7.5外接球（精講）（提升版）

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“、”號馬卜?囪的MBT檢?l?3t^eilu旅。，

外

援

外

說明，昉外接球半會.r為底■外接田￥檸,h為體高

分點呈幽

制題剖析

考點一漢堡模型

【例1】（2022?陜西）已知底面邊長為I,側(cè)棱長為五則正四棱柱的各頂點均在同一個球面匕則該球的體

積為（）

324

A.——冗B.44C.2/rD.一兀

33

【一隅三反】

1.（2022?全國?高三專題練習）已知在三棱錐尸-48c中，PA=4,8c=2而，PB=PC=3,PA_L平面尸BC,

則三棱錐P-A8C的外接球的表面積是（）

A.43笈B.42乃C.48萬D.46萬

2.（2022?全國?高三專題練習）已知在三棱錐A-8CQ中，A8_L平面BCD,A3=2百,AC=AD=4,CO=2,

則三棱錐A-8CO外接球的表面積為（）

4（）兀C,也

A.B.15nD.2(hr

亍3

3.（2023?山西大同?高三階段練習）球內(nèi)接直三棱柱A8C-人8=AC=1,4AC=120O，M=2,則球

表面積為.

考點二墻角模型

【例2】（2022?全國?高三專題練習）長方體的長，寬，高分別為3,及，1,其頂點都在球。的球面上，則

球O的體積為（）

A.兀B.12冗C.48兀D.326兀

【一隅三反】

1.（2022?全國?高三專題練習）已知四楂錐P-A8c。中，PA_L平面"CD,底面4BCO是矩形，AD=3AB=3PA,

若四棱錐P/8C。外接球的表面積為11萬，則四棱錐P-A8C。的體積為（）

A.3B.2C.41D.1

2.（2022?全國?高三專題練習）己知三琰錐P—88中，BC1CD,尸8_L底面BCD,BC=l,PB=CD=2,

則該三棱銖的外接球的體積為（）

7「9「27n25

A.一穴B.—7tC.—4D.—文

4289

3.（2022?海原縣）已知三棱銖A-3CQ的所有頂點都在球。的球面上，且平面8cO,A8=2G，

AC=AD=4,CD=2叵,則球。的表面積為___________.

考點三斗笠模型

【例3】（2023?全國?高三專題練習）已知三棱錐S-A3C的四個頂點都在球。的球面上

SA=S8=SC=M,48C是邊長為W的正三角形，則球。的表面枳等于（）

【一隅三反】

1（2022?全國?高三專題練習）己知圓臺的母線長為2,母線與軸的夾角為60。，且上、下底面的面積之比為

1：4,則該圓臺外接球的表面積為（）

A.56兀B.100nC.1127tD.128n

2.（2022?湖北武漢?高三開學(xué)考試）己知正三棱錐的各頂點都在同一球面上，若該球的表面積為36不，則該

正三棱錐體積的最大值為.

3.（2022?江西）正三棱錐產(chǎn)一心?。底面邊長為2,J/為業(yè)?的中點，且成J_W,則三棱錐產(chǎn)一位?。外接球的

體積為（）

32乃8VLr

B.6不C.限冗

考點四麻花模型

【例4】（2022全國高三專題練習）如圖，在三棱錐。ABC中，〃A=8C=石，PR-AC-2,PC=AB=&

則三棱錐外接球的體積為（）

A.Q兀B.C.展尤D.6冗

【一隅三反】

1.（2022?全國?高三專題練習）在三棱錐P—A8C中，PA=BC=4,PB=AC=5,PC=AB=舊,則三

棱錐尸-A3。的外接球的表面積為（）

A.26兀B.\2nC.8兀D.247r

2.（2022?全國?高三專題練習）在三棱錐力-/。中，/記=8。=。。=。A=5，BD=26二面角A-BD-C

是鈍角.若三棱錐A-8CO的體枳為2,則A-BCQ的外接球的表面枳是（

A

C.為n53

A.127rB.13兀D.——不

4

考點五L模型

【例5】（2022?全國?高三專題練習）在三棱錐P-ABC中，平面/MB_L平面ABC,PA1PB，AB=BC=AC=4,

則該三棱錐外接球的表面積是（)

256兀_64兀

A.——B.一C.16兀D.12TI

93

【一隅三反】

1（2022?江西高三）在三棱錐中，△R4C是等邊三角形，平面「ACJL平而

ABC、AB=?AC=26,NCA8=60，則三棱錐P—AAC的外接球體積為（）

A.當R12信32萬64夜乃

D.------1/?1J.,

333

2.（2022泗川雅安市）在四面體力比。中，已知平面A8Z）_L平面A8C,口AB=AD=DB=AC=CB=4,

其外接球表面積為（）

4080.,

A.—兀B.—7iC.16乃D.207r

33

3.（2023?重慶九龍坡區(qū)）在三棱錐產(chǎn)一ABC中，平面Q48J_平面

ABC,PA=PB=AB=2底N8AC=90。，AC=4,則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為（）

M64萬“

A.20萬B.——C.32乃D.80乃

3

考點六懷表模型

【例6】（2022?全國?高三專題練習）在邊長為6的菱形4BC。中，ZA=p現(xiàn)將△A8O沿B。折起到△陽。

的位置，當三極錐Q-BCO的體枳最大時，三棧錐P-BCO的外接球的表面積為（)

A.60兀B.45nC.30兀D.20K

【一隅三反】

1.（2022?全國?高三專題練習）在三棱錐尸-ABC中，.ABC是邊長為4G的等邊三角形，PA=PC=4,二

面角尸-AC-8是150。，則三棱錐P-A8C外接球的表面積是（）

A.1601-4學(xué)%B.4（11-4@n

C.4（11+4@兀D.2（11+4⑹兀

2.（2022?全國?高三專題練習）在三楂錐P-A8C中，aA8C為等腰直角三角形，AB=AC=2,APAC為

正三角形，且二面角尸-AC-8的平面角為3,則三楂錐的外接球表面積為（）

O

52c4-28-32

A.—TCB.一萬C.—TCD.—TC

9939

考點七矩形模型

[例7]（2022?湖北襄陽市）若矩形業(yè)行的面積是4,沿對角線/C將矩形40折成一個大小是60°的二

面角比/I。。,則四而體/切⑺的外接球的體積最小值為（）

A.84R.迎C.迎九D.小叵4

36

【一隅三反】

1.（2022.江西）在矩形ABC。中44=26，AO=2,沿對角線8。進行翻折，則三棱錐C—AB。外接

球的表面積為（）

A.47tB.6乃C.12乃I）.16兀

2.（2022?天津河）將長、寬分別為4和3的長方形A8CO沿對角線AC圻成且二面角，得到四面體A-BCD,

則四面體A-BCD的外接球的表面稹為（）

A.25乃B.50乃C.54D.10萬

3.（2022?四川）中國古代數(shù)學(xué)家劉徽所注釋的《九章算術(shù)》中，稱四個面均為直角三角形的四面體為“鱉

膈”,如圖所示的鱉瞞ABCZ）中，43_1面5?！辏?CDA.BC,若CD=l,AC=5且頂點A8.C,。

均在球。上，則球。的表面積為_____.

考點八內(nèi)切球

【例8】（2022?全國?高三專題練習）如圖，在三棱錐V-A5c中，ZAVlf=ZBVC=ZCVA=fir,VA=VI3=VC,

若三棱鉞V八BC的內(nèi)切球O的表面積為6k，則此三棱錐的體積為（）

D.18夜

【一隅三反】

1.（2022?江西福三階段練習（理））在正三棱錐A-8c。中，E,尸分別是AO,CO的中點，且/BE尸=90>,

EF=2,則正三棱錐A-8CQ的內(nèi)切球的表面積為（）

A8（2-6）乃R32產(chǎn)

33

C32（2+揚乃D32（2-石沈

33

2.（2022?全國?高三專題練習）在三棱錐S—ABC中，SAL平面/WC,/4BC=90，且SA=3,A8=4,AC=5,

若球。在三棱錐S-A8c的內(nèi)部且與四個面都相切（稱球。為三棱錐S-A8C的內(nèi)切球），則球。的表面積

為（）

16乃4乃c32乃16乃

B.—C?—D.

927-87

3.（2022黑龍江）如圖，在四核錐--ABCZ）中，。是正方形A3CZ）的中心，PO_L底面A6CZ），尸A=逐，

AB=2,則四棱錐「一八BCO內(nèi)切球的體積為（）

116125信

2754

7.5外接球（精講）（提升版）

[jt1*卜?「魚?狼、?&、?*金魚4?的?他

jvtn1-三檢饗

外Ri=±L[jC（a、，c分別是長方體的長寬高）

接

球

we.濯點的n學(xué)力A■的弁心

說明：R為升樓端下稅.「方威面升松■不役，h為R商

外4?-

接

球

4MJ-

（H大■?三用舒找勺的??。力七個三窗外所密收的~二更青）

例題制行

考點一漢堡模型

【例1】（2022?竦西）已知底而功長為1,側(cè)棱長為灰則正四極柱的各頂點均在同一個球面

上，則該球的體積為（）

324

A?—/rB?44C.2/rD.一4

33

【答案】D

【解析】由題可知，正四棱柱的體對角線即為外接球的直徑，故2R=』+『+的=2.

4I4

解得R=l,故球的體積為：1'=彳不a=故選：口.

33

【一隅三反】

1.（2022?全國?高三專題練習）已知在三棱錐ABC中，PA=4,BC=2瓜,PB=PC=3,

平面尸8C,則三棱錐尸-A3C的外接球的表面枳是（）

A.43/rB.42,7C.48萬D.46乃

【答案】A

22

PB+PC-BC--6=——

2PBpc183

sin4BPC=Vl-cos2ZBPC=—

3

BC12-_3/

uBPC外接圓半徑'一耳"sinZBPC-2'2&一~，又FAJ?平面P3C,

亍

???三棱錐P-ABC的外接球半徑R=J/+(g%J=欄+4=半，

則三棱錐P-ABC的外接球的表面積S=47H=43房.

故選:A.

2.(2022?全國?高三專題練習；已知在三棱錐A-8CO中，/W_L平面3CQ,

AB=2y/3,AC=AD=4.CD=2,則三棱錐A-BCD外接球的表面積為()

40兀52幾

A.---B.15%cVD.2(hr

3

【答案】C

［解析】因AB_L平面BCD,BC,BDu平面BCD,則4"-LBC,AB上8D,而

AR=2瓜AC=AD=A,

則=2=C。，三棱錐A-BCD的外接球。截平面BCD所得小圓圓心是正ABCD

的中心，O\B二三6、

連OQ,則OQ_L平面88,E乂線段44的中點E，則球O的球心。在過E垂直于直線的

垂面上，連?！?如圖，則四邊形BE。。是矩形，OOI=BE=；AB=6因此，球。的半

徑B。有：8。2=8。：+。。；=],

所以三棱錐人-BCD外接球的表面積5=4為8。2=券.故選：C

3.（2023?山西大同?高三階段練習）球內(nèi)接直三棱柱

ABC-A?（C）,=4C=1,ZMC=120°,M=2,則球表面積為.

【答案】8冗

【解析】設(shè)三角形48C和三角形AAC的外心分別為。，立可知其外接球的球心O是線段

OE的中點，連結(jié)OC,CD,設(shè)外接球的半徑為R三角形48c的外接圓的半徑匕

八8=AC=l,N8/U?=120。,可得BC=x/J,由正弦定理得，1^=2人r=1,

sin120

而在三角形OCO中，可知|COF=|O7）|2+|CQ|2,

即R2=/+]=2，因此三棱柱外接球的表面積為S=4兀爐=8汗.

故答案為：8兀

考點二墻角模型

【例2】（2022?全國?高三專題練習）長方體的長，寬，高分別為3,夜，1,其頂點都在球

。的球面上，則球。的體積為（）

A.493nB.I2xC.48兀D.32x5兀

【答案】A

【解析】球O的半徑為62+1&）+F=萬,工體枳丫=%回=46兀?故選：A

【一隅三反】

1.（2022?全國?高三專題練習）已知四棱錐P-A8C。中，％_L平面ABC。，底面4BCO是矩

形，AD=3AB=3PA,若四棱錐P-48CZ）外接球的表面積為1反，則四棱錐RA8C。的體積

為（）

A.3B.2C.V2D.1

【答案】D

【解析】設(shè)四棱錐P-ABCD外接球的半徑為R,則4/配=1E,即4網(wǎng)=11.

由題意，易知PC2=4R2,得

設(shè)=得6+9/+/=11，解得x=l,

所以四棱錐P-ABCD的體積為1*1x3x1=1.

故選：D

2.（2022?全國?高三專題練習）已知三棱錐尸-BCD中，BCLCD,/^_1底面8。。，BC=l,

PB=CD=2,則該三棱錐的外接球的體積為（）

792725

A.-7CB.一萬C.—7CD.—K

4289

【答案】B

【解析】解：如圖所示，將三棱錐P-8CQ放在長、寬、高分別為2,1,2的長方體中，

則三棱錐。-3CQ的外接球即為該長方本的外接球，

所以外接球的直徑PD=y]BC2+CD2+PB2=\/i2+22+22=3，

.?.該球的體積為:乃丫=2小故選：B

3\2）2

3.（2022?海原縣）已知三棱錐A-BCD的所有頂點都在球。的球面上，且平面BCD,

AB=2拒，AC=AD=4,CD=2>/2?則球。的表面積為___________.

【答案】20萬

【解析】（243_1_平面80）,6€；/。（=平面3。。，.,.43,3。.AB上BD，

又八8=26，AC=AO=4，BC=BD=j6-12=2,

BC2+BD1=CD2，/.BCLBD,則可將三棱錐A—BCD放入如下圖所示的長方體中,

則長方體的外接球即為三棱錐A-BCD的外接球，

球0的半徑R=-ylBC^+BD2+AB2=-x^4+4+12=逐，

22

球。的表面積S=4萬收=20幾.故答案為：204.

考點三斗笠模型

【例3】（2023?全國?高三專題練習）已知三棱錐S-AAC的四個頂點都在球。的球面上

5A=58=5。=麗,八8。是邊長為右的正三角形，則球O的表面積等于（）

644「100)

A.-----B.------C.167rD.36/r

99

【答案】B

【解析】已知三棱錐S-A8c的四個頂點都在球。的球面上，SA=SB=SC=M、ABC是

邊長為6的正三角形，如圖所示：

取8C的中點。，點〃為底面的中心，所以8。=立,八。=3,4〃=24。=],

223

設(shè)外接球的半徑為凡所以S〃=J（而產(chǎn)-1=3,

利用勾股定理可得，R2=（3-R）2+『,解得R=|.

則球0的表面積為S=4次=等.

故選：B.

【一隅三反】

I（2022?全國?高三專題練習）已知圓今的母線長為2,母線與軸的夾角為60。，且上、下底

面的面積之比為1：4,則該圓臺外接球的表面積為（）

A.56兀C.1127tD.128n

【答案】C

惻臺上、下底面的面積之比為I：4,則半徑比為1：2,設(shè)圓臺上、下底面半徑為八2r，因

母線與軸的夾角為6。。,可得圓臺高為1.則廠=百：

設(shè)圓臺外接球的半徑為R，球心到下底面的距離為X,易得圓臺兩底面在球心同側(cè)，則

2=/+僅百y，且R2=（l+x）2+（G『，解得x=4,R2=28,則該圓臺外接球的表面積為

4成2=112兀.故選:C.

2.（2022?湖北武漢?高三開學(xué)考試）已知正三棱錐的各頂點都在同一球面上，若該球的表面

積為36乃，則該正三極錐體積的最大值為.

【答案】

【解析】因為匕求=4萬店=36萬，所以正三棱錐外接球半徑R=3,

正三棱錐如圖所示，設(shè)外接球圓心為。，過P。向底面作垂線垂足為。,

OD=a（0<a<3）

因為P-ABC是正三棱錐，所以。是-ABC的中心，

所以0P=OA=3,AD=4O#-Oiy=的一a：

又因為乙4。8=,，所以AB=BC=AC=J5x內(nèi)工7

2

S<?r=—x/AZ^xACxsin—=^—^-(9-67)?

AK234

J232

所以％Y“=’xS4ftrx/D=—x(9-a)x(3+o)=—(-6i-3o+9a+27),

344

令/(〃)=-4-3/+9a+27,

f\a)=一31-6。+9=—3(。+3)(。-1)=0解得〃=—3或1

所以/（〃）在［0,1）遞增，在以3）遞減,

故當。=1時，匕"c?取最大值，（匕”C）2=8G.

故答案為：8G.

3.（2022?江西）正三棱錐產(chǎn)一/1呢底面邊長為2,“為"的中點，且網(wǎng)J_/T,則三棱錐產(chǎn)

一力比外接球的體積為（）

n8展r

A,生B.6兀C.限冗

33

【答案】C

【解析】

由圖，設(shè)%=/>8=PC=工，則而CM=0，

因為R2C,所以由勾股定理得PM2+pc?=MC2即f一I+9=3解得x=應(yīng)，

由對稱性可知：三棱錐產(chǎn)一/歐外接球的球心在三棱錐〃一力比的高PD上,

假設(shè)為。點，則OP=OC=R,因為。。=率=逅，所以0。=逅-R,

N/333

乂由于點〃是二.角形/8C的外心，且三角形力比為等邊三角形，所以。。=2。知=辿

33

在三角形ODC中,由勾股定理得。。？+0。2=0。2,即-R二R2,解

得R*，

2

所以三棱錐產(chǎn)一/步r外接球的體枳為右用,故選：c

考點四麻花模型

【例4X2022?全國?高三專題練習）如圖，在三棱錐尸-A8C中，PA=BC=BPB=AC=2,

PC=AB=&則三棱錐尸-AB。外接球的體枳為（）

A.母兀B.VJ*C.瓜加D.6冗

【答案】C

【解析】由題意，PA=BC=g，PB=AC=2,PC=A3=石，將三棱錐。一ABC放到長

方體中，可得長方體的三條對角線分別為G，2,非,

設(shè)長方體的長、寬、高分別為

則\la2+b2=G，\]a2+C2=2，\/c2+b2=石，

解得a=l,b=5/2,c=>fi-

所以三極錐P—ABC外接球的半徑R=：x"7+〃+/=*.

22

4廠

???三梭錐P—ABC外接球的體積V=§乃川二6》.故選：C

【一隅三反】

1.（2022?全國?高三專題練習）在三棱錐P—A8C中，PA=BC=4,PB=AC=5,

PC=AB=8,則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為（）

A.26兀B.I2xC.8兀D.247r

【答案】A

【解析】三棱錐。一ABC中，PA=BC=4,PB=AC=5,PC=AB=后,

構(gòu)造長方體，使得而上的對角線長分別為4,5,而,則長方體的對角線長等于三棱錐

P-A8C外接球的直徑，如圖,

B

設(shè)長方體的棱長分別為x，y,z,則X?+）/=16,j2+z2=25,.r+z2=11,則x2+y2+z2=26,

因此三棱錐P-A8C外接球的直徑為后，所以三棱錐P-ABC外接球的表面積為

故選：A

2.（2022?全國?高三專題練習）在三棱錐小BC。中，AB=BC=CD=DA=4j,BD=20

二面角4-BO-C是鈍角.若三棱推48CO的體積為2,則小BCQ的外接球的表面積是（）

A.12〃B.13萬C.—兀D.一兀

34

【答案】B

【解析】如圖1，取8。中點E，連接AECE,則A￡_L8/），CELBD,又AElCE=E,

AE,CEu平面A￡C,所以8。！.平面

==21

VAHCD=1Ate'5所以S"區(qū)=G，

又AE=CE=?行『―(6=2,

S,AFr=—AECEsinZ/lEC=-x2x2xsinZAEC=V3,sinZAEC=—，

222

又由AEJ_8O，CEA.BD,知NAEC為二面角A—BO—C的平面角，此角為鈍角,

所以/AEC=q-,

所以AC=J22+22—2X2X2XCOS^=2>/5=BD,

因此四面體八8c?？梢苑胖迷?個長方體中，四面體/18CQ的六條核是長方體的六個面對角

線，如圖2,

此長方體的外接球就是四面體4BCO的外接球，設(shè)長方體的棱長分別為。，反。，

d+從=7a=瓜

則方+/=7,解得b=\

d+/=]2c=R

所以外接球的直徑為2/?=,，+6+°2=JH，R=孚，

球表面積為S=4兀R?=131.

故選：B.

考點五L模型

【例5】（2022?全國?高三專題練習）在三棱錐P-A8C中，平面%8_L平面A8C,PA1PB，

AB=BC=AC=4,則該三極錐外接球的表面積是（）

2567t64Jt

A.B.3C.16兀D.127r

9

【答案】B

【解析】如圖所示：其中。為A8的中點，。為-ABC外接圓的圓心，AB=BC=AC=4f

.?.0在CO上，KOD=-CD=-!-XV42-22=^,

333

OC=OA=OB=-CD=—.

33

?.AB=BC=AC=4,。為48的中點,

：.CDLAB,

?.?平面/乂8_1_平面48C,平面PABc平面=CDu平面AAC,

\CZ）A平面以8.又D4,DB,OPu平面月18，

：.CDLDA,CDA.DB,CDA.DP.

在△R46中，PA工PB,。為48的中點，

：.DA=DB=DP.

OA=OB=OP=\lAD2+OD1=—.

3

???O即為三棱錐P-ABC外接球的球心，且外接球半徑R=拽，

3

??.該三棱錐外接球的表面積S=47t內(nèi)=4兀x［些］=空.

故選：B

【一隅三反】

1（2022?江西高三）在三棱錐P—A8C中，△Q4C是等邊三角形，平面P4CJ■平面

ABC、AB=?AC=26NC48=60，則三棱錐。—ABC的外接球體積為（）

,,4乃12后乃「32乃64區(qū)

3333

【答案】C

【解析】“1BC中,

BC=y］AC2+AB2-2AC/WcosZC4B=7（2x/3）2+（＞/3）2-2x2x/3x73xcos60O=3

所以=ZABC=90°.

設(shè)。是AC中點，則。是aABC外心，又是等邊三角形，所以PD_LAC，

而平面PAC_L平面ABC，平面PAC。平面ABC=AC,0Qu平面PAC，所以尸O_L

平面ABC,所以△PAC的外心即中三棱錐P-ABC外接球的球心，

所以球半徑R=1x盤色=2,球體積為V=3乃/?'=%￡.故選：c.

2sin60033

2.（2022?四川雅安市）在四面體力成Z中，已知平面平面ABC,且

AB=AD=DB=AC=CB=4,其外接球表面積為（）

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