第七節函數的圖象

考試要求：1.會畫一些函數的圖象，理解圖象的作用.

2.會運用函數圖象理解和研究函數的性質，解決方程解的個數與不

等式解的問題.

-------.必備知識?回顧教材重“四基7------------

一、教材概念-結論-性質重現

1.利用描點法作函數圖象

其基本步驟是列表、描點、連線.

首先：①確定函數的定義域；②化簡函數解析式；③討論函數的性質(奇偶性、單

調性、周期性、對稱性等).

其次：列表(尤其注意特殊點、零點、最大值點、最小值點、與坐標軸的交點等).

最后：描點，連線.

2.函數圖象的變換

(1)函數圖象平移變換八字方針

①“左加右減”，要注意加減指的是白變量.

②“上加下減”，要注意加減指的是函數值.

(2)對稱變換

①/U)與八一x)的圖象關于y軸對稱.

②/U)與一/U)的圖象關于戈軸對稱.

(3)翻折變換

①|/U)I的圖象是將凡0的圖象中X軸下方的圖象對稱翻折到X軸上方,X軸上方的

圖象不變.

②A國)的圖象是將'/U)的圖象中X軸右側的圖象不變,再對稱翻折到y軸的左側.

(4)關于兩個函數圖象對稱的三個重要結論

①函數尸危)與y=?2ar)的圖象關于直線x=a對稱.

②函數與v=2〃一八2〃一x)的圖象關于點(a,/?)中心對稱.

③若函數y=/U)的定義域內任意白變量x滿足_/(a+x)=/(a—x),則函數y=J(x)

的圖象關于直線尸。對稱.

(5)函數圖象自身的軸對稱

①/(一1)=火用=函數)，=/(/)的圖象關于y軸對稱.

②函數)，=")的圖象關于對稱鈍A〃+x)=A〃一幻笆/(幻=/(2〃一幻=7(一匯)=

/(2a+x).

③若函數y="r)的定義域為R,且有/(a+x)=A〃-x),則函數.y=/&)的圖象關

于直線左蘭對稱.

(6)函數圖象自身的中心對稱

0/l-x)=一人工)=函數)，=/(幻的圖象關于星臣對稱.

②函數y=/(x)的圖象關于(m0)對稱鈍/(。+幻=一八。一/)e")=一八2〃一外的八一

x)="7(2a+x).

③函數yfx)的圖象關于點(a,8)成中心對稱o艮a+x)=2Z?—/(a—x)=/(x)=2b—

fl2a-x).

二、基本技能?思想-活動經驗

1.判斷下列說法的正誤，對的畫“J”，錯的畫“義”.

(1)當x￡(0,+8)時，函數)=[/W|與丁=/(因)的圖象相同.(X)

(2)函數產0U)與｝，=/(斕3>()且。W1)的圖象相同.(X)

(3)函數)，=凡￥)與y=-/U)的圖象關于原點對稱.(X)

(4)若函數y=/u)滿足#1+外=人1一幻，則函數./U)的圖象關于直線X=1對稱.

(J)

2.函數J(x)=x+；的圖象關于?()

A.y軸對稱

B.x軸對稱

C.原點對稱

D.直線y=x對稱

C解析：因為火幻是奇函數，所以該函數的圖象關于原點對稱.

3.函數)，=一厘的圖象()

A.與)，=e'的圖象關于)，軸對稱

B.與)，=匕，的圖象關于坐標原點對稱

C.與)的圖象關于)，軸對稱

D.與）=er的圖象關于M標原點對稱

D解析：由點（x,y）關于原點的對稱點是（一工，一y）,可知D正確.

4.若圖中陰影部分的面積S是關于/?的函數（（）</?<，），則該函數的大致圖象是

（）

B解析：由題圖知，隨著/?的增大，陰影部分的面積S逐漸減小，且減小的越

來越慢，結合選項可知選B.

廿03c（fl%+6,%<-1,4e幺'eul—me

5.若函數的圖象如圖所小，則大一3）等于（）

.ln（x+a）,x>-1

A.--B.—-

24

C.11D.-2

C解析：由圖象可得—a+b=3,ln(—l+a)=O,得a=2,8=5,所以/U)=

2%+5,x<-1,

故式-3)=2乂(-3)+5=-1.故選C.

Jn(x+2),x>-1,

、關鍵能力-研析考點強“四翼”/---------

考點1作函數的圖象----基砒性

多維訓練

分別作出下列函數的圖象：

⑴y=|igM；

⑵尸24

（3）y=^-21x1-1.

解：（1）,，=［也"'X-lf圖象如圖⑴所示.

l-lgx,0<%<1.

染

圖⑴

（2）將），=2'的圖象向左平移2個單位長度.圖象如圖⑵所示.

圖Q)

(X2—2x—1,XNO,小人，小”一

(3)y=[°圖象如圖(3)所示.

,x2+2%-1,x<0.

解題通法

解決這類問題要優先考慮直接法，以及由函數解析式直接得出函數圖象（一般都

是我們熟悉的基本初等函教），或者利用圖象變換（如平移、翻折、對稱）得出函數

圖象的方法.

考點2判斷函數的圖象——綜合性

「典例引領」

考向1由函數的解析式判斷圖象

例⑴函數,/U）=2C；：—M在［_兀,兀］上的圖象大致為］）

所以7U)為偶函數，排除c.

又因為鰭)=一喘＜。，加)=_誓＞一誓＞7,

所以排除BD.故選A.

(2)設函數jtx)=xcosx—sinx的圖象上的點(xo,yo)處的切線的斜率為k若k=

g(xo),則函數g(x)的大致圖象為()

B解析：由J(x)=xcosx-sinx求導得f(x)=cosx-xsin%—cosx=—xsinx,

于是得g(x)=—xsinx,顯然g(—x)=—(—x)sin(—x)=g(x),即函數&=g(i)是偶

函數，A,D選項不滿足；

當xo=E時，k=一」Y(),顯然C不正確，B正確.故選B.

612

解題通法

由函數的解析式判斷函數圖象的技巧

(1)從函數的定義域，判斷圖象的左右位置：從函繳的值域，判斷圖象的上下位置.

(2)從函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢.

(3)從函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性.

(4)從函數的周期性，判斷圖象的循環往復.

(5)從函數的特征點，排除不符合要求的圖象.

考向2由動點探究函數圖象

例?，，在2h內將某種藥物注射進患者的血液中，在注射期間，血液中的藥物含

量呈線性增加；停止注射后，血液中的藥物含量呈指數衰減.下面能反映血液中

藥物含量Q隨時間/變化的圖象是()

B解析：依題意，在2h內血液中藥物含量。持續增加，停止注射后，。呈指

數衰減，圖象B適合.

解題通法

借助動點探究函數圖象的兩種方法

(1)根據已知條件求出函數解析式，然后判斷函數的圖象.

⑵采用“以靜觀動”，即將動點處于某些特殊的位置考查圖象的變化特征，從而

作出選擇.

多維訓練

I.己知圖⑴中的圖象是函數y=/U)的圖象，則圖(2)中的圖象對應的函數可能是

()

A.B.y=|/WI

C.y=J(-\x\)D.

C解析：對于選項A,x>()時，圖象應與圖①中x>0時的圖象一致，所以選

項A錯誤：因為圖(2)是一個偶函數的圖象，因此排除選項B:對于選項C,

0時，圖象應與圖①中xVO時的圖象一致，又因為)，=/一|川)是偶函數，所以該

選項正確；對于選項D,由），=一八一|川）可知，該函數的圖象應將選項C中的函

數圖象沿工軸旋轉180。得到，所以選項D錯誤.

B解析：設丁=<幻=舞，則函數KO的定義域為3"0},關于原點對稱，

又大一1）=會展=*幻，所以函數/U）為偶函數，排除AC;

當x￡（0,1）0+,ln|x|<0,?+2>0,所以風。<0,排除D.故選B.

3.（2022?河北高三模擬）為了得到函數），=log24=I的圖象，可將函數y=log以

的圖象上所有的點（）

A.縱坐標縮短到原來的,橫坐標不變，再向右平移1個單位長度

B.橫坐標縮短到原來的:縱坐標不變，再向左平移1個單位長度

C.橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再向右平移1個單位長度

D.縱坐標伸長到原來的2倍，橫坐標不變，再向左平移1個單位長度

1

A解析：y=logaVx-1=log2（x—1）2=1log2（.r—1）,由y=】og2x圖象的縱坐標

縮短到原來的右橫坐標不變，可得），=卞og”的圖象，再句右平移1個單位長度，

可得.y=mog2（x—1）的圖象，也即N=log2Vx-1的圖象.故選A.

考點3函數圖象的應用——應用性

典例引領

考向1研究函數的性質

例?，己知函數./U）=x|x|-2x,則下列結論正確的是（）

A../U）是偶函數，在區間（0,+8）上單調遞增

B.火x）是偶函數，在區間（-8,1）上單調遞減

C./U）是奇函數，在區間（一1,1）上單調遞減

D./U）是奇函數，在區間（一8,0）上單調遞增

「一’畫出函數/㈤的圖象，如圖.

-X2-2工，x＜0,

解題通法

利用函數的圖象研究函數的性質

（1）從圖象的最高點、最低點，分析函數的最值、極值.

（2）從圖象的對稱性，分析函數的奇偶性.

（3）從圖象的走向趨勢，分析函數的單調性、周期性.

考向2解不等式

例。*已知函數段）在R上單調且其部分圖象如圖所示.若不等式一2磯r+f）＜4

的解集為（一1,2）,則實數，的值為_________.

1解析：由圖象可知不等式-2勺&+/）＜4即為人3）勺U+z）＜7（0）,故x+/￡（0,

3）,即不等式的解集為（一/,3-/）.依題意可得/=1.

解題通法

當不等式問題不能用代數法求解或用代數法求解比較困難，但其對應函數的圖象

可作出時，常將不等式問題轉化為兩函數圖象的位置關系問題，從而利用數形結

合思想求解.

考向3求參數的取值范圍

例??設函數/U)=|x+a|,g(x)=x-1,對于任意的x￡R,小等式7U)1ga)恒成

立，則實數。的取值范圍是.

[―1,4-°°)解析：作出函數/U)=|x+a|與g(x)=x—1的圖象，觀察圖象可知，

當且僅當一即〃2—1時，不等式人工)2g(x)恒成立，因此〃的取值范圍是

[-1,+刃).

同源異考/

在本例中，若將“g(X)=X-l”改為“g(x)=x+l"，結果如何？

[1,+8)解析：作出函數y(x)=|x+a|與g(x)=x+l的圖象，如圖，觀察圖象可

知，當且僅當一4<一1,即時，不等式J(x)2g(x)恒成立，因此々的取值范

圍是[1,+oo).

解題通法

與函數相關的不等式問題的求解方法

當不等式問題不能用代數法求解時，常將不等式問題轉化為兩個函數圖象的上下

位置關系問題，從而利用教形結合法求解.

「多維訓練」

1.下列函數)，=凡0的圖象中，滿足;0)>人3)>42)的只可能是()

D解析：因為/(：)>43)>42),所以函數人t)有增有減，排除AB.在C中，人3)

>/2)=/(0)>/(0,即店)<次3),排除C.故選D.

2.已知函數=1].若0V且&7)=力力，則〃的取值范圍是()

A.(0,+°°)B.(1,+8)

C.(1,V2)D.(1,2)

C解析：作出函數大幻=|『一1|在區間（0,+8）上的圖象，如圖所示.作出直線

y=1,交八彳）的圖象于點8.由X2—1=1可得內?=企，結合函數圖象可得力的取

值范圍是（1,V2）.

3.使log2（-x）<r+1成立的%的取值范圍是.

（―1?0）解析：在同一直角坐標系內作出y=log2（一工），y=x+l的圖象，知滿

足條件的工￡（一1,0）.

4.對記max{a"}=『‘"'則函數JU)=max{b+1|,|x—2|}(x￡R)

力,a<b,

的最小值是

|解析：函數兀r）=max{|;r+l|,|x—2|}（x￡R）的圖象如圖所示.由圖象可得，其

最小值為|.

廠廠2|'JHX+1|

/獷

課時質量評價（十二）

A組全考點鞏固練

1.（2023?威海月考）已知函數>=以）的部分圖象如圖所示，則該函數的解析式

可能為（）

y

一二二一

-101x

八0、sinx

A./x)=—

ex-e

B.於尸

C./(x)=|sinx|cosx

D.J(x)=In(V%2+1—x)+sinx

A解析：函數的定義域為3/0},故排除選項CD;

又當x>0時，眇>廣》,則竺E>0,故排除選項B.故選A.

X

2.(2022?全國甲卷)函數y=(3』3r)cosx在區間［4，外的圖象大致為()

AB

CD

A解析：令段)=(3J3-x)cosx,,，

則式—x)=(3~r—3v)cos(—x)=-(3V-3-r)cosx=-/(x),

所以/U)為奇函數，排除BD;

又當x￡(0,以時，3、一3r>0,cosx>0,所以./U)>0,排除C.故選A.

3.已知.*公+1)是奇函數，則函數)，=?2x)的圖象關于下列哪個點中心對稱()

A.(1,0)B.(-1,0)

C.“0)D.(-1,0)

C解析：因為八2r+l)是奇函數，所以,/(2x+l)的圖象關于原點成中心對稱.而

的圖象是由y(2x+l)的圖象向右平移3個單位長度得到的，故y=/(2r)的圖象

關于點G，0)中心對稱.

4.(多選題)幾何學中把變換前后兩點間距離保持不變的變換稱為剛體變換.在平

面中作圖形變換，易知平移變換是一種剛體變換.以下兩個函數人》)與g(x),其

中g(x)能由/U)通過平移剛體變換得到的是()

A.J(x)=sinx,g(x)=cosx

B./(x)=x2,^(^)=.r+2￥

C.於)=2,g(x)=2x+1

D./(x)=logxr,g(x)=log。

ABC解析：根據題意，，衣次分析選項：

對于A,Xx)=sinx,g(x)=cosx=sin(%+：),即g(x)=7(x+g(x)可以由於)

通過平移剛體變換得到；

對于B,yU)=f,g(x)=f+2x=(x+1)2—1,即g(x)=?r+l)—I,g(x)可以由/U)

通迂可移剛體變換得到；

對于C,yu)=2，，g(x)=2*+l,即g(x)=/u)+l,g(x)可以由J(x)通過平移剛體變

換得到；對于D,於)=log2X,g(x)=log4X=扣g以，g(萬不能由危)通過平移剛體

變換得到.故選ABC.

5.已知函數,/U)的圖象如圖所示，則函數式i)=log々/Xx)的定義域是.

(2,8]解析：當火#>0時，函數g(x)=loge/(x)有意義，由函數火幻的圖象知

滿足危)>0的x￡(2,8].

6.設/U)=2F,g(x)的圖象與7U)的圖象關于直線y=x對稱，力。)的圖象由g(.t)

的圖象向右平移I個單位長度得到，貝iJMx)=.

log2(K—I)解析；與?v)的圖象關于直線y=x對稱的圖象所對應的函數為g(K)

=-logxr,再將其圖象右移I個單位長度得到h[x}=-log2(x—1)的圖象.

]nxx1

7.設函數yu)='_'則歐o))=________；若川〃)>1,則實數機的

,1-X,無<1,

取值范圍是.

0(-8,0)U(e,+8)解析：4(0))=/⑴=In1=0.如圖所示，可得兒t)=

Inx%>1

'一'的圖象與直線y=l的交點分別為(0,I),(e,1).若則

,1-%,%<1

實數〃？的取值范圍是(一8,0)U(e,+oo).

123456x

8.(2022?許昌模擬)已知函數/U)=

(1)在如圖所示的直角坐標系內畫出人￥)的圖象;

(2)寫出凡K)的單調遞增區間；

(3)由圖象指出當x取什么值時?r)有最值.

-I一|.0I2345*

解：(1)函數式外的圖象如圖所示.

\O\52/545X

(2)由圖象可知，函數兀。的單調遞增區間為[-1,0],[2,5].

(3)由圖象知當工=2時，/Wmin=A2)=-l,

當X=0時，,/U)max=y(0)=3.

B組新高考培優練

9.(2021?浙江卷)已知函數g(x)=sinx,則圖象為如圖的函數可能

是()

7

A.y=/U)+g(x)—:B.y=/U)_glt)一：

C.y=J(x)g(x)

D解析：對于A,y=/(x)+g(x)—：=f+sinx,該函數為非奇非偶函數，與函數

圖象不符，排除A;

對于B,y=/（x）—^（x）——sinx,該函數為非奇非偶函數，與函數圖象不符,

排除B;

對于C,y=./U）g（x）=（%2+：）sinx,則y,=2xsinx+（x2+3cosx,

當時，）"=/x曰+（卷+：）x￥>0,與圖象不符,排除C.故選D.

io.將函數凡丫）的圖象沿/軸向左平移i個單位長度，得到奇函數g（x）的圖象,

則下列函數7U）能滿足條件的是（B）

A./U）=WB.Av）=e",-c,-

c.yu）=x+：D.y（A）=iog2（x+i）4-i

u.（多選題）函數兒v）=妥的圖象如圖所示，則下列結論成立的是（）

A.?>()B.c<()

C.b>0D.a<()

BCD解析：由函數圖象可知，當x=0時，10）=*>0,所以比>0;漸近