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專題5-2空間向量在空間幾何體中的應用

內容概覽

A-常考題不丟分

一.空間中的點的坐標（共1小題）

二,共線向量與共面向量（共1小題）

三.空間向量的數量積運算（共1小題）

四,向量的數量積判斷向量的共線與垂直（共1小題）

五,平面的法向量（共1小題）

六.直線與平面所成的角（共12小題）

七,二面角的平面角及求法（共12小題）

A.點、線、面間的距離計算（共6小題）

B?拓展培優拿高分（壓軸題）（6題）

C?挑戰真題爭滿分（7題）

A?常考題不丟分、

一,空間中的點的坐標（共1小題）

1.（2023?黃浦區模擬）在空間直角坐標系O-g，z中，點A（2,-1,3）關于平面）Oz對稱的點的坐標是

（-2JT-3）_?

【分析】根據點關于平面對稱的點坐標的特點可直接得到結果.

【解答】解：?.,點3，〃，c）關于平面yOz對稱的點為（-。，b,c）,

.4（2,-1,3）關于平面yOz對稱的點的坐標為（-2,-1,3）.

故答案為：（一2,-1,3）.

【點評】本題主要考查空間中的點的坐標，屬于基礎題.

二,共線向量與共面向量（共1小題）

o91

2.(2023?浦東新區三模)空間向量4=(2,2,-1)的單位向量的坐標是.

-333―

【分析】得出|〃|=3,從而得出〃的單位向量坐標為：-=-(2,2-1),然后進行向量坐標的數乘運算即

1。13

可.

【辭答】解：|d|=j4+4+l=3,

二a的單位向量的坐標為：—=-(2,2,-1)=.

\a\3333

故答案為:

333

【點評】本題考杳了單位向量的定義及求法，根據向量的坐標求向量的長度的方法，向量坐標的數乘運算，

考查了計算能力，屬于基礎題.

三,空間向量的數量積運算(共1小題)

3.(2023?徐匯區三模)在棱長為2的正方體4BCO-A用中，點。在正方體的12條棱上(包括頂點)

運動，則ACBP的取值范圍是-一

【分析】建立空間直角坐標系，利用向量法求出AC/P的表達式，再求出的取值范圍.

【蟀答】解：以。為坐標原點建立空間直角坐標系，如圖，

則A(2,0,0),C(0,2,0),8(2,2,0),

AC=(-2,2,0),。在正方體的12條棱上運動，

設氣九，)，，z),貝i]8〃=(x-2,y-2,z),

..AC-BP=4-2x+2y-4=2y-2xt

c，.\-4^iy-2x4,

[0領卜2'

當x=2,)，=0時，AC8P取最小值

當x=0,)，=2時，A。取最大值4,

二.AC8P的取值范圍是[-4,4].

故答案為：[T,4].

【點評】本題考查向量的數量積的取值范圍的求法，考查正方體的結構特征、向量數量積公式筆基礎知識,

考查運算求解能力，是中檔題.

四,向量的數量積判斷向量的共線與垂直(共1小題)

4.(2023?松江區二模)己知空間向量6=。,2,3),1=(2,-2,0),c=(1,1,4),若。_L(2a+b),則

【分析】根據已知條件，結合空間向量的坐標運算，以及向量垂直的性質，即可求解.

【解答］解:d=(l,2,3),ZJ=(2,-2,0),

則2d+b=(2,4,6)+(2,-2,0)=(4,2,6),

c=(1,1,A),c±(2a+b),

則4+2+64=0,解得2=—1.

故答案為；-1.

【點評】本題主要考查空間向量的坐標運算，以及向量垂直的性質，屬于基礎題.

五.平面的法向量(共1小題)

5.(2023?靜安區二模)若直線/的方向向量為a,平面a的法向量為〃，則能使〃/a的是()

A.a=(l,0,0),n=(-2,0,0)B.〃=(1,3,5)?/?=(1>0,1)

C.。=(1,-1,3),〃=(0,3,1)D.a=(0,2,1),〃=(一1,0,-1)

【分析】由〃/。，得a-〃=0,由此能求出結果.

【辭答】解：.?直線，的方向向量為〃，平面a的法向量為〃，

l〃a,

??〃=()，

在A中，。=(1,0,0),〃=(-2,0,0),無方二一2。0,故A錯誤；

在3中，a=(\,3,5),”=(1,0,1),小〃=6=0,故8錯誤；

在C中，a=(\,1,3),n=(0,3,1),an=O,故C正確；

在。中，4=(0,2,1),〃=(-2,1,0),G?6=230,故O錯誤.

故選：C.

【點評】本題考查線面平行的條件的判斷，是基礎題，解題時要認真審題，注意線面平行的性質的合理運

用.

六.直線與平面所成的角(共12小題)

6.(2023?靜安區二模)如圖，止方體/WCO-A4G。中，石為的中點，尸為止方形8。。的的中心，

則直線即與側面四c。所成角的正切值是_顯_.

O

【分析】由直線與平面所成角的作法可得NEF8為直線"'與側面BB&C所成的角，然后求解即可.

【釋答】解：連接3G，

用上平面BBCC，

則/EFB為直線EF與側面BB?C所成的角，

設|AB|=2,

貝|J|8K|=1,|Hb|=x/2,

則ta“加儂=；="

I杯|夜2

則直線EF與側面BBCC所成角的正切值是立.

/o

故答案為：*.

2

【點評】本題考查了直線與平面所成角的作法，重點考查了直線與平面所成角的求法，屬基礎題.

7.(2023?黃浦區校級模擬)如圖，在四棱錐中，底面A46為菱形，E,產分別為以，BC

的中點.

(I)證明：以7//平面PCD.

(2)若PDL平面力38,ZADC=120°,且尸D=2AD=4,求直線AF與平面DEF所成角的正弦值.

【分析】⑴取加的中點G,連接CG,EG,則由三角形中位線定理可得EG〃SEG44。，再結合

底面四邊形為菱形，可得四邊形EGCF為平行四邊形，從而得M//CG.然后由線面平行的判定定理可證

得結論，

(2)由已知可得OF,DA,。尸兩兩垂直，所以以。為坐標原點建立如圖所示的空間直?角坐標系。-孫z,

然后利用空間向最求解即可.

【釋答】(1)證明：取的中點G,連接CG,EG,

因為K,F分別為RA,BC的中點，

所以EGHAD.EG=-AD,

2

又底面A4CO為菱形，所以CF//4ZC/=，A。，

2

所以EG//CF,EG=CF,

所以四邊形EGCF為平行四邊形，

所以EF//CG.

又CGu平面PCD,所C平面PCD,

所以歷//平面PCD.

(2)解：連接以)，

因為PO_L平面A4C￡>,DF,ZMu平面A5CO,

所以PD上DF,PD.LDA,

囚為四邊形A6C￡>為菱形，z?WC=120°,

所以MCD為等邊三角形，

因為尸為AC的中點，

所以短

因為4C//D4,

所以OF_LDA,

所以。尸，DA,0P兩兩垂直，

所以以。為坐標原點建立如圖所系的空間直角坐標系。-.02,

因為AD==2,所以。(0,0,0),F(區0.0),4(0,2,0),E(0J,2),

則DE=(0,1,2),DF=(6,0,0),A2=(A-2.0),

設平面DEF的法向量6=(Xy,z),

則J，令z=l,得〃?=(0,—2,1),

m-DF==0

設直線AF與平面DEF所成的角為0,

則sin0Hcos〈訪,AF)|=受竺1二尸=生匡，

所以直線AF與平面DEF所成角的正弦值為生晝.

35

【點評】本題考查了線面平行的證明以及直線與平面所成的角的求解?，屬于中檔題.

8.(2023?寶山區校級模擬)已知圓錐的頂點為尸，底面圓心為O,底面半徑為2.

(I)若圓錐的側面積為84，求圓錐的體積；

(2)設P0=4,點A、8在底面圓周上，且滿足N/UM=90。，M是線段A8的中點，如圖.求直線PM

與平面/VM所成的角的大小.

【分析】(1)求出圓錐的母線長利高，再計算圓錐的體枳.

(2)取的中點N,連接MN、PN,證明MNJL平面POB,ZM/W是直線與平面PO8所成的角.由

此求出直線PM與平面所成角的大小.

【解答】解：(1)因為圓錐的底面半徑為2,側面積為萬*2/=8用，所以圓錐母線長為/=4,

所以圓錐的高為h=742-22=，

圓徘的體積為V」乃x22x2x/5=M乃；

33

(2)取08的中點N,連接PN和MN,如圖所示：

因為PO=4,PO_L平面AO8,MNu平面AQ3,所以PO工MN,

又因為NAO8=90。，所以AO08,

又因為M是線段4?的中點，N是OB的中點，所以MN//AO,所以MNtOB,

又因為尸。「|03=0,所以MN_平面208,

所以NA/QV是直線PM與平面0。4所成的角，

MN11

RtAMPN中，tanZMPN=—=.=-=,

PNx/17

【點評】本題考查了圓錐的結構特征與體積計算問題，也考查了線面垂直的判定與性質、線面角計算問題，

是中檔題.

9.（2023?虹口區校級三模）已知圓錐的頂點為S,底面圓心為O,半徑為2,母線SA、5311勺長為2&,

403=90。且M為線段AB的中點.

（I）證明：平面SOM_L平面S/記；

（2）求直線SM與平面SOA所成角的大小.

A

【分析】（1）根據線面垂直的判定定理證明線面垂直，再由面面垂直判定定理證明即可.

（2）由線面角定義求線面角正切，再求線面角的大小.

【解答】解：（1）證明：AO=3O,M為AB中點，

SO_L平面AO3,A8u平面408,

.\SO±AB,且0加「5°=0，OMU平面SQM,SOu平面SOW,

.?.A8_L平面SOM,

?.?AAu平面SIB,平面SW_L平面SOA7.

（2）設49的中點為N,連接MV,SN,則MN//OB,

OA1OR,s.OALMN,

SO_L底面AQB,;.SO工MN,SOu平面SOA,O4u平面SOA,OA(}OS=O,

.?.M/V_L平面SOA,

/.ZMSW就是直線SM與平面SOA所成角,

，?圓錐的底面半徑為2,母線長為2夜，.?.高50=2,

解得SN=X/5,MN=l,

MNX/5

\SN工MN,：.tanZMSN=—=—,

SN5

直線SM與平面SOA所成角的大小為arctan.

【點評】本題考查線面垂直的判定定理、面面垂直判定定理、線面角定義等基礎知識，考杳運算求解能力，

是本檔題.

10.（2023?閔行區校級二模）已知正方體A8CO-ASCA,點七為A0中點，直線交平面CDE于點

F.

（1）證明：點尸為與G的中點；

（2）若點M為棱A用上一點,且直線與平面CDE所成角的正弦值為述，求△竺的值.

25A4

【分析】（1）由CD//GR可得CD//平面A笈GA，再利用線面平行的性質定理可得8//比，從而證得

尸為BG的中點;

（2）以O為坐標原點，DA,DC,。"方向分別為x,y,z軸的正方向，建立空間直角坐標系，設正

方體的棱長為3,設劑■=〃（）領巾I）,求出相應點的坐標，進而求出相應向量的坐標，再利用線面夾角的

向量公式求解即可.

【解答】證明：（1）在正方體—中，CDHCR,

又co仁平面且c;〃U平面44G〃，

則CO//平面AgGA，而8c交平面CDE于點r,即/e平面CDE,FwB￡,

又4Gu平面A8CQ，有be平面A與因此平面CQEC平面

于是.CD//EF,

乂因為E為AR中點，

所以尸為用G的中點；

（2）以。為坐標原點，分別以OA,DC,。。為x,），，z軸的止方向，建立空間直角坐標系，如圖所

示:

不妨設正方體的棱長為3,設4絲而此1),

則M(3,32,3),C(0,3,0),E(-,0,3)/(。,3,3),

22

從而=(334-3,0),CO=(0,3,0),石。=(3,0,3),

22

設平面CDE的一個法向量為〃=(X,y,z),則〃.°。=°

〃￡7)=0

JV—0

即心，取x=2,解得一一，所以〃=（2,0,-1）,

-x+3z=0z=-l

[2

又因為直線M戶與平面6月所成角的正弦值為竺，

所以I"皆〃|=3=處，解得％=1，

也用向舊）2+（3"3）2?1253

所以包2.

A43

【點評】本題主要考查了線面平行的判定定理，考查了利用空間向量求直線與平面所成的角，屬于中檔題.

11.（2023?浦東新區校級三模）如圖，直角三角形A3C和等邊一:角形所在平面互相垂直，AB=AC=2,

E是線段4）上一點.

（I）設七為4）的中點，求證：BE工CD；

（II）若直線CO和平面4CE所成角的正弦值為巫，求空的值.

10AD

【分析】（I）由題意得A3_LAC,利用面面垂直的性質可得AC_L3￡,AD上BE,利用線面匪直定理可

得應1_L平面AC。，即可證明結論；

Ap

（II）設——=4,2e[0,I],取AB的中點O,8c的中點尸，連接OD,OF,則OD_LA8,OFHA

AD

由（/）得AC_L平面AH）,則OF_L平面建立空間直角坐標系，利用向量法，即可得出答案.

【辭答】解：（/）證明：由題意得A3_LAC,

?平面八AC_L平面4?/）,平面48CC平面

.?.AC_L平面

?跖u平面A4D,

:.AC±BEt

MB。為等邊三角形，石是M的中點，

；.AD上BE,

AC「|AD=A,

平面AC。，

..BE1CD；

4/7

（〃）設竺=2,2e[0,1],

AD

取A3的中點O,3c的中點小，連接8,OF,

則OD_LA8,OFIIAC,

由（/）得AC_L平面4?。，/.O/_L平面Afi。，

:.OFIAB,OFIOD,

x

建立空間直角坐標系O—Ayz,則4一1,0,0),8(1,0,0),C(-l,2,0),0(0,0,73),

^4=(-2,0,0),40=(1,0,75),BC=(-2,2,0),CO=(1,-2,G),

BE=BA+AE=BA+AAD=(A-2A^)，

設平面BC￡■的法向量為〃=*,y,z),

1〃BC=0[-2x+2v=0.「r-

則，，即1l，取x=x/32，則y=V32?z=2—2,

n-BE=0,[(/i-2)x+v32z=0-

二.平面BCE的法向量為〃=(G/l,x/32,2-2),

「直線6和平面BCE所成角的正弦值為巫，

10

cos<CD,〃>|=e〃l=L產(1-孫------：=巫，整理.得8萬一264+11=0,解得a=,或

\CD\-\n\2近年2+3萬+(2-/1)2102

4

v2e[0,1],

1AE1

/.2n=一,即HI1---=一?

2AD2

【點評】本題考查直線與平面所成的角，考查轉化思想和數形結合思想，考查邏輯推理能力和運算能力，

屬于中檔題.

12.(2023?普陀區校級三模)如圖，在四棱錐C-瓦)中，正方形人的Z)的邊長為2,平面/W￡￡)l.平面

A8C,且3C_LAC,AC=G，點G,尸分別是線段EC,加>的中點.

(I)求證：宜線G/，〃平面A4C；

(2)求直線Gr與平面比應所成角的大小.

【分析】(1)連接AE可得G"為4c的中位線，再利用線面平行的判定定理即可■得出證明；

(2)利用四棱錐C-A4EO的結構特征以及線面垂直的判定定理，建立空間直.角坐標系，利用空間向量和

線切角的位置關系，求得直線GF與平面應里所成的舛.

【解答】解：(1)根據題意，連接AE,則AE交加>與產，

在A4CE中，〃為AE的中點，又點G是線段EC的中點，所以G///AC,

又G/?平面ABC,ACu平面ABC，所以直線G尸//平面ABC；

(2)由平面平面/WC,且平面平面A4C=A4,

又四邊形4次迫是正方形，所以跖_LA〃，

乂8Eu平面ABED，所以8七_1_平面ABC；

過點4作直線)，平行于AC,又8C_LAC，

以4為坐標原點，分別以直線4C,直.線y,直線4E為x,)，，z軸建立空間直角坐標系,如圖所不:

由正方形ABED的邊長為2,BCA-AC,AC=G，可得AC=1；

所以8(0,0,0),C(1,0,0),E(0,0,2),01,G，2)：

BE=(0,0,2),ED=(\,50)；

又點G,/分別是線段EC,應)的中點，所以G(‘，0,1),F(-f—,1)；

222

即G尸=((),—,0)；

2

設平面C/花的一個法向量為〃=(x,)，，z)：

所以〃.8E=2z=)，可得z=0,令x=8,解得y=T；

n-ED=x+3y=0

即〃=(6，-1,0),

設直線Gb與平面CDE所成的角為。，0e(0,-],

2

則sin8=|cos<〃，GF〉|=1〃―=-----=—?解得夕=巳；

HG門邑g26

2

所以直線G尸與平面世汨所成的角為三.

【點評】本題考查了空間中的平行關系應用問題，也考查了直線與平面所成角的訂算問題，是中檔題.

13.(2023?閔行區校級一模)如圖，在四棱錐『-/WCZ)中，底面/WCZ)為正方形，/M_L平面47CZ),M.

N分別為棱PD,AC的中點，%=A5=2.

(I)求證：MN//平面PAB；

(II)求直線MN與平面PC。所成角的正弦值.

【分析】(I)取以的中點石，連接成、EM,證明四邊形是平行四邊形.然后證明MV//平面

PAB.

(〃)如圖建立空間直角坐標系.求出平面夕。的法向量，求出MN-(2,0,-l).利用空間向量的數量積求

解即可.

【解答】解：(I)證明：在四棱錐。-43CD中，

取的中點石，連接EB、EM,

因為例是尸Q的中點，

所以EW//AD,且EM=4A。.

2

又因為底面八ACO是正方形，N是AC的中點，

所以BN//AD,且=

2

〃

所以EM=BN.

所以四邊形MNBE是平行四邊形.

所以MN//EB.

由于EBu平面八鉆，MNU平面八鉆，

所以MN//平面%B.

(〃)因為底面A8CD是正方形，所以AB_LAD.

又因為Q4_L平面/WC7).

所以以點A為坐標原點，AB.AD.AP分別為八)，、z軸,

如圖建立空間直角坐標系.4(0,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),M(0,1,1),N(2,

1,0).PC=(2,2,-2),CD=(-2,0,0),

設平面PCD的法向最為m=(x,y,z).

有：卜小叫尸t=。,令尸］,則z

，nCD=0、"二°，

所以加=(0』/).MN=(2,0,-1).

設直線MN與平面PCD所成角為6.

有：sincos<MA.,|==|0x2+lxQ-Mx(-l)|=VlO

\MN\-\m\V5X>/210

【點評】本題考查直線與平面平行的判定定理的應用，直線與平面所成角的求法，是中檔題.

14.（2023?松江區模擬）如圖，人“是圓柱底面圓的一條直徑，AA=2,以是圓柱的母線，PA=3,點C

是圓柱底面圓周上的點，ZABC=30°.

（I）求證：3cl.平面公C；

（2）若點E在叢上且E4=」A4,求庇與平面A4C所成角的大小.

【分析】（1）依據線面垂直判定定理證明8C_L平面以C；

（2＞證明線面垂直，作出輔助線，找到班:與平面孫。所成角，求出各邊長，求出所成角的大小.

【解答】解：（1）證明：因為以_L底面ABC,4Cu平面ABC,所以以_L3C,

因為/W為直徑，所以ACJL〃C,

因為PA04C=A,PA,ACu平面E4C,所以BCd.平面E4c.

(2)由(1)知，N4￡C為跳:與平面Q4C所成角，

因為以=3,ZA4C=30。，EA=-PA,

3

所以AE=1,AC=-AB=\,BC=—AB=>/3,

22

由勾股定理得：EC=VE42+AC2=X/2,EB=y/CE2+CB2=>;5,

所以3/詆*=生=9=巫，

EC422

所以BE與平面PAC所成角為arctan"，

2

或sin/8EC=g^='^?所以BE與平面PAC所成角為arcsinW^,

EB55

或cos/BEJ區=叵,所以的與平面以。所成角為arccos亞，

EB55

所以8E與平面PAC所成角的大小為arcsin—或arccos—或arctan

C一

【點評】本題主要考行直線與平面垂直得證明，直線與平面所成角的求法，考查運算求解能力，屬于中檔

15.（2023?涌東新區模擬）己知四棱錐。-45CZ）的底面A8CD為矩形，%_!_底面48cD,且

PA=AD=2AB=2,設E,F,G,分別為PC,BC,CZ）的中點，”為EG的中點，如圖.

（I）求證：FH//平面PBD；

（2）求直線F4與平面PAC所成角的正弦值.

z

【分析】(l)連接C〃，延長交于點K,連接AK,根據七、F、G分別為PC、BC、6的中點，

易得FH//I3K,再利用線面平行的判定定理證明；

(2)建立空間直角坐標，求得FH的坐標，平面PBC一個法向量〃-(x,y,z),代入公式

」"?」少見

sin"求解.

\FH\-\n\\FH\-\n\

【解答】(I)證明：因E,F,G分別為尸C,BC,8的中點，椒EFHPB,EGI/PD,

從而EF//平面PBD,EG//平面出比＞,

又EF,EGu平面廳G,且石/r)EG=E,故平面EFG〃平面28。,

由切u平面“G,得FH〃平面PBD；

(2)解：以A為原點，直線AB,AD,AP分別為工，y,z軸，建立空間直角坐標系，如可所示:

則由已知條件，得相關點的坐標為4(0,0,0),4(1,0,0),C(l,2,0),0(0,2,0),

P(0,0,2),E(l,lJ),F(l,L0),G(；,2,0),,

于是F/7P^=(l,0-2),BC=(0,2,0),

222

設而PBC的一個法向量為n=(x,y,z),

n~PB=x-2z=0華/日

則,取z=l,得”=(2,0,1),

小4c=2y=0

\FH-n\

設"7與平面P8C所成的角為6,貝Ijsin8=2

15

WFH與平面PBC所成角的止弦值為巫

15

【點評】本題考查了線面平行的證明和線面角的計算，屬于中檔題.

16.(2023?閔行區校級三模)如圖，線段A/\是圓柱。Q的母線，6c是圓柱下底面的直徑.

(I)若。是弦45的中點，且AEngAA,,求證：OE"平面A.BC；

⑵若3C=2,ZABC=30°,直線AC與平面ABC所成的角為?，求異面直線40與所成角的大小.

【分析】(i)利用線面平行的判定定理進行證明即可.

(2)根據線面角和異面直線所成角的定義進行計算即可.

【蚱答】證明：(1)若。是弦池的中點，且AE=—A4,,

.?.E是線段A4,的中點，

故在中，DE為△44,8的中位線，則DE//AB,

又A8u面ABC,且直線OE仁面A8C,

則OE//平面ABC.

解：(2)取線段AC的中點尸，連接吊尸，OF,在A48C中，線段O尸是的中位線,

故OFrAB,則幺。尸即為異面直線A6與A,。所成的角，

由題意知，AC=\,AF=-,AB=6,OF=-AI3=—

222

???/ACA=q,故AA=G，

故=2,故cos/AO尸=乎，

則異面直線A0與45所成角的大小為arccos^.

4

A|

E

A

【點評】本題主要考查空間線面平行的判定以及異面直線所成角的求解，根據線面線面平行的判定定理以

及空間角的求法進行求解是解決本題的關鍵，是中檔題.

17.（2023?浦東新區三模）如圖所示的幾何體是圓錐的一半和一個三棱錐組成，圓錐底面圓O的半徑為1,

圓錐的高PO=2,三棱錐P-ABC的底面ABC是以圓錐的底面圓的直徑AB為斜邊的等腰直角三角形，且

與圓錐底面在同一個平面上.

（I）求直線PC和平面ABC所成角的大小；

（2）求該幾何體的表面積.

【分析】（1）連結CO,則POJ_平面ABC,直線PC在平面48c上的射影為直線CO,直線尸C和平面48c

所成角等于4PCO,由此能求出直線PC和平面ABC所成角的大小.

（2）所求表面積等于圓錐表面積的?半加?上APAC、垃邛B、,笈。的面積，由此能求出該幾何體的表面

積.

【解答】解：（1）連結CO,

?.,凡何體是圓錐的一半和一個三棱錐組成，圓錐底面圓。的半徑為1,

圓錐的高PO=2,三棱錐尸-W的底面ABC是以圓錐的底面圓的直徑/W為斜邊的等腰直角三角形,

且與圓錐底面在同一個平面上，

.?.POJ?平面ABC,

二直線PC在平面A8C上的射影為直線CO,

二.直線PC和平面AHC所成角等于NPCO，

?.?AAAC是以AA為直徑的等腰直角三角形,二CO=-AH=\,

2

p（）

由尸0=2,知tan/PCO=~=2,

CO

直線PC和平面ABC所成角的大小為arctan2.

（2）由題意，所求表面積等于圓錐表面積的一半加上MAC、AE4B、AABC的面積，

掰他的高PO=2?圓錐的底面半徑r=OB=1?

12

二員I錐的母線長為垂＞,表面積為乃尸+^,-1=（7rxI+TTXIX芯=（亞+1）4,

在A/^4C和中，PA=PB=PC<,AC=BC=O,

.C—CP?V,

2ApeP5

3—3

/.sinZAPC=」.同理sin/BPC=」,

55

13

S.n,f.=—2AP-CP-sinZAPC=2—=S1V,W.，

而SM…品&C。"，該幾何體的表面積為鋁〃+4.

【點評】本題考查直線與平面所成角、幾何體表面積等基礎知識，考杳運算求解能力，是中檔題.

七.二面角的平面角及求法（共12小題）

18.（2023?徐匯區校級模擬）如圖（1）,在直角梯形4ACQ中，D為CQ的中點，四邊形A8CZ）為正方形，

將AAOQ沿AD折起，使點。到達點尸，如圖（2）,E為PC的中點,且DE=CE,點尸為線段尸8上的一

點.

圖⑵

（2）當。尸與DE夾角最小時，求平面包廳與平面CDF所成銳二面角的余弦值.

【分析】（1）根據題意，建立空間直角坐標系，求出向量，利用向量的數量積為0,證明即可;

（2）求出cos<OF,OE>,根據題意，求出2,再求出平面尸。的一個法向量，利用向量的夾角公式，求

出即可.

【解答】解：由A4C/）為正方形，得AO_LPD,ADLCD,

E為PC的中點，DE=CE=PE,

:.^PDC=900fB|JPD±CD.

設/W=l,建立一以。為坐標原點的空間直角坐標系，如圖所示,

則。(0,0,0),P(0,0,I),4(1,0,0),B(l,1,0),C(0,1,0),F(0,-,-).

22

（I）?.?點F在線段?8上，.?.設尸尸=2尸3（瞬兒1）,

又尸8=(1,1,-1),...F?=APB=2(1,1,-1)=，

又OP=(0,0,1),DF=DP+PF=(Z,^,l-/l),

又OC=(()/,())，/.CF=DF-DC=(^A-U-A),

XDE=(0,-,-),Cr?￡>E=0+土4+上必=0,

2222

:.DE1CF,即。石_LW,

B

x

（2）由（1）知。尸=（兒兒1一%）,"七=（U-」），

22

cos<DF,DE>=-----------------j==—>，

7r+r+（i-2）2.^12.24+i

Ii17

.?.當:二"!"時，85〈。匕。石〉最大，〈。尸,。石〉最小，此時=

3333

由迎知，平面尸￡尸的一個法向量為AC=（-1,1,0）,

設平面3C的一個法向量〃=（x,y,z）,

xy2z

DF?n=U—+—4--

即333

DC?n=0y=0

取x=2,得z=-l,則〃=(2,0,-1),

-2Vio

COS(AC,/2>1=1

：.平面PDF與平面CDF所成銳二面角的余弦值為叵.

【點評】考查向量法在證明直線的垂直，求二面角的余弦值中的應用，中檔題.

19.（2023?閔行區二模）如圖，在四棱錐尸-醺8中，底面ABC。為矩形，叨_1_平面ABC。，PD=AD=2,

AB=4,點石在線段AB上，且

4

（I）求證；CEL平面08Q；

（2）求二面角夕-。石-人的余弦值.

【分析】（I）利用線的垂直的判定定理，即可證明結論；

（2）由題意得尸。_L平面ABC。，DC_LA。，則建立以A為原點的空間直角坐標系。-;Q2,利用向量法,

即可得出答案.

【解答】解：（1）設切與CE相交于點尸，

PD_L平面A4CD,CEu平面A4C￡）,

:.PD1CE,

,，鉆=4,8E=-AB,.?.奶=1,

4

在柜形人86中，N￡CB=90。，PD=AD=2,則在RtAECB中，lanZECB=-,

2

在RtAABD中，tanN4BO=-,

2

;"ECB=ZABD,

y力BC=ZADB,:./BHC=Z8AD=90°,即8D_LC￡：,

乂PD工CE,PEQBD=Df且PDU平面P8。，BDu平面PBD,

?.8，平面28。：

(2)由題意得尸。_L平面ABC。，DC.LAD,則建立以A為原點的空間直角坐標系。-g，z,如圖所示:

PD=AD=2,AB=4,則￡)(0,0,0),C(0,4,0),A(2,0,0),P(0,0,2),E(2,3,0),

/.PC=(0,4,-2),CE=(2,-1,0),

設平面PCE的一個法向量為〃=(x,)，，z),

則卜PC=4y.2z=0,取e則j，z=4,

n-CE=2x-y=0

.??平面PCE的一個法向量為〃=(1,2,4),

平面ACE的法向量為。尸=(0,0,2),

設二面角尸-CE-A的平面角為。，且a為銳角,

\DP\-\n\2x72121

故二面角2-Cf-A的余弦值為上包.

21

【點評】本題考查直線與平面垂直和二面角，考查轉化思想和數形結合思想，考查邏輯推理能力和運算能

力，屬于中檔題.

20.(2023?浦東新區校級模擬)如圖，在四棱錐夕-A4c。中，E4J_底面A3OABA.AD,AD//BC,

點E,產分別為24,PD的中點,AB=BC=2,AD=AP=4.

<1)證明；直線夕'//平面Z7JC；

(2)求二面角/一。。一4的余弦值.

【分析】(1)由E,/分別為E4,叨的中點，得AD//EF,進而可得EF//BC,由線面平行的判定定

理，即可得出答案.

(2)根據題意可得48J_3C,AC=26,CD=^AB2+(A/?-BC)2=272,由線面垂直的判定定理可得

Ar

COJ■面以C,進而可得C/)_LPC，則二面角?一CD-A得平面角為NACQ,進而可得cos/ACP=—,

PC

即可得出答案.

【解答】解：(1)證明：因為E,產分別為R4,尸。的中點，

所以AD//EF,

因為AD//BC,

所以瓦7/8C，

因為所仁面P8C,BCu面PBC,

所以EF//面PBC.

(2)因為/W_LAO,AD//BC,

所以/W_L4C,

連接AC,由A8=8C=2得AC=2夜，

因為4)=4,

所以CO=^AB2AD-BO2=20，

所以ACJLCD，

因為小，面ABC。，

所以必_LAC,PA1CD,

因為小,八C是平面小。內兩相交直線，

所以8_1面小。，

因為PCu面P4C,

所以CDJ.

所以二面角2-CO-A的平面角為NACQ，

因為AP=4,

所以PC=26,

所以cosZACP=,

PC3

所以二面角P-CD-A的余弦值為走，

3

所以二面角尸-CD-8的余弦值為且.

P

【點評】本題考查直線與平面的位置關系，二面角，解題中需要理清思路，屬于中檔題.

21.（2023?浦東新區二模）如圖，三角形石4。與梯形A8CD所在的平面互相垂直，AE1AD,ABLAD,

BC//AD,AB=AE=BC=2,AT>=4,F、”分別為ED、E4的中點.

（I）求證：平面4%1:

（2）求平面Ab與平面所成銳二面角的余弦值.

【分析】（1）連接H/，由題意得H7//AO且結合題意可得"http://3C且=即四邊

2

形"小「是平行四動形，利用線面平行的判定定理，即可訐明結論：

（2）由題意得平面平面A8CD,AE_LA。，可得A￡1A8,建立以4為原點的空間直角坐標系

A-R，Z,利用向量法，即可得出答案.

【解答】解?：（1）證明：連接口，如圖所示：

.?.在AA瓦)中，FH//ADB.FH=LAD,

2

rBC11AD,BC=2,4)=4,

.??四邊形AH4C是平行四邊形，

:.FC//BH,

又8”《平面平面AAC,叱匚平面從尸。，

.?.B"〃平面AFC；

(2)?.?三角形E4O與梯形A8CD所在的平面互相垂直，即平面EV)_L平面A8CD,AE1AD,

又平面皿)C平面ABCD=AD，AEu平面石40,

.?..4￡_1平面/^。。，

又A2u平面AACO,^lAElAB,

則建立以A為原點的空間直角坐標系4-.q，z,如圖所示：

AB=AE=BC=2,4)=4,則A(0,0,0),C(2,2,0),0(0,4,0),F(0,2,I),

AC=(2,2,0),AF=(0,2,1),

由(1)得平面E鉆的法向量為j=(0,1,0),

設平面4CF的一個法向量為〃=(x,y,z),

則＜),取y=—l,則x=l,z=2,

n?AF=2y+z=0

平面Ab的一個法向量為〃=(1,-1,2),

設平面AB與平面以3所成銳二面角為a,

,,\n-j\I限

/.cosaHeos<n,j；>=------=----=——,

l?l-ljl1X766

故平面ACF與平面RU?所成銳二面角的余弦值為".

6

【點評】本題考查空間中直線與平面的位置關系和二面角，考查轉化思想和數形結合思想，考查邏輯推理

能力和運算能力，屬于中檔題.

22.（2023?長寧區校級三模）已如AA8C和AADE所在的平面互相垂直，ADA.AE,AB=2,AC=4,

ZR4C=120°,。是線段的中點，AD=&

（I）求證：ADLBEx

（2）設AE=2,在線段4￡上是否存在點尸（異于點4）,使得二面角A-8尸-。的大小為45。.

【分析】（1）由余弦定理可得故BC,從而得到即可證明_L平面屜，即可證明AO_LAE：

（2）以AD,AE分別為X,y,z軸建立空間直角坐標系，設Q0,0,a）,aw（0,2],求得平

面A8E和平面C8廠的一個法向量，列式解得a即可.

【解答】解：（1）證明：在AA4C中，由余弦定理可得8c2=AC