幾何-直線型幾何-金字塔和沙漏模型-0星題課程目標知識點考試要求具體要求考察頻率金字塔和沙漏模型C1.能夠準確理解金字塔和沙漏模型

2.能夠用相似模型解決復雜的幾何問題少考知識提要金字塔和沙漏模型金字塔模型

CDCA=

沙漏模型

ABCD=

精選例題金字塔和沙漏模型1.ABCD是平行四邊形，面積為72平方厘米，E、F分別為AB、BC的中點，則圖中陰影部分的面積為

平方厘米．【答案】

48【分析】

方法一：設G、H分別為AD、DC的中點，連接GH、EF、BD．可得S對角線BD被EF、AC、GH平均分成四段，又OM∥EF，所以DO:ED=OE:ED=所以SS同理可得S所以S于是，陰影部分的面積為24+12+12=48(方法二：尋找圖中的沙漏，AE:CD=AO:OC=1:2,FC:AD=CM:AM=1:2,因此O,M為AC的三等分點，SS同理S所以S2.如圖，△ABC中，DE，FG，MN，PQ，BC互相平行，AD=DF=FM=MP=PB，則S△ADE:S【答案】

1:3:5:7:9【分析】

設S△ADE=1份，S△ADE:S△AFG=AD2:AF所以有S3.圖中的大小正方形的邊長均為整數（厘米），它們的面積之和等于52平方厘米，則陰影部分的面積是

平方厘米．【答案】

10.8【分析】

設大、小正方形的邊長分別為m厘米、n厘米（m>n），則m所以m<8.若m?5，則m不合題意，所以m只能為6或7．檢驗可知只有m=6、n=4滿足題意，所以大、小正方形的邊長分別為6厘米和4厘米．根據相似三角形性質，BG:GF=AB:FE=6:4=3:2,而BG+GF=6,得BG=3.6(所以陰影部分的面積為：14.如圖，DE平行BC，若AD:DB=2:3，那么S△ADE:S 【答案】

4:15【分析】

根據金字塔模型AD:AB=AE:AC=DE:BC=2:(2+3)=2:5，S△ADE 設S△ADE=4份，則S△ABC=25份，5.如圖，已知DE平行BC，BO:EO=3:2，那么AD:AB=

． 【答案】

2:3【分析】

由沙漏模型得BO:EO=BC:DE=3:2，再由金字塔模型得AD:AB=DE:BC=2:3．6.梯形ABCD的面積為12，AB=2CD，E為AC的中點，BE的延長線與AD交于F，四邊形CDFE的面積是

．【答案】

8【分析】

延長BF、CD相交于G．由于E為AC的中點，根據相似三角形性質，CG=AB=2CD,GD=再根據相似三角形性質，AF:FD=AB:DG=2:1,GF:GB=1:3,而S所以SS又SS所以S7.如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點，且圖中兩個陰影部分（甲和乙）的面積差是5.04，則S△ABC=【答案】

20.16【分析】

由于D，E都是中點，則BC=2DE，設DE為1份，則BC為2份，根根據梯形中的蝴蝶模型，得到甲是1份，乙是4份，兩個翅膀都是2份，由此可推出△ADE為3份，且每份為5.04÷(4-1)=1.68,所以S8.如圖，△ABC中，DE，FG，BC互相平行，AD=DF=FB，則S△ADE:S 【答案】

1:3:5【分析】

設S△ADE 所以S△ADE:S△AFG=AD2:AF2=1:4，S9.如下圖所示，三角形田地中有兩條小路AE和CF，交叉處為D．張大伯常走這兩條小路，他知道DF=DC，且AD=2DE．則兩塊田地ACF和CFB的面積比是

．【答案】

1:2【分析】

方法一：如下圖所示，ACF和CFB為同高三角形，所以面積比等于底邊比AF:FB．過F作BC的平行線，交AE于G，則因為DF=DC，所以三角形CED和FGD全等，GD=DE．又因為AD=2DE，所以D和G是AE的三等分點，所以AF:FB=AG:GE=1:2．方法二：如下圖所示，連接BD，設S△CED=1(份)設S△BED=x,S△BFD=y所以S△ACF10.在下圖中，線段AE、FG將長方形ABCD分成了四塊；已知其中兩塊的面積分別是2平方厘米、11平方厘米，且E是BC的中點，O是AE的中點．請問長方形ABCD的面積是

平方厘米．【答案】

28【分析】

如下圖所示，延長AE、DC交于點H．由于E是BC的中點，由AB∥CH，有AE:EH=BE:EC=1:1，由于O是AE中點，那么AO:OH=1:3．由AF∥GH，有S△AOF所以，S△GOH那么S△CEH所以，S平行四邊形11.如下圖所示，將邊長8厘米和12厘米的兩個正方形并放在一起，那么圖中陰影三角形的面積是

平方厘米．【答案】

43.2【分析】

給圖中標上字母，如下圖．根據沙漏模型OCOF所以OF=12×3S△EFO12.如圖，△ABC中，AE=14AB，AD=14AC，ED與BC平行，△EOD的面積是 【答案】

5【分析】

因為AE=14AB，AD=14 根據相似模型可知ED:BC=1:4，EO:OC=1:4，S△COD=4S△EOD=4平方厘米，則S13.如圖，四邊形ABCD和EFGH都是平行四邊形，四邊形ABCD的面積是16，BG:GC=3:1，則四邊形EFGH的面積=

． 【答案】

3【分析】

因為FGHE為平行四邊形，所以EC∥AG，所以AGCE為平行四邊形． BG:GC=3:1，那么GC:BC=1:4，所以S平行四邊形 又AE=GC，所以AE:BG=GC:BG=1:3，根據沙漏模型，FG:AF=BG:AE=3:1，所以S平行四邊形14.正六邊形A1,A2,A3【答案】

1148【分析】

方法一：如下左圖，連接A1A3,A1G,A6A3，過B6做A6A3的平行線B6E，交A1A3于E．因為空白的面積等于△A2A3G因此S陰影方法二：既然給的圖形是特殊的正六邊形，且陰影也是正六邊形，我們可以用上圖的割補思路，把正六邊形分割成14個大小形狀相同的梯形，其中陰影有8個梯形，所以陰影面積為81415.如圖，三角形ABC的面積為60平方厘米，D、E、F分別為各邊的中點，那么陰影部分的面積是

平方厘米．【答案】

12.5【分析】

陰影部分是一個不規則的四邊形，不方便直接求面積，可以將其轉化為兩個三角形的面積之差．而從圖中來看，既可以轉化為△BEF與△EMN的面積之差，又可以轉化為△BCM與△CFN的面積之差．（法一）如圖，連接DE．由于D、E、F分別為各邊的中點，那么BDEF為平行四邊形，且面積為三角形ABC面積的一半，即30平方厘米；那么△BEF的面積為平行四邊形BDEF面積的一半，為15平方厘米．根據幾何五大模型中的相似模型，由于DE為三角形ABC的中位線，長度為BC的一半，則EM:BM=DE:BC=1:2,所以EM=EN:FN=DE:FC=1:1,所以EN=那么△EMN的面積占△BEF面積的1215×（法二）如圖，連接AM．根據燕尾定理，SS所以S而S所以S那么陰影部分面積為20-7.5=12.5(【總結】求三角形的面積，一般有三種方法：（1）利用面積公式：底×（2）利用整體減去部分；（3）利用比例和模型．16.在圖中的正方形中，A、B、C分別是ED、EG、GF的中點．請問：三角形CDO的面積是三角形ABO面積的幾倍？【答案】

3倍．【分析】

不妨設正方形的邊長是2，所以FC=CG=GB=BE=EA=AD=1.又A、C分別是所在邊的中點，所以AC∥GE，即OA∥BE，由此可見OA是△DBE的中位線，有OABE=11△AOB的面積等于△BAD的面積減去△AOD的面積，等于1×1÷2-△COD的面積等于△CAD的面積減去△AOD的面積，等于2×1÷2-由此可得，△CDO的面積是△ABO面積的3倍．17.如圖所示，梯形ABCD的面積是50，下底長是上底長的1.5倍，陰影三角形的面積是多少？【答案】

18．【分析】

上底與下底的長度比為2:3，設△OCD面積是4份，則△AOD與△BOC的面積均為6份，△ABO的面積為9份，總面積為50，故一份所對應的面積為2，則△ABO的面積為18．18.如圖，平行四邊形ABCD的面積是12,DE=13AD,AC與BE【答案】

4.4．【分析】

AE:BC=2:3，設份數可知ABCD為30份，△AEF為4份，陰影部分占11份，面積為4.4．19.已知正方形ABCD，過C的直線分別交AB、AD的延長線于點E、F，且AE=10cm，AF=15c【答案】

6【分析】

方法一：本題有兩個金字塔模型，根據這兩個模型有BC:AF=CE:EF,DC:AE=CF:EF,設正方形的邊長為xcBC即x解得x=6,所以正方形的邊長為6c方法二：或根據一個金字塔模型，列方程即x解得x=6.20.如圖所示，梯形的面積是48平方厘米，下底是上底的3倍，求陰影部分的面積．【答案】

27平方厘米．【分析】

上底與下底之比為1:3，由沙漏模型可知四個三角形的面積之比是1:3:3:9，那么陰影部分的面積是48÷(1+3+3+9)×9=2721.如下圖，D、E、F、G均為各邊的三等分點，線段EG和DF把三角形ABC分成四部分，如果四邊形FOGC的面積是24平方厘米，求三角形ABC的面積．【答案】

40.5【分析】

設三角形以AB為底的高為h，由于FG:AB=2:3,所以ED:FG=1:2;所以三角形OGF以GF為底的高是1又因為三角形CFG以FG為底的高是23h，所以三角形OGF的面積與三角形2所以三角形CFG的面積為24×而三角形CFG的面積占三角形ABC的23×218÷22.如圖所示，正方形ABCD面積為1，E、F分別是BC和DC的中點，DE與BF交于M點，DE與AF交于N點，那么陰影三角形MFN的面積是多少？【答案】

1【分析】

如下圖，延長AF、BC交于點G，在沙漏ADNEG中，AD:EG=2:3，所以DN:NE=2:3，故DN=2如下圖，延長BF、AD交于點H，在沙漏DHMBE中，DH:BE=2:1，所以DM:ME=2:1，故ME=1所以NM=1-S23.如圖，長方形ABCD中，E、F分別為CD、AB邊上的點，DE=EC，FB=2AF，求PM:MN:NQ．【答案】

7:18:10【分析】

如圖，過E作AD的平行線交PQ于G．由于E是DC的中點，所以G是PQ的中點．由于DE=EC,FB=2AF,所以AF:DE=2:3,BF:CE=4:3.根據相似性，PM:MG=AM:ME=AF:DE=2:3,GN:NQ=EN:NB=EC:BF=3:4,于是PM所以PM:MN:NQ=24.如圖，DE平行BC，且AD=2，AB=5，AE=4，求AC的長． 【答案】

10【分析】

由金字塔模型得AD:AB=AE:AC=DE:BC=2:5，所以AC=4÷2×5=10．25.如圖，正方形ABCD中E是BC邊的中點，AE與BD相交于F點，三角形DEF的面積是2，那么正方形ABCD的面積是_________．【答案】

12【分析】

左邊梯形ABED，因為E為BC的中點，所以BE:AD=1:2所以BF:FD=1:2又因為三角形DEF的面積是2所以三角形BEF的面積是1，三角形ABF的面積為2，三角形AFD的面積為4而S△BED=S△DEC26.如圖：MN平行BC，S△MPN:S△BCP=4:9【答案】

2【分析】

在沙漏模型中，因為S△MPN:S△BCP=4:9，所以MN:BC=2:3，在金字塔模型中有：AM:AB=MN:BC=2:3，因為AM=427.如圖，正方形ABCD的邊長是6，E點是BC的中點，求△AOD的面積．【答案】

12．【分析】

連結DE，因為BE與AD之比是1:2，可如圖所示設份數，可知△AOD的面積是正方形面積的三分之一，是12．28.在圖中的正方形中，A，B，C分別是所在邊的中點，△CDO的面積是△ABO面積的幾倍？【答案】

3【分析】

連接BC，易知OA∥EF，可知OB:OD=AE:AD，且OA:BE=DA:DE=1:2，所以△CDO的面積等于△CBO的面積；由OA=12BE=14AC可得CO=3OA，所以S△CDO29.如下圖，正方形ABCD的面積為1，M是CD邊的中點，E,F是BC邊上的兩點，且BE=EF=FC．連接AE,DF分別交BM分別于H,G．求四邊形EFGH的面積．【答案】

23【分析】

過M點做MQ平行于BC交FD于Q，過E點做EP交BM于P，則因為M為CD的中點，所以QM:FC=1:2，所以QM:BF=1:4，所以GM:GB=1:4，所以BG:BM=4:5，又因為BF:BC=2:3，所以S因為E為BC邊上三等分點，所以EP:CM=1:3，所以EP:AB=1:6，所以BH:HP=6:1，所以BH:HM=6:15=2:5，所以BH:BM=2:7，又因為GM:GB=1:4，所以BH:BG=5:14，所以S因此，S30.如圖，EF與BC平行，AF:FB=1:2．已知AE=2,EF=3，那么CE的長度是多少？AC的長度是多少？BC的長度是多少？【答案】

4,6,9．【分析】

AFFB=AEEC=31.如圖所示，在正方形ABCD中，E,F分別是BC,CD的中點，已知正方形ABCD的面積為60平方厘米，求陰影部分的面積．【答案】

10平方厘米．【分析】

由條件知，BE=AD=1:2，則BG:GD=1:2,BG=13BD，同理，DF:AB=1:2，則DH:HB=1:2,DH=1332.如圖，將一個邊長為2的正方形兩邊長分別延長1和3，割出圖中的陰影部分，求陰影部分的面積是多少？【答案】

1【分析】

根據相似三角形的對應邊成比例有：NFEM則NF=所以S33.如右圖，長方形ABCD中，EF=16，FG=9，求AG的長．【答案】

15【分析】

因為DGGB=AGGE=AG25，且DG34.下圖中正方形的面積為1，E、F分別為AB、BD的中點，GC=1【答案】

5【分析】

題中條件給出的都是比例關系，由此可以初步推斷陰影部分的面積要通過比例求解，而圖中出現最多的就是三角形，那么首先想到的就是利用相似三角形的性質．陰影部分為三角形，已知底邊為正方形邊長的一半，只要求出高，便可求出面積．可以作FH垂直BC于H，GI垂直BC于I．根據相似三角形性質，CI:CH=CG:CF=1:3,又因為CH=HB,所以CI:CB=1:6,即BI:BC=所以S35.如圖所示，小高測出家里瓷磚的長為24厘米，寬為10厘米，而且還測出了邊上的中間線段均為4厘米，那么中間菱形的面積是多少平方厘米？【答案】

64【分析】

利用平行線中的線段比例關系來計算．把瓷磚右下角的直角三角形標上字母（如圖所示），同時過B作BC⊥AG于C，DE⊥FG于E．由于BC與FG平行，所以BC因此BC=由于DE與AG平行，所以DE因此DE=由此可得菱形的兩條對角線分別為：24-4×2=16(10-1×2=8(那么菱形的面積就是16×8÷2=64(36.如圖，線段AB與BC垂直，已知AD=EC=4，BD=BE=6，那么圖中陰影部分面積是多少？【答案】

15【分析】

解法一：這個圖是個對稱圖形，且各邊長度已經給出，不妨連接這個圖形的對稱軸看看．作輔助線BO，則圖形關于BO對稱，有S且S設△ADO的面積為2份，則△DBO的面積為3份，直角三角形ABE的面積為8份．因為S而陰影部分的面積為4份，所以陰影部分的面積為30÷8×4=15.解法二：連接DE、AC．由于AD=EC=4,BD=BE=6,所以DE∥AC，可知DE:AC=BD:BA=6:10=3:5,根據梯形蝴蝶定理，S所以S即S又S所以S37.如圖，長方形ABCD中，E為AD的中點，AF與BE、BD分別交于G、H，OE垂直AD于E，交AF于O，已知AH=5cm，HF=3c【答案】

40【分析】

由于AB∥DF，利用相似三角形性質可以得到AB:DF=AH:HF=5:3,又因為E為AD中點，那么有OE:FD=1:2,所以AB:OE=5:利用相似三角形性質可以得到AG:GO=AB:OE=10:3,而AO=所以AG=4×38.如圖所示，梯形ABCD的上底AD長10厘米，下底BC長15厘米．如果EF與上、下底平行，那么EF的長度為多少？【答案】

12厘米．【分析】

在沙漏ADOBC中，OAOC=AD由于EO∥BC，因此EOBC=AO同理，OF也等于6厘米，所以EF=EO+OF=6+6=12(厘米39.如圖所示，三角形ABC中，DE與BC平行，且AD:DB=5:2，求AE:EC及DE:BC．【答案】

5:2，5:7【分析】

根據金字塔模型的結論即可直接得出答案．40.已知三角形ABC的面積為a，AF:FC=2:1，E是BD的中點，且EF∥BC，交CD于G，求陰影部分的面積．【答案】

a【分析】

已知AF:FC=2:1，且EF∥BC，可知EF:BC=AF:AC=2:3，所以EF=23BC又因為E是BD的中點，所以EG是三角形DBC的中位線，那么EG=12BC，EG:EF=12:23=3:441.如圖，三角形ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上，這個正方形零件的邊長是多少？【答案】

48【分析】

觀察圖中有金字塔模型5個，用與已知邊有關系的兩個金字塔模型，所以有PN設正方形的邊長為x毫米，PN即x解得x=48即正方形的邊長為48毫米．42.如圖，在△ABC中，有長方形DEFG，G、F在BC上，D、E分別在AB、AC上，AH是△ABC邊BC的高，交DE于M，DG:DE=1:2，BC=12厘米，AH=8厘米，求長方形的長和寬．【答案】

長和寬分別是487厘米，24【分析】

觀察圖中有金字塔模型5個，用與已知邊有關系的兩個金字塔模型，所以DE所以有DE設DG=x，則DE=2x，所以有2x解得x=因此長方形的長和寬分別是487厘米，2443.如圖所示，在三角形ABC中，IF和BC平行，GD和AB平行，HE和AC平行．已知AG:GF:FC=4:3:2，那么AH:HI:IB和BD:DE:EC分別是多少？【答案】

AH:HI:IB=3:4:2，BD:DE:EC=4:2:3．【分析】

（1）因為AG:GF:FC=4:3:2，所以AF:FC=7:2．又因為IF∥BC，所以AI:IB=AF:FC=7:2．因為GD∥AB，所以GF:AG=OF:IO=3:4．由上可得AH:HI:IB=3:4:2．（2）因為AG:GF:FC=4:3:2，所以AG:GC=4:5．又因為GD∥AB，所以BD:DC=AG:GC=4:5．因為GF:FC=3:2，IF∥BC，所以OD:GO=FC:GF=2:3．又因為HE∥AC，所以DE:EC=OD:GO=2:3．由上可得BD:DE:EC=4:2:3．44.圖中ABCD是邊長為12cm的正方形，從G到正方形頂點C、D連成一個三角形，已知這個三角形在AB上截得的EF長度為4c【答案】

108【分析】

做GM垂直DC于M，交AB于N．因為EF∥DC，所以三角形GEF與三角形GDC相似，且為EF:DC=4:12=1:3,所以GN:GM=1:3,又因為MN=GM-GN=12,所以GM=18(所以三角形GDC的面積為145.如圖，平行四邊形ABCD的面積是90．已知E點是AB上靠近A點的三等分點，求陰影部分的面積．【答案】

33．【分析】

由沙漏模型知，BE:CD=BO:OD=EO:OC=2:3，設△OBE的面積為4份，則△OBC的面積為6份，△OCD的面積為9份，△OBC的面積與△OCD的面積之和為整個四邊形面積的一半，因此四邊形的面積為30份，總面積為90，則一份對應面積為3，陰影部分占了11份，面積為33．46.如圖，直角三角形ABC中，AB=4,BC=6，又知BE:EC=1:3，求∠CDE的面積．【答案】

6.75．【分析】

由金字塔模型知DE:AB=CE:CB=3:4則DE=4×又知道CE=6×可求出△CDE的面積為3×4.5÷2=6.7547.如圖，已知D是BC中點，E是CD的中點，F是AC的中點．三角形ABC由①～⑥這6部分組成，其中②比⑤多6平方厘米．那么三角形ABC的面積是多少平方厘米？【答案】

48【分析】

因為E是DC中點，F為AC中點，有AD=2FE且EF平行于AD，則四邊形ADEF為梯形．在梯形ADEF中有③=④，②×⑤=③×④，②:⑤=AD又已知②-⑤=6，所以⑤=6÷(4-1)=2，②=⑤×4=8，所以②×⑤=④×④=16，而③=④，所以③=④=4，梯形ADEF的面積為②、③、④、⑤四塊圖形的面積和，為8+4+4+2=18．有△CEF與△ADC的面積比為CE平方與CD平方的比，即為1:4．所以△ADC面積為梯形ADEF面積的44-1=4因為D是BC中點，所以△ABD與△ADC的面積相等，而△ABC的面積為△ABD、△ADC的面積和，即為24+24=48(平方厘米)．三角形ABC的面積為48.如圖，已知在平行四邊形ABCD中，AB=16，AD=10，BE=4，那么FC的長度是多少？ 【答案】

8【分析】

圖中有一個沙漏，也有金字塔，但我們用沙漏就能解決問題，因為AB平行于CD，所以BF:FC=BE:CD=4:16=1:4，所以FC=10×449.如圖所示，邊長為8厘米和12厘米的兩個正方形并排放在一起，求圖中陰影部分的面積．【答案】

45平方厘米．【分析】

由條件知，GF:BE=12:20=3:5，由沙漏模型知GO:OE=3:5，那么△GOF與△EOF的面積之比也是3:5,△OEF的面積為12×12÷2×550.如圖所示，正方形ABCD的邊長是6，E點是BC的三等分點．△AOD的面積是多少？【答案】

13.5．【分析】

由沙漏模型，BE:AD=BO:OD=1:3,△AOB與△AOD等高，面積比為1:3，因此△AOD的面積為6×6÷2×351.如圖所示，圖中的兩個正方形的邊長分別是10和6，那么陰影部分的面積是多少？【答案】

40013【分析】

AHHG=ADBG=5852.如圖所示，P是三角形ABC內一點，DE平行于AB，FG平行于BC，HI平行于CA，四邊形AIPD的面積是12，四邊形PGCH的面積是15，四邊形BEPF的面積是20．請問：三角形ABC的面積是多少？【答案】

72【分析】

當兩個平行四邊形的高相等時，它們底邊的比等于面積比．考慮平行四邊形BEPF和AIPD，分別以PE和PD為底邊，它們的高相等，因此它們底邊的比等于面積比，即EPPD由于IH∥AC，所以EHHC=而平行四邊形PGCH的面積是15，則△PEH的面積是15×類似的方法可以求出△FPI和△DPG的面積分別是8和92，因此這三個小三角形的面積分別是92、8、252，所以大△ABC53.如圖所示，DE與BC平行，已知AD=4,BD=5,DE=16，則BC的長度是多少？【答案】

36．【分析】

由金字塔模型，AD:AB=DE:BC=4:9,DE=16，則BC=36．54.如圖所示，DE與BC平行，已知AD=4,BD=5,△ADE的面積為32，則四邊形DECB面積是多少？【答案】

130．【分析】

AD:AB=4:9，則AE:AC=4:9,△ADE是△ABC面積的1681，則△ABC的面積是162，四邊形DEBC的面積為13055.已知△ABC中，DE平行BC，若AD:DB=2:3，且S梯形DBCE比S△ADE大8.5?【答案】

12.5【分析】

根據金字塔模型AD:AB=DE:BC=2:(2+3)=2:5,S設S△ADE=4份，則S△ABC=25份，S梯形DBCE=25-4=21份，S梯形DBCE56.如圖，測量小玻璃管口徑的量具ABC，AB的長為15厘米，AC被分為60等份．如果小玻璃管口DE正好對著量具上20等份處（DE平行AB），那么小玻璃管口徑DE是多大？ 【答案】

10厘米．【分析】

有一個金字塔模型，所以DE:AB=DC:AC，DE:15=40:60，所以DE=10厘米．57.如圖，正方形ABCD的面積是120平方厘米，E是AB的中點，F是BC的中點，四邊形BGHF的面積是________平方厘米．【答案】

14【分析】

EG:GC=EB:CD=1:2，所以EG=13EC，S△EBG=12×12AB×13BC=112×120=10連接BH58.已知三角形ADE的面積為3平方厘米，D是AB邊的三等分點（靠近A點），且DE與BC平行．請求出三角形OBC的面積為多少平方厘米？【答案】

13.5平方厘米．【分析】

由金字塔模型知，AD:AB=DE:BC=1:3，設△ODE的面積為1份，則△ODB的面積為3份，△OEC的面積為3份，△OBC的面積為9份，又因為△ADE與△DEC等高，可知△ADE的面積為2份，由此可知△OBC的面積為3÷2×9=13.5平方厘米．59.兩盞4米高的路燈相距10米，有一個身高1.5米的同學行走在這兩盞路燈之間，那么他的兩個影子總長度是多少米？【答案】

6【分析】

根據題意畫出如圖所示的圖，延長FE與AC交于I，則△AEI和△EFH以及△CEI和△EFG都能組成沙漏三角．不難看出，EI=4-1.5=2.5(米而在沙漏AIEFH中，又有AEEH在沙漏ACEGH中，有ACGH由此可知GH=360.如圖，ABCD是直角梯形，AB=4,AD=5,DE=3，那么梯形ABCD的面積是多少？【答案】

40【分析】

分別計算△AOD,△AOB,△DOC,△BOC的面積，再求和．延長EO交AB于F點，可得DE:BF=DO:OB=3:1,所以SSS又因為S得到SSS所以S61.如圖，O是矩形一條對角線的中點，圖中已經標出兩個三角形的面積為3和4，那么陰影部分的一塊直角三角形的面積是多少？【答案】

25【分析】

連接OB，由已知可得S所以OE:EA=1:3,可以得到CE:CA=5:8,由三角形相似可得陰影部分面積為8×62.如下圖所示，三角形AEF、三角形BDF、三角形BCD都是正三角形，其中AE:BD=1:3，三角形AEF的面積是1．求陰影部分的面積．【答案】

15【分析】

S△AEF:S△BDF=AE2因為△AEF與△ACE的高之比是1:7，所以S△ACE=7，因為AD與BC平行，所以S△ABC假設BE為16份，那么BI=9,IE=7，又知道BF:FE=3:1，所以BF=12,FE=4，所以IF=3,S△AEF:S△AIF=FE:FI=4:3，所以S△AIF63.如圖，在長方形ABCD中，AB=6厘米，AD=2厘米，AE=EF=FB，求陰影部分的面積．【答案】

3.5平方厘米【分析】

連接DE、FC，在梯形CDEF中，由梯形基本結論知：EF:DC=EO:OC=1:3，S長ABCD=6×2=12由一半模型得所以S△DEC=6又EO:OC=1:364.如圖所示，平行四邊形ABED與平行四邊形AFCD的面積都是30平方厘米．其中AF垂直于ED于O，AO、OD、AD分別長3、4、5厘米．求三角形OEF的面積和周長．【答案】

面積為13.5平方厘米，周長為18厘米．【分析】

平行四邊形ABED的面積等于AO×DE=3×DE=30,由此可以求得DE=10,OE=6.平行四邊形AFCD的面積等于DO×AF=4×AF=30,由此可以求得AF=7.5,OF=4.5.則△OEF的面積等于EO×OF÷2=6×4.5÷2=27÷2=13.5(由沙漏模型得AO:OF=AD:EF=2:3,則EF=7.5.所以△OEF的周長為4.5+6+7.5=18(65.如圖所示，已知三角形ABC的面積為1平方厘米，D、E分別是AB、AC邊的中點．求三角形OBC的面積．【答案】

13【分析】

由D、E分別是AB、AC邊的中點，可知DE與BC平行，且DE=1如下圖所示，沙漏DEOBC中，有OD把線段的比例關系轉化為面積的比例關系，得到S那么梯形DECB的面積就是(1+2+2+4)×由于△ABC的面積為1平方厘米，則△ADE的面積是14平方厘米．而梯形DECB1-因此S從而S66.如圖所示，O是長方形ABCD一條對角線的中點，圖中已經標出兩個三角形的面積3和4，那么陰影直角三角形的面積是多少？【答案】

3【分析】

由S△AOD=4可知S△BCD=12×S長方形由于EF∥CD，把線段的比例轉移到BC上，則有CEBC=DFDB=38，從而得到BE567.如圖，三角形PDM的面積是8平方厘米，長方形ABCD的長是6厘米，寬是4厘米，M是BC的中點，則三角形APD的面積是

平方厘米．【答案】

8【分析】

本題在矩形內連接三點構成一個三角形，而且其中一點是矩形某一條邊的中點，一般需要通過這一點做垂線．取AD的中點N，連接MN，設MN交PD于K．則三角形PDM被分成兩個三角形，而且這兩個三角形有公共的底邊MK，可知三角形PDM的面積等于1所以MK=那么NK=4-因為NK是三角形APD的中位線，所以AP=2×NK=所以三角形APD的面積為168.已知長方形ABCD的面積為70厘米，E是AD的中點，F、G是BC邊上的三等分點，求陰影△EHO的面積是多少平方厘米？【答案】

3【分析】

因為E是AD的中點，F、G是BC邊上的三等分點，由此可以說明如果把長方形的長分成6份的話，那么ED=AD=3(在圖形中找到沙漏EDOBG：有ED:BG=3:4,所以OD:BO=3:4,相當于把BD分成7份（3+4），同理也可以在圖中再次找到沙漏EDHBF，ED:BF=3:2,由此可以推出：HD:BH=3:2,相當于把BD分成5份（3+2），那么我們就可以把BD分成35份（5和7的最小公倍數）其中OD占15份，BH占14份，HO占6份，連接EB則可知△BED的面積為70÷4=在BD為底的三角形中HO占6份，則面積為：3569.如圖所示，已知平行四邊形ABCD的面積是1，E、F是AB、AD的中點，BF交EC于M，求△BMG的面積．【答案】

1【分析】

解法一：由題意可得，E、F是AB、AD的中點，得EF∥BD，而FD:BC=FH:HC=1:2,EB:CD=BG:GD=1:2.所以CH:CF=GH:EF=2:3,并得G、H是BD的三等分點，可得BG=GH，所以BG:EF=BM:MF=2:3,所以BM=S又因為BG=所以S解法二：延長CE交DA于I，如下圖，可得，AI:BC=AE:EB=1:1,從而可以確定M的點的位置，BM:MF=BC:IF=2:3,BM=BG=可得S70.邊長為8厘米和12厘米的兩個正方形并放在一起，那么圖中陰影三角形的面積是多少平方厘米？【答案】

16.2【分析】

給圖形標注字母，按順時針方向標注，大正方形為ABCD，小正方形為MNDE，EB分別交AC,AD于O,H兩點，AO:OC=AB:EC=12:20=3:5,AH:BC=AO:OC=3:5,所以AO:AC=3:8,AH:AD=3:5,S因為S所以S71.如圖，ABCD為正方形，AM=NB=DE=FC=1cm且MN=2c【答案】

2【分析】

（法1）由AB∥CD，有MP所以PC=2PM,又MQ所以MQ=QC=所以PQ=所以SSPQR占SAMCF的S（法2）如圖，連結AE，則S而RB所以RBS而S因為MN所以MP=則S陰影部分面積等于S72.如圖，已知S△ABC=14，點D,E,F分別在AB,BC,CA上，且AD=2,BD=5,AF=FC，S四邊形【答案】

10【分析】

△ABC的面積已知，若知道△ABE的面積占△ABC的幾分之幾就可以計算出△ABE的面積．連接CD．因為S所以S所以AC與DE平行，所以S所以S因為AD=2，BD=5，所以S所以S73.已知ABC為等邊三角形，面積為400，D、E、F分別為三邊的中點，已知甲、乙、丙面積和為143，求陰影五邊形的面積．（丙是三角形HBC） 【答案】

43【分析】

因為D、E、F分別為三邊的中點，所以DE、DF、EF是三角形ABC的中位線，也就與對應的邊平行，根據面積比例模型，三角形ABN和三角形AMC的面積都等于三角形ABC的一半，即為200． 根據圖形的容斥關系，有S△ABC-S丙= 又S陰影+S74.如圖所示，在直角三角形ABC中，AC的長3厘米，CB的長4厘米，AB的長5厘米，有一只小蟲從C點出發，沿CB以1厘米/秒的速度向B爬行；另一只小蟲從B點出發，沿BA以1厘米/秒的速度向A爬行．請問經過多少秒后，兩只小蟲所在的位置D、E與B組成的三角形DBE是等腰三角形？（請寫出所有答案）【答案】

2秒、2013秒或32【分析】

設經過了x秒，則BE=x厘米，CD=x厘米，兩只小蟲所在的位置D、E與B組成的三角形DBE是等腰三角形的情況有三種：（1）以B為等腰三角形頂角所在的頂點，即BD=BE（如圖1）．這個最好算，BD=4-x，BE=x，故x=4-x，解得x=2；（2）以E為等腰三角形頂角所在的頂點，即ED=EB，如圖2，從E向BD作垂線，垂足為F，在金字塔BEFAC種，BEBA=BFBC，即x5=BF4，所以BF=45x．利用CD+DF+FB=4列出方程x+45（3）以D為等腰三角形頂角所在的頂點，即ED=DB，如圖3，從D向AB作垂線，垂足為F，利用△BFD和△BCA相似得BFBD=45，即BF4-x=45，所以綜上，經過2秒或2013秒或3213秒后，兩只小蟲所在的位置D、E與B組成的三角形75.如下圖所示，點M是平行四邊形ABCD的邊CD上的一點，且DM:MC=1:2，四邊形EBFC為平行四邊形，FM與BC交于點G．若三角形FCG的面積與三角形MED的面積之差為13cm2【答案】

60【分析】

連接BD，因為DE∥BC，所以DE所以S令S△DEM=a，則S△CEM所以S因為MB∥CF，所以CG所以S所以S因為S所以18因為S所以S76.如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，F是BC邊的中點，E是DC邊上的點，且DE:EC=1:3，AF與BE相交于點G，求S△ABG【答案】

32【分析】

方法一：連接AE，延長AF，DC兩條線交于點M，構造出兩個沙漏，所以有AB:CM=BF:FC=1:1,因此CM=4，根據題意有CE=3，再根據另一個沙漏有GB:GE=AB:EM=4:7,所以S方法二：連接AE,EF，分別求SS根據蝴蝶定理S所以S77.如圖所示，正六邊形的面積是6，那么陰影部分的面積是多少？【答案】

2【分析】

方法一：連結陰影部分的對角線，如圖1所示．這條輔助線平分陰影部分，也正好把正六邊形平分成兩個等腰梯形．那么每個梯形的面積為6÷2=3.要求出陰影部分的面積，只需求出其中的一半即可．畫出其中一個梯形，給它的各個頂點標上字母，如圖2所示，△BCD和△ABD是一對等高三角形，并且底邊BC是AD的2倍，所以△BCD的面積是△ABD面積的2倍，于是△BCD面積為3×在沙漏ADOBC中，ODOBS因此正六邊形中的陰影部分面積為1方法二：利用正六邊形中的格點，將其分割，如圖3所示．觀察圖形可知，這時正六邊形被分割成18個三角形，這些三角形面積全都相等．陰影部分由8個三角形組成，所以陰影部分面積為6÷18×8=278.如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，面積是72平方厘米，E、F分別為邊AB、BC的中點，請問：陰影部分的面積為多少平方厘米？【答案】

48【分析】

因為E為邊AB的中點，四邊形ABCD是平行四邊形，所以AE=12CD在沙漏AEHCD中，有AH:HC=1:2，EH:HD=1:2．由EH:HD=1:2可知，△AEH的面積為△AED面積的13易知△AED面積為平行四邊形ABCD的面積的1472×所以△AEH的面積為18×由F為邊BC的中點，同理可求出△FOC的面積為6平方厘米．由AH:HC=1:2，FO:OD=1:2可知，H、O為邊AC的三等分點．所以S而S△ACDS于是空白部分面積為S△AEH因此陰影部分的面積為72-24=48(平方厘米幾何-直線型幾何-金字塔和沙漏模型-1星題課程目標知識點考試要求具體要求考察頻率金字塔和沙漏模型C1.能夠準確理解金字塔和沙漏模型

2.能夠用相似模型解決復雜的幾何問題少考知識提要金字塔和沙漏模型金字塔模型

CDCA=

沙漏模型

ABCD=

精選例題金字塔和沙漏模型1.如圖，已知DE平行BC，BO:EO=3:2，那么AD:AB=

． 【答案】

2:3【分析】

由沙漏模型得BO:EO=BC:DE=3:2，再由金字塔模型得AD:AB=DE:BC=2:3．2.如圖，DE平行BC，若AD:DB=2:3，那么S△ADE:S 【答案】

4:15【分析】

根據金字塔模型AD:AB=AE:AC=DE:BC=2:(2+3)=2:5，S△ADE 設S△ADE=4份，則S△ABC=25份，3.如圖，△ABC中，DE，FG，MN，PQ，BC互相平行，AD=DF=FM=MP=PB，則S△ADE:S【答案】

1:3:5:7:9【分析】

設S△ADE=1份，S△ADE:S△AFG=AD2:AF所以有S4.如圖，△ABC中，DE，FG，BC互相平行，AD=DF=FB，則S△ADE:S 【答案】

1:3:5【分析】

設S△ADE 所以S△ADE:S△AFG=AD2:AF2=1:4，S5.如下圖所示，將邊長8厘米和12厘米的兩個正方形并放在一起，那么圖中陰影三角形的面積是

平方厘米．【答案】

43.2【分析】

給圖中標上字母，如下圖．根據沙漏模型OCOF所以OF=12×3S△EFO6.如圖，△ABC中，AE=14AB，AD=14AC，ED與BC平行，△EOD的面積是 【答案】

5【分析】

因為AE=14AB，AD=14 根據相似模型可知ED:BC=1:4，EO:OC=1:4，S△COD=4S△EOD=4平方厘米，則S7.如圖，四邊形ABCD和EFGH都是平行四邊形，四邊形ABCD的面積是16，BG:GC=3:1，則四邊形EFGH的面積=

． 【答案】

3【分析】

因為FGHE為平行四邊形，所以EC∥AG，所以AGCE為平行四邊形． BG:GC=3:1，那么GC:BC=1:4，所以S平行四邊形 又AE=GC，所以AE:BG=GC:BG=1:3，根據沙漏模型，FG:AF=BG:AE=3:1，所以S平行四邊形8.如圖，DE平行BC，且AD=2，AB=5，AE=4，求AC的長． 【答案】

10【分析】

由金字塔模型得AD:AB=AE:AC=DE:BC=2:5，所以AC=4÷2×5=10．9.如圖，正方形ABCD的邊長是6，E點是BC的中點，求△AOD的面積．【答案】

12．【分析】

連結DE，因為BE與AD之比是1:2，可如圖所示設份數，可知△AOD的面積是正方形面積的三分之一，是12．10.如圖：MN平行BC，S△MPN:S△BCP=4:9【答案】

2【分析】

在沙漏模型中，因為S△MPN:S△BCP=4:9，所以MN:BC=2:3，在金字塔模型中有：AM:AB=MN:BC=2:3，因為AM=411.圖中ABCD是邊長為12cm的正方形，從G到正方形頂點C、D連成一個三角形，已知這個三角形在AB上截得的EF長度為4c【答案】

108【分析】

做GM垂直DC于M，交AB于N．因為EF∥DC，所以三角形GEF與三角形GDC相似，且為EF:DC=4:12=1:3,所以GN:GM=1:3,又因為MN=GM-GN=12,所以GM=18(所以三角形GDC的面積為112.如圖，測量小玻璃管口徑的量具ABC，AB的長為15厘米，AC被分為60等份．如果小玻璃管口DE正好對著量具上20等份處（DE平行AB），那么小玻璃管口徑DE是多大？ 【答案】

10厘米．【分析】

有一個金字塔模型，所以DE:AB=DC:AC，DE:15=40:60，所以DE=10厘米．13.兩盞4米高的路燈相距10米，有一個身高1.5米的同學行走在這兩盞路燈之間，那么他的兩個影子總長度是多少米？【答案】

6【分析】

根據題意畫出如圖所示的圖，延長FE與AC交于I，則△AEI和△EFH以及△CEI和△EFG都能組成沙漏三角．不難看出，EI=4-1.5=2.5(米而在沙漏AIEFH中，又有AEEH在沙漏ACEGH中，有ACGH由此可知GH=314.如圖，在△ABC中，有長方形DEFG，G、F在BC上，D、E分別在AB、AC上，AH是△ABC邊BC的高，交DE于M，DG:DE=1:2，BC=12厘米，AH=8厘米，求長方形的長和寬．【答案】

長和寬分別是487厘米，24【分析】

觀察圖中有金字塔模型5個，用與已知邊有關系的兩個金字塔模型，所以DE所以有DE設DG=x，則DE=2x，所以有2x解得x=因此長方形的長和寬分別是487厘米，2415.如圖，已知在平行四邊形ABCD中，AB=16，AD=10，BE=4，那么FC的長度是多少？ 【答案】

8【分析】

圖中有一個沙漏，也有金字塔，但我們用沙漏就能解決問題，因為AB平行于CD，所以BF:FC=BE:CD=4:16=1:4，所以FC=10×416.如圖所示，三角形ABC中，DE與BC平行，且AD:DB=5:2，求AE:EC及DE:BC．【答案】

5:2，5:7【分析】

根據金字塔模型的結論即可直接得出答案．17.如圖，將一個邊長為2的正方形兩邊長分別延長1和3，割出圖中的陰影部分，求陰影部分的面積是多少？【答案】

1【分析】

根據相似三角形的對應邊成比例有：NFEM則NF=所以S18.已知正方形ABCD，過C的直線分別交AB、AD的延長線于點E、F，且AE=10cm，AF=15c【答案】

6【分析】

方法一：本題有兩個金字塔模型，根據這兩個模型有BC:AF=CE:EF,DC:AE=CF:EF,設正方形的邊長為xcBC即x解得x=6,所以正方形的邊長為6c方法二：或根據一個金字塔模型，列方程即x解得x=6.19.在圖中的正方形中，A，B，C分別是所在邊的中點，△CDO的面積是△ABO面積的幾倍？【答案】

3【分析】

連接BC，易知OA∥EF，可知OB:OD=AE:AD，且OA:BE=DA:DE=1:2，所以△CDO的面積等于△CBO的面積；由OA=12BE=14AC可得CO=3OA，所以S△CDO20.如右圖，長方形ABCD中，EF=16，FG=9，求AG的長．【答案】

15【分析】

因為DGGB=AGGE=AG25，且DG21.如圖，O是矩形一條對角線的中點，圖中已經標出兩個三角形的面積為3和4，那么陰影部分的一塊直角三角形的面積是多少？【答案】

25【分析】

連接OB，由已知可得S所以OE:EA=1:3,可以得到CE:CA=5:8,由三角形相似可得陰影部分面積為8×22.如圖，正方形ABCD中E是BC邊的中點，AE與BD相交于F點，三角形DEF的面積是2，那么正方形ABCD的面積是_________．【答案】

12【分析】

左邊梯形ABED，因為E為BC的中點，所以BE:AD=1:2所以BF:FD=1:2又因為三角形DEF的面積是2所以三角形BEF的面積是1，三角形ABF的面積為2，三角形AFD的面積為4而S△BED=S△DEC23.已知△ABC中，DE平行BC，若AD:DB=2:3，且S梯形DBCE比S△ADE大8.5?【答案】

12.5【分析】

根據金字塔模型AD:AB=DE:BC=2:(2+3)=2:5,S設S△ADE=4份，則S△ABC=25份，S梯形DBCE=25-4=21份，S梯形DBCE24.如圖，三角形ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上，這個正方形零件的邊長是多少？【答案】

48【分析】

觀察圖中有金字塔模型5個，用與已知邊有關系的兩個金字塔模型，所以有PN設正方形的邊長為x毫米，PN即x解得x=48即正方形的邊長為48毫米．25.如圖，在長方形ABCD中，AB=6厘米，AD=2厘米，AE=EF=FB，求陰影部分的面積．【答案】

3.5平方厘米【分析】

連接DE、FC，在梯形CDEF中，由梯形基本結論知：EF:DC=EO:OC=1:3，S長ABCD=6×2=12由一半模型得所以S△DEC=6又EO:OC=1:3幾何-直線型幾何-金字塔和沙漏模型-2星題課程目標知識點考試要求具體要求考察頻率金字塔和沙漏模型C1.能夠準確理解金字塔和沙漏模型

2.能夠用相似模型解決復雜的幾何問題少考知識提要金字塔和沙漏模型金字塔模型

CDCA=

沙漏模型

ABCD=

精選例題金字塔和沙漏模型1.如圖，△ABC中，DE，FG，BC互相平行，AD=DF=FB，則S△ADE:S 【答案】

1:3:5【分析】

設S△ADE 所以S△ADE:S△AFG=AD2:AF2=1:4，S2.如下圖所示，將邊長8厘米和12厘米的兩個正方形并放在一起，那么圖中陰影三角形的面積是

平方厘米．【答案】

43.2【分析】

給圖中標上字母，如下圖．根據沙漏模型OCOF所以OF=12×3S△EFO3.如圖，△ABC中，AE=14AB，AD=14AC，ED與BC平行，△EOD的面積是 【答案】

5【分析】

因為AE=14AB，AD=14 根據相似模型可知ED:BC=1:4，EO:OC=1:4，S△COD=4S△EOD=4平方厘米，則S4.如圖，四邊形ABCD和EFGH都是平行四邊形，四邊形ABCD的面積是16，BG:GC=3:1，則四邊形EFGH的面積=

． 【答案】

3【分析】

因為FGHE為平行四邊形，所以EC∥AG，所以AGCE為平行四邊形． BG:GC=3:1，那么GC:BC=1:4，所以S平行四邊形 又AE=GC，所以AE:BG=GC:BG=1:3，根據沙漏模型，FG:AF=BG:AE=3:1，所以S平行四邊形5.如圖，已知DE平行BC，BO:EO=3:2，那么AD:AB=

． 【答案】

2:3【分析】

由沙漏模型得BO:EO=BC:DE=3:2，再由金字塔模型得AD:AB=DE:BC=2:3．6.圖中的大小正方形的邊長均為整數（厘米），它們的面積之和等于52平方厘米，則陰影部分的面積是

平方厘米．【答案】

10.8【分析】

設大、小正方形的邊長分別為m厘米、n厘米（m>n），則m所以m<8.若m?5，則m不合題意，所以m只能為6或7．檢驗可知只有m=6、n=4滿足題意，所以大、小正方形的邊長分別為6厘米和4厘米．根據相似三角形性質，BG:GF=AB:FE=6:4=3:2,而BG+GF=6,得BG=3.6(所以陰影部分的面積為：17.ABCD是平行四邊形，面積為72平方厘米，E、F分別為AB、BC的中點，則圖中陰影部分的面積為

平方厘米．【答案】

48【分析】

方法一：設G、H分別為AD、DC的中點，連接GH、EF、BD．可得S對角線BD被EF、AC、GH平均分成四段，又OM∥EF，所以DO:ED=OE:ED=所以SS同理可得S所以S于是，陰影部分的面積為24+12+12=48(方法二：尋找圖中的沙漏，AE:CD=AO:OC=1:2,FC:AD=CM:AM=1:2,因此O,M為AC的三等分點，SS同理S所以S8.如圖，DE平行BC，若AD:DB=2:3，那么S△ADE:S 【答案】

4:15【分析】

根據金字塔模型AD:AB=AE:AC=DE:BC=2:(2+3)=2:5，S△ADE 設S△ADE=4份，則S△ABC=25份，9.如圖，△ABC中，DE，FG，MN，PQ，BC互相平行，AD=DF=FM=MP=PB，則S△ADE:S【答案】

1:3:5:7:9【分析】

設S△ADE=1份，S△ADE:S△AFG=AD2:AF所以有S10.在下圖中，線段AE、FG將長方形ABCD分成了四塊；已知其中兩塊的面積分別是2平方厘米、11平方厘米，且E是BC的中點，O是AE的中點．請問長方形ABCD的面積是

平方厘米．【答案】

28【分析】

如下圖所示，延長AE、DC交于點H．由于E是BC的中點，由AB∥CH，有AE:EH=BE:EC=1:1，由于O是AE中點，那么AO:OH=1:3．由AF∥GH，有S△AOF所以，S△GOH那么S△CEH所以，S平行四邊形11.如下圖所示，三角形田地中有兩條小路AE和CF，交叉處為D．張大伯常走這兩條小路，他知道DF=DC，且AD=2DE．則兩塊田地ACF和CFB的面積比是

．【答案】

1:2【分析】

方法一：如下圖所示，ACF和CFB為同高三角形，所以面積比等于底邊比AF:FB．過F作BC的平行線，交AE于G，則因為DF=DC，所以三角形CED和FGD全等，GD=DE．又因為AD=2DE，所以D和G是AE的三等分點，所以AF:FB=AG:GE=1:2．方法二：如下圖所示，連接BD，設S△CED=1(份)設S△BED=x,S△BFD=y所以S△ACF12.如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點，且圖中兩個陰影部分（甲和乙）的面積差是5.04，則S△ABC=【答案】

20.16【分析】

由于D，E都是中點，則BC=2DE，設DE為1份，則BC為2份，根根據梯形中的蝴蝶模型，得到甲是1份，乙是4份，兩個翅膀都是2份，由此可推出△ADE為3份，且每份為5.04÷(4-1)=1.68,所以S13.梯形ABCD的面積為12，AB=2CD，E為AC的中點，BE的延長線與AD交于F，四邊形CDFE的面積是

．【答案】

8【分析】

延長BF、CD相交于G．由于E為AC的中點，根據相似三角形性質，CG=AB=2CD,GD=再根據相似三角形性質，AF:FD=AB:DG=2:1,GF:GB=1:3,而S所以SS又SS所以S14.如圖，三角形ABC的面積為60平方厘米，D、E、F分別為各邊的中點，那么陰影部分的面積是

平方厘米．【答案】

12.5【分析】

陰影部分是一個不規則的四邊形，不方便直接求面積，可以將其轉化為兩個三角形的面積之差．而從圖中來看，既可以轉化為△BEF與△EMN的面積之差，又可以轉化為△BCM與△CFN的面積之差．（法一）如圖，連接DE．由于D、E、F分別為各邊的中點，那么BDEF為平行四邊形，且面積為三角形ABC面積的一半，即30平方厘米；那么△BEF的面積為平行四邊形BDEF面積的一半，為15平方厘米．根據幾何五大模型中的相似模型，由于DE為三角形ABC的中位線，長度為BC的一半，則EM:BM=DE:BC=1:2,所以EM=EN:FN=DE:FC=1:1,所以EN=那么△EMN的面積占△BEF面積的1215×（法二）如圖，連接AM．根據燕尾定理，SS所以S而S所以S那么陰影部分面積為20-7.5=12.5(【總結】求三角形的面積，一般有三種方法：（1）利用面積公式：底×（2）利用整體減去部分；（3）利用比例和模型．15.已知△ABC中，DE平行BC，若AD:DB=2:3，且S梯形DBCE比S△ADE大8.5?【答案】

12.5【分析】

根據金字塔模型AD:AB=DE:BC=2:(2+3)=2:5,S設S△ADE=4份，則S△ABC=25份，S梯形DBCE=25-4=21份，S梯形DBCE16.如圖：MN平行BC，S△MPN:S△BCP=4:9【答案】

2【分析】

在沙漏模型中，因為S△MPN:S△BCP=4:9，所以MN:BC=2:3，在金字塔模型中有：AM:AB=MN:BC=2:3，因為AM=417.如右圖，長方形ABCD中，EF=16，FG=9，求AG的長．【答案】

15【分析】

因為DGGB=AGGE=AG25，且DG18.如圖，正方形ABCD的邊長是6，E點是BC的中點，求△AOD的面積．【答案】

12．【分析】

連結DE，因為BE與AD之比是1:2，可如圖所示設份數，可知△AOD的面積是正方形面積的三分之一，是12．19.如圖所示，三角形ABC中，DE與BC平行，且AD:DB=5:2，求AE:EC及DE:BC．【答案】

5:2，5:7【分析】

根據金字塔模型的結論即可直接得出答案．20.已知三角形ADE的面積為3平方厘米，D是AB邊的三等分點（靠近A點），且DE與BC平行．請求出三角形OBC的面積為多少平方厘米？【答案】

13.5平方厘米．【分析】

由金字塔模型知，AD:AB=DE:BC=1:3，設△ODE的面積為1份，則△ODB的面積為3份，△OEC的面積為3份，△OBC的面積為9份，又因為△ADE與△DEC等高，可知△ADE的面積為2份，由此可知△OBC的面積為3÷2×9=13.5平方厘米．21.如圖所示，正方形ABCD的邊長是6，E點是BC的三等分點．△AOD的面積是多少？【答案】

13.5．【分析】

由沙漏模型，BE:AD=BO:OD=1:3,△AOB與△AOD等高，面積比為1:3，因此△AOD的面積為6×6÷2×322.如圖所示，在正方形ABCD中，E,F分別是BC,CD的中點，已知正方形ABCD的面積為60平方厘米，求陰影部分的面積．【答案】

10平方厘米．【分析】

由條件知，BE=AD=1:2，則BG:GD=1:2,BG=13BD，同理，DF:AB=1:2，則DH:HB=1:2,DH=1323.如圖，DE平行BC，且AD=2，AB=5，AE=4，求AC的長． 【答案】

10【分析】

由金字塔模型得AD:AB=AE:AC=DE:BC=2:5，所以AC=4÷2×5=10．24.在圖中的正方形中，A、B、C分別是ED、EG、GF的中點．請問：三角形CDO的面積是三角形ABO面積的幾倍？【答案】

3倍．【分析】

不妨設正方形的邊長是2，所以FC=CG=GB=BE=EA=AD=1.又A、C分別是所在邊的中點，所以AC∥GE，即OA∥BE，由此可見OA是△DBE的中位線，有OABE=11△AOB的面積等于△BAD的面積減去△AOD的面積，等于1×1÷2-△COD的面積等于△CAD的面積減去△AOD的面積，等于2×1÷2-由此可得，△CDO的面積是△ABO面積的3倍．25.如圖，平行四邊形ABCD的面積是90．已知E點是AB上靠近A點的三等分點，求陰影部分的面積．【答案】

33．【分析】

由沙漏模型知，BE:CD=BO:OD=EO:OC=2:3，設△OBE的面積為4份，則△OBC的面積為6份，△OCD的面積為9份，△OBC的面積與△OCD的面積之和為整個四邊形面積的一半，因此四邊形的面積為30份，總面積為90，則一份對應面積為3，陰影部分占了11份，面積為33．26.如圖所示，梯形ABCD的面積是50，下底長是上底長的1.5倍，陰影三角形的面積是多少？【答案】

18．【分析】

上底與下底的長度比為2:3，設△OCD面積是4份，則△AOD與△BOC的面積均為6份，△ABO的面積為9份，總面積為50，故一份所對應的面積為2，則△ABO的面積為18．27.下圖中正方形的面積為1，E、F分別為AB、BD的中點，GC=1【答案】

5【分析】

題中條件給出的都是比例關系，由此可以初步推斷陰影部分的面積要通過比例求解，而圖中出現最多的就是三角形，那么首先想到的就是利用相似三角形的性質．陰影部分為三角形，已知底邊為正方形邊長的一半，只要求出高，便可求出面積．可以作FH垂直BC于H，GI垂直BC于I．根據相似三角形性質，CI:CH=CG:CF=1:3,又因為CH=HB,所以CI:CB=1:6,即BI:BC=所以S28.如圖，正方形ABCD中E是BC邊的中點，AE與BD相交于F點，三角形DEF的面積是2，那么正方形ABCD的面積是_________．【答案】

12【分析】

左邊梯形ABED，因為E為BC的中點，所以BE:AD=1:2所以BF:FD=1:2又因為三角形DEF的面積是2所以三角形BEF的面積是1，三角形ABF的面積為2，三角形AFD的面積為4而S△BED=S△DEC29.如圖，平行四邊形ABCD的面積是12,DE=13AD,AC與BE【答案】

4.4．【分析】

AE:BC=2:3，設份數可知ABCD為30份，△AEF為4份，陰影部分占11份，面積為4.4．30.如圖，在△ABC中，有長方形DEFG，G、F在BC上，D、E分別在AB、AC上，AH是△ABC邊BC的高，交DE于M，DG:DE=1:2，B