極限計算方法總結(jié)

《高等數(shù)學(xué)》是理工科院校最重要的根底課之一，極限是《高等數(shù)學(xué)》的重要組成局部。求極限方法

眾多，非常靈活，給函授學(xué)員的學(xué)習(xí)帶來較大困難，而極限學(xué)的好壞直接關(guān)系到《高等數(shù)學(xué)》后面內(nèi)容

的學(xué)習(xí)。下面先對極限概念和一些結(jié)果進行總結(jié)，然后通過例題給出求極限的各種方法，以便學(xué)員更好

地掌握這局部知識。

一、極限定義、運算法那么和一些結(jié)果

1.定義：(各種類型的極限的嚴格定義參見《高等數(shù)學(xué)》函授教材，這里不一一表達)。

說明：(1)一些最簡單的數(shù)列或函數(shù)的極限(極限值可以觀察得到)都可以用上面的

極限嚴格定義證明，例如：lim2=0(a,0為常數(shù)且"0)；lim(3x—l)=5；

4〃XT2

〃[0,當(dāng)|“<川寸

些r.t不存在，當(dāng)I加時;等等

(2)在后面求極限時，(1)中提到的簡單極限作為結(jié)果直接運用，而不需再用極限嚴格定

義證明。

2.極限運算法那么

定理1lim/(x),limg(x)都存在，極限值分別為A,B,那么下面極限都存在，且有(1)

lim[f(x)±g(x)]=A±B

(2)limf(x)-g(x)=AB

⑶扁“2=4,(此時需8W0成立)

gMB

說明：極限號下面的極限過程是一致的；同時注意法那么成立的條件，當(dāng)條件不滿足時，不能用。

3.兩個重要極限

「sinx.

(1)hm----=1

1。x

-i

(2)lim(l+x)v=e；lim(l+—)A=e

x->0KfgX

說明：不僅要能夠運用這兩個重要極限本身，還應(yīng)能夠熟練運用它們的變形形式,

作者簡介：靳-東，男，(1964—)，副教授。

例如：limSin3,X=1,=c,lim(l+])3=e；等等。

4.等價無窮小

定理2無窮小與有界函數(shù)的乘積仍然是無窮小(即極限是⑴。

定理3當(dāng)/->()時，以下函數(shù)都是無窮小(即極限是0),且相互等價，即有：

X?sinx?tanx?arcsinx?arctanx?ln(l+x)?—1。

說明：當(dāng)上面每個函數(shù)中的自變量工換成g(x)時(g(x)fO),仍有上面的等價

關(guān)系成立，例如：當(dāng)/->()時，e3x-1?3%；ln(l-x2)?一Y。

定理4如果函數(shù)/(x),g(X)J[(X),g]3都是X-與時的無窮小，且/(x)~/(x),g(x)~

../,(x)f(x)../(x)

g](x)，那么當(dāng)hmq廠存在時，hmT也存在且等于fMhm,即

X-配,g|M?TX。g(%)XT%g](x)

1?f(x)vJf\l(1)

hm=limo

xTqg(X)lx。?O)

5.洛比達法那么

定理5假設(shè)當(dāng)自變量x趨近于某一定值(或無窮大)時，函數(shù)/(x)和g(x)滿足：(1)和g(x)

的極限都是0或都是無窮大；

(2)和g(x)都可導(dǎo)，且g(x)的導(dǎo)數(shù)不為U；

..f\x)

(3)hm—三存在[或是無窮大)；

g(x)

..f(x)..f\x)..f(x)..f\x)

那么極限hm——-也一定存在，旦等于hm―――,即lim———=hm―――。

gWg(x)g(x)g(x)

說明：定理5稱為洛比達法那么，用該法那么求極限時，應(yīng)注意條件是否滿足，只要有一條不滿足，

洛比達法那么就不能應(yīng)用。特別要注意條件(1)是否滿足，即驗證所求極限是否為“°”型

0

或，，藝”型；條件(2)一般都滿足，而條件(3)那么在求導(dǎo)完畢后可以知道是否滿足。另

00

外，洛比達法那么可以連續(xù)使用，但每次使用之前都需要注意條件。

6.連續(xù)性

定理6一切連續(xù)函數(shù)在其定義去間內(nèi)的點處都連續(xù)，即如果勺是函數(shù)/(X)的定義去間內(nèi)的一點，那么

有l(wèi)iin/Q）=/（_Xo）。

XT.%

7.極限存在準那么

定理7（準那么1）單調(diào)有界數(shù)列必有極限。

定理8（準那么2）{%},{%},{Z〃}為三個數(shù)列，且滿足:

(1)yn<Z〃，(〃=1,2,3,???)

(2Jlimy”a,limz?=a

〃T8〃->8

那么極限lim一定存在，旦極限值也是。,即lim=a。

"TOO

二、求極限方法舉例

1.用初等方法變形后，再利用極限運算法那么求極限

J3x+1—2

例1lim

X->1x-l

22

「(V3X+1)-2R3x-33

解:原式二lim-----------/------=lun------------,------=-o

I(x-l)(j3x+l+2)xf(x-l)(V3x+l+2)4

注：此題也可以用洛比達法那么。

例2lim4n(+2—Jn—\)

〃fOC

解：原式=lim

J/7+2+J/2-1

「(T)〃+3”

例3hm--------------

…2〃+3”

上下同除以3".（一p"+l

解：原式=lim--=1o

（丁+1

2.利用函數(shù)的連續(xù)性（定理6）求極限

\_

例4limx2ex

A->2

解：因為%=2是函數(shù)=的一個連續(xù)點,

所以原式=22/=4j^。

3.利用兩個重要極限求極限

1-cosx

例5lim

XTO3x2

2csi?n2—X2Gsi?n2—X.

ooI

解：原式:li嗎」2=1叫-----產(chǎn)=7

X

af3AX—ICf\26

注：此題也可以用洛比達法那么。

2

例6lim(l-3sinx)x

XT。

]-6sin.r[-6sinx

解：原式二1?111(1-3$皿為際?一^=1101[(1-35皿%)有蒜]一^

r->0r->0

,,..“一2、〃

例7hm(-------)

〃-n+1

QK+1-3〃a〃+i-3〃

解：原式=lim(l+—尸初=癡[(1+二7尸]"=/。

“T0°n+ln+1

4.利用定理2求極限

例8limx2sin—

I。X

解：原式=0］定理2的結(jié)果)。

5.利用等價無窮小代換(定理4)求極限

「xln(l+3x)

例9hm---------7-

XTOarctan(x)

解：:xf(M,ln(1+3x)?3x,arctan(x2)^x2,

x-3x

原式=lim上耳=3。

2

iox

e"—e'Mx

例10lim------------

?Dx-sinx

()sinx

/nxe——[e(x-sinx)?

解：原式=lim:=lim:=1。

ior—sinxx->or—sin.r

注：下面的解法是錯誤的:

(e'..x-sinx

原式咆=lim-----------

x-sinxiox-sinx

正如下面例題解法錯誤一樣:

..tanx-sinx..x-x八

hm----------------=lim——=0。

.v->oX、'x->o

/2?1、

tan(x~sin—)

例11lim----------------

?sosinx

解：,當(dāng)xf0時，/sin，是無窮小,tan(—sin')與/sin4等價，

XXX

211

xsin—[

所以，原式=lim--------^=limxsin-=O。(最后一步用到定理2)

x->0XXTO丫

6.利用洛比達法那么求極限

說明：當(dāng)所求極限中的函數(shù)比擬復(fù)雜時，也可能用到前面的重要極限、等價無窮小代換等方法。

同時，洛比達法那么還可以連續(xù)使用。

1-cosx

例12hm------；-(例4)

3)3廠

sinx1

解：原式=hm^—=:。（最后一步用到了重要極限）

z06x6

7TX

COS

o

例13lim-------

-1x-1

元.7DC

-----sin一

D)兀

解；原式=hm——二--

?T12

「x-sinx

例14lim-----------

3X

1-cosx「sinx1

解：原式噢=-。（連續(xù)用洛比達法那么，最后用重要極限）

3x2X-*06x6

sinx-xcosx

例15lun------z-----------

尤sinx

解:

l11

例isrlirnr[----------------]

XT。xln(l+x)

解：錯誤解法：原式=lim[------]=Oo

10XX

正確解法:

應(yīng)該注意,洛比達法那么并不是忌可以用，如下例。

X—2sinx

例19lim

3x+cosx

解：易見：該極限是“°”型，但用洛比達法那么后得至小1-2cosx

lim———；,此極限

0Jg3-sinx

不存在，而原來極限卻是存在的。正確做法如下:

2siiix

原式二lim........-[分子、分母同時除以外

-r->8_COSX

3+------

X

=-（利用定理1和定理2）

3

7.利用極限存在準那么求極限

例20x,=V2,x/J+1=j2+x〃，5=l,2,.?.),求|吧

解：易證：數(shù)列｛x〃｝單調(diào)遞增，且有界（0<工〃<2）,由準那么1極限1皿匕存在，設(shè)

lim=a0對的遞推公式工%z=j2+x〃兩邊求極限，得:

〃一>oo

ci=y/2+a,解得:。=2或。=一1（不合題意，舍去）

所以limxn=2

111=)

例21lim(

J刀2+〃

n1n

解:易見:

2I+/、+…+/,</)

yin+nyjn2+\yin2+2J/+"yin2+1

n〃

因為limlim/=1

“TOO2+niJ/+1

所以由準那么2得：lim(—+—+…+—)=1。

…Vn2+1J/+2yin2+n

上面對求極限的常用方法進行了比擬全面的總結(jié)，由此可以看出，求極限方法靈活多樣，而且許

多題目不只用到一種方法，因此，要想熟練掌握各種方法，必須多做練習(xí)，在練習(xí)中體會。另外,

求極限還有其它一些方法，如用定積分求極限等，由于不常用，這里不作介紹。

極限與連續(xù)的62個典型習(xí)題

習(xí)題1設(shè)q>0,i=l,2,…,〃7,求lim(〃/+〃/+???+〃:)".

解記a=max{…,冊},那么有

2\_

(%”+…+〃〃：)">(an)n=a,\in\a=a.另一方面

!!!

(%"+的"H-----1-a；)H<(ma")〃=a?(〃z)”.

21?

因為Iim〃"=(lim詬)=1,故lima/6=a.利用兩邊夾定理，知

“foon->oon-w

lim(c7j…其中。=max{q,。,,…%J.

w->x

例如lim(l+3"+5"+9")7=9.

習(xí)題2求lim(-；----------1—；------------1-…-I—；-----------).

+1獷+〃+2，/+〃+〃

解

1+2H-----\-n12n1+2d-----\-n

—------------<-----------+-----------<

n~+n+nn~+n+1〃-+〃+2/+〃+〃rr+n+\

〃(〃+l)12n〃(l+〃)

即

2(〃？+2〃)n2+/I+1ir++2〃？+"+〃2(7i2+7?+1)

1+-

rn(y+n)r〃+1

lun——；------=lim------=--lim一?

2(n"+2n)**2〃+4〃一w-42

2+-

n(\+n)i+l

Inn-----------------=limn

”以2(〃-+〃+1)…c22~2

2--+—

nn~

利用兩邊夾定理知

12n1

vlmzi(----------+—-----------+…+—-----------)x=一

+1n+〃+2+〃2

習(xí)題3求lim(1一+」一+—+—1—)".

1?22-3+1)

2

1r白+…+;/二則扣…+（L?"

習(xí)題4求圖■（3N）.

解〔變■替換法〕令，一吹，那么當(dāng)Xf1時，于是,

I_tm帚j)(l+r+入…+產(chǎn))m

原式=射匚尸

T(1一)(1+，+廠+…+，)n

習(xí)題5求lim.

X-H<Ox-1

解〔變■替換法〕令正=t,XT+oc,f—>-Kc,

2

原式解（七"㈣（￡白=吧叫尸（1一寸

=lim(1+-)1-(1—)'=e1-e=e°

r-^tt

q_X]

習(xí)題6求lim（二布（「型）。

io2+x

為了利用重要極限，對原式變形

習(xí)題7求加]互工1三Z.解原式

DX

..~2—21

=lim-------------------------------/-----=------=—

(VT+^++2)(V1-x2+1)4?24

習(xí)題8求解由于

…3x-2

__________6J

..,4/+6x+5V+x+x22

lim-------------------=hm-----------------=—.

X83x-2x*3_23

x

2465、

A-(z4+-+—)

h\4x2+6x4-5

而lim-------------=lim

XT-83x-2

X3--)

x

|X|J(4+-+4)々65、

(4+-+—)—

xx~2[.,4>2+6x+51.+6x4-5

—---；v=]加——lim--------------工lun

2xz3x*3x-2xi3x-2

43--)(3--)

xx

砧..,4r+61+5丁上力

故hm——---——不存在。

xtr3%-2

習(xí)題9研究以下極限〔1〕lim皿.

ZBX

原式=limLsinx,其中l(wèi)im，=0,|sinx|W1.上式極限等于0,即lim

AT0°XIf81X->00X

(2〕limx-sin—.

xruX

因為|sin—1<1,limx=0,所以limx-sin—=0.

X.t->0x->0x

.1.1

Isin—sin—

13〕lunx-sin—.原式=lim-=lim-=1.

XTBX38lX_>01

XX

習(xí)題10計算lim(x+”')x,(a>O,awl).

解原式=lima(l+xa7)x=〃lim(l+xar)x「

XTOx->0

=6f[liin(l+m')m]!聯(lián)=ae}=ae.

XTO

xa_1。gX

習(xí)題11hm-----=hm--------=hm---------------

-ix—1ix-1iaInxx—1

ealnx-\..crln[l+(x-l)J..

=lrim--------lun----------------=lxoxl=e.

alnxT)a\nx(IT

習(xí)題12lim'+/"c=5,求ac的值。

XTlJ-X

解首先lim—+陵+。=i+b+c=O,,b=-1-c

XTl

原式=lim------------=lim[-(x-c)J=c-1=5,

I-(jr-1)I

'?c=6,而b=—(1+c)=-(14-6)=—7.

習(xí)題13以下演算是否正確？

2.1

xsin-]

?sin!

lim-------=limx-———T=0.

3。sinxJ。*sinxx

有界

x

習(xí)題14求lim(sinJx+1-sin).

,JX+\—7XJx+1+\/~X

解原式=lim2sin------------cos------------

X-H-Z*22

1Jx+i+4八

2limsin?cos-----------=()

2(VxI1IG)2

習(xí)題15求lim口sin.

XfAX+\

JI

解Vlim—=lim=0,|sinx2|<1,原式=0.

K*X+lx->00?1

1+-

X

習(xí)題16證明=［九〃/力為常數(shù)

XTOOX+n

證]im(匯'產(chǎn)+〃=+"產(chǎn)+〃〔令」_=J_〕

XT8x-KC

x+nx+nny

m-n聲了(吁〃).mn〃〃*，〃-〃)

=lim[(l+]ini(l+~ykn+b_*,-).]_

y->oo>T8y

習(xí)題17求lim(l-sinx)v.

.t->0

1-3sinx

解原式=lim(l+(-sinx))-smx*=e3

x-)O

習(xí)題18求lim-.解（連續(xù)性法）

…x-a

_1VY—!—

原式=lim-----In—=limln(—)x“

ux-aaita

X-n-a--iX-Cla-iivi

=limln[l+——]I，"=ln[liir(l+——=\nea=-\ne=-.

FQf。aa

習(xí)題19試證方程x=asinx+Z?〔其中。>0/>0]至少有一個正根，并且它不大于々+/九

證設(shè)/(x)=asinx+h-x,此初等函數(shù)在數(shù)軸上連續(xù)，「./(x)在[0,〃十句上必連續(xù)。:

/(())=/?>(),而

/(&+〃)=as\n(a+b)-｛a+b)-\-b=4|sin(4+Z?)-1]<0假設(shè)f(a+Z?)=0,那么a+b就是方

程x=asinx+力的一個正根。

假設(shè)/(〃+〃)<(),那么由零點存在定理可知在(OM+方)內(nèi)至少存在一點4￡((),a+b),使

/@=0.即"asinJ+A

故方程X=asinx+b至少有一正根，且不大于&+〃.

[

習(xí)題21求lim(cosx)l-cosr.

x->0

1

解原式=1舊｛口+((：0§X-1)]嬴—尸=1.

XTO

習(xí)題20設(shè)區(qū)｝滿足>0且lim=r<1.試證lim居=0.

"T8七I"T8

證,.Tim5-=r<1,取￡=--->0,明,使得當(dāng)n>N時有

…2

?工一“<￡=:，即。<工<〃+==T，亦即0<%<々甚一于是遞推得

"t12V.222”

八r+1/+1、，/r+1\"-“

^<Xn<—<(―)^?-2<...<(―)EV

Mv

0?,二^<1,lim(ZLil)-Xn-(),從而由兩邊夾準那么有l(wèi)iin=0.

2“TOO2"TOO

習(xí)題22用定義研究函數(shù)/“)』%二x>0的連續(xù)性。

[o'A<0

證首先，當(dāng)x>0,〃幻=/口是連續(xù)的。同理，當(dāng)

*<0,/（x）=o也是連續(xù)的。而在分段點x=o處

所以linif(A)=/(O).故以%)wC(-8,+8).

XTo

J1-3-5.-(2H-1)

習(xí)題23求證24.6-2.=，.

而

.由兩邊夾定理知,

=limJ—?—U=limJ—■lim—=1-=1原式成立.

〃->8v2y/nV2…gqn1

習(xí)題24設(shè)/*,),)=吟蟲/(l,y)=J_y+5.任取占>0,記

2x2

A=F(x,2xx?=產(chǎn)(x*,2xj...試證limx存在，并求極限值。

00+1〃一>00n

2

證vF(l,y)=^y^=y-y+5=^[(y-x)2+9],

/(y-i)=(y-i)2+9,z./(y-x)=(y-x)2+9.故

F*,y)=(yy+9由題設(shè)

2犬

片+9

，…由于

2%

.?尤的J.故｛%｝單調(diào)有下界，故有極限。設(shè)limx〃=4

由3二號'解出叱3〔舍去A"3〕c

Y..

習(xí)題25設(shè)x0>0,xn+1=1+——,n=1,2,...,求limxn.

1+X,”T8

V

解顯然/>o』=l+1-V2.「.{x“}有上界2,有下界0.

1+Z

L°=l+}f=焊工當(dāng)。<心1時

l+x0l+x02

1+Xo-Xo>O,BPxl>x。，假設(shè)七?>怎_1，那么

Y-r—5怎一九”.1>0.故“”｝單增。limx

與+1人〃一1.“f8tl

1十%1十項I(I+4)(1十X,I)

yA

存在。設(shè)limxn=A,那么由lim3=1+lim〃得A=1+----，即

〃->8JU-?OO〃->8]+/]+A

4-4-1=0,，4=笥叵〔舍去負值〕。當(dāng)%>笥叵時，有七<%

用完全類似的方法可證*”｝單減有下界0,同理可證limx“=￡g.

182

習(xí)題26設(shè)數(shù)列*“｝由下式給出玉=2,1〃+]=2+,,〃=1,2”..求lim5.

Xw->oo

%

解區(qū)｝不是單調(diào)的，但｛.%./單增，并以3為上界，故有極限。設(shè)單減,

"TOO

并以2為下界，設(shè)limx,“=C.在等式5討=2+，兩邊按奇偶取極限，得兩個關(guān)系

〃一>8-Y人〃

B=2+!，C=2+4，解出八C.由于的奇數(shù)列與偶數(shù)列的極限存在且相等，因此區(qū)｝的極

CB

限存在，記limx”=A于是limx,川=lim(2+‘).故有A=2+L解出4=1+后，〔舍去負值

“->8/!—>007?-><€?XA

1—V2〕

習(xí)題27設(shè)凡>0,互.=為士|,試證｛乙｝收斂，并求極限。

%+1

證顯然%>0.假設(shè)limx〃=A,那么由x〃+]=+2令〃-,可解出A=2〔舍去-2〕。下

10xn+I

面證明｛xn｝收斂于正.由于

k「闋=1|〈(后f除一碼，

Xn-\+1

2

這推可得Xn—5/2<(5/2—I)Xn_2—V2|<(5/2—Xj—5/2I

/.lim(V2=0.由兩邊夾可得limx“-0]=0.故limx”=后.

n—>00M—>00I〃一>8

習(xí)題28設(shè)./；(/)=/(/)>0,<z⑺=.試證

⑴0名(0存在;(2)當(dāng)/⑺21時，lim/；(/)=l;當(dāng)/⑺<1時，limJ⑺=0;

〃一>8〃—>8〃—>8

證v〃，顯然有A⑺No,又A+1⑺-f〃⑴=—/；”)<0.

.?Vf/(r)單減有下界。.??收斂。令lim￡")=/⑺，在原式兩邊取極限得尸⑺=且斗.由

〃T81+F~(t)

2#⑺之2/%)

此可解出")=0或尸⑺=1.當(dāng)/(f)Nl時,f2(t)==1.歸納假設(shè)//注1,

1+工2“)一2八)

義段之延曹，有力⑺加?因此廣⑺之時⑴.即

那么#⑺訓(xùn)而加⑴==WW"1/=1

1+4(02斤⑴

】im/；⑺=1,(/(。21時〕。

當(dāng)時，由，⑺的單減性便知即當(dāng)人)=0時，即

lin"⑺=()〔當(dāng)/⑺<1時〕。

JT—>00

習(xí)題29lim(-￡2^L)sin.vsin2,=［而(上空工)樂礪

-r-*0cos2x-r->°l-sin~2x

習(xí)題30假設(shè)收斂，那么］im包=0

“->3nI

證???{4}收斂，設(shè)limx“=4.故必有界。設(shè)

〃T8

Ix\<B,n=1,2,...因此0<生斗&竺，而竺一0,二lim區(qū)匚=0.

|nl\〃！n\“TOOn\

nI,7112n1n!_

習(xí)題31求1血々.(0<々=一〈一，,二lim-~=0x)

-8n~rTnn?"

變量替換求極限法

(為求limF(x),有時可令X=0(y),而F(x)=F［(p(y)］〕

x->a

習(xí)題32求1加"。一7〔夕為自然數(shù)〕

XT0X

解令(1+a)-1=)，,那么工=心'+4一”,因此

a

^T+x-1--x

習(xí)題33求lim----------一J

解令^77-1=>，,=1=()，+1廣一1,且當(dāng)戈-0時》-0,故原式

習(xí)題34求lim外而一"孤),a>0.

解先求lim/(布-'孤)，令!=/,那么上式

X—>+8X

\_~bl-exp(-Jlna)T—]na

=lim-----5——=lima'-----弓——=lim-------------------------=lim——=Ina.故原式=Ina.

,TO*f-f->0+/r->(T,T0+f-

用等價無窮小替換求極限

習(xí)題35求lim上場^(,2GN).

吁o(p~

解記x="cos〃0，貝卜―>1(0—>0).

k-u..(1—x)(l+x+...+x"?)1—x"..1—cosn(p

原式二lim—、-----------------——=lim——-=lim--------笠

3,(l+X+...+X-)P->0n(p-3n(p-

、(〃0)2

-lim———--=—(當(dāng)0,l-cos〃—w2)

…n(p~22

習(xí)題36設(shè)j\x)與x是等價無窮小，/(A-)wx,求證

(Dlim[f(x)]x=1;〔2〕liml/^')l，~V，=1.

x-*0"a。*f(X)-X

證二/(x)~x，即~~-->1(x—>0),/.~~-=1+a(x),

XX

其中a。)-0,當(dāng)f0,即/(x)=Nl+a*)](當(dāng)x-0).故

皿起rxIn

[fMY-xxxe*-1x

rlimJ--------=hrmx---------——--------------

io'/(x)-x—o'.1nf(x)f(x)-x

x

習(xí)題37設(shè)f(x)eC[O,n],n(n>2)為自然數(shù)，/(0)=f5).試證*,4+1日0,川，使

/?=/e+i).

證〔分析：要證*Y+yo,磯使/e)=/e+i).即要證g(x)=/(x+i)-有根4〕令

g(x)=/(x+l)-/(x),顯然在。〃-1]上連續(xù)，于是g(i)=f(i+l)-/a)/=l,...〃-L記

m=min{g(。},M=max{g(i)},那么

O^f^n-iOW〃一1

m<-Xg(i)WM,又W[(i)=f(n)-/(0)=0.對函數(shù)g(x)應(yīng)用介值定理，知m六[0,〃一1],使

〃/=0i=O

1n-\

g@=-2g⑴=0,即存在4，[+1￡[0,〃-1],使于也+1)=/?).

ni=。

習(xí)題38設(shè)f(x)eC[a,0],且4vcvdv加證明3G[a,b],

使(a+B)f8=a/(c)+pf(d).

證〔分析：將結(jié)果變形f?)=。以0+吁心："〕

a+B

記m=min=max{f(x)},那么m<f(x)<M,XG[a,bi

于是(a+/3)m<a/(c)+/3f(d)<(a+/3)M

a+p

由介值定理知

年￡血刈使/(?=af(c)+叱(d),即(a+p)/?=a/(c)+”(d)

a-vp

習(xí)題39設(shè)/(x)eC(-8,+8)且/"")]=尤證形使/⑹=。

證反證法。假設(shè)不存在點J使即Vxe(-8,+8)均有連續(xù)，不妨設(shè)

恒有/")>工于是f[f(x)]>/(x)>x.此與f[f(x)]=x矛盾。故形使/?=

習(xí)題40設(shè)/(x)￡C(a,。)且/(%)>0.又〈當(dāng)<…〈怎證明至少有一點《€(〃/).使

/⑹="(玉)/(苞)."(%).

證,.?/(x)eC(X],x.)，故f(x)在[XpX,,]上有最大值M和最小值〃？,使

0</?<f(xt)<MJ=1,2,...,n.于是mW4f(xjf⑺…f(xn)WM由介值定理，知

花￡[\，乙]u(〃,b\使/?="(司)/。2)??./(%").

習(xí)題41證明方程.廣2'=1至少有一個小于1的正根。

證設(shè)/(x)=x?2、-1,顯然fix)GC[0,l],但

X

/(0)=-1<0,/(1)=2-1=1>0,/.3x0G(0,1),使/(x0)=%?2^-1=0,即方程r2=1至少有

一個小于1的正根存在。

習(xí)題42設(shè)/⑺二吧江二^^連續(xù)，求3

ax1+bx,I*

b

H--1~~r+

1

lim^-

“T8X

解/(x)=

1+a+Z?

x=1

2

\-a+b

x=-l

F

故/(1+0)=1,/(1-0)=。+。,/(-1+0)=。-〃,/(-1-0)=-1.由于/(幻在，-1處連續(xù)，所

a+b=\

以a=O,b=\.

a-b=-\

習(xí)題43試證方程W+cos多至少有一個實根。

證做函數(shù)/（R）=xe'-x-cosgx.顯然

乙

jr

/(())=-l<(),/(l)=e-l>(),.-.3^e(0,1),使/C)=0.即/"=x+cos-x在(0,1)內(nèi)必有實根。

乙

習(xí)題44求?）=目的連續(xù)區(qū)間。

(解：先改寫為分段函數(shù)，結(jié)論為：(-00,0)U(0.1)U(l,+oo))

習(xí)題45求〃為何值時，函數(shù)/")=卜2-‘在。3]上處處連續(xù)。

hx-2,2<x<3

只需討論分段點處的連續(xù)性：/(2-0)=lim(X2-1)=3=/(2),

.r->2-

/(2+())=1]](以_2)=29-2=/(2),要在工=2處連續(xù)，必有2力-2=3,=〃=』.

XT2+2

習(xí)題46設(shè)a>(),%>(),定義4+1=；(3匕+/),〃=12…求limx?

4￡“T8

解X?+I=:(X〃++怎+￡)NJx”,4.與?/二亞｛五｝有下界即V/2￡N，有怎>Va.

4V/

又&±=［（3+=）。（3+4=1,即區(qū)｝單減有下界，故有極限。設(shè)limx“=A且右心＞0.

xn4xn4ci“fa

有l(wèi)imxn+｝=!lim(3x“+鼻)有A=〈(3A+M)n4=爪

〃->844AJ

(舍去負根[〔注意：先證明極限的存在是必要的。〕

習(xí)題47

(解：｛%｝單增有上界1+及，可解出極限人=笆正〕