數論-整除-整除的基本概念-1星題課程目標知識點考試要求具體要求考察頻率整除的基本概念A1、了解整除的定義。

2、會判定一個數能不能被另一個數整除。

少考知識提要整除的基本概念定義

如果整數a除以整數b（b≠0），除得的商是整數且沒有余數，我們就說

a能被

b整除，也可以說

b能整除a，記作b∣a．

注意：如果除得的結果有余數，我們就說

a不能被

b整除，也可以說

b不能整除

a．整除的性質

性質1：如果a、b都能被

c

整除，那么它們的和與差也能被

c

整除。

性質2：如果

b

與

c

的積能整除

a

，那么b與c都能整除

a

。 性質3：如果

b

、

c

都能整除

a

，且

b

和

c

互質，那么

b

與

c

的積能整除

a

。 性質4：如果

c

能整除

b

，

b

能整除

a

，那么

c

能整除

a

。

精選例題整除的基本概念1.再過12天就到2016年了，昊昊感慨地說：我到目前只經過2個閏年，并且我出生的年份是9的倍數，那么2016年昊昊是

歲．【答案】

9【分析】

根據題意“我到目前只經過2個閏年”可得我的出生年份在2005?2008,這之間只有2007是9的倍數，則昊昊是2007年出生，則2016年昊昊是2016-2007=92.若六位數201ab7能被11和13整除，則兩位數ab=

【答案】

48【分析】

由11的整除特征可知：(7+a+0)-(2+1+b)=a+4-b=0若a+4-b=11,a-b=7,只有8-1=9-2=7,六位數201817、201927都不能被13整除．若a+4-b=0,則a+4=b,只有0+4=4，1+4=5，2+4=6，3+4=7，4+4=8，5+4=9等情況，構成的六位數201047，201157，201267，201377，201487，201597中只有201487能被13整除，則ab=483.一個電子鐘表上總把日期顯示為八位數，如2011年1月1日顯示為20110101．如果2011年最后一個能被101整除的日子是2011ABCD，那么2011ABCD是多少？【答案】

20111221【分析】

試除法得出答案：20111231÷101=199121??10，31-10=21，所以ABCD=12214.若4b+2c+d=32，試問abcd能否被8整除？請說明理由．【答案】

見解析．【分析】

由能被8整除的特征知，只要后三位數能被8整除即可．bcd=100b+10c+d，有bcd-(4b+2c+d)=96b+8c=8(12b+c)能被8整除，而4b+2c+d=32也能被8整除，所以abcd能被數論-整除-整除的基本概念-2星題課程目標知識點考試要求具體要求考察頻率整除的基本概念A1、了解整除的定義。

2、會判定一個數能不能被另一個數整除。

少考知識提要整除的基本概念定義

如果整數a除以整數b（b≠0），除得的商是整數且沒有余數，我們就說

a能被

b整除，也可以說

b能整除a，記作b∣a．

注意：如果除得的結果有余數，我們就說

a不能被

b整除，也可以說

b不能整除

a．整除的性質

性質1：如果a、b都能被

c

整除，那么它們的和與差也能被

c

整除。

性質2：如果

b

與

c

的積能整除

a

，那么b與c都能整除

a

。 性質3：如果

b

、

c

都能整除

a

，且

b

和

c

互質，那么

b

與

c

的積能整除

a

。 性質4：如果

c

能整除

b

，

b

能整除

a

，那么

c

能整除

a

。

精選例題整除的基本概念1.若六位數201ab7能被11和13整除，則兩位數ab=

【答案】

48【分析】

由11的整除特征可知：(7+a+0)-(2+1+b)=a+4-b=0若a+4-b=11,a-b=7,只有8-1=9-2=7,六位數201817、201927都不能被13整除．若a+4-b=0,則a+4=b,只有0+4=4，1+4=5，2+4=6，3+4=7，4+4=8，5+4=9等情況，構成的六位數201047，201157，201267，201377，201487，201597中只有201487能被13整除，則ab=482.再過12天就到2016年了，昊昊感慨地說：我到目前只經過2個閏年，并且我出生的年份是9的倍數，那么2016年昊昊是

歲．【答案】

9【分析】

根據題意“我到目前只經過2個閏年”可得我的出生年份在2005?2008,這之間只有2007是9的倍數，則昊昊是2007年出生，則2016年昊昊是2016-2007=93.在3和5之間插入6、30、20這三個數，得到3、6、30、20、5這樣一串數．其中每相鄰兩個數的和可以整除它們的積（例如，3+6=9，9可以整除3×6；再如，6+30=36，36可以整除6×30）．請你在4與3這兩數之間的三個空中各填入一個非零的整數，使得其中每相鄰兩個數的和可以整除它們的積．4、

、

、

、3【答案】

4,4,12,6,3；4,12,12,6,3；4,12,6,6,3【分析】

設4,a,b,c,3成立，則4×a4+a=n,3×c3+c=m由倒數的意義可知：①4+a4×a=1n，則44×a1n>1當n=3，1a當n=2，1a②3+c3×c=1m，則33×c1m>13，則m=2，當m=2時，③設c×bc+b=k，則c+bc×b=1k，可得1c+1b=1k當k=2時，1b=1k=3時，1b=1k=4時，1b=1k=5時，1b=1經檢驗有下面的三組解：4,4,12,6,3；4,12,12,6,3；4,12,6,6,3．4.給定一個除數（不為0）與被除數，總可以找到一個商與一個余數，滿足被除數其中，0?余數<除數不超過988000并且能夠被49整除的大于1的自然數共有

個．【答案】

20163【分析】

988000÷49=20163??13所以，滿足要求的數分別是49的1～20163倍，共20163個．5.一個電子鐘表上總把日期顯示為八位數，如2011年1月1日顯示為20110101．如果2011年最后一個能被101整除的日子是2011ABCD，那么2011ABCD是多少？【答案】

20111221【分析】

試除法得出答案：20111231÷101=199121??10，31-10=21，所以ABCD=12216.在1、2、3、4?2007這2007個數中有多少個自然數a能使2008+a能被2007-a整除．【答案】

7【分析】

要使得2008+a能被2007-a整除，我們可以將條件等價的轉化為只要讓2008+a2007-a是一個整數即可．下面是一個比較難的技巧，我們知道若a可以使得2008+a2007-a是一個整數，那么a也同樣可以使得2008+a2007-a+1=2008+a+2007-a2007-a=40152007-a是一個整數，這樣只要2007-a是4015的約數即可，將4015分解可知其共有8個因數，其中4015是最大的一個，但是顯然沒有可以讓2007-a等于4015的a7.若4b+2c+d=32，試問abcd能否被8整除？請說明理由．【答案】

見解析．【分析】

由能被8整除的特征知，只要后三位數能被8整除即可．bcd=100b+10c+d，有bcd-(4b+2c+d)=96b+8c=8(12b+c)能被8整除，而4b+2c+d=32也能被8整除，所以abcd能被8.1至9這9個數字，按圖所示的次序排成一個圓圈．請你在某兩個數字之間剪開，分別按順時針和逆時針次序形成兩個九位數（例如，在1和7之間剪開，得到兩個數是193426857和758624391）．如果要求剪開后所得到的兩個九位數的差能被396整除，那么剪開處左右兩個數字的乘積是多少？ 【答案】

27，8，12，48，35，9【分析】

互為反序的兩個九位數的差，一定能被99整除．而396=99×4，所以我們只用考察它能否能被4整除．于是只用觀察原序數、反序數的末兩位數字的差能否被4整除，顯然只有當剪開處兩個數的奇偶性相同時才有可能．注意圖中的具體數字，有（3，4）處、（8，5）處的兩個數字奇偶性均不相同，所以一定不滿足．而剩下的幾個位置奇偶性相同，有可能滿足．進一步驗證，有（9，3）處剪開的末兩位數字之差為43-19=24，（4，2），（2，6），（6，8），（5，7），（7，1），（1，9）處剪開的末兩位數字之差為62-3=28．86-42=44，58-26=32，85-17=68，91-57=34，71-39=32．所以從（9，3），（4，2），（2，6），（6，8），（5，7），（1，9）處剪開，所得的兩個互為反序的九位數的差才是396的倍數．（9，3），（4，2），（2，6），（6，8），（5，7），（1，9）處左右兩個數的乘積為27，8，12，48，35，9．9.六位數20??08能被99整除，??是多少？【答案】

71【分析】

方法一：200008被99除商2020余28，所以??00+28能被99整除，商72時，99×72=7128，末兩位是28，所以??為71方法二：99=9×11，20??08能被99整除，所以各位數字之和為9的倍數，所以方框中數字的和只能為8或17；又根據數被11整除的性質，方框中兩數字的差為6或5，可得??是71．10.請找出符合下列性質的四位數：（1）它是一個平方數；（2）開始兩位的數字要相同；（3）最末兩位的數字要相同．【答案】

7744【分析】

設四位數為aabb．因aabb=1000a+100a+10b+b=11×a0b，要aabb是完全平方數，則a0b能被質數11整除，故a+b=11，a0b只能是902，803，704，605，506，407， 由于a0b被11除的商必須是完全平方數，只有704符合．此時a=7，b=4，故所求的數為7744．11.在一個兩位數的十位與個位數字之間插入一個數字0，得到一個三位數（例如21變成了201），結果這個三位數恰好能被原來的兩位數整除．請問：所有滿足條件的兩位數之和是多少？【答案】

528【分析】

設滿足條件的兩位數為ab，則按題意插入一個數字0后的三位數是a0b．依題意有ab∣10a+b∣100a+b,整理得10a+b∣90a+(10a+b),推出10a+b∣90a;或者整理得10a+b∣10(10a+b)-9b,推出10a+b∣9b.因為9b比90a相對較小，所以考慮10a+b∣9b，但發現也不好分析，所以變為ab∣9b若b取0時，ab取10，20，?，90均可；若b取1時，ab沒有符合的情況；……依次討論得到ab可以為10，20，30，?，90，15，45，18，和為528．12.（1）不算出結果，判斷數(524+42-429)是偶數還是奇數？（2）數(42?+30-147)能被2整除，那么，?里可填什么數？（3）下面的連乘積是偶數還是奇數？ 1×3×5×7×9×11×13×14×15.【答案】

（1）奇數；（2）1,3,5,7,9；（3）偶數．【分析】

根據奇偶數的運算性質：（1）因為524，42是偶數，所以(524+42)是偶數．又因為429是奇數，所以(524+42-429)是奇數．（2）數(42?+30-147)能被2整除，則它一定是偶數．因為147是奇數，所以數(42?+30)必是奇數．又因為其中的30是偶數，所以，數42?必為奇數．于是，?里只能填奇數1，3，5，7，9．（3）1，3，5，7，9，11，13，15都是奇數，由1×3為奇數，推知1×3×5為奇數??推知1×3×5×7×9×11×13×15為奇數． 因為14為偶數，所以(1×3×5×7×9×11×13×15)×14為偶數，即1×3×5×7×9×11×13×14×15為偶數．13.一個4位數，把它的千位數字移到右端構成一個新的4位數．再將新的4位數的千位數字移到右端構成一個更新的四位數，已知最新的4位數與最原先的4位數的和是以下5個數的一個：①9865；②9867；③9462；④9696；⑤9869．這兩個4位數的和到底是多少？【答案】

9696【分析】

設這個4位數是abcd，則最新的4位數是cdab．兩個數的和為abcd是101的倍數．在所給的5個數中只有9696是101的倍數，故正確的答案為9696．數論-整除-整除的基本概念-3星題課程目標知識點考試要求具體要求考察頻率整除的基本概念A1、了解整除的定義。

2、會判定一個數能不能被另一個數整除。

少考知識提要整除的基本概念定義

如果整數a除以整數b（b≠0），除得的商是整數且沒有余數，我們就說

a能被

b整除，也可以說

b能整除a，記作b∣a．

注意：如果除得的結果有余數，我們就說

a不能被

b整除，也可以說

b不能整除

a．整除的性質

性質1：如果a、b都能被

c

整除，那么它們的和與差也能被

c

整除。

性質2：如果

b

與

c

的積能整除

a

，那么b與c都能整除

a

。 性質3：如果

b

、

c

都能整除

a

，且

b

和

c

互質，那么

b

與

c

的積能整除

a

。 性質4：如果

c

能整除

b

，

b

能整除

a

，那么

c

能整除

a

。

精選例題整除的基本概念1.在3和5之間插入6、30、20這三個數，得到3、6、30、20、5這樣一串數．其中每相鄰兩個數的和可以整除它們的積（例如，3+6=9，9可以整除3×6；再如，6+30=36，36可以整除6×30）．請你在4與3這兩數之間的三個空中各填入一個非零的整數，使得其中每相鄰兩個數的和可以整除它們的積．4、

、

、

、3【答案】

4,4,12,6,3；4,12,12,6,3；4,12,6,6,3【分析】

設4,a,b,c,3成立，則4×a4+a=n,3×c3+c=m由倒數的意義可知：①4+a4×a=1n，則44×a1n>1當n=3，1a當n=2，1a②3+c3×c=1m，則33×c1m>13，則m=2，當m=2時，③設c×bc+b=k，則c+bc×b=1k，可得1c+1b=1k當k=2時，1b=1k=3時，1b=1k=4時，1b=1k=5時，1b=1經檢驗有下面的三組解：4,4,12,6,3；4,12,12,6,3；4,12,6,6,3．2.給定一個除數（不為0）與被除數，總可以找到一個商與一個余數，滿足被除數其中，0?余數<除數不超過988000并且能夠被49整除的大于1的自然數共有

個．【答案】

20163【分析】

988000÷49=20163??13所以，滿足要求的數分別是49的1～20163倍，共20163個．3.再過12天就到2016年了，昊昊感慨地說：我到目前只經過2個閏年，并且我出生的年份是9的倍數，那么2016年昊昊是

歲．【答案】

9【分析】

根據題意“我到目前只經過2個閏年”可得我的出生年份在2005?2008,這之間只有2007是9的倍數，則昊昊是2007年出生，則2016年昊昊是2016-2007=94.若六位數201ab7能被11和13整除，則兩位數ab=

【答案】

48【分析】

由11的整除特征可知：(7+a+0)-(2+1+b)=a+4-b=0若a+4-b=11,a-b=7,只有8-1=9-2=7,六位數201817、201927都不能被13整除．若a+4-b=0,則a+4=b,只有0+4=4，1+4=5，2+4=6，3+4=7，4+4=8，5+4=9等情況，構成的六位數201047，201157，201267，201377，201487，201597中只有201487能被13整除，則ab=485.請找出符合下列性質的四位數：（1）它是一個平方數；（2）開始兩位的數字要相同；（3）最末兩位的數字要相同．【答案】

7744【分析】

設四位數為aabb．因aabb=1000a+100a+10b+b=11×a0b，要aabb是完全平方數，則a0b能被質數11整除，故a+b=11，a0b只能是902，803，704，605，506，407， 由于a0b被11除的商必須是完全平方數，只有704符合．此時a=7，b=4，故所求的數為7744．6.在一個兩位數的十位與個位數字之間插入一個數字0，得到一個三位數（例如21變成了201），結果這個三位數恰好能被原來的兩位數整除．請問：所有滿足條件的兩位數之和是多少？【答案】

528【分析】

設滿足條件的兩位數為ab，則按題意插入一個數字0后的三位數是a0b．依題意有ab∣10a+b∣100a+b,整理得10a+b∣90a+(10a+b),推出10a+b∣90a;或者整理得10a+b∣10(10a+b)-9b,推出10a+b∣9b.因為9b比90a相對較小，所以考慮10a+b∣9b，但發現也不好分析，所以變為ab∣9b若b取0時，ab取10，20，?，90均可；若b取1時，ab沒有符合的情況；……依次討論得到ab可以為10，20，30，?，90，15，45，18，和為528．7.六位數20??08能被99整除，??是多少？【答案】

71【分析】

方法一：200008被99除商2020余28，所以??00+28能被99整除，商72時，99×72=7128，末兩位是28，所以??為71方法二：99=9×11，20??08能被99整除，所以各位數字之和為9的倍數，所以方框中數字的和只能為8或17；又根據數被11整除的性質，方框中兩數字的差為6或5，可得??是71．8.小明與小華玩游戲，規則如下：開始每人都是1分，每局獲勝的小朋友都可以把自己的分數乘以3，輸的小朋友保持分數不變，最后小明獲勝，他比小華多的分數是99的倍數，那么他們至少玩了多少局？【答案】

9【分析】

設小明和小華最后的分數分別為3a和3b，其中a>b，所以99∣3a-3b=3b[3(a-b)-1]．因為[3(a-b)-1]和39.請將1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11按合適的順序寫成一行，使得這一行數中的任何一個都是它前面所有數之和的約數．【答案】

其中一個答案是6、1、7、2、8、3、9、4、10、5、11．【分析】

設填好后的數從左往右依次為a1,a2,?,a11,所有數的和為66，那么有a11∣66-a11，故a11∣66，可以設a11=11，則其余數的和為55，那么倒數第二個數肯定是55的約數，可以填5；還剩50，那么倒數第三個數肯定是50的約數，可以填10，最后經過嘗試得到6、1、7、2、8、3、9、4、10、5、11和8、1、9、觀察6、1、7、2、8、3、9、4、10、5、11這組答案，可以發現一個一般的規律：若所給數是1～2n+1，則n+1，1，n+2，2，?，2n，n，2n+1符合題意；若所給數是1～2n，則n+1，1，n+2，2，?，2n，n符合題意．10.已知M、N是互為反序的兩個三位數，且M>N．請問：（1）如果M和N的最大公約數是7，求M；（2）如果M和N的最大公約數是21，求M．【答案】

（1）952；（2）861【分析】

（1）設這兩個三位數分別為M=abc、N=cba（M>N），那么7∣M-N=99(a-c)，所以a=8,c=1,或a=9,c=2,經枚舉驗證只有（2）設這兩個三位數分別為M=abc、N=cba(M>N)，那么7∣M-N=99(a-c)，所以a=8,c=1,或a=9,c=2,11.在1、2、3、4?2007這2007個數中有多少個自然數a能使2008+a能被2007-a整除．【答案】

7【分析】

要使得2008+a能被2007-a整除，我們可以將條件等價的轉化為只要讓2008+a2007-a是一個整數即可．下面是一個比較難的技巧，我們知道若a可以使得2008+a2007-a是一個整數，那么a也同樣可以使得2008+a2007-a+1=2008+a+2007-a2007-a=40152007-a是一個整數，這樣只要2007-a是4015的約數即可，將4015分解可知其共有8個因數，其中4015是最大的一個，但是顯然沒有可以讓2007-a等于4015的a12.有3個自然數，其中每一個數都不能被另外兩個數整除，而且其中任意兩個數的乘積都能被第三個數整除．請問：滿足上述條件的3個自然數之和最小是多少？【答案】

31【分析】

先證明這3個數每個都至少含有2種質因數．證法一：假設這三個數為A、B、C，其中A只有一種質因數p，那么B不可能只有質因數p，否則B和A必定是倍數關系，同理，C也不可能只有質因數p．根據C∣AB，假設C有除p以外其他質因數q，可以得到q∣B，同理，C所有除了p以外的質因數都是B的質因數；再根椐B∣CA，同理得，B所有除了p以外的質因數也是C的質因數，那么B、C必定是倍數關系，與題意矛盾．所以這3個數中不可能出現只含1種質因數的數，即每個都至少含有2種質因數．證法二：假設這三個數為A、B、C，其中A只有一種質因數p，設A=pa．因為A∣BC，所以乘積BC中一定含有質因數p；但A不能整除B，也不能整除C，說明B、C中都含有p，且次數都低于a；又B不能整除A，C也不能整除A，所以B、C中都含打除了p以外的質因數，設B=?b×pb，C=?c因為B∣AC，所以?b∣?c；同理，因為C∣AB，所以?c∣?b，說明?c=?若這三個數里一共恰有2種質因數，最小為2和3，最小符合題意的情況是22×32、2×3若這三個數里一共恰有3種質因數，最小為2、3、5，最小符合題意的情況是2×3、2×5、3×5，和為6+10+15=31；若這三個數里一共恰有4種質因數，最小為2、3、5、7，在不考慮題意的情況下，3個不同的各含兩種質因數的數最小是2×3、2×5、2×7，和為30，但這組不符合題意，很明顯如果要符合題意，和肯定大于31；若這三個數里一共恰有5種質因數，最小為2、3、5、7、11，在不考慮題意的情況下，3個不同的各含兩種質因數的數最小是2×7、2×11、3×5，和為51，大于31；很明顯，當含有的質因數種類再增多時，三個數的和肯定都大于31；綜上，滿足上述條件的3個自然數之和最小是31．13.試求不大于100，且使3n+7n+4【答案】

1480【分析】

通過逐次計算，可以求出3n被11除的余數，依次為：31為3，32為9，33為5，34為4，35為1，?，因而3n被11除的余數5個構成一個周期：3，9，5，4，1，3，9，5，4，1，?；類似地，可以求出7n被11除的余數10個構成一個周期：7，5，2，3，10，4，6，9，8，1，?；于是3n+7n+4被11除的余數也是10個構成一個周期：3，7，0，0，4，0，8，7，5，6，?；這就表明，每一個周期中，只有第33+4+6+13+14+16+?+93+94+9614.若4b+2c+d=32，試問abcd能否被8整除？請說明理由．【答案】

見解析．【分析】

由能被8整除的特征知，只要后三位數能被8整除即可．bcd=100b+10c+d，有bcd-(4b+2c+d)=96b+8c=8(12b+c)能被8整除，而4b+2c+d=32也能被8整除，所以abcd能被15.（1）不算出結果，判斷數(524+42-429)是偶數還是奇數？（2）數(42?+30-147)能被2整除，那么，?里可填什么數？（3）下面的連乘積是偶數還是奇數？ 1×3×5×7×9×11×13×14×15.【答案】

（1）奇數；（2）1,3,5,7,9；（3）偶數．【分析】

根據奇偶數的運算性質：（1）因為524，42是偶數，所以(524+42)是偶數．又因為429是奇數，所以(524+42-429)是奇數．（2）數(42?+30-147)能被2整除，則它一定是偶數．因為147是奇數，所以數(42?+30)必是奇數．又因為其中的30是偶數，所以，數42?必為奇數．于是，?里只能填奇數1，3，5，7，9．（3）1，3，5，7，9，11，13，15都是奇數，由1×3為奇數，推知1×3×5為奇數??推知1×3×5×7×9×11×13×15為奇數． 因為14為偶數，所以(1×3×5×7×9×11×13×15)×14為偶數，即1×3×5×7×9×11×13×14×15為偶數．16.一個電子鐘表上總把日期顯示為八位數，如2011年1月1日顯示為20110101．如果2011年最后一個能被101整除的日子是2011ABCD，那么2011ABCD是多少？【答案】

20111221【分析】

試除法得出答案：20111231÷101=199121??10，31-10=21，所以ABCD=122117.1至9這9個數字，按圖所示的次序排成一個圓圈．請你在某兩個數字之間剪開，分別按順時針和逆時針次序形成兩個九位數（例如，在1和7之間剪開，得到兩個數是193426857和758624391）．如果要求剪開后所得到的兩個九位數的差能被396整除，那么剪開處左右兩個數字的乘積是多少？ 【答案】

27，8，12，48，35，9【分析】

互為反序的兩個九位數的差，一定能被99整除．而396=99×4，所以我們只用考察它能否能被4整除．于是只用觀察原序數、反序數的末兩位數字的差能否被4整除，顯然只有當剪開處兩個數的奇偶性相同時才有可能．注意圖中的具體數字，有（3，4）處、（8，5）處的兩個數字奇偶性均不相同，所以一定不滿足．而剩下的幾個位置奇偶性相同，有可能滿足．進一步驗證，有（9，3）處剪開的末兩位數字之差為43-19=24，（4，2），（2，6），（6，8），（5，7），（7，1），（1，9）處剪開的末兩位數字之差為62-3=28．86-42=44，58-26=32，85-17=68，91-57=34，71-39=32．所以從（9，3），（4，2），（2，6），（6，8），（5，7），（1，9）處剪開，所得的兩個互為反序的九位數的差才是396的倍數．（9，3），（4，2），（2，6），（6，8），（5，7），（1，9）處左右兩個數的乘積為27，8，12，48，35，9．18.一個4位數，把它的千位數字移到右端構成一個新的4位數．再將新的4位數的千位數字移到右端構成一個更新的四位數，已知最新的4位數與最原先的4位數的和是以下5個數的一個：①9865；②9867；③9462；④9696；⑤9869．這兩個4位數的和到底是多少？【答案】

9696【分析】

設這個4位數是abcd，則最新的4位數是cdab．兩個數的和為abcd是101的倍數．在所給的5個數中只有9696是101的倍數，故正確的答案為9696．19.某住宅區有12家住戶，他們的門牌號分別是1,2,3,?,12．他們的電話號碼依次是12個連續的六位自然數，并且每家的電話號碼都能被這家的門牌號碼整除．已知這些電話的首位數字都小于6，并且門牌號碼是9的這一家的電話號碼能被13整除．請問：這一家的電話號碼是多少？【答案】

388089【分析】

設第一家住戶的電話號碼為n+1，則1∣n+1,2∣n+2,3∣n+3,?,12∣n+12,由此可知n能被1～12同時整除，而1～12的最小公倍數為23×32×5×7×11=27720，則n=27720m，其中m為正整數．由條件“門牌號碼是9的這一家的電話號碼能被13整除”可得，13∣27720m+9．而27720m+9≡4m+9(mod13)20.定義運算“⊙”如下：對于兩個自然數a和b，它們的最大公約數與最小公倍數的差記為a⊙b．比如：10和14，最小公倍數為70，最大公約數為2，則10⊙14=70-2=68．（1）求12⊙21，5⊙15；（2）說明，如果c整除a和b，則c也整除a⊙b；如果c整除a和a⊙b，則c也整除b；（3）已知6⊙x=27，求x的值．【答案】

（1）81；10；（2）見解析；（3）x=15【分析】

（1）為求12⊙21，先求出12與21的最小公倍數和最大公約數分別為84，3，因此12⊙21=84-3=81，同樣道理5⊙15=15-5=10．（2）如果c整除a和b，那么c是a和b的公約數，則c整除a,b的最大公約數，顯然c也整除a,b最小公倍數，所以c整除最小公倍數與最大公約的差，即c整除a⊙b．如果c整除a和a⊙b，由c整除a推知c整除a,b的最小公倍數，再由c整除a⊙b推知，整除a,b的最大公約數，而這個最大公約數整除b，所以c整除b．（3）由于運算“⊙”沒有直接的表達式，解這個方程有一些困難，我們設法逐步縮小探索范圍．因為6與x的最小公倍數不小于27+1=28，不大于27+6=33，而28到33之間，只有30是6的倍數，可見6和x的最小公倍數是30，因此它們的最大公約數是30-27=3．由“兩個數的最小公倍數與最大公約數的積=這兩個數的積”，得到30×3=6×x．所以x=15．21.有15位同學，每位同學都有編號，他們是1號到15號，1號同學寫了一個自然數，其余各位同學都說這個數能被自己的編號數整除．1號作了檢驗：只有編號連續的兩位同學說的不對，其余同學都對，問：（1）說的不對的兩位同學，他們的編號是哪兩個連續自然數？（2）如果告訴你1號寫的數是五位數，請找出這個數．【答案】

（1）8和9；（2）60060【分析】

（1）為了表達方便，不妨設1號同學寫的自然數為a．根據2～15號同學所述結論，2～15中只有兩個連續的自然數不能整除a，其他的數都能整除a．由于2～7中的每一個數的2倍都在15以內，如果2～7中有某個數不能整除a，那么這個數的2倍也不能整除a，然而2～7中的這個數與它的2倍不可能是兩個連續的自然數，所以2～7中每一個數都是a的約數．由于2與5互質，那么2×5=10也是a的約數．同理可知，12、14、15也都是a的約數．還剩下的四個數為8、9、11、13，只有8、9是兩個連續的自然數，所以說的不對的兩位同學，他們的編號分別是8和（2）1號同學所寫的自然數能被2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15這12個數整除，也就是它們的公倍數．它們的最小公倍數是：22×3×5×7×11×13=60060．因為60060是一位五位數，而這12個數的其他公倍數都是它們的最小公倍數60060的倍數，且最小為2倍，所以均不是五位數，那么1號同學寫的五位數是數論-整除-整除的基本概念-4星題課程目標知識點考試要求具體要求考察頻率整除的基本概念A1、了解整除的定義。

2、會判定一個數能不能被另一個數整除。

少考知識提要整除的基本概念定義

如果整數a除以整數b（b≠0），除得的商是整數且沒有余數，我們就說

a能被

b整除，也可以說

b能整除a，記作b∣a．

注意：如果除得的結果有余數，我們就說

a不能被

b整除，也可以說

b不能整除

a．整除的性質

性質1：如果a、b都能被

c

整除，那么它們的和與差也能被

c

整除。

性質2：如果

b

與

c

的積能整除

a

，那么b與c都能整除

a

。 性質3：如果

b

、

c

都能整除

a

，且

b

和

c

互質，那么

b

與

c

的積能整除

a

。 性質4：如果

c

能整除

b

，

b

能整除

a

，那么

c

能整除

a

。

精選例題整除的基本概念1.在3和5之間插入6、30、20這三個數，得到3、6、30、20、5這樣一串數．其中每相鄰兩個數的和可以整除它們的積（例如，3+6=9，9可以整除3×6；再如，6+30=36，36可以整除6×30）．請你在4與3這兩數之間的三個空中各填入一個非零的整數，使得其中每相鄰兩個數的和可以整除它們的積．4、

、

、

、3【答案】

4,4,12,6,3；4,12,12,6,3；4,12,6,6,3【分析】

設4,a,b,c,3成立，則4×a4+a=n,3×c3+c=m由倒數的意義可知：①4+a4×a=1n，則44×a1n>1當n=3，1a當n=2，1a②3+c3×c=1m，則33×c1m>13，則m=2，當m=2時，③設c×bc+b=k，則c+bc×b=1k，可得1c+1b=1k當k=2時，1b=1k=3時，1b=1k=4時，1b=1k=5時，1b=1經檢驗有下面的三組解：4,4,12,6,3；4,12,12,6,3；4,12,6,6,3．2.給定一個除數（不為0）與被除數，總可以找到一個商與一個余數，滿足被除數其中，0?余數<除數不超過988000并且能夠被49整除的大于1的自然數共有

個．【答案】

20163【分析】

988000÷49=20163??13所以，滿足要求的數分別是49的1～20163倍，共20163個．3.請將1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11按合適的順序寫成一行，使得這一行數中的任何一個都是它前面所有數之和的約數．【答案】

其中一個答案是6、1、7、2、8、3、9、4、10、5、11．【分析】

設填好后的數從左往右依次為a1,a2,?,a11,所有數的和為66，那么有a11∣66-a11，故a11∣66，可以設a11=11，則其余數的和為55，那么倒數第二個數肯定是55的約數，可以填5；還剩50，那么倒數第三個數肯定是50的約數，可以填10，最后經過嘗試得到6、1、7、2、8、3、9、4、10、5、11和8、1、9、觀察6、1、7、2、8、3、9、4、10、5、11這組答案，可以發現一個一般的規律：若所給數是1～2n+1，則n+1，1，n+2，2，?，2n，n，2n+1符合題意；若所給數是1～2n，則n+1，1，n+2，2，?，2n，n符合題意．4.某住宅區有12家住戶，他們的門牌號分別是1,2,3,?,12．他們的電話號碼依次是12個連續的六位自然數，并且每家的電話號碼都能被這家的門牌號碼整除．已知這些電話的首位數字都小于6，并且門牌號碼是9的這一家的電話號碼能被13整除．請問：這一家的電話號碼是多少？【答案】

388089【分析】

設第一家住戶的電話號碼為n+1，則1∣n+1,2∣n+2,3∣n+3,?,12∣n+12,由此可知n能被1～12同時整除，而1～12的最小公倍數為23×32×5×7×11=27720，則n=27720m，其中m為正整數．由條件“門牌號碼是9的這一家的電話號碼能被13整除”可得，13∣27720m+9．而27720m+9≡4m+9(mod13)5.已知M、N是互為反序的兩個三位數，且M>N．請問：（1）如果M和N的最大公約數是7，求M；（2）如果M和N的最大公約數是21，求M．【答案】

（1）952；（2）861【分析】

（1）設這兩個三位數分別為M=abc、N=cba（M>N），那么7∣M-N=99(a-c)，所以a=8,c=1,或a=9,c=2,經枚舉驗證只有（2）設這兩個三位數分別為M=abc、N=cba(M>N)，那么7∣M-N=99(a-c)，所以a=8,c=1,或a=9,c=2,6.定義運算“⊙”如下：對于兩個自然數a和b，它們的最大公約數與最小公倍數的差記為a⊙b．比如：10和14，最小公倍數為70，最大公約數為2，則10⊙14=70-2=68．（1）求12⊙21，5⊙15；（2）說明，如果c整除a和b，則c也整除a⊙b；如果c整除a和a⊙b，則c也整除b；（3）已知6⊙x=27，求x的值．【答案】

（1）81；10；（2）見解析；（3）x=15【分析】

（1）為求12⊙21，先求出12與21的最小公倍數和最大公約數分別為84，3，因此12⊙21=84-3=81，同樣道理5⊙15=15-5=10．（2）如果c整除a和b，那么c是a和b的公約數，則c整除a,b的最大公約數，顯然c也整除a,b最小公倍數，所以c整除最小公倍數與最大公約的差，即c整除a⊙b．如果c整除a和a⊙b，由c整除a推知c整除a,b的最小公倍數，再由c整除a⊙b推知，整除a,b的最大公約數，而這個最大公約數整除b，所以c整除b．（3）由于運算“⊙”沒有直接的表達式，解這個方程有一些困難，我們設法逐步縮小探索范圍．因為6與x的最小公倍數不小于27+1=28，不大于27+6=33，而28到33之間，只有30是6的倍數，可見6和x的最小公倍數是30，因此它們的最大公約數是30-27=3．由“兩個數的最小公倍數與最大公約數的積=這兩個數的積”，得到30×3=6×x．所以x=15．7.試求不大于100，且使3n+7n+4【答案】

1480【分析】

通過逐次計算，可以求出3n被11除的余數，依次為：31為3，32為9，33為5，34為4，35為1，?，因而3n被11除的余數5個構成一個周期：3，9，5，4，1，3，9，5，4，1，?；類似地，可以求出7n被11除的余數10個構成一個周期：7，5，2，3，10，4，6，9，8，1，?；于是3n+7n+4被11除的余數也是10個構成一個周期：3，7，0，0，4，0，8，7，5，6，?；這就表明，每一個周期中，只有第33+4+6+13+14+16+?+93+94+968.表中第1行是把1～100的整數依次全部排列出來，然后從第2行起是根據規律一直排到最后的第100行．請問：這個表中一共有多少個數能被 【答案】

62【分析】

在這個表里，有的數字的正下方寫著比它大4的數． 假如，某數字是不能被77整除的數字，那么不管它被4乘多少回，也不能被77整除．于是我們得知不能被77整除的數字下面寫的數字都不能被77整除．那么，如果某數字是可以被77整除，不管乘多少回4，得出的數字都可以被77整除．可被77整除的數字下面都可以被77整除．題目的表中從左右兩邊第N個的下面寫著N個整數．表的第一行從右數第24個是77，在它下面寫的24個整數都可以被77整除．另外，從左數第二行第38個是38+39=77，所以在它下面寫的38個整數都可以被77整除．在表的第一行和第二行里除此之外再沒有可以被77整除的數了．從整個表來看，除了上述的24+38=62個以外，再也沒有可以被77整除的數了，所以答案為62．9.有3個自然數，其中每一個數都不能被另外兩個數整除，而且其中任意兩個數的乘積都能被第三個數整除．請問：滿足上述條件的3個自然數之和最小是多少？【答案】

31【分析】

先證明這3個數每個都至少含有2種質因數．證法一：假設這三個數為A、B、C，其中A只有一種質因數p，那么B不可能只有質因數p，否則B和A必定是倍數關系，同理，C也不可能只有質因數p．根據C∣AB，假設C有除p以外其他質因數q，可以得到q∣B，同理，C所有除了p以外的質因數都是B的質因數；再根椐B∣CA，同理得，B所有除了p以外的質因數也是C的質因數，那么B、C必定是倍數關系，與題意矛盾．所以這3個數中不可能出現只含1種質因數的數，即每個都至少含有2種質因數．證法二：假設這三個數為A、B、C，其中A只有一種質因數p，設A=pa．因為A∣BC，所以乘積BC中一定含有質因數p；但A不能整除B，也不能整除C，說明B、C中都含有p，且次數都低于a；又B不能整除A，C也不能整除A，所以B、C中都含打除了p以外的質因數，設B=?b×pb，C=?c因為B∣AC，所以?b∣?c；同理，因為C∣AB，所以?c∣?b，說明?c=?若這三個數里一共恰有2種質因數，最小為2和3，最小符合題意的情況是22×32、2×3若這三個數里一共恰有3種質因數，最小為2、3、5，最小符合題意的情況是2×3、2×5、3×5，和為6+10+15=31；若這三個數里一共恰有4種質因數，最小為2、3、5、7，在不考慮題意的情況下，3個不同的各含兩種質因數的數最小是2×3、2×5、2×7，和為30，但這組不符合題意，很明顯如果要符合題意，和肯定大于31；若這三個數里一共恰有5種質因數，最小為2、3、5、7、11，在不考慮題意的情況下，3個不同的各含兩種質因數的數最小是2×7、2×11、3×5，和為51，大于31；很明顯，當含有的質因數種類再增多時，三個數的和肯定都大于31；綜上，滿足上述條件的3個自然數之和最小是31．10.在一個兩位數的十位與個位數字之間插入一個數字0，得到一個三位數（例如21變成了201），結果這個三位數恰好能被原來的兩位數整除．請問：所有滿足條件的兩位數之和是多少？【答案】

528【分析】

設滿足條件的兩位數為ab，則按題意插入一個數字0后的三位數是a0b．依題意有ab∣10a+b∣100a+b,整理得10a+b∣90a+(10a+b),推出10a+b∣90a;或者整理得10a+b∣10(10a+b)-9b,推出10a+b∣9b.因為9b比90a相對較小，所以考慮10a+b∣9b，但發現也不好分析，所以變為ab∣9b若b取0時，ab取10，20，?，90均可；若b取1時，ab沒有符合的情況；……依次討論得到ab可以為10，20，30，?，90，15，45，18，和為528．11.小明與小華玩游戲，規則如下：開始每人都是1分，每局獲勝的小朋友都可以把自己的分數乘以3，輸的小朋友保持分數不變，最后小明獲勝，他比小華多的分數是99的倍數，那么他們至少玩了多少局？【答案】

9【分析】

設小明和小華最后的分數分別為3a和3b，其中a>b，所以99∣3a-3b=3b[3(a-b)-1]．因為[3(a-b)-1]和312.請找出符合下列性質的四位數：（1）它是一個平方數；（2）開始兩位的數字要相同；（3）最末兩位的數字要相同．【答案】

7744【分析】

設四位數為aabb．因aabb=1000a+100a+10b+b=11×a0b，要aabb是完全平方數，則a0b能被質數11整除，故a+b=11，a0b只能是902，803，704，605，506，407， 由于a0b被11除的商必須是完全平方數，只有704符合．此時a=7，b=4，故所求的數為7744．13.六位數20??08能被99整除，??是多少？【答案】

71【分析】

方法一：200008被99除商2020余28，所以??00+28能被99整除，商72時，99×72=7128，末兩位是28，所以??為71方法二：99=9×11，20??08能被99整除，所以各位數字之和為9的倍數，所以方框中數字的和只能為8或17；又根據數被11整除的性質，方框中兩數字的差為6或5，可得??是71．14.（1）不算出結果，判斷數(524+42-429)是偶數還是奇數？（2）數(42?+30-147)能被2整除，那么，?里可填什么數？（3）下面的連乘積是偶數還是奇數？ 1×3×5×7×9×11×13×14×15.【答案】

（1）奇數；（2）1,3,5,7,9；（3）偶數．【分析】

根據奇偶數的運算性質：（1）因為524，42是偶數，所以(524+42)是偶數．又因為429是奇數，所以(524+42-429)是奇數．（2）數(42?+30-147)能被2整除，則它一定是偶數．因為147是奇數，所以數(42?+30)必是奇數．又因為其中的30是偶數，所以，數42?必為奇數．于是，?里只能填奇數1，3，5，7，9．（3）1，3，5，7，9，11，13，15都是奇數，由1×3為奇數，推知1×3×5為奇數??推知1×3×5×7×9×11×13×15為奇數． 因為14為偶數，所以(1×3×5×7×9×11×13×15)×14為偶數，即1×3×5×7×9×11×13×14×15為偶數．15.一個4位數，把它的千位數字移到右端構成一個新的4位數．再將新的4位數的千位數字移到右端構成一個更新的四位數，已知最新的4位數與最原先的4位數的和是以下5個數的一個：①9865；②9867；③9462；④9696；⑤9869．這兩個4位數的和到底是多少？【答案】

9696【分析】

設這個4位數是abcd，則最新的4位數是cdab．兩個數的和為abcd是101的倍數．在所給的5個數中只有9696是101的倍數，故正確的答案為9696．16.在1、2、3、4?2007這2007個數中有多少個自然數a能使2008+a能被2007-a整除．【答案】

7【分析】

要使得2008+a能被2007-a整除，我們可以將條件等價的轉化為只要讓2008+a2007-a是一個整數即可．下面是一個比較難的技巧，我們知道若a可以使得2008+a2007-a是一個整數，那么a也同樣可以使得2008+a2007-a+1=2008+a+2007-a2007-a=40152007-a是一個整數，這樣只要2007-a是4015的約數即可，將4015分解可知其共有8個因數，其中4015是最大的一個，但是顯然沒有可以讓2007-a等于4015的a17.有15位同學，每位同學都有編號，他們是1號到15號，1號同學寫了一個自然數，其余各位同學都說這個數能被自己的編號數整除．1號作了檢驗：只有編號連續的兩位同學說的不對，其余同學都對，問：（1）說的不對的兩位同學，他們的編號是哪兩個連續自然數？（2）如果告訴你1號寫的數是五位數，請找出這個數．【答案】

（1）8和9；（2）60060【分析】

（1）為了表達方便，不妨設1號同學寫的自然數為a．根據2～15號同學所述結論，2～15中只有兩個連續的自然數不能整除a，其他的數都能整除a．由于2～7中的每一個數的2倍都在15以內，如果2～7中有某個數不能整除a，那么這個數的2倍也不能整除a，然而2～7中的這個數與它的2倍不可能是兩個連續的自然數，所以2～7中每一個數都是a的約數．由于2與5互質，那么2×5=10也是a的約數．同理可知，12、14、15也都是a的約數．還剩下的四個數為8、9、11、13，只有8、9是兩個連續的自然數，所以說的不對的兩位同學，他們的編號分別是8和（2）1號同學所寫的自然數能被2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15這12個數整除，也就是它們的公倍數．它們的最小公倍數是：22×3×5×7×11×13=60060．因為60060是一位五位數，而這12個數的其他公倍數都是它們的最小公倍數60060的倍數，且最小為2倍，所以均不是五位數，那么1號同學寫的五位數是18.我們將具有如下性質的自然數K稱為“高思數”：如果一個整數M能被K整除，則把M的各位數字按相反順序重寫時所得到的數也能被K整除，請求出所有的“高思數”．【答案】

1、3、9、11、33、99【分析】

易知，1必為“高思數”；因為一個數反序重寫數字和不變，所以3、9為“高思數”；因為一個數反序重寫奇位和與偶位和之差也不變，所以11為“高思數”，由整除規律，33、99也是“高思數“．除此之外，感覺是沒有了，下面給出證明．引理（可以看做是先證明一個小結論）：對于任意的不含2或5的正整數n，形如1、11、111、1111、…的數中一定有無數個是n的倍數．證明：由于1,11,111,1111,?,11?1?n+1個1這n+1個數中一定存在2個數關于n同余，那么這兩個數的差一定是n的倍數，而這兩個數的差是形如11?1?a首先說明“高思數”的個位數字只能是1、3、7、9．因為，“高思數”肯定不是偶數，否則肯定能得到它的某個倍數的首位是1，那么這個偶數就無法整除這個倍數的反序數．同理，“高思數”的個位數字也不能是5．所以“高思數”的個位數字只能是1、3、7、9．若K是“高思數”，根據引理得一定存在某個自然數l使得K∣11?1?l個1，那么K∣77?7?l個7，進一步得K∣77?1?l個700?0?(l-1)個0+77?1?l個7，即K∣77?7?(l-2)個78477?7?(l-1)個719.1至9這9個數字，按圖所示的次序排成一個圓圈．請你在某兩個數字之間剪開，分別按順時針和逆時針次序形成兩個九位數（例如，在1和7之間剪開，得到兩個數是193426857和758624391）．如果要求剪開后所得到的兩個九位數的差能被396整除，那么剪開處左右兩個數字的乘積是多少？ 【答案】

27，8，12，48，35，9【分析】

互為反序的兩個九位數的差，一定能被99整除．而396=99×4，所以我們只用考察它能否能被4整除．于是只用觀察原序數、反序數的末兩位數字的差能否被4整除，顯然只有當剪開處兩個數的奇偶性相同時才有可能．注意圖中的具體數字，有（3，4）處、（8，5）處的兩個數字奇偶性均不相同，所以一定不滿足．而剩下的幾個位置奇偶性相同，有可能滿足．進一步驗證，有（9，3）處剪開的末兩位數字之差為43-19=24，（4，2），（2，6），（6，8），（5，7），（7，1），（1，9）處剪開的末兩位數字之差為62-3=28．86-42=44，58-26=32，85-17=68，91-57=34，71-39=32．所以從（9，3），（4，2），（2，6），（6，8），（5，7），（1，9）處剪開，所得的兩個互為反序的九位數的差才是396的倍數．（9，3），（4，2），（2，6），（6，8），（5，7），（1，9）處左右兩個數的乘積為27，8，12，48，35，9．數論-整除-整除的基本概念-5星題課程目標知識點考試要求具體要求考察頻率整除的基本概念A1、了解整除的定義。

2、會判定一個數能不能被另一個數整除。

少考知識提要整除的基本概念定義

如果整數a除以整數b（b≠0），除得的商是整數且沒有余數，我們就說

a能被

b整除，也可以說

b能整除a，記作b∣a．

注意：如果除得的結果有余數，我們就說

a不能被

b整除，也可以說

b不能整除

a．整除的性質

性質1：如果a、b都能被

c

整除，那么它們的和與差也能被

c

整除。

性質2：如果

b

與

c

的積能整除

a

，那么b與c都能整除

a

。 性質3：如果

b

、

c

都能整除

a

，且

b

和

c

互質，那么

b

與

c

的積能整除

a

。 性質4：如果

c

能整除

b

，

b

能整除

a

，那么

c

能整除

a

。

精選例題整除的基本概念1.表中第1行是把1～100的整數依次全部排列出來，然后從第2行起是根據規律一直排到最后的第100行．請問：這個表中一共有多少個數能被 【答案】

62【分析】

在這個表里，有的數字的正下方寫著比它大4的數． 假如，某數字是不能被77整除的數字，那么不管它被4乘多少回，也不能被77整除．于是我們得知不能被77整除的數字下面寫的數字都不能被77整除．那么，如果某數字是可以被77整除，不管乘多少回4，得出的數字都可以被77整除．可被77整除的數字下面都可以被77整除．題目的表中從左右兩邊第N個的下面寫著N個整數．表的第一行從右數第24個是77，在它下面寫的24個整數都可以被77整除．另外，從左數第二行第38個是38+39=77，所以在它下面寫的38個整數都可以被77整除．在表的第一行和第二行里除此之外再沒有可以被77整除的數了．從整個表來看，除了上述的24+38=62個以外，再也沒有可以被77整除的數了，所以答案為62．2.我們將具有如下性質的自然數K稱為“高思數”：如果一個整數M能被K整除，則把M的各位數字按相反順序重寫時所得到的數也能被K整除，請求出所有的“高思數”．【答案】

1、3、9、11、33、99【分析】

易知，1必為“高思數”；因為一個數反序重寫數字和不變，所以3、9為“高思數”；因為一個數反序重寫奇位和與偶位和之差也不變，所以11為“高思數”，由整除規律，33、99也是“高思數“．除此之外，感覺是沒有了，下面給出證明．引理（可以看做是先證明一個小結論）：對于任意的不含2或5的正整數n，形如1、11、111、1111、…的數中一定有無數個是n的倍數．證明：由于1,11,111,1111,?,11?1?n+1個1這n+1個數中一定存在2個數關于n同余，那么這兩個數的差一定是n的倍數，而這兩個數的差是形如11?1?a首先說明“高思數”的個位數字只能是1、3、7、9．因為，“高思數”肯定不是偶數，否則肯定能得到它的某個倍數的首位是1，那么這個偶數就無法整除這個倍數的反序數．同理，“高思數”的個位數字也不能是5．所以“高思數”的個位數字只能是1、3、7、9．若K是“高思數”，根據引理得一定存在某個自然數l使得K∣11?1?l個1，那么K∣77?7?l個7，進一步得K∣77?1?l個700?0?(l-1)個0+77?1?l個7，即K∣77?7?(l-2)個78477?7?(l-1)個73.試求不大于100，且使3n+7n+4【答案】

1480【分析】

通過逐次計算，可以求出3n被11除的余數，依次為：31為3，32為9，33為5，34為4，35為1，?，因而3n被11除的余數5個構成一個周期：3，9，5，4，1，3，9，5，4，1，?；類似地，可以求出7n被11除的余數10個構成一個周期：7，5，2，3，10，4，6，9，8，1，?；于是3n+7n+4被11除的余數也是10個構成一個周期：3，7，0，0，4，0，8，7，5，6，?；這就表明，每一個周期中，只有第33+4+6+13+14+16+?+93+94+964.有3個自然數，其中每一個數都不能被另外兩個數整除，而且其中任意兩個數的乘積都能被第三個數整除．請問：滿足上述條件的3個自然數之和最小是多少？【答案】

31【分析】

先證明這3個數每個都至少含有2種質因數．證法一：假設這三個數為A、B、C，其中A只有一種質因數p，那么B不可能只有質因數p，否則B和A必定是倍數關系，同理，C也不可能只有質因數p．根據C∣AB，假設C有除p以外其他質因數q，可以得到q∣B，同理，C所有除了p以外的質因數都是B的質因數；再根椐B∣CA，同理得，B所有除了p以外的質因數也是C的質因數，那么B、C必定是倍數關系，與題意矛盾．所以這3個數中不可能出現只含1種質因數的數，即每個都至少含有2種質因數．證法二：假設這三個數為A、B、C，其中A只有一種質因數p，設A=pa．因為A∣BC，所以乘積BC中一定含有質因數p；但A不能整除B，也不能整除C，說明B、C中都含有p，且次數都低于a；又B不能整除A，C也不能整除A，所以B、C中都含打除了p以外的質因數，設B=?b×pb，C=?c因為B∣AC，所以?b∣?c；同理，因為C∣AB，所以?c∣?b，說明?c=?若這三個數里一共恰有2種質因數，最小為2和3，最小符合題意的情況是22×32、2×3若這三個數里一共恰有3種質因數，最小為2、3、5，最小符合題意的情況是2×3、2×5、3×5，和為6+10+15=31；若這三個數里一共恰有4種質因數，最小為2、3、5、7，