構成空間的一個基底.

(2)由于零與任意一個非零向量共線，與任意兩個非零向量共面，故零不能作為基

向量.

(3)基底選定后，空間的所有向量均可由基底唯一表示.

3.空間向量的數量積

(1)兩向量的夾角

①已知兩個非零向量a,b,在空間任取一點O,作57=。，OB=b,則NAO8叫

做向量a,力的夾角，記作(a，b).

②范圍：0W<?,b)WTL

(2)兩個非零向量a,b的數量積：a?方=|〃|仍|cos〈a,b〉.

4.空間向量的坐標表示

設a—(。1,42,43),力一(〃1,〃2,Z?3).

名稱向量表示坐標表示

數量積a?ba山i+“23+a3b3

共線a=?(brO,2WR)〃1=勸1,。2=2歷，。3=，>3

垂直a?方=0(oW0,入關0)aibi+"2岳+。3岳=0

,+諼+諂

模lai

cos(a,b)=

夾角(A,b)(aWO,〃W0)。1瓦+Q2b2+Q3b3

y/a1+?2+a3,J*+園+必

5.常用結論

(1)證明空間任意三點共線的方法

對空間三點P,A,3可通過證明下列結論成立來證明三點共線：

①麗=2函AGR).

②對空間任一點O,OP=OA+tAB(t^R).

③對空間任一點O,OP=xOA+y^OB(x+y=\].

(2)證明空間四點共面的方法

對空間四點P,M,A,B,除空間向量基本定理外，也可通過證明下列結論成立

來證明共面：

①麗二,而+)麗.

②對空間任一點O,OP=OM+xMA

③兩〃而(或刀〃就或而〃府).

二、基本技能?思想-活動經驗

1.判斷下列說法的正誤，對的畫“J”，錯的畫“X”.

(1)空間中任意兩個非零向量。，?共面.(J)

(2)在向量的數量積運算中，(a?力)??S?c).(X)

(3)對于非零向量5,若a?b=b?c,則4=，(X)

(4)空間中模相等的兩個向量方向相同或相反.(X)

⑸若。?加：0,則Q,b＞是鈍角.(X)

2.設〃=(—2,2,/),v=(6,—4,4)分別是平面a,萬的法向量.若a_L夕，則

/=()

A.3B.4

C.5D.6

C解析：因為a_L4所以〃?y=-2X6+2X(—4)+4/=0,解得1=5.

3.在平行六面體A8CQ-A81aA中，M為4a與亂"的交點.若而=〃，AD

=b,萬(尸。，則下列向量中與前相等的向量是()

g.c,

F/B,

AB

A.—%+與+c

22

B.

22

C.--a--ZF+C

22

D.3一g+c

A解析：麗=西+麗=國+工（而一說）=c+X>-a）=—匕+4+c.

2222

4.正四面體ABCD的棱長為2,E,F分別為BC,AD的中點，則EF的長為

V2解析：|而|2=前2=（說+而+而）2=反2+萬2+而2十2（說.而+

EC?DF+CD?DF）=1*24-22+12+2（1X2XCOS120°+0+2X1XCOS120°）=2,

所以|而尸所以EF的長為

--------、關鍵能力?研析考點強“四翼”/---------

考點1空間向量的線性運算一基礎性

「多維訓練」

1.在空間四邊形O/WC中，OA=a,OB=b,OC=c,點M在0A上，且0M=

2MA,N為3c的中點，貝］麗等于（）

A.

B.

C.

D.

32

B解析：￥N=ON-OM=-（OB+OC）--OA=--a-h-b+-c.

2'3322

2.在正方體48CD-481G￡>i中，點￡為上底面4a的中心.若荏=踞十大而

十）劉，則不），的值分別為（）

A.1,1B.I,

2

C.-,-D.-1

222f

C解析：AE=AA^+A^E=AAi+=AA1++/1D）,故x=g,y=^.

3.如圖，在長方體中，。為AC的中點.

⑴化簡：項-述—述=；

(2)用荏，AD,麗表示遍，則鬲=

(1)^4(2)-AB+-AD+AA^

22

解析：⑴砧檢而=砧-］而+而尸砧一而=初+函=中.

⑵因為沆=3近="而+而)，所以西=沆+鬲="而+而)+甌=

工而+工而+踞.

221

解題通法

進行向量線性運算時，需注意以下幾個問題：一是結合羽象明確圖中各線段的幾

何關系；二是要準確運用句量加法、減法與數乘運算的幾何意義(易出現用錯運

算法則)；三是注意平面向量的三角形法則和平行四邊形法則在空間仍然成立.

考點2共線向量定理、共面向量定理及其應用——應用性

「典例引領」

例口.，(1)已知a=q+l,0,2),6=(6,2〃-1,22),若。〃0則2與"的值可

以是()

A，2,\B.W"

C.-3,2D.2,2

A解析：因為a//b,所以。=Wr(A￡R),即(6,2//-1,2/l)=k(2+l,0,2),所

僅―，，第=2,3,

(2A=2/c,I"-2^~2-

(2)已知。=(2,-1,3),萬=(一1,4,-2),c=(7,5,2),若a,b,c三向量共

面，則實數/等于.

Y解析：由題意，可設。=動+)，％故(2,-1,3)=工(一1,4,-2)+>>(7,5,

(r+7y=2,

即卜x+5y=—1,解得力=攀

\-2x+4y=3,

(3)已知A,B,C三點不共線，對平面ABC外的任一點。，若點M滿足麗=

^(0A+O§+0C).

①判斷拓5,而，就三個向量是否共面，并說明理由；

②判斷點M是否在平面ABC內，并說明理由.

解：①由已知得耐+礪+沆=3旃，所以雨一麗=(麗一礪)+(麗一爐),

即為5=而7+=-MC,

所以而L砒,而共面.

②由①知為J,MB,就其而且過同一點M,所以M,八，B,C四點共而，從而

點M在平面48c內.

解聯通法

證明點共線、點共面的方法

(1)，正明點共線的方法

證明點共線的問題可轉化為證明向量共線的問題，如證明A,8,。三點共線，

即證明四，前共線，即證明方=).而(扭0).

(2)證明點共面的方法

證明點共面問題可轉化為證明向量共面問題，如要證明P,A,B,。四點共面，

只要能證明方=不而+)，玩或對空間任一點。，有57=麗+工麗或而=

工雨+)萬石+2小。+)，+2=1)即可.共面向量定理實際上也是三個非零向量所在

直線共面的充要條件.

多維訓練」

如圖，在三棱柱中，。為8c邊上的中點，求證：Ai8〃平面4Go.

A

證明：設瓦?=%^C=b,BB；=c,則B4；=而+44；=而+BB；=c+c,彳5=

AB+BD=AB+逆=一叫從AC^=AC+CC^=BC-~BA+麗』-”+c,

所以西=福一2而.

因為4陽平面AGO,所以4出〃平面AGD.

考點3空間向量的數量積及其應用——應用性

典例引領」

考向1空間數量積的運算

例?，已知點。為空間直角坐標系的原點，向量萬?=(1,2,3),麗=(2,1,2),

0P=(\,1,2),且點。在直線。戶上運動.當彼?麗取得最小值時，曲的坐

標是?

G，rI)解析：因為點Q在直線OP上，所以設點QG,2,2x),則西=(1

—A,2T,3—22),QB=(2T,IT,2—22),QA,QS=(1—A)(2—z)+(2—A)(l

2

一2)+(3—22)(2—22)=6/—⑹+10=6。-J一3當時，口？?麗取得最

小值一；.此時的=行，：，!).

解聯通法

空間向量的數量積運算有兩條途徑，一是根據數量積的定義，利用模與夾角直接

計算；二是利用坐標運算.

考向2空間數量積的應用

例?，如圖，已知平行六面體A8CD-48IGOI中，底面A8CO是邊長為1的正方

形，AA}=2,ZAiAB=ZA\AD=\20°.

⑴求線段AG的長；

(2)求異面直線AG與4。所成角的余弦值；

(3)求證：A4_LBO.

C.

B

(1)解：設而=%AD=b,AA^=c,則同=步|=1,|c|=2,a?^=0,c?a=c?h

=2XlXcos120°=-!.

因為福=尼+西=而+而+曲=。+6+。，

所以|AC^|=|。+力+c|=J(a+b+c-=

y/\a\2+\b\24-\c\24-2(ab+b?c+c-a)=J/+/+22+2x(0-1-1)

=V2.

所以線段4G的長為

(2)解：設異面直線ACi與AiD所成的角為仇則cos^=|cos〈宿.乖〉|=

AC^A^DI

|福1懷叫卜

因為4c；=a+l+c,A1D=b—c,

所以4cl?4]D=3+b+c)?(b~c)=a,b~a?c+^2—c2=0+14-12-22=-2,

O=V(b-cy=yj\b\2-2b-c+|c|2=Vl2-2x(-1)+22=V7,

所以cosH==I二2I=—,

故異面直線AC\與MD所成角的余弦值為手.

(3)證明：因為Bi4；=c,前=〃一a,所以彳否?麗=c?俗一a)=c?b—c?a=(一

1)-(-1)=0,

所以麗*_L而，所以

解題通法

空間向量數量積的兩個應用

設向量明6所成的角為仇則cosg臉進而可求兩異

求夾角同向

面直線所成的南

求長度（距離）運用公式⑷2=。?%可使線段長度的計算問題轉化為向量

數量積的計算問題

「多維訓練」

在空間四邊形A8CD中，AB*CD+AC-DB+AD-~BC=()

A.-1B.0

C.1D.不確定

B解析：如圖，令而=a,AC=b,AD=cf則而?麗+而?'DB+AD-BC=

a,(c-。)十。?(a—c)+c,[b-a)=a?c~a,b~\~b?a~b,c~\-c,b~c?a=().

課時質量評價(三十六)

A組全考點鞏固練

1.(2022?青島質檢)已知向量。=(1,1,0),/>=(-!,0,2),且妨+》與%一

力互相垂直，則k的值是()

A.-B.2

5

C.-D.I

3

A解析：因為a=(l,1,0),￡>=(-1,0,2),所以。?力=一1,|。|=四，|例=

V5,又履十方與2。一方互相垂宜，所以伏。+6)?(2。-6)=0,PfJ2k\a\2—ka?b~\r

2。?力一|加2=0,即4k+A—2—5=0,所以k=：.

2.(2022?江西新余月考)己知。=(312,—3),力=(2,/+2,1),若。〃4則

實數t的值為()

A.15B.—6

C.-4D.-3

B解析：因為。=(/,12,—3),力=(2,l+2,1),且。〃從所以存在實數九

t=22,

使得。=助，即Q,12,一3)=2(2,f+2,1),所以12=X(t+2),解得

-3=A,

故選B.

3.如圖，在三棱錐0-A3C中，點P,Q分別是04BC的中點，點。為線段

PQ上一點,且而=2麗.若記0B=b,0C=c,則麗=（）

。？+/+產D-乎+#+薩

A解析：0D=0P+~PD=-0A+-PQ=-0A-{--(0Q-0P)=-0A+-0Q-

232323

2而=工科+(而+玩)—?xL畫=工郎+工赤+工沆=%+4+二.故選

3232、'32633633

A.

4.已知平面。內有一點M(l,-1,2),平面a的一個法向量為〃=(6,-3,6),

則下列點P中，在平曲a內的是()

A.P[2,3,3)B.P(-2,0,1)

C.尸(一4,4,0)D.P(3,-3,4)

A解析：對于選項A,麗=(1,4,1),所以而?〃=6—12+6=0,所以而_L

所以點P在平面a內，同理可險證其他三個點不在平面a內.故選A.

5.如圖，在大小為45。的二面角小月￡。中，四邊形人《尸氏CQEb都是邊長為

1的正方形，則8,。兩點間的距離是（）

A.V3B.V2

D.V3-V2

2

D解析：因為前=前十屈十前，所以|前|2=|百7|4-|FE|2+|FD|2+2FF-FE

+2FE?~ED+2BF?麗=1+1+1一&=3一加,故|麗|=13-VI

6.（多選題）設兒何體ABCD-Ai8cMi是棱長為。的正方體，4C與相交于

點O,則下列結論正確的是（）

A.AyBi?AC=crB.AB-AYC=>j2cr

C.CD-AB{=-(rD.AB?A^0=^2

ACD解析：如圖，建立空間直角坐標系，則AQ0,0),B(a,a,0),C(0,a,

0),D(0,0,0),OiQ0,a),Bi(ata,a)tO住,1),所以石京=(0,a,

0),AC=(—ata,0),JS=(O,a,0),AxC=(—a,a,—?),而=(0,-a,0),

而i=((),〃，a),初=(一??一3.所以?尼=/,故A對；麗?中

2

=R故B錯；而?ABi=~af故C對；祠?硒=夕2,故D對.故選ACD.

——f.

7.己知V為矩形A8C。所在平面外一點，且％=WB=VC=VQ,VP=^VC,

VM=^VB,兩=：7S.則U4與平面PMN的位置關系是.

平行解析：如圖，設記?=%VB=b,VC=c,則而=Q+C—萬，

由題意知前二|一孑,而=|而一通因此謂嚀前盛麗，所

以西，PM,麗共面.

又以Q平面PMN,所以13〃平面PMN.

8.已知。=(1,一3,2),力=(-2,1,1),點4一3,—1,4),8(—2,-2,2).

⑴求|2a+5|.

(2)在直線A8上，是否存在一點E,使得屈J_b?若存在，求出點E的坐標；若

不存在，請說明理由.(O為原點)

解：(l)2a+Z>=(2,—6,4)+(—2,1,1)=(0,-5,5),^|2a+^|=>/O2+(-5)24-52

=5企.

(2)令荏=/彳§(f￡R),所以癰=而+荏=雨+濟石=(-3,-1,4)4-z(l,一

1,-2)=(-3+r,-\-t,4-2r).若。￡_Lb,則。爐?b=0,所以一2(—3+。+

(一1一。+(4—21)=0,解得/=，

因此存在點E,使得屈_1_從此時點￡的坐標為(一,,-I).

B組新高考培優練

9.(多選題)已知向量。?方=力?c=a?c,b=(3,0,—1),c=(—1,5,—3),

下列等式中正確的是()

A.(a?b)c=b?c

B.(〃+5)?c=a?(b+c)

C.(。+8+。)2="2+%2+。2

D.\a-Vb^c\=\a-b-c\

BCD角?析：由題意知力?c=-3+0+3=0,所以a?b=b,c=a,c=0,(a,h)c

=0,b?c=0,不相等，所以A選項錯誤；(a+b)?c~a?(b+c)=a?c+力?c~

a?h—a?c=O,所以(〃+b)?c.=a?(方+c),所以R選項正確：(/z+h+r)2=/z2+

b2+c2-\~2a?b~\~2b?c+2a?c=a2+Z>2+c2,所以C選項正確；(a—ft—c)2=a2+

b2-\~c2-2a,b-\-2b?c-2。-c=a24-ZF2+c2,即(a+b+c)2=(a-b-c)2,|a+5+

c\=\a-b-c\,所以D選項正確.

10.(2023?濱州模擬)在四面體ABC。中，P在面A8C內，。在面8CO內，口

滿足而=工荏+.V而，AQ=sAB-\-tAC+/iAD,若］二：則下面表述中，線段AQ

與DP的關系是()

A.A。與。P所在直線是異面直線

B.AQ與。p所在的直線平行

C.線段AQ與。P必相交

D.線段AQ與。尸延長后相交

C解析：若x=s=0,則而=/正+〃；詬，所以而=：而+"；而，所

以A,P,D,。四點共面；

若—則#0,則三=￡,設三=工=攵，所以s=Ax,t=ky,

xyxy

所以而=s荏+/而+//AD=ksAB+kyAC+〃而=kAP+,〃而，

所以A,P,D,Q四點共面；

又4Q,DP不平行，

綜合以上有，線段AQ與DP必相交.

11.（多選題）已知空間向量。=（一2,-1,1）,1=（3,4,5）,則下列結論正確的

是（）

A.（加+力〃。

B.5同=加|

C.皿5。+6?

D.。與》夾角的余弦值為一手

BCD解析：對于A,因為%+力=（-1,2,7）,所以三戶￡,A錯誤；對于

B,因為同=44+1+1=乃,B=V9+16+25=5四,所以5同=8|臼=5遍，

B正確；對于C,因為a?]5。+65）=5。2+6。?〃=30+6X（—6—4+5）=0,所以

。_1_（5。+6力），C正確；對于D,因為。?力=-6—4+5=—5,所以cos〈a,b）

=黑=—=一叵D正確.故選BCD.

|a||b|V6x5x/26'

12.（多選題）如圖，在正方體A8CD-4叫GG中，A4=3,點M,N分別在棱48

和上運動（不含端點）.若DQMN,則下列命題正確的是（）

A.MN1A\M

B.MN_L平面。iMC

C.線段BN長度的最大值為:

4

D.三棱錐G-AIOIM體積不變

ACD解析：在正方體ABCD-AiBiGn中，以點。為原點，射線DA,DC,DD\

分別為T,y,z軸非負半軸建立農間百南坐標系，如圖，

則4(3,0,3),Oi(0,0,3),C(0,3,0),B(3,3,0).設M(3,y,0),N(3,

3,z),y,zG(0,3),D^M=(3,yf-3),MN=(0,3—)，，z),而。則

方源?麗?=y(3—y)—3z=0=z=/y(3—y).對于A選項，A1M=(0,y,—3),則

A^M?MN=y(3-)9-3z=O=>^M-LA^V?MN_L4M,A正確；

對于B選項，CM=(3,y-3,0),而?麗=。-3)(3—)，)=一(3—)，)2<0,即CM

與MN不垂直，從而MN與平面。iMC不垂直，B不正確；

對于C選項：麗=(0,0,z),則線段8N長度|麗|=z="一(y+?<-,

當且僅當時等號成立.C正確：

對于D選項，不論點M如何移動，點M到平面AiDCi的距離均為3,而%廠必小河

19

=%-A必q=3.3?SfM1C1=2?

三棱維G-AQ1M體積為定值，即D正確.故選ACD.

13.(2022?河南濮陽一模)如圖所示，正方體ABC。-48clG的棱長為4,MN

是它內切球的一條弦(我們把球面上任意兩點之間的線段稱為球的弦)，P為正方

體表面上的動點，當弦MN的長度最大時，西-麗取值范圍是

(0,8］解析：當弦MN的長度最大時，弦過球心。，如圖，建立空間直角坐標

系，不妨設M,N是上下底面的中心，

則頌2,2,4),M2,2,0),P(xtyfz)tPM'=(2—x,2-y,4-z),PN=(2~

x,2-yf-z),則由?麗=(2-x>+(2-y)2-z(4—Z)=(X-2)2+GL2)2+(Z-

2戶一4,而(x—2)2+。-2)?+(z—2>表示點P(x,y,z)和定點(2,2,2)距離的平

方，很顯然正方體的頂點到定點(2,2,2)距