一、多元函數的極值二、最值應用問題三、條件極值多元函數的極值及其求法

回憶一元函數極值的討論體系定義:

可導函數的極值點為極大值為極小值必要條件：駐點判定極值的充分條件：第一充分條件：按駐點兩側的變號情況判定第二充分條件：為極大值為極小值

一、多元函數的極值

定義:若函數則稱函數在該點取得極大值(極小值).極大值和極小值統稱為極值,使函數取得極值的點稱為極值點.的某鄰域內有

例如:在點(0,0)有極小值;在點(0,0)有極大值;在點(0,0)無極值.

已知在點處取極值用平面與曲面相截得交線在處取極值同理

說明:使偏導數都為0的點稱為駐點.定理1(必要條件)函數存在偏導數,證:據一元函數極值的必要條件可知定理結論成立.取得極值,取得極值取得極值駐點且在該點取得極值,則有故可偏導函數的極值點

時,具有極值定理2

(充分條件)的某鄰域內具有一階和二階連續偏導數,且令則:1)當A<0時取極大值;A>0時取極小值.2)當3)當時,沒有極值.時,不能確定,需另行討論.若

例1.求函數解:

第一步求駐點.得駐點:(0,0),(2,2).第二步判別.解方程組的極值.求二階偏導數

(0,0)(2,2)時,A<0時取極大值;A>0時取極小值.為極大值.不是極值駐點ABC極值情況

例2.討論函數及是否取得極值.解:顯然(0,0)都是它們的駐點,在(0,0)點鄰域內的取值,因此z(0,0)不是極值.因此為極小值.正負0在點(0,0)并且在(0,0)都有可能為

二、最值應用問題函數f在閉域上連續函數f在閉域上可達到最值最值嫌疑點駐點邊界上的最值點特別,當區域內部最值存在,且只有一個極值點P時,為極小值為最小值(大)(大)依據

例3.解:設水箱長,寬分別為x,ym

,則高為則水箱所用材料的面積為令得駐點某廠要用鐵板做一個體積為2根據實際問題可知最小值在定義域內應存在,的有蓋長方體水箱，問當長、寬、高各取怎樣的尺寸時,才能使用料最省?因此可斷定此唯一駐點就是最小值點.即當長、寬均為高為時,水箱所用材料最省.

例4.有一寬為24cm的長方形鐵板,把它折起來做成解:設折起來的邊長為xcm,則斷面面積x24一個斷面為等腰梯形的水槽,傾角為

,積最大.為問怎樣折法才能使斷面面

令解得:由題意知,最大值在定義域D內達到,而在域D內只有一個駐點,故此點即為所求.

三、條件極值極值問題無條件極值:條件極值:對自變量只有定義域限制對自變量除定義域限制外,還有其它條件限制例如在(0,0)點處取極小值(無條件極值)求在限制條件下的極值問題

條件極值的求法:方法1代入法.求一元函數的無條件極值問題例如：轉化上題中，從限制條件中解出代入

方法2拉格朗日乘數法.例如,引入輔助函數輔助函數F

稱為拉格朗日(Lagrange)函數.利用拉格則極值點滿足:朗日函數求極值的方法稱為拉格朗日乘數法.

例5某廠生產兩種產品的日產量為x和y

(件),

利潤函數為z=6x-x2+16y–4y2(元),每件產品均需消耗某種原料2公斤,現有原料12公斤,問兩種產品各生產多少件時,利潤最大?解2x+2y=12,約束條件:即x+y=6,令解方程組得故當x=3.8,y