§1.1集合課標要求1.了解集合的含義，了解全集、空集的含義.2.理解元素與集合的屬于關(guān)系，理解集合間的包含和相等關(guān)系.3.會求兩個集合的并集、交集與補集.4.能用自然語言、圖形語言、集合語言描述不同的具體問題，能使用Venn圖表示集合間的基本關(guān)系和基本運算．知識梳理1．集合與元素(1)集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性．(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于，用符號∈或?表示．(3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法．(4)常見數(shù)集的記法集合非負整數(shù)集(或自然數(shù)集)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號NN*(或N＋)ZQR2.集合的基本關(guān)系(1)子集：一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集，記作A?B(或B?A)．(2)真子集：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，就稱集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)．(3)相等：若A?B，且B?A，則A＝B.(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，記為?.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本運算表示運算集合語言圖形語言記法并集{x|x∈A，或x∈B}A∪B交集{x|x∈A，且x∈B}A∩B補集{x|x∈U，且x?A}?UA常用結(jié)論1．若集合A有n(n≥1)個元素，則集合A有2n個子集，2n－1個真子集．2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?B?A.4．?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)．自主診斷1．判斷下列結(jié)論是否正確．(請在括號中打“√”或“×”)(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列舉法表示為{－1,0,1}．(×)(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(×)(3)若1∈{x2，x}，則x＝－1或x＝1.(×)(4)對任意集合A，B，都有(A∩B)?(A∪B)．(√)2．(必修第一冊P14T4改編)設(shè)集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，則(?RA)∩B等于()A．{x|2<x≤3}B．{x|7<x<10}C．{x|2<x<3或7≤x<10}D．{x|2<x≤3或7<x<10}答案C解析因為?RA＝{x|x<3或x≥7}，B＝{x|2<x<10}，所以(?RA)∩B＝{x|2<x<3或7≤x<10}．3．(必修第一冊P35T9改編)已知集合A＝{1,3，a2}，B＝{1，a＋2}，若A∪B＝A，則實數(shù)a＝________.答案2解析因為A∪B＝A，所以B?A，所以a＋2∈A.當(dāng)a＋2＝3，即a＝1時，A＝{1,3,1}，不滿足集合中元素的互異性，不符合題意；當(dāng)a＋2＝a2時，a＝－1(舍去)或a＝2，此時A＝{1,3,4}，B＝{1,4}，符合題意．綜上，實數(shù)a＝2.4．(必修第一冊P9T5改編)已知集合A＝{x|0<x<a}，B＝{x|0<x<2}，若B?A，則實數(shù)a的取值范圍為________．答案[2，＋∞)解析因為B?A，所以利用數(shù)軸分析法(如圖)，可知a≥2.題型一集合的含義與表示例1(1)(2024·潮州模擬)已知集合A＝{(x，y)|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝3x}，則A∩B等于()A．{0,3} B．{(0,0)，(3,9)}C．{(0,0)} D．{(3,9)}答案B解析由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2，,y＝3x，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝9，))故A∩B＝{(0,0)，(3,9)}．(2)已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，則m的值為________．答案－eq\f(3,2)解析由題意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，則m＝1或m＝－eq\f(3,2).當(dāng)m＝1時，m＋2＝3,2m2＋m＝3，根據(jù)集合中元素的互異性可知不滿足題意；當(dāng)m＝－eq\f(3,2)時，m＋2＝eq\f(1,2)，2m2＋m＝3，符合題意，故m＝－eq\f(3,2).思維升華解決集合含義問題的關(guān)鍵點(1)一是確定構(gòu)成集合的元素．(2)確定元素的限制條件．(3)根據(jù)元素的特征(滿足的條件)構(gòu)造關(guān)系式解決相應(yīng)問題．跟蹤訓(xùn)練1(1)(2023·蘇州模擬)設(shè)集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，則C中元素的個數(shù)為()A．3B．4C．5D．6答案B解析因為集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，所以C＝{5,6,7,8}．即C中元素的個數(shù)為4.(2)已知集合A＝{1，a－2，a2－a－1}，若－1∈A，則實數(shù)a的值為()A．1 B．1或0C．0 D．－1或0答案C解析∵－1∈A，∴當(dāng)a－2＝－1，即a＝1時，A＝{1，－1，－1}，不符合集合中元素的互異性；當(dāng)a2－a－1＝－1，即a＝1(舍去)或a＝0時，A＝{1，－2，－1}，符合題意，故a＝0.題型二集合間的基本關(guān)系例2(1)(2023·?？谫|(zhì)檢)已知集合A＝{x|x>5}，B＝{x|1－log2x<0}，則()A．A?B B．B?AC．A∩B＝? D．A∪B＝R答案A解析因為集合A＝{x|x>5}，集合B＝{x|1－log2x<0}＝{x|x>2}，所以A?B.(2)(2023·新高考全國Ⅱ)設(shè)集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2,2a－2}，若A?B，則a等于()A．2B．1C.eq\f(2,3)D．－1答案B解析若a－2＝0，解得a＝2，此時A＝{0，－2}，B＝{1,0,2}，不符合題意；若2a－2＝0，解得a＝1，此時A＝{0，－1}，B＝{1，－1,0}，符合題意．綜上所述，a＝1.思維升華(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合關(guān)系問題時，必須考慮空集的情況，否則易造成漏解．(2)已知兩個集合間的關(guān)系求參數(shù)時，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點間的關(guān)系，進而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的關(guān)系，常用數(shù)軸、Venn圖等來直觀解決這類問題．跟蹤訓(xùn)練2(1)已知集合M＝{x|y＝eq\r(1－x2)，x∈R}，N＝{x|x＝m2，m∈M}，則集合M，N的關(guān)系是()A．MN B．NMC．M??RN D．N??RM答案B解析因為M＝{x|y＝eq\r(1－x2)，x∈R}＝{x|－1≤x≤1}，N＝{x|x＝m2，m∈M}＝{x|0≤x≤1}，所以NM.(2)(2024·南平質(zhì)檢)設(shè)集合A＝{x|－1≤x≤3}，集合B＝{x|x≥a}，若A?B，則a的取值范圍為()A．{a|a≥3} B．{a|－1≤a≤3}C．{a|a≥－1} D．{a|a≤－1}答案D解析由A?B可得a≤－1.題型三集合的基本運算命題點1集合的運算例3(1)(2022·新高考全國Ⅰ)若集合M＝{x|eq\r(x)<4}，N＝{x|3x≥1}，則M∩N等于()A．{x|0≤x<2} B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤x<2))))C．{x|3≤x<16} D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤x<16))))答案D解析因為M＝{x|eq\r(x)<4}，所以M＝{x|0≤x<16}；因為N＝{x|3x≥1}，所以N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥\f(1,3))))).所以M∩N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤x<16)))).(2)(多選)(2023·濰坊模擬)若非空集合M，N，P滿足M∩N＝N，M∪P＝P，則()A．P?M B．M∩P＝MC．N∪P＝P D．M∩(?PN)＝?答案BC解析由M∩N＝N，可得N?M，由M∪P＝P，可得M?P，則推不出P?M，故A錯誤；由M?P，可得M∩P＝M，故B正確；因為N?M且M?P，所以N?P，則N∪P＝P，故C正確；由N?M，可得M∩(?PN)不一定為空集，故D錯誤．命題點2利用集合的運算求參數(shù)的值(范圍)例4(1)(多選)已知A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且A∪B＝A，則m的值可能為()A．－eq\f(1,3)B.eq\f(1,3)C．0D．－eq\f(1,2)答案BCD解析由題意知A＝{x|x2＋x－6＝0}，由x2＋x－6＝0，解得x＝2或x＝－3，所以A＝{2，－3}，因為A∪B＝A，所以B?A，當(dāng)B＝?時，m＝0，滿足題意；當(dāng)B≠?時，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,m)))，－eq\f(1,m)＝2或－eq\f(1,m)＝－3，解得m＝－eq\f(1,2)或m＝eq\f(1,3)，綜上，m＝0或－eq\f(1,2)或eq\f(1,3).(2)(2023·齊齊哈爾檢測)已知集合A，B滿足A＝{x|x>1}，B＝{x|x≤a－1}，若A∪B＝R，則實數(shù)a的取值范圍為()A．(－∞，1] B．(－∞，2]C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)答案D解析因為A∪B＝R，所以a－1≥1，解得a≥2.思維升華對于集合的交、并、補運算，如果集合中的元素是離散的，可用Venn圖表示；如果集合中的元素是連續(xù)的，可用數(shù)軸表示，此時要注意端點的情況．跟蹤訓(xùn)練3(1)(多選)已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|1<x<3}，則()A．(?RA)∪B＝{x|0≤x<3}B．(?RA)∩B＝{x|1<x<2}C．A∩B＝{x|2<x<3}D．A∩B是{x|2<x<5}的真子集答案ACD解析由x2－2x>0，得x<0或x>2，所以A＝{x|x<0或x>2}，所以?RA＝{x|0≤x≤2}，對于A，因為B＝{x|1<x<3}，所以(?RA)∪B＝{x|0≤x<3}，所以A正確；對于B，因為B＝{x|1<x<3}，所以(?RA)∩B＝{x|1<x≤2}，所以B錯誤；對于C，因為A＝{x|x<0或x>2}，B＝{x|1<x<3}，所以A∩B＝{x|2<x<3}，所以C正確；對于D，因為A∩B＝{x|2<x<3}，所以A∩B是{x|2<x<5}的真子集，所以D正確．(2)已知集合A，B滿足A＝{x|x>1}，B＝{x|x<a－1}，若A∩B＝?，則實數(shù)a的取值范圍為()A．(－∞，1] B．(－∞，2]C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)答案B解析因為集合A，B滿足A＝{x|x>1}，B＝{x|x<a－1}，且A∩B＝?，則a－1≤1，解得a≤2.課時精練一、單項選擇題1．(2022·全國乙卷)設(shè)全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M滿足?UM＝{1,3}，則()A．2∈MB．3∈MC．4?MD．5?M答案A解析由題意知M＝{2,4,5}．2．(2023·新高考全國Ⅰ)已知集合M＝{－2，－1,0,1,2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，則M∩N等于()A．{－2，－1,0,1} B．{0,1,2}C．{－2} D．{2}答案C解析方法一因為N＝{x|x2－x－6≥0}＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)，而M＝{－2，－1,0,1,2}，所以M∩N＝{－2}．方法二因為M＝{－2，－1,0,1,2}，將－2，－1，0，1,2代入不等式x2－x－6≥0，只有－2使不等式成立，所以M∩N＝{－2}．3．(2024·南京模擬)集合A＝{x∈N|1<x<4}的子集個數(shù)為()A．2B．4C．8D．16答案B解析A＝{x∈N|1<x<4}＝{2,3}，故子集個數(shù)為22＝4.4．已知全集U，若集合A和集合B都是U的非空子集，且滿足A∪B＝B，則下列集合中表示空集的是()A．(?UA)∩B B．A∩BC．(?UA)∩(?UB) D．A∩(?UB)答案D解析由Venn圖表示集合U，A，B如圖，由圖可得(?UA)∩B＝?BA，A∩B＝A，(?UA)∩(?UB)＝?UB，A∩(?UB)＝?.5．(2023·綿陽模擬)已知A＝{1,4，m2}，B＝{1，m}，若B?A，則m等于()A．0或4 B．1或4C．0 D．4答案A解析∵B?A且A＝{1,4，m2}，B＝{1，m}，∴m＝4或m＝m2，當(dāng)m＝4時，A＝{1,4,16}，B＝{1,4}，滿足題意；當(dāng)m＝m2時，得m＝0或m＝1，當(dāng)m＝0時，A＝{1,4,0}，B＝{1,0}，滿足題意；當(dāng)m＝1時，代入集合中，不滿足集合的互異性．綜上，m可取0,4.6．已知M，N均為R的子集，若存在x使得x∈M，且x??RN，則()A．M∩N≠? B．M?NC．N?M D．M＝N答案A解析因為x??RN，所以x∈N，又因為x∈M，所以x∈M∩N，故M∩N≠?，故A正確；由于題目條件是存在x，所以不能確定集合M，N之間的包含關(guān)系，故B，C，D錯誤．7．已知集合A＝{x∈Z|－1<x<3}，B＝{x|3x－a≥0}，且A∩B＝{1,2}，則a的取值范圍為()A．(0,1) B．(0,1]C．(0,3] D．(0,3)答案C解析因為A＝{x∈Z|－1<x<3}＝{0,1,2}，B＝{x|3x－a≥0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥\f(a,3)))))，又A∩B＝{1,2}，所以0<eq\f(a,3)≤1，解得0<a≤3，則a的取值范圍為(0,3]．8．已知集合A＝{x|x>4}，B＝{x|x<2m}，且?RB?A，則實數(shù)m的取值范圍是()A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)C．(－∞，2) D．(－∞，2]答案A解析因為B＝{x|x<2m}，所以?RB＝{x|x≥2m}，又A＝{x|x>4}，且?RB?A，所以2m>4，得到m>2.二、多項選擇題9．已知I為全集，集合M，N?I，若M?N，則()A．M∪N＝N B．M∩N＝NC．?IM??IN D．(?IN)∩M＝?答案AD解析因為M?N，則M∪N＝N，M∩N＝M，則A正確，B錯誤；又I為全集，集合M，N?I，則?IM??IN，(?IN)∩M＝?，C錯誤，D正確．10．已知集合A＝{x|x2＝1}，B＝{x|ax＝1}，且A∪B＝A，則實數(shù)a的取值可以是()A．－1B．0C．1D．2答案ABC解析A＝{x|x2＝1}＝{－1,1}，集合B表示關(guān)于x的方程ax＝1的解集，因為A∪B＝A，所以B?A，當(dāng)a＝0時方程ax＝1無解，此時B＝?，符合題意；當(dāng)B＝{1}時，a＝1；當(dāng)B＝{－1}時，－a＝1，解得a＝－1，綜上可得a＝0或±1.三、填空題11．已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，則A∩B中元素的個數(shù)為________．答案4解析根據(jù)題意，A∩B的元素是x＋y＝8上滿足x，y∈N*且y≥x的點，即點(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)．12．已知集合A＝{